1. 1
บทที่ 18
ไฟฟ้ากระแสสลับ
ในปั จ จุ บั น เป็ น ที่ เ ข้ า ใจกั น โดยทั่ ว ไปแล้ ว ว่ า ไฟฟ้ า มี ค วามส าคั ญ ไม่ ยิ่ ง หย่ อ นไปกว่ า
สิ่งจาเป็นอย่างอื่นๆ อันเกี่ยวข้องอยู่กับการดารงชีพ การอานวยความสะดวกนานาประการ การผลิต
ต่างๆและอาจจะนับรวมไปถึงการให้กาเนิดสิ่งอานวยความบันเทิงอย่างมากมายในยุคนี้ ไฟฟ้าที่
เข้าใจกันอยู่แล้ว ก็คือ ไฟฟ้าสถิตและไฟฟ้ากระแส เราได้กล่าวถึงไฟฟ้ากระแสตรงไว้แล้ว จึงจะได้
ให้ทาความเข้าใจเกี่ยวกับไฟฟ้ากระแสสลับต่อไปนี้
1. เครื่องกาเนิดกระแสสลับ
เครื่องมือที่ก่อกาเกิดไฟฟ้ากระแสสลับ คือ เครื่องกาเนิดกระแสสลับ (alterating current generator
หรือ alternator) ประกอบด้วยขดลวดหมุนอยู่ในสนามแม่เหล็ก ดังรูป (ก) ปลายทั้งสองของขดลวด
นี้ต่อกับวงแหวนปลายละอัน วงแหวนแต่ละอันมีแปรงแตะและมีสายไฟฟ้าต่อจากแปรงเพื่อนาเอา
ไฟฟ้าไปใช้
ในรูป (ข) แสดงภาพของขดลวดและสนามแม่เหล็กเมื่อมองเข้าไปในแนวตั้งฉาก
ON = เส้นปกติของพื้นที่ของขดลวด (ตรงจุดกลาง)
A = พื้นที่ของขดลวด
 = มุมที่เส้นปกติกระทากับแนวสนามแม่เหล็ก
B = การเหนี่ยวนาแม่เหล็กของสนามแม่เหล็ก

2. 2
รูป (ก) ขดลวดหมุนอยู่ในสนามแม่เหล็ก
(ข) แสดงตาแหน่งของขดลวด ณ ขณะหนึ่ง
(ค) แสดงลักษณะและส่วนประกอบของเครื่องกาเนิดกระแสสลับ
N = จานวนรอบของขดลวด
 = ฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านพื้นที่ A = BA cos
ถ้า e = แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนาในขณะใดๆ
d d
e = N  N (AB cos  )
dt dt
d
= NBA sin 
dt
d
แต่ = อัตราเร็วเชิงมุม = 
dt
ดังนั้น e = NBA  sin 

เมื่อการหมุนเป็นไปด้วยอัตราที่สม่าเสมอ  = จึงได้
t
 = t
และ e = NBA  sin t
จะมีค่ามากที่สุดเมื่อ sin t = 1
ให้ Em = แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนาซึ่งมีค่ามากที่สุดนี้ จึงได้

3. 3
Em = NBA 
ดังนั้น สมการจึงเขียนได้เป็น
e = Em sin t
ถ้า f = ความถี่เป็นรอบต่อวินาที ได้  = 2f ดังนั้น จึงได้
e = Em sin 2 ft
สมการนี้เมื่อเขียนเป็นกราฟ จะได้เป็นรูป
รูป แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนาซึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลา
แรงเคลื่อนไฟฟ้า e จะมีค่าเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาและมีทิศกลับไปมาอยู่เรื่อยๆ เป็นผลให้
กระแสไฟฟ้าที่เกิดขึ้นมีค่าเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา และมีทิศทางการไหลกลับไปมาสลับกันอยู่
ตลอดไป จึงเรียกว่า ไฟฟ้ากระแสสลับ (alternatimg currnt)
ส่วนประกอบของเครื่องกาเนิดไฟฟ้านั้นมีลักษณะดังแสดงอยู่ในรูป (ค) ประกอบด้วยส่วน
นอกซึ่งอยู่กับที่เรียกว่า ตัวนิ่ง (stator) มีขั้วแม่เหล็กไฟฟ้าติดอยู่กับตัวนิ่งนี้ ขั้ วแม่เหล็กนี้อาจติดไว้
1 คู่ คือ ขั้ว N ขั้วหนึ่งและขั้ว S อีกขั้วหนึ่ง หรือ 2 คู่หรือ 3 สุดแต่การสร้าง ในรูปแสดงไว้ 2 คู่
ขั้วแม่เหล็กเหล่านี้จะเรียงสลับกันไป ส่วนขดลวดนั้นพันอยู่รอบๆตัวหมุน (rotor) ซึ่งหมุนอยู่ตรง
กลาง

4. 4
ไฟฟ้า 1 รอบนั้นเกิดจากการที่ขดลวดเคลื่อนที่ผ่านสนามแม่เหล็กของขั้วแม่เหล็ก N และ S
หนึ่งคู่ ในรูป (ค) เมื่อลวดเคลื่อนที่ผ่านสนามแม่เหล็กของขั้ว N1S1 จะได้ไฟฟ้าออกมา 1 รอบ และ
เมื่อผ่านสนามแม่เหล็กของคู่ N2S2 จะได้ไฟฟ้าออกมาอีก 1 รอบ
ดังนั้น ถ้าเครื่องกาเนิดไฟฟ้ามีขั้วแม่เหล็ก NS เพียงคู่เดียว เมื่อขดลวดหรือตัวหมุนไป 1
รอบ จะได้ไฟฟ้าออกมา 1 รอบ
ถ้าเครื่องกาเนิดไฟฟ้ามีขั้วแม่เหล็กสองคู่ดังแสดงในรูป (ค) เมื่อขดลวดหรือตัวหมุนไปครบ
1 รอบ จะได้ไฟฟ้าออกมา 2 รอบ
ถ้า f = ความถี่ของไฟฟ้าที่ได้ออกมาเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิร์ทซ์
ps = จานวนรอบของการหมุนของตัวหมุนหือขดลวดในเวลา 1 วินาที
p = จานวนคู่ของขั้วแม่เหล็ก
ย่อมได้ f = p  (rps)
เช่นเครื่องกาเนิดไฟฟ้าเครื่องหนึ่งมีขั้วแม่เหล็ก 5 คู่ มีอัตราเร็วในการหมุน 3,600 รอบต่อวินาที
 3600 
เครื่องกาเนิดไฟฟ้าจะให้ไฟฟ้าซึ่งมีความถี่เท่ากับ f = 5  = 300 เฮิร์ทซ์
 60 
เครื่ อ งก าเนิ ด ไฟฟ้ า ซึ่ ง จ่ า ยไฟฟ้ า ความถี่ สู ง ใช้ วิธี ส ร้ า งให้ ขั้ ว แม่ เ หล็ ก มี จ านวนคู่ ม ากๆ
ตัวหมุนในอัตราธรรมดา ก็สามารถจ่ายไฟฟ้าซึ่งมีความถี่สูงออกมาได้
ต่ อ ไปนี้ เ มื่ อ กล่ า วถึ ง ไดนาโมกะแสสลั บ จะเขี ย นแทนด้ ว ยสั ญ ลั กษณ์ แ ละเขี ย น
แรงเคลื่อนไฟฟ้าที่ถูกจ่ายออกมาด้วยสมการ คือ
e = Em sin t
หรือ e = Em sin 2ft
2. วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ
ประกอบด้วยเครื่องกาเนิดกระแสสลับและส่วนประกอบอีก 3 อย่างคือ
1. ตัวต้านทาน (resistor)
2. ตัวจุ (capacitor)
3. ตัวเหนี่ยวนา (inductor)
2.1วงจรซึ่งมีตัวจุอย่างเดียว
วงจรรูปประกอบด้วยเครื่องกาเนิดกระแสสลับซึ่งมีแรงเคลื่อนไฟฟ้า e = Em sin
และตัวจุ ซึ่งมีความจุ (capacitance) เป็น C ฟารัด

