Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Асланов Владимир Степанович                   aslanov_vs@mail.ruАналитические методы исследования динамики космических апп...
1. Постановка задачиИзучается влияние упругой тросовой системы на движение космическогоаппарата (КА) методами регулярной и...
Пример космической тросовой системы (КТС)                  Схема динамического развѐртывания КТС                       "Фо...
1. Постановка задачи                           Цель работы1.   Построение простых математических моделей плоского движения...
2. Уравнения движенияКинетическая энергия                   T    TC T0 T1 T2      1                   1 2                 ...
2. Уравнения движения                                  Приближенные уравнение движение КТС                                ...
2. Уравнения движения                               Движение КТС по эллиптической орбите                                  ...
2. Уравнения движения                     Уравнения упругих колебаний тросаПусть точка схода троса совпадает с центром мас...
2. Уравнения движения              Движение упругого троса вблизи местной вертикали                                    Доп...
3. Приближенные аналитические решения                                 Уравнение возмущенного движенияУравнение движение КА...
3. Приближенные аналитические решения      Адиабатический инвариант и приближенные решения при T     T( ) и   ( )Уравнение...
3. Приближенные аналитические решения  Пусть сила натяжения троса и еѐ направление медленно меняются во времени           ...
3. Приближенные аналитические решения                    Результаты моделирования для YES-2Траектория развертывания КТС   ...
3. Приближенные аналитические решения          Линеаризованное уравнение движение КА под действием             гравитацион...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом   Уравнения движения КА с упругим вертикальным тросом ...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом                           Уравнение невозмущенного дви...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом      Типы КА         Бифуркационная диаграмма  1   cos...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом    Гомо- гетероклинические траектории (сепаратрисные р...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом                                         Метод Мельнико...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом    Несобственные интегралы, входящие в функцию Мельник...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом                    Сечения Пуанкаре Масса груза 20кг  ...
4. Хаотические колебания КА с вертикальным                   тросом                       Численное моделирование  Парамет...
Основные результаты опубликованы в                  следующих статьях1. Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросово...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Аналитические методы исследования динамики космических аппаратов с тросовыми системами

1,926 views

Published on

Материалы семинара

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Аналитические методы исследования динамики космических аппаратов с тросовыми системами