5. 5
e = Em sin t
รูป ตัวจุในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ
ให้ i เป็นกระแสไฟฟ้าในขณะใดๆ (instantaneous current)
q เป็นประจุไฟฟ้าที่ตัวจุ C ในขณะใด ๆ
VC เป็นความต่างศักย์ของตัวจุ C ในขณะใดๆ
จะได้ VC = e = Em sin t
q
= Em sin t
C
q = CEm sin t
ดังนั้น dq
= C  Em cos t
dt
dq
แต่ = i
dt
จึงได้ i = C  Em cos t
Em
เขียนใหม่เป็น i = cost
 1 
 
 C 
1
ปริมาณ ( ) นี้มีชื่อเรียกว่า ความต้านแห่งการจุ (capacitive reactance) นิยมเขียนแทนด้วย
C
XC และมีหน่วยเป็นโอห์ม (ohm) กล่าวคือ
1
XC = เรียกว่า ความต้านแห่งการจุ
C
ดังนั้น สมการสุดท้ายจึงกลายเป็น
Em
i = cost
Xc
Em
ปริมาณ คือ กระแสไฟฟ้าซึ่งมีความสูงสุดของวงจรเขียนแทนด้วย Im
Xc
Em
ดังนั้น i = Im cos t โดยที่ Im =
Xc

6. 6
เพื่อที่จะเปรียบเทียบกับ VC ซึ่งมีค่าเท่ากับ e = Em sin t จึงเขียนสมการสุดท้ายเสียใหม่
 
เป็น i = Im sin  t   นาความต่างศักย์ Vc และกระแสไฟฟ้าในขณะใด i มา
 2
เปรียบเทียบกันคือ
VC = Em sin t
 
I = Im sin  t  
 2
 
จะเห็นได้ว่า Vc กับ i มีลักษณะของกราฟเป็นแบบเดียวกันผิดกันที่มุม t กับ  t  
 2

เท่านั้น กล่าวคือ กระแสไฟฟ้า i นาหน้า (lead) ความต่างศักย์ Vc เป็นมุม เรเดียน หรือ
2

ความต่างศักย์ VC ตามหลัง (lag) กระแส i เป็นมุม เรเดียน
2

มุม นี้มีชื่อเรียกกันว่า มุมเฟส (phase angle) เขียนแทนด้วย 
2
สรุปได้ว่า มุมเฟส คือ มุมที่กระแสไฟฟ้ากับความต่างศักย์นาหน้าหรือตามหลังซึ่งกัน
และกัน
 
นาสมการ Vc = Em sin t กับ i = Im sin  t   มาเขียนเป็น
 2
กราฟซ้อนกันโดยใช้แกนนอนเป็น t ร่วมกัน จะได้เป็นรูป
รูป แสดงกระแสไฟฟ้านาหน้าความต่างศักย์เป็นมุม
2.2 วงจรซึ่งมีตัวเหนี่ยวนาอย่างเดียว

7. 7
วงจรรูป ประกอบด้วยไดนาโมกระแสสลับซึ่งมีแรงเคลื่อนไฟฟ้าเป็น e = Em sin t
และตัวเหนี่ยวนาซึ่งมีความเหนี่ยวนา (inductance) เป็น L เฮนรี
ให้ i = กระแสไฟฟ้าในขณะใดๆ
VL = ความต่างศักย์ระหว่างปลายทางของตัวเหนี่ยวนาในขณะใดๆ
di
= L
dt
ในวงจรจะได้ VL+e = 0
รูป ตัวเหนี่ยวนาในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ
แทนค่า VL และ e ได้
di
L = Em sin t
dt
Em
di = sin tdt
L
Em
 di =  L
sin tdt
i = Em
 cost   C
L 
สาหรับไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งมีลักษณะสมมาตร (symmetry) กันทั้งด้านบวกและด้านลบ จะได้
ค่าคงที่ C = 0

8. 8
ดังนั้น i = Em
 cost 
L 
Em 
= sin(t  )
L 2
ปริมาณ L นี้มีชื่อเรียกกันว่า ความต้านแห่งการเหนี่ยวนา (inductive
reactance) นิยมเขียนแทนด้วย XL และมีหน่วยเป็นโอห์ม กล่าวคือ
XL = L เรียกว่า ความต้านแห่งการเหนี่ยวนา
ดังนั้น สมการสุดท้ายจึงกลายเป็น
Em 
i = sin(t  )
L 2
ปริมาณ คือ กระแสไฟฟ้าซึ่งมีค่าสูงสุดของวงจร Im นั่นเอง ดังนั้น จึงได้
 
i = Im sin  t  
 2
นาความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเหนี่ยวนา คือ VL กับกระแสไฟฟ้า i ที่ไหลผ่านตัว
เหนี่ยวนาในขณะเดียวกันนั้นมาเทียบกันคือ
VL = Em sin t
 
i = Im sin  t  
 2
 
จะเห็นได้ว่า VL กับ i มีลักษณะของกราฟเป็นแบบเดียวกัน ผิดกันที่มุม t กับ  t  
 2

เท่านั้น กล่าวคือ กระแสไฟฟ้า i ตามหลังความต่างศักย์ VL เป็นมุม เรเดียน หรือความต่าง
2

ศักย์ VL นาหน้ากระแสไฟฟ้า i เป็นมุม เรเดียน
2

จานวนมุม นี้ คือ มุมเฟส  ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว นั่นเอง กราฟของ VL กับ i มี
2
ลักษณะดังรูป

9. 9
รูป ความต่างศักย์นาหน้ากระแสไฟฟ้าเป็นมุม
2.3วงจรซึ่งมีตัวต้านทานอย่างเดียว
วงจรรูป ประกอบด้วยไนดาโนกระแสสลับซึ่งมีแรงเคลื่อนไฟฟ้าเป็น e = Em sin t
และตัวต้านทานซึ่งมีความต้านทาน
ให้ i เป็นกระแสไฟฟ้าในขณะใดๆ
VL เป็นความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทานในขณะใดๆ
รูป ตัวต้านทานในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ
VR = iR
VR = e = Em sin t
iR = Em sin t
Em
ได้ i = sin t
R

10. 10
Em
จานวน คือ กระแสไฟฟ้าซึ่งมีค่าสูงสุดของวงจร Im คือ
R
Em
= Im
R
ดังนั้น i = Im sin t
นาความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน คือ VR กับกระแสไฟฟ้า i ที่ไหลผ่านตัว
ต้านทานในขณะเดียวกันนั้นมาเทียบกัน คือ
VR = Em sin t
i = Im sin t
จะเห็นได้ว่า VR กับ i มีลักษณะของกราฟเป็นแบบเดียวกันทุกประการ และมุมเฟส   0
หมายความว่ากระแสไฟฟ้า i กับความต่างศักย์ VR ไปพร้อมๆกัน ดังรูป
รูป กระแสไฟฟ้าและความต่างศักย์ซึ่งมีเฟสเหมือนกัน

สรุปได้ว่า i นาหน้า VC เป็นมุม
2

i ตามหลัง VL เป็นมุม
2
i ไปพร้อมกับ VR
เมื่อนาค่าเหล่านี้มาเขียนแผนภาพแสดงเฟส (phasor diagram) จะมีลักษณะดังรูป

11. 11
รูปเวกเตอร์แสดงความต่างเฟสระหว่างกระแสไฟฟ้ากับความต่างศักย์
3 .สมการทั่วไปของแรงเคลื่อนไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้า
ต่อไปนี้เราจะเขียนสมการของแรงเคลื่อนไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าเป็นรูปดังนี้
แรงเคลื่อนไฟฟ้า e = Em sin t
i = Im sin t    เมื่อ i นาหน้า e เป็นมุม 
i = Im sin t    เมื่อ i นาหลัง e เป็นมุม 
i = Im sin t เมื่อ i กับ e ไปพร้อมกัน
4. ค่ายังผลของกระแส
ไฟฟ้ า กระแสสลั บ นั้ น เป็ น ไฟฟ้ า ซึ่ ง มี ค่ า เปลี่ ย นแปลงอยู่ ต ลอดเวลา ไม่ ว่ า จะเป็ น
แรงเคลื่อนไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้า จะเปลี่ยนค่าอยู่เรื่อยๆ จากค่าศูนย์ถึงค่าสูงสุด คือ Em หรือ
Im เมื่อให้ไฟฟ้ากระแสสลับทางาน เช่น ให้เปลี่ยนรูปเป็นความร้อนหรือแสงสว่างหรือเปลี่ยนรูป
เป็นพลังงานกล ค่าของไฟฟ้ากระแสสลับที่จะทางานดังกล่าวนี้ อาจคิดค่าโดยเฉลี่ยแทนค่าซึ่ง
เปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลานั้นได้ ค่าโดยเฉลี่ยของไฟฟ้ากระแสสลับดังกล่าวนี้มีชื่อเรียกโดยเฉพาะ
ว่า ค่ายังผล (effective value) ซึ่งมีคานิยามโดยกาหนดจากกระแสไฟฟ้า ดังนี้
ค่ายังผลของกระแสไฟฟ้าสลับใดๆ กาหนดให้เป็นค่าของกระแสไฟฟ้าขนาดสมาเสมอ ซึ่ง
จะทาให้เกิดความร้อนจานวนเดียวกันในเวลาเท่ากัน เมื่อปล่อยให้ผ่านความต้านทานอันเดียวกัน
กระแสไฟฟ้าสลับมีสมการเป็น i = Im sin t
ให้ I เป็นค่ายังผลของกระแสไฟฟ้าสลับนี้
ตามคาจากัดความที่กล่าวแล้ว เมื่อปล่อยกระแสไฟฟ้าสลับ i = Im sin t ผ่านความ
ต้านทาน R อันหนึ่งในเวลาอันหนึ่ง ต่อจากนั้นก็ปล่อยกระแสไฟฟ้าอันมีค่ายังผล I ผ่านความ

12. 12
ต้านทาน R ตัวเดียวกัน โดยใช้เวลาเท่ากันทั้งสองครั้ง ย่อมเกิดความร้อนจานวนเดียวกัน สมมติ
ให้ H เป็นปริมาณความร้อนดังกล่าวนี้
คิดตอนปล่อยกระแสไฟฟ้าสลับ i ผ่านความต้านทาน R เป็นเวลานานเท่ากับ 1 รอบ
คือ T วินาที ในช่วงเวลาสั้นๆ dt พลังงานความร้อนที่เกิดขึ้น
dH = i2 Rdt = (Im sin t )2 R dt
ในเวลา 1 คาบ
T T
 dH = I m
2
R sin 2 tdt
0 0
2
Im R T
H =  sin tdt
2
 0
 sin 2
จาก  sin
2
d =  จึงได้
2 4
I m R  t sin 2t  T
2
H = 
 2 4 0 
I m R  t
,  t  2 .T  2 
2

=  2  0  0  0  
    T 
2
I m RT
H =
2
คิดตอนปล่อยกระแสไฟฟ้ามีค่ายังผล I ผ่าน R ตัวเดียวกันในเวลา T อันเดียวกันและ
เกิดความร้อน H จานวนเดียวกัน
H = I2 RT
จากคาจากัดความของค่ายังผลของกระแสไฟฟ้าสลับ ปริมาณความร้อนทั้งสองนี้เท่ากัน
2
I m RT
I2 RT =
2
2
Im
ได้ I2 =
2
Im
ดังนั้นค่ายังผล I = = 0.707 Im
2

13. 13
ในทานองเดียว แรงเคลื่อนไฟฟ้า e = Em sin t โดย Em เป็นค่าสูงสุด จะมีค่ายังผล
เป็นรูปเดียวกัน คือ
ถ้า E เป็นค่ายังผลของแรงเคลื่อนไฟฟ้านั้น
Em
E = = 0.707 Em
2
บางครั้งเรียกค่ายังผลว่า ค่ารากที่สองของกาลังสองเฉลี่ย (root mean square, rms)
ตัวอย่าง ไฟฟ้ากระแสสลับอันหนึ่งมีสมการของกระแสไฟฟ้าเป็น
 
I = 10 sin  400t   ในหน่วยแอมแปร์
 4
ให้หา ก. ค่ายังผลของกระแสไฟฟ้า I
ข. ความถี่ของไฟฟ้ากระแสสลับนี้
ค. มุมเฟส
วิธีทา โดยเทียบกับสมการทั่วไปของกระแสไฟฟ้า I = Im sin t   
ค่าของกระแสสูงสุด Im = 10 แอมแปร์
 = 400 เรเดียนต่อวินาที

มุมเฟส  = เรเดียน
4
จึงได้ ก. ค่ายังผลของกระแสไฟฟ้า I = 0.707Im =0.707 x 10
= 0.707 แอมแปร์
ข. จาก  = 2 f ได้
 400
ความถี่ f = = = 63.7 เฮิร์ทซ์
2 2