  1. 1. Асланов Владимир Степанович aslanov_vs@mail.ruАналитические методы исследования динамики космических аппаратов с тросовыми системами Кафедра теоретической механики www.termech.ruСамарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королѐва www.ssau.ru 2012 год
  2. 2. 1. Постановка задачиИзучается влияние упругой тросовой системы на движение космическогоаппарата (КА) методами регулярной и хаотической динамикиКосмическая тросовая система (КТС)включает в себя: - абсолютно твердый КА, - упругий весомый трос, - концевой грузДинамику вращающихся КА изучали выдающие ученые: В.В.Белецкий, В.А.Ярошевский, В.В.Румянцев, В.А.Сарычеви другие. Исследованию поведения космических тросовых систем посвящены работы: В.В.Белецкого и Е.М.Левина,И.М.Сидорова, А.В.Пироженко, P. Williams, Kruijff M., A.Misra и других. 2
  3. 3. Пример космической тросовой системы (КТС) Схема динамического развѐртывания КТС "Фотон-М" №3 – YES2" (2008 г.)Начальные условия и параметры:предельная длина троса – 30 км;погонная плотность троса – 0.18 кг/км;масса троса – 5.4 кг;диаметр троса – 0.5 мм;жѐсткость троса – 5 кН;коэффициент демпфирования – 0.06;масса КА – 6300 кг;масса груза – 12 кг;Баллист. коэффициент КА – 0.0123 м2/кг.Начальные координаты и скорости КАв гринвичской системе координат:x0=-3724.741км, y0=5492.645км, z0=0км,VX0=-2503.02м/с, VY0=-1718.50м/с, VZ0=6912.06 м/с.Груз отделяется от КА по местной вертикали внизс начальной относительной скоростью Vr0=2.58 м/с. 3
  4. 4. 1. Постановка задачи Цель работы1. Построение простых математических моделей плоского движения КА относительно центра масс для учета влияния упругой и тяжелой тросовой системы.2. Вывод приближѐнных аналитических решений, описывающих колебания КА, вызванных изменением величины и направления силы натяжения троса.3. Получение приближѐнной оценки уровня микроускорений, возникающих на борту КА в процессе развѐртывания троса.4. Построение моделей хаотического поведения КА, вызванного действием сил упругости троса. 4
  5. 5. 2. Уравнения движенияКинетическая энергия T TC T0 T1 T2 1 1 2 1 T  m( r 2 r  ) 2 2 mi i2 C0 (  ) 2 C (  1 ) 2 (1) 2 2i0 2где ρi ri r, i 0,1,2; q j , , , l , r - обобщенные координатыПотенциальная энергия 2 mi 3 m1l 2 cW A B cos 2 cos 2 (l l0 )2 (2) i 0 ri 2r03 8r13 2Уравнения Лагранжа второго рода d L L Qj D0 P, l PD2  dt q j qjгде L T W - Функция Лагранжа, Qj - непотенциальные силы 5
  6. 6. 2. Уравнения движения Приближенные уравнение движение КТС Допущения /l 1, l / r 1 C0  C0 m l cos( )  m l cos( )  m sin( ) f1 (l, , , ) Q l (3) m l cos( )  I m l cos( )  f 2 (l, ,  , , ) Q (4) sin( )    f (l, ,  , , ) Ql l 3 (5) m mr 2 C0 I  C  I  0 f 3 (l, , r , , )  Q (6) 3 I 9  r  2 r 2 4 1 3cos 2 4 A B cos 2 Qr (7) r 2mr 2mrm m0 m2 / m, I m l2 6
  7. 7. 2. Уравнения движения Движение КТС по эллиптической орбите p p r  nk 2 n p 3 1 e cos k dЗамена переменной t на угол истиной аномалии θ: dt 2 n 1 e cos Q C0 k 2e sin m l cos( ) k 2e sin m sin( )kl f1* ( , , , , l ,) (8) n2 k 3 Q m l cos( ) k 2e sin Ik f 2* ( , , , , , l ,) (9) n2 k 3 Ql sin( )k kl f3* ( , , , , , l ,) (10) m n2 k 3 7
  8. 8. 2. Уравнения движения Уравнения упругих колебаний тросаПусть точка схода троса совпадает с центром масс КА : 0 Q 0 l 3 e 2 1 sin cos 2 1 sin (11) l k k c l 2 e l 2 4 l l0 1 3cos 2 l 1 2 l sin (12) mn k k kПри малом эксцентриситете орбиты может наблюдаться хаос длянерастяжимого троса (Misra A.K. Dynamics and control of tethered satellitesystems // Acta Astronautica. 2008. V.63. P. 1169–1177).Упругий трос вызывает хаос при движении КТС по круговой орбите. 8
  9. 9. 2. Уравнения движения Движение упругого троса вблизи местной вертикали Допущение O A B 3 sin cos J 1 L sin 2 L cos 2e 1 sin (13) kC c 2L 2 4 L 1 3 sin 1 cos 2e cos L sin (14) nk m l m l02 2 , L , J , C C0 m0 l l0 C 9
  10. 10. 3. Приближенные аналитические решения Уравнение возмущенного движенияУравнение движение КА под действием силы натяжения и гравитационногомомента C  T sin( ) 3n 2 ( B A) sin cos (15)где - угол между продольной осью тела и местной вертикалью T T( ) ( )A, B, C - моменты инерции КА3n 2 ( B A) sin cos - гравитационный момент t - медленное время - малый параметр CA 10
  11. 11. 3. Приближенные аналитические решения Адиабатический инвариант и приближенные решения при T T( ) и ( )Уравнение движение КА под действием силы натяжения  ( )sin ( )cos sin 2 (16)где 2 ( ) ( ) cos ( ), 2 ( ) ( ) sin ( ), 3 2 n B A / C, 2 2 ( ) T( ) / CОбщее решение в эллиптических функциях при 0 2arcsin sn( t K (k ), k ) (17) 11
  12. 12. 3. Приближенные аналитические решения Пусть сила натяжения троса и еѐ направление медленно меняются во времени T T ( ), ( )• адиабатический инвариант J ( , k) E (k ) (1 k 2 ) K k const (18)• приближенное аналитическое решение 2 3 h 1 h 1 h min,max t (t )  2 arcsin 2 ... (19) (t ) 2 (t ) 4 (t )где h constЕсли разница углов мала, тогда решение имеет вид min,max t (t )  A0 0 (20) (t )где A0 - произвольная постояннаяМаксимальная величина микроускорения в точке, удаленной на расстояниеd от центра масс КА x0 d 3/4 (21) Wmax (t ) 4 T0 T (t ) C 12