ค. มุมเฟส  = เรเดียน โดยกระแสตามความต่างศักย์
4

14. 14
ค่าของความต่างศักย์และกระแสไฟฟ้าของไฟฟ้ากระแสสลับนั้น ในทางปฏิบัติใช้ค่ายังผล
และเครื่องวัดไฟฟ้ากระแสสลับ ไม่ว่าจะเป็นโวลต์มิเตอร์หรือแอมมิเตอร์ ก็จะชี้บอกค่าดังกล่าว
ของความต่างศักย์หรือกระแสไฟฟ้า เช่น ที่พูดกันว่า ไฟบ้านมีความต่างศักย์ 220 โวลต์ เลข
220 โวลต์นี้เป็นค่ายังผลของความต่างศักย์ ซึ่งมีความหมายว่า ความต่างศักย์สูงสุดมีค่าเท่ากับ
2  220  311.08 โวลต์ ดังนั้นต่อไปนี้เมื่อกล่าวถึงกระแสไฟฟ้า แรงเคลื่อนไฟฟ้า หรือความ
ต่างศักย์ เราจะหมายถึงค่ายังผลเสมอไป
5. ความต่างศักย์
ในเรื่องไฟฟ้ากระแสสลับ ความต่างศักย์ระหว่างสองจุดใดๆ มีวิธีคิดคล้ายกับกระแสตรง
คือ ยังคงใช้กฎของโอห์ม คือ
ความต่างศักย์ = กระแส  ความต้านทาน
มีรายละเอียดดังนี้
1. ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน
รูป (ก) ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน
(ข) เวกเตอร์แสดงเฟสของความต่างศักย์และกระแสไฟฟ้า
ในรูป รูปบนแสดงภาพของตัวต้านทานซึ่งมีความต้านทาน R โอห์ม กาลังมีกระแสไฟฟ้า
สลับ I แอมแปร์ไหลผ่าน ทาให้ปลายทั้งสองของมันมีความต่างศักย์ VR เกิดขึ้นโดยที่
VR = IR
ความต่างศักย์ VR กับกระแสไฟฟ้า I มีมุมเฟส   0 จึงเขียนรูปเวกเตอร์ของ VR กับเวกเตอร์
ของ I ซ้อนกัน ดังรูปบน

15. 15
2. ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเหนี่ยวนา
รูป (ก) ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเหนี่ยวนา
(ข) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของความต่างศักย์และกระแสไฟฟ้า
รูปบนแสดงตัวเหนี่ยวนาเป็น L เฮนรี กาลังมีกระแสไฟฟ้าสลับ I แอมแปร์ไหลผ่าน ทา
ให้เกิดมีความต่างศักย์ VL ขึ้นระหว่างปลายทั้งสองของมัน (ลวดไม่มีความต้านทาน)
ได้กล่าวมาแล้วว่า ความต้านแห่งการเหนี่ยวนา XL = L
ในกรณีนี้ VL = IXL

โดยที่ VL นาหน้ากระแสไฟฟ้า I เป็นมุม  เรเดียนที่ได้กล่าวมาแล้ว จึงเขียนเวกเตอร์ของ
2

VL ตั้งฉากกับเวกเตอร์ของ I ดังรูปข้างล่าง ซึ่งมีความหมายว่า VL นา I เป็นมุม เรเดียน
2
3. ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวจุ
ตัวจุซึ่งมีความจุเป็น C ฟารัด มีไฟฟ้ากระแสสลับ I แอมแปร์ผ่าน ทาให้เกิดมีความต่าง
1
ศักย์ VC ขึ้นระหว่างปลายทั้งสองดังรูป ความต้านทานแห่งการจุ XC =
C
ในกรณีนี้ VC = IXC

16. 16
รูป (ก) ความต่างศักย์ระหว่างตัวจุ
(ข) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของความต่างศักย์และกระแสไฟฟ้า

โดยที่ VC ตามหลัง I เป็นมุม เรเดียน ตามที่ได้กล่าวมาแล้วในตอนต้น ดังนั้น จึงเขียน
2

รูปเวกเตอร์ VC ตามหลังเวกเตอร์ I เป็นมุม เรเดียน
2
6. วงจรไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งมี R L และ C
ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับมี R L และ C ต่อกันอยู่ โดยอาจเป็นการต่อแบบอนุกรม
ขนานหรือผสมก็ได้ การคานวณก็ยังคงใช้หลักที่กล่าวมาแล้วนั่นเอง โดยพิจารณาเป็นขั้นๆไป
1. การต่อ R L C แบบอนุกรม
ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนา และตัวจุต่ออนุกรมกัน มีหลักสาคัญคือ
1. R L และ C มีกระแส I ตัวเดียวกัน
2.ความต่างศักย์รวม V มีค่าเท่ากับเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ VR VL และ VC
เช่นเดียวกับที่แล้วมา
1
XL = L และ XC =
C
VR = IR (เท่ากับ I)

VL = IXL (นาหน้า I เป็มุม )
2

VC = IXC (นาหลัง I เป็มุม )
2
ผลรวมของ R XL และ XC มีชื่อเรียกว่า ความชัด (impedance) และเขียนด้วยอักษร Z

17. 17
รูป (ก) R L และ C ต่อกันแบบอนุกรม
(ข) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของกระแสความต่างศักย์
(ค) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของ R XC XL และกระแส
V = IZ

18. 18
V = (V R ) 2  (V L  VC ) 2 เมื่อ VL  VC
IZ = ( IR ) 2  ( IX L  IX C ) 2
ในสมการสุดท้ายนั้นตัดกระแสไฟฟ้า I ออกได้หมด เหลือ
Z = ( R) 2  ( X L  X C ) 2
สมการสุดท้ายนี้ ทาให้สามารถเขียนแผนภาพแสดงเฟสได้ดังรูป (ค) ค่าของมุมเฟส  อาจหาได้
จากรูปคือ
V L  VC
(ข) tan  =
VR
XL  XC
(ค) tan  =
R
ได้ค่าของ tan  เท่ากัน
V L  VC IX L  IX C XL  XC
อาจพิสูจน์ได้ว่า tan  = = =
VR IR R
ตัวอย่าง วงจรไฟฟ้ากระแสสลับวงหนึ่งประกอบด้วย ตัวต้านทาน 600 โอห์ม ตัว
เหนี่ยวนาขนาด 0.2 เฮนรี และตัวจุขนาด 1 ไมโครฟารัด ต่อกันอย่างอนุกรมเรียงกันไป
ตามลาดับ กาหนดให้   1,000 เรเดียนต่อวินาที และมีกระแสไฟฟ้า 0.1 แอมแปร์ ให้หา
ก. ความต้านแห่งการเหนี่ยวและความต้านแห่งการจุ
ข. ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนา และตัวจุแต่ละอัน
ค. ความต่างศักย์รวมทั้งหมด
วิธีทา
ก. ความตานแห่งการเหนี่ยวนา X L  L  1,000  0.2  200 โอห์ม ความต้านแห่งการจุ
1 1
XC    1,000 โอห์ม

C 1,000 1  106 
ข. R L และ C ต่ออนุกรมกันดังรูปมีหลักสาคัญว่า การต่ออนุกรมกันจะต้องมี
กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านเป็นอันเดียวกัน คือ 0.1 แอมแปร์ที่กาหนดให้มา

19. 19
R  600 X L  200 X C  1,000
รูป วงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วย R L และ C
ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวต้านทาน VR = IR 0.1  600
= 60 โวลต์
ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเหนี่ยวนา VL = IXL = 0.1  200
= 20 โวลต์
ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวจุ VC = IXC = 0.1  1000
= 100 โวลต์

ค. ได้กล่าวมาแล้วว่า VR ทับกับ I VL นาหน้า I เป็นมุม และ VC ตามหลัง I เป็นมุม
2

2
ดังนั้นเวกเตอร์ VR VL VC และกระแสไฟฟ้า I จึงมีลักษณะดังรูป(ก)
รูป (ก) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของ VR VL VC

20. 20
(ข) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของ V และ I
เมื่อรวมเวกเตอร์ VR VL VC เข้าด้วยกัน จะได้เป็นเวกเตอร์รวม V ดังรูป(ข)
V = VR 2  VC  VL 2 = 602  802 = 100 โวลต์
มุมเฟส  หาได้จากรูป(ข)
VC  V L 80 4
tan  =  
VR 60 3
4
 = tan 1   หรือ 53.13 องศา นา V
3
4
โดยกระแสไฟฟ้า I นาหน้าความต่างศักย์รวม V เป็น  = tan 1   จึงอาจเขียนสมการของ
3
ความต่างศักย์ และกระแสไฟฟ้าได้ดังนี้
ความต่างศักย์ V = Vm sin 1,000 t
 4
กระแสไฟฟ้า i = I m sin1,000t  tan 1   
 
 3
โดยที่ Vm  2V = 1.414  100 = 141.4 โวลต์
และ I m  2I = 1.414  0.1 = 0.141 แอมแปร์
เพื่อความเข้าใจที่ดียิ่งขึ้น จะหาค่าความต่างศักย์รวมระหว่างจุด AB
ระหว่างจุด A และจุด B ความต่างศักย์มีเพียง VL และ VC เท่านั้น ส่วน VR ไม่

21. 21
รูป เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของความต่างศักย์กับกระแสไฟฟ้า
ดังนั้น การหาค่า VAB จึงคิดจาก VL และ VC เท่านั้น รูปเวกเตอร์แสดงเฟส

VAB = VC-VL = 100-20 = 80 โวลต์ และตามหลัง I เป็นมุม  เรเดียน
2
ตัวอย่าง ตัวต้านทานขนาด 40 โอห์ม ขดลวดเหนี่ยวนาขนาด 0.04 เฮนรี และตัวจุขนาด
40 ไมโครฟารัด ต่อกันอย่างอนุกรม และต่อกับไฟฟ้ากระแสสลับ ซึ่งมีความต่างศักย์ 220 โวลต์
และความถี่เชิงมุม 500 เรเดียนต่อวินาที ให้หากระแสไฟฟ้า มุมเฟสระหว่างกระแสไฟฟ้ากับ
ความต่างศักย์ทั้งหมด และความต่างศักย์ระหว่างปลายของแต่ละอัน
วิธีทา R = 40 โอห์ม
XL = L = 500  0.04 = 20 โอห์ม
1 1
XC =   50 โอห์ม
C 500  40  106  
Z = R    X
2
C  XL
2
= 402  302
= 50 โอห์ม

22. 22
รูป เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของความขัดและกระแสไฟฟ้า
V 220
กระแสไฟฟ้า I =   4.4 แอมแปร์
Z 50
X C  X L 30 3
tan  =  ,   tan 1  , I นา V
R 40 4
VR = IR = 4.4  40 = 176 โวลต์
VL = IXL = 4.4  20 = 88 โวลต์
VC = IXC = 4.4  50 = 220 โวลต์
หมายเหตุ ตรวจสอบคาตอบได้จาก
V = VR 2  VC  VL 2 = 1762  200  882 = 1762  1322
= 220 โวลต์
2. การต่อ R L C แบบขนาน
ตัวต้านทาน R โอห์ม ตัวเหนี่ยวนา L เฮนรี และตัวจุ C ฟารัด ต่อขนานกัน และต่อกับ
ไฟฟ้ากระแสสลับ
V = ความต่างศักย์
ตัวเหนี่ยวนามีความต้านแห่งการเหนี่ยวนา XL
ตัวจุมีความต้านแห่งการจุ XC

23. 23
รูป (ก) R L C ต่อกันแบบขนาน
(ข) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของกระแสไฟฟ้าและความต่างศักย์

24. 24
(ค) เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของกระแสไฟฟ้าและส่วนกลับของ R XL XC
R L และ C แต่ละตัวมีความต่างศักย์ V อันเดียวกัน
V
กระแสที่ผ่าน R IR = (ทับกับ V)
R
V
กระแสที่ผ่าน L IL = (ตาม V 90 องศา)
XL
V
กระแสที่ผ่าน C IC = (นา V 90 องศา )
XC
ให้ Z = ความขัดของ R XL และ XC
V
กระแสรวม I =
Z
จากรูป (ข) ได้
I = (I R )2  (IC  IC )2
สมมติว่า LC มากว่า IL
IC  I L
tan  =
IR
2
V   V V 
2
V
แทนค่า =     
Z  R   XC XL 
 
2
1  1 1 
2
1
เอา V ตัวร่วมออกได้ =   
X  X  
Z R  C L 
3.การต่อ R L C แบบผสม
คานวณโดยอาศัยหลักการต่อแบบอนุกรมและแบบขนานผสมกัน ดังวงจรไฟฟ้า
ตัวอย่าง ตัวต้านทานขนาด 3 โอห์ม ตัวเหนี่ยวนาและตัวจุต่อกับไฟฟ้ากระแสสลับ ทาให้
XL = 6 โอห์ม และ XC = 2 โอห์ม จงหาค่าของความขัดระหว่างจุด AB

25. 25
รูป วงจรไฟฟ้าต่อกันแบบผสม
วิธีทา
ให้ I1 = กระแสในสายที่มี R
I2 = กระแสในสายที่มี L และ C
I = กระแสรวม
V = ความต่างศักย์ระหว่างจุด
V V
คิดสายที่มี R I1 = = (ทับกับ V)
R 3
คิดสายที่มี L และ C
V = VL-VC = 6I2-2I2 = 4I2
V 
I2 = (ตามหลัง V เป็นมุม )
4 2

26. 26
รูป เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของกระแสไฟฟ้าและความต่างศักย์
คิดรวมหมดทั้งสองสายมี V เป็นแกนร่วมของ I1 และ I2
รูป เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของกระแสรวมและความต่างศักย์
I = ( I1 ) 2  ( I 2 ) 2
V
I =
Z

27. 27
2 2
V V  V  1 1 5
=     = V  = V
Z 3 4 9 16 12
12
ดังนั้น ความขัด Z = = 2.4 โอห์ม
5
7. อภินาทในวงจรไฟฟ้า
โดยทั่วไปแล้ว อภินาท (resonance) บอกถึงปรากฎการณ์ที่มีการเสริมกันหรือแม้แต่
ขัดกัน ที่มีผลมากที่สุดสาหรับภาวะหนึ่งๆ เมื่อเทียบกับภาวะข้างเคียง ดังรายละเอียดบางส่วนได้
กล่าวมาแล้ว และที่จะกล่าวต่อไปอีกในส่วนที่เป็นฟิสิกส์ยุดใหม่ สาหรับในวงจรไฟฟ้าในส่วนนี้
จะแบ่งการพิจารณาเป็นอย่างๆไป
1. อภินาทในวงจร R L C ที่ต่ออนุกรม
เมื่อ R L C ต่ออนุกรมกัน และต่อกับไฟฟ้ากระแสสลับ เวกเตอร์ของ R XL
รูป เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของ R XL XC และ I
XC ดังแสดงในรูป ความขัด Z ของสิ่งทั้งสามนี้ คือ เวกเตอร์รวมของเวกเตอร์ R XL และ XC
ซึ่งมีค่า ดังนี้
Z = ( R) 2  ( X L  X C ) 2

28. 28
โดยที่ XL = L  2fL
1 1
XC = 
C 2fC
ในกรณีที่ R L และ C ต่ออนุกรมกัน และต่อกับไฟฟ้ากระแสสลับ ซึ่งมีความต่างศักย์
V คงที่ แต่ความถี่เปลี่ยนค่าได้ การเปลี่ยนความถี่ย่อมทาให้ค่าของ XL และ XC เปลี่ยนไปตาม
ส่วนค่า R ไม่แปรตามความถี่ ดังนั้น ค่าของ Z ก็จะเปลี่ยนตามไปด้วย กระแสไฟฟ้า I ที่ไหล
ผ่าน R L C ก็จะเปลี่ยนเช่นกัน เพราะการเปลี่ยนค่าของ Z และ I ตามความถี่ f เมื่อ f มีค่าต่า
Z มีค่ามากกว่า I มีค่าน้อย เมื่อ f มีค่ามากขึ้น และ Z มีค่าน้อยลง I มีค่ามากขึ้นที่ความถี่
อันหนึ่งคือ Fr ใน Z มีค่าน้อยที่สุด ตอนนักระแส I มีค่ามากที่สุด เมื่อ f มีค่ามากกว่า fr Z
กลับมีค่ามากขึ้น และ I กลับลดลงดังรูป(ข) ที่มีความถี่ fr ซึ่ง Z มีค่าน้อยที่สุดนี้เรียกว่า เกิดอภิ
นาท ขึ้นในวงจรไฟฟ้านั้น และ fr เรียกว่า ความถี่อภินาท พิจารณาจาก Z =
R 2  ( X L  X C ) 2 จะเห็นว่า ขณะที่เกิดอภินาทนั้น Z จะมีค่าน้อยที่สุด
รูป (ก) กราฟแสดงการเปลี่ยนค่าของความขัดกับความถี่
(ข) กราฟแสดงการเปลี่ยนค่าของกระแสกับความถี่
XL = XC
หรือ Z = R
1
เขียนได้ว่า r L =
r C

29. 29
1
r =
LC
1 1
หรือ fr =
2 LC
โดย L เป็นเฮนรี
C เป็นฟารัด
r เป็นเรเดียนต่อวินาที
fr เป็นเฮิร์ทซ์
2. อภินาทในวงจร L C ที่ต่อขนาน
ตัวเหนี่ยวนากับตัวจุซึ่งต่อขนานกันอยู่ และต่อไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งมีความต่างศักย์เป็น V
ดังแสดงในรูป อาจเกิดอภินาทขึ้นได้ ภาวะของการเกิดอภินาทแบบนี้คือ กระแสไฟฟ้า IL กับ LC
มีค่าเท่ากันคือ
IL = IC ดังนั้น I = 0
V V
หรือ =
XL XC
รูป (ก) L C ต่อกันอย่างขนาน
(ข)เวกเตอร์แสดงความต่างเฟสของกระแสไฟฟ้าและความต่างศักย์
ได้ XL = XC
1
 rL =
r C

30. 30
1
ดังนั้น r = 2f r =
LC
สมการที่จะได้เหมือนกันแบบต่ออนุกรมที่ได้กล่าวมาแล้ว ขณะที่เกิดอภินาทแบบขนานนี้
กระแสไฟฟ้ารวม I = IC - IL = 0 ซึ่งตรงกันข้ามกับแบบอนุกรมเพราะได้กระแสน้อยที่สุด
8. กาลังของไฟฟ้ากระแสสลับ
กาลังของไฟฟ้าของกระแสสลับในขณะใดๆมีค่าเท่ากับผลคูณระหว่างความต่างศักย์กับ
กระแสไฟฟ้าในขณะนั้นๆ
ถ้า v = ความต่างศักย์ในขณะใด = Vm sin 
i = กระแสไฟฟ้าในขณะนั้น = Im sin 
p = กาลังในขณะใด (instantaneous power)
จึงได้ p = vi
= [ Vm sin ] [Im sin (  +  ) ]
Vm I m [cos  - cos ( 2 +  ) ]
1
=
2
[ เพราะ 2 sin A sin B = cos (B-A) – cos (B + A)]
1 Vm Im
เนื่องจาก Vm I m = . = VI
2 2 2
ดังนั้น
P = VI [ cos  - cos ( 2 +  )]

31. 31
รูป แสดงกราฟของ v i และ p โดย p = vi จะเห็นได้ว่า กาลังจะมีค่าไม่คงที่เปลี่ยนแปลงอยู่
ตลอดเวลา ตามเวลา t
กาลังที่ใช้ไปจริงๆในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับนั้นจะเป็นกาลังเฉลี่ย (average power) ซึ่งหา
ได้โดยหาค่าเฉลี่ยดังนี้
ถ้า p = กาลังเฉลี่ย
1 2
P =  pd เมื่อคิดเฉลี่ยจาก 1 รอบ
2 0
แทนค่ากาลัง p จากที่ทามาแล้วจะได้
1
เนื่องจาก  cos( 2  )d =
2 
cos( 2   )d ( 2   )
= 1
sin ( 2 +  )
2
cos  0  sin2    0 
VI  1
จะได้ p = 2 2
2  2
= VI
(2  cos  )
2

32. 32
= VI cos 
ดังนั้น p = VI cos 
กาลังเฉลี่ย P นี้มีชื่อเรียกกันเป็นอีกอย่างหนึ่งว่า กาลังกัมมันต์ (active power) และ
ต่อไปนี้เมื่อพูดถึงกาลังในไฟฟ้ากระแสสลับ เราจะหมายถึงกาลังเฉลี่ย P นี้เสมอ ในสูตรนี้
V = ค่ายังผลของแรงเคลื่อนไฟฟ้าหรือความต่างศักย์
I = ค่ายังผลของกระแสไฟฟ้า
 = มุมเฟส
สาหรับ VI จะเรียกว่า กาลังปรากฏ ( apparent power ) และค่าของ cos  มีชื่อเรียกว่า ตัว
ประกอบกาลัง(power factor) เพราะเป็นตัวคูณ VI ซึ่งจะทาให้กาลัง P มีค่ามากก็ได้ น้อยก็ได้ ตัว

ประกอบกาลังนี้มีค่าจาก 0 ถึง 1 (cos 90 = 0 และ cos 0  = 1) ดังนั้น สาหรับ VI ค่าหนึ่งๆถ้า  =
 
90 (ในกรณีที่วงจรเป็นชนิดเหนี่ยวนาล้วน หรือชนิดจุล้วน) กาลัง P จะเท่ากับศูนย์ ถ้า  = 0
กาลังไฟฟ้าที่ใช้จะมีค่ามากที่สุด (เท่ากับ VI)

สาหรับตัวจุมี  = 90 ดังนั้นกาลังไฟฟ้าที่ใช้

=
P = VI cos 90 0

ตัวเหนี่ยวนาซึ่งไม่มีความต้านทานเลย  = 90 กาลังไฟฟ้าที่ใช้

P = VI cos 90 = 0

สาหรับตัวต้านทาน(R) มี  = 0 จะใช้กาลังไฟฟ้า
P = VI cos 0 = VI
จึงสรุปได้ว่า ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งมี R L และ C ต่อกันอยู่ ไม่ว่าจะต่อกันใน
แบบใดกาลังไฟฟ้าจะใช้ที่ R เท่านั้น ดังนั้น เมื่อจะคิดกาลัง ก็คิดเฉพาะที่ R เท่านั้นเอง คือ
P = VI cos  = VI cos 0 = VI
= (IR) I = I2 R
หรือ = VV 
  = V2
R R
ดูตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง วงจรไฟฟ้ากระแสสลับประกอบด้วย R L และ C ต่ออนุกรมกันอยู่ระหว่างสอง
จุดซึ่งมีความต่างศักย์ 120 โวลต์ วงจรนี้มีความต้านทาน 75 โอห์ม และความชัด 150 โอห์ม ให้หา
กาลังไฟฟ้าที่ใช้ในวงจรนี้
วิธีทา
วิธีท1 ทาแบบคิดรวม เนื่องจากเป็นวงจรต่ออนุกรม จึงมีเวกเตอร์ของ R และ Z ดังรูป
ี่

33. 33
รูป เวกเตอร์แสดงความต่างเฟส
V 120 4
I = = = = 0.8 แอมแปร์
Z 150 5
กาลังที่ใช้ P = VI cos 
75
= 1200.8
150
= 48 วัตต์
วิธีท2 คิดเฉพาะที่ R เท่านั้น เพราะกาลังไฟฟ้าถูกใช้ที่ R เพียงอย่างเดียว
ี่
กาลังไฟฟ้าที่ใช้ P = I2 R = (0.8) 2 75 = 48 วัตต์ ตอบ
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า การคิดกาลังจากความต้านทานอย่างที่ทาให้วิธีที่ 2 สะดวกกว่า
คิดรวมอย่างที่ทาในวิธีที่ 1 แม้ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับที่มี R L และ C ต่อกันในแบบผสม
การคิดหากาลังไฟฟ้าก็อาจทาได้โดยแยกคิดเฉพาะที่ R ส่วนที่ L และ C นั้นไม่ใช้กาลัง ถ้ามี R
หลายตัว ก็คิดหากาลังจาก R แต่ละตัวโดยเฉพาะแล้วนามารวมกันเป็นกาลังไฟฟ้ารวมที่ใช้
ทั้งหมด ดูตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง ตัวต้านทาน R 1 = 3 โอห์ม R 2 = 6 โอห์ม ตัวจุและตัวเหนี่ยวนาต่อกันในแบบ
ผสมดังแสดงในรูป 19.35 ปลาย AB ต่อกับไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งมีความต่างศักย์ 100 โวลต์ ทาให้
ตัวจุมี X c = 4 โอห์ม และตัวเหนี่ยวนามี X L = 8 โอห์ม ให้หาค่าของกาลังไฟฟ้าที่ใช้ทั้งหมด

34. 34
รูป วงจรไฟฟ้าซึ่งประกอบด้วย R L และ C
วิธีทา โจทย์นี้ได้ทามาแล้วในตัวอย่างของการต่อ R L และ C แบบผสม ผิดกันแต่ที่ในตอนนั้น
ให้หาค่าของกระแสไฟฟ้าและมุมเฟสเท่านั้น แต่ในตอนนี้จะหากาลังไฟฟ้า
วิธีที่1 ทาโดยคิดรวมทั้งหมดโดยพิจารณาจากกาลังที่ใช้ทั้งหมด P = VI cos  ใช้ค่าของ
กระแสไฟฟ้ารวม I และ  ที่ทาไว้แล้วในตอนต้นนั้นซึ่งได้
กระแสรวม I = 19.7 แอมแปร์
cos  = 18
= 18
(จากรูป 19.26)
1 19.7
กาลังที่ใช้ทั้งหมด P = VI cos  = 10019.7 18
= 1,800 วัตต์
19.7
วิธีนี้ถ้าทาจากเริ่มต้นทุกอย่างโดยไม่ยกตัวเลขมาอ้างแบบนี้ จะยาวมาก
วิธีที่ 2 คิดในสาย CD มี R 1 = 3 โอห์ม และ X c = 4 โอห์ม ต่ออนุกรมกัน
ความขัดของสายนี้ Z 1 = 32  42 = 5 โอห์ม
V 100
กระแสไฟฟ้าในสายนี้ I 1 = = = 20 แอมแปร์
Z1 5
กาลังซึ่งใช้ที่ R 1 คือ P 1 `= I 12 R 1 = 202  3 = 1,200 วัตต์

35. 35
คิดในสาย EF มี R 2 = 6 โอห์ม และ X L = 8 โอห์ม ต่ออนุกรมกันดังนั้น
ความขัดของสายนี้ Z 2 = 62  82 = 10 โอห์ม
V 100
กระแสไฟฟ้าในสายนี้ I 2 = = = 10 แอมแปร์
Z2 10
กาลังซึ่งใช้ที่ R 2 คือ P 2 = I2 R2 =
2 102  6 = 600 วัตต์

กาลังซึ่งใช้ที่ X L = V 2 I 2 cos 90 = 0
ดังนั้น กาลังไฟฟ้าที่ใช้ทั้งหมด = P 1 + 0 +P 2 + 0 = 1,200+600
= 1,800 วัตต์
9. การใช้ปริมาณเชิงซ้อนในไฟฟ้ากระแสสลับ
ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับความต่างศักย์และกระแสในตัวเหนี่ยวนาและตัวจุมีความต่าง

เฟสกันอยู่ 90 เมื่อนาค่าเหล่านี้มาเขียนเป็นแผนภาพแสดงเฟส (phasor diagram) จะได้ทิศดัง
แสดงในแผนภาพ รูปจะเห็นว่าถ้าเขียน I ซึ่งเป็นกระแสผ่านวงจรให้อยู่ในแนวแกน X ความต่าง
ศักย์ V L จะอยู่ในแนว
รูป แผนภาพแสดงเฟส รูป แผนภาพแสดง I V L และ V C ในระนาบเชิงซ้อน

36. 36
แกน + Y และความต่างศักย์บนตัวจุ V C จะอยู่ตามแนวแกน – Y ทิศของ V L และ V C จะมีทิศ
เป็นอย่างอื่นไม่ได้ ถ้า I อยู่ในแนว + X
ด้วยลักษณะสาคัญนี้ จึงได้นาหลักของจานวนเชิงซ้อน (complex number) มาใช้กับ
ไฟฟ้ากระแสสลับ โดยให้กระแสอยู่ตามแกนจริง (real axis) และ V L อยู่ในแนวแกนจินตภาพ
บวก (imaginary axis) คือ + j และ V C อยู่ในแนวแกนจินตภาพลบคือ – j ดังรูป
การหาขนาดและเฟสจะหาได้ตามวิธีของเลขเชิงซ้อน เพื่อให้ทราบว่า V L และ V C มี
ทิศเป็น + j และ – j ตามลาดับ จึงต้องกากับด้วย + j และ – j ไว้ด้วยในการคานวณ
1. วงจร R L C ต่อแบบอนุกรม
เมื่อมีกระแส I ผ่านวงจร จะเกิดความต่างศักย์เป็น V R V L V C บนตัวต้านทานตัว
เหนี่ยวนา และตัวจุ ตามลาดับ ดังรูป เมื่อเทียบค่า Vรวม ของวงจรทั้งหมดตามหลักของจานวน
เชิงซ้อน จะได้ความต่างศักย์รวม
รูป ความต่างศักย์บนวงจรอนุกรม รูป แผนภาพแสดงเฟสในระนาบเชิงซ้อน
V = V R + jV L - jV C
หรือ V = V R + j(V - V C )
L
ให้สังเกตด้วยว่า V R เป็นจานวนจริง เพราะ V R กับ I มีเฟสเดียวกัน เขียนแผนภาพ
แสดงเฟสของสมการ (19.16) และ (19.17) ในระนาบเชิงซ้อน (complex plane) จะได้ดังรูป ขนาด
ของรูป V จะเท่ากับกรณีที่สองของผลบวกของกาลังของส่วนจริงและส่วนจินตภาพคือ
= VR2  VL  VC 
2
V
เฟส () ของ V เทียบกับแกนจริงตามสมการ (20.17) จะได้
 = tan 1 [ส่วนจินตภาพ / ส่วนจริง]

37. 37
tan 1  VL  VC 
 
นั่นคือ  =
 VR 
ให้สังเกตด้วยว่า  เป็นบวกเมื่อ V L > V C และ  เป็นลบเมื่อ V L < V C ค่าของ  มี
 
ตั้งแต่ + 90 ถึง - 90
ตัวอย่าง จงหาขนาดและเฟสของความต่างศักย์รวมของวงจรอนุกรมของตัวต้านทานตัว
เหนี่ยวนา และตัวจุ เมื่อ R = 2 , X L = 3 และ X C = 4 โดยมีกระแสไฟฟ้าในวงจร 1
แอมแปร์
วิธีทา VR = 21 = 2โวลต์
VL = 31 = 3 โวลต์
VC = 41 = 4 โวลต์
จาก V = V R + j(V L - V C )
แทนค่า V R V L และ V C จะได้
V = 2 + j (3-4) = (2- j ) โวลต์
หาขนาดได้คือ V = 2 2  12 = 5 โวลต์
เฟสของ V เมื่อเทียบกับแกนจริง
 = tan 1  1 
 
 2

= -26.5

นั่นคือ V มีเฟสตามหลัง I หรือ V R เป็นมุม 26.5
เนื่องจากกระแส I ผ่านวงจรอนุกรมของ R L C ความต่างศักย์บน R L C จะคานวณ
ความต่างศักย์ได้จากผลคูณของกระแส j กับความต้านทานหรือความต้าน ดังนั้นสมการของ V
จึงเขียนได้เป็น
V = IZ = IR + jIX L - jIX C
หรือ Z = R + jX L - jX C
เมื่อ Z = ความขัดของวงจร
นาสมการ มาเขีย นในระนาบเชิงซ้อน โดยให้ R มีเฟสอยู่ในแนวแกนจริง จะได้ผลดัง
รูป

38. 38
รูป แผนภาพของความขัด
เฟสของ X L อยู่ตามแนวแกนจินตภาพบวก X C อยู่ตามแนวแกนจินตภาพลบ
จากสมการ (19.20) ขนาดของ Z คือ
Z = R 2   X L  X C 2
หาเฟสของ Z เมื่อเทียบกับ R หรือแกนเลขจริงจาก
 
 = tan 1  X L  X C 
 
 R 
ตัวอย่าง วงจรอนุกรมของตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนา และตัวจุซึ่งมีค่า R = 2 , X L =
3 , และ X C = 4 จงหาความขัดของวงจร และเฟสของความขัด
วิธีทา สมการของความขัดของวงจรอนุกรม R L C เขียนได้เป็น
Z = R + jX L - jX C
= 2 + j3 – j4 = 2- j
หรือ Z = 2 2  12 = 5 โอห์ม
เฟสของ Z เทียบกับ R คือ
 = tan 1  X L  X C 
 
 R 
= tan 1  1 
 
 2

39. 39

= -26.5

นั่นคือ Z มีเฟสตามหลัง R เป็นมุม 26.5
2. วงจร R L C ต่อแบบขนาน
รูป R L C ต่อแบบขนาน
เมื่อต่อความศักย์ V ระหว่างจุด AB วงจรดังรูป จะมีกระแสผ่าน R L และ C ที่มีเฟส
ดังนี้
กระแส I R ผ่าน R จะมีเฟสตรงกับ V

กระแส I L ผ่าน L มีเฟสตามหลัง V เป็นมุม 90 และกระแส I C ผ่าน C จะมีเฟส

นาหน้า V เป็นมุม 90 เมื่อเขียนแผนภาพของเฟสเชิงซ้อนของกระแสเหล่านี้ ตามวิธีของจานวน
เชิงซ้อนจะได้ผลดังแสดงในรูป
รูป แผนภาพของกระแสในวงจร R L C ต่อแบบขนาน
เมื่อเขียนค่ากระแสรวม I ของวงจรตามหลักของจานวนเชิงซ้อน จะได้

40. 40
I = I R + jI C - jI L
= I R + j(I C - I L )
ขนาดของ I หาได้จาก
= I R  I C  I L 
2 2
I
ความต่างเฟสของ I เทียบกับ I R หรือ V คือ
 
มุม  มีค่าอยู่ระหว่าง + 90 0 - 90
สมการของความขัดของวงจร R L C ต่อแบบขนานจะหาได้จากสมการ โดยอาศัย
ความสัมพันธ์ตามกฎของโอห์ม I = V และเขียนได้ดังนี้
R
V V V V
=  j j
Z R XC XL
1 1  1 1 
หรือ =  j
X  
Z R  C XL 

เมื่อนาสมการ มาเขียนในระนาบเชิงซ้อน จะได้ผลดังแสดงในแผนภาพของรูป
รูป แผนภาพแสดงเฟสของความขัดของวงจร R L C ต่อแบบขนาน

41. 41
1
ขนาดของ คานวณได้จาก
Z
2
1  1 1 
2
1
=     
Z  R   XC XL 
 
1 1
ความต่างเฟสของ เทียบกับ คือ
Z R
 1 1 
X  X 
 = tan 1  C L

 1 
 
 R 
 
มุม  มีค่าอยู่ระหว่าง + 90 0 - 90
การหาความต่างเฟสของความขัด Z ของวงจรอาจหาได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของความต่าง
1 1
เฟสของ ให้ตรงกันข้าม เช่น เมื่อความต่างเฟสของ เขียนได้ว่า
Z Z
 1 1 
X  X 
1 = tan 1  C L

Z  1 
 
 R 
ความต่างเฟสของ Z จะเขียนได้เป็น
  1 1 
 
 X  X 
Z = tan 1   C L 
 1 
 
 R 
 
จะไม่พิสูจน์วิธีการนี้ ณ ที่นี้ ผู้ที่สนใจอาจศึกษาได้จากเรื่องการเขียนแผนภาพแสดงเฟสแบบเชิง
ขั้ว(polar) จากตาราวิชาไฟฟ้ากระแสสลับขั้นก้าวหน้าทั่วไป
ตัวอย่าง วงจร R L C ต่อแบบขนานมีค่า R = 40 , X L = 60 และ
X C = 24
ก. จงคานวณค่าความขัดของวงจร Z และเฟสของ Z