  13. 13. 3. Приближенные аналитические решения Результаты моделирования для YES-2Траектория развертывания КТС Угол отклонения троса от вертикали и сила натяженияКолебания КА относительно Микроускорение на борту КА для точки,центра масс удаленной на d=1м 13
  14. 14. 3. Приближенные аналитические решения Линеаризованное уравнение движение КА под действием гравитационного момента и силы натяжения  a( ) c b( ) 0 (22) B Aгде a ( ) T ( ) cos ( ), b( ) T ( ) sin ( ), c 3n 2 0 C C C Приближенное решение для амплитуды колебаний КА const C T (t ) sin (t ) max (t ) (23) 2 T (t ) cos (t ) 3n ( B A) T (t ) cos (t ) 3n 2 ( B A) 14
  15. 15. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Уравнения движения КА с упругим вертикальным тросом на круговой орбите A B 3 sin cos J 1 L sin 2 L cos (24) kC c 2 L 2 4 L 1 3 sin 1 cos (25) nk m L0Приближенный закон изменения длины троса (δ=0) L L1 sin 2 1 c 3где L1 2 n m 3Трос всегда будет находится в растянутом положении (L>1), если L0 Уравнение возмущенного движения КА вокруг центра масс a sin c sin cos sin sin 2cos cos (26) m l0 B A m l0 L0 где a , c 3 , - малый параметр C m1 2 C m1 2 C m1 2 15
  16. 16. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Уравнение невозмущенного движения a sin c sin cos (27) 2Интеграл энергии W( ) E 2Положения равновесия определяются как корни уравнения c B A 1 3 2 1 cos sin 0, (28) a m2l0 ES для * ,0 0, * 1 arccos для остальных положний * , 0, 16
  17. 17. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Типы КА Бифуркационная диаграмма 1 cos sin 0
  18. 18. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Гомо- гетероклинические траектории (сепаратрисные решения)k c/a Уравнения для траектории1 d 2 d sinh t 1 (t ) 2arctg , (t ) (  )  , a c a c, d cosh t (cosh t ) 2 d 2 a2 1, 2 d cosh t (t ) 2arctg d sinh t , (t ) (  )  , a a c, d 1 d 2 sinh 2 t a c 13 2 cosh t 0 (t ) 2arctg sinh at , (t ) (  ) , a 1 sinh 2 t t sin S (t ) 2arctg tg S th , (t ) (  ) , 2 2 cosh t cos4 1 S 1 c2 a2 a S arccos , ,d c c t sin S (t ) 2arctg ctg S th , (t ) (  ) .5 2 2 cosh t cos S 1 1 c2 a2 a S arccos , , d c c 18
  19. 19. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Метод МельниковаУравнение возмущенного движения КА – обобщенное уравнение Дюффинга  a sin c sin cos sin sin t . (29)Уравнения в форме Мельникова  f1 g1 , (30)  f2 g2 , (31)где f1 , g1 0, f 2 a sin c sin cos , g2 sin sin tФункция Мельникова M (t0 ) ( f1 g2 f 2 g1 )dt M M , (k ) (k ) (k ) M sin sin (t t0 )dt I ( k ) sin( t0 ) (k ) (k ) 2 M ( ) dt J ( k ) , k 1,2...5Условие отсутствия хаоса M M 19
  20. 20. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Несобственные интегралы, входящие в функцию Мельникова для различных типов движения 2 (1) 2 sinh 2 (1) 2 sinh I 2d sin 1 d , J 4d d (cosh 2 d 2 )2 cosh 2 d2 2 (2) 2 sinh 2 (2) 2 cosh I d sin 2 d , J 4d d (d 2 sinh 2 1)2 1 d 2 sinh 2 2 (3) sinh 2 (3) cosh I sin 2 d , J 4 d (sinh 2 1)2 1 sinh 2 2 sinh sin S I (4) (1 d 2 ) sin 4 d , J (4) d (cosh d )2 cosh cos S 2 (5) 2 sinh (5) sin S I (1 d ) sin 5 d , J d (cosh d )2 cosh cos S где i / , t Условие отсутствия хаоса M M 20
  21. 21. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Сечения Пуанкаре Масса груза 20кг Масса груза 100кг Масса груза 100кг 0 0 5 10 4 21
  22. 22. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным тросом Численное моделирование Параметры КТС: масса КА – 6000кг, масса груза – 100 кг, р=6621 км, Δ=2м,Е=5000Н, масса груза 100км, Длина троса 30км, моменты инерции: А=2500кгм2, В=С=10000кгм2, начальная скорость груза-1м/с (случай к=2). Функция Мельникова 22
  23. 23. Основные результаты опубликованы в следующих статьях1. Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника,Прикладная математика и механика т.74, вып. 4, 582-593, 2010.2. Aslanov V. Oscillations of a Spacecraft with a Vertical Elastic Tether, AIP Conference Proceedings1220, CURRENT THEMES IN ENGINEERING SCIENCE 2009: Selected Presentations at the WorldCongress on Engineering-2009, Published February 2010; ISBN 978-0-7354-0766-4, One Volume, pp.1-16.3. Aslanov V. Oscillations of a Spacecraft with a Vertical Tether. Proceedings of the World Congress onEngineering 2009 v. 2, pp. 1827-1831.4. Асланов В.С. Колебания тела с орбитальной тросовой системой // Прикладная математика имеханика. 2007. Т.71. Вып. 6. С. 1027-1033.5. Aslanov V. The Oscillations of a Spacecraft under the Action of the Tether Tension. Moment and theGravitational Moment AIP (American Institute of Physics) Conf. Proc. September 1. 2008. v. 1048. 56-59p. (ISBN: 978-0-7354-0576-9 )6. Асланов В.С., Стратилатов Н.Р. Малые колебания осесимметричного космического аппаратас тросовой системой, Вестник СамГУ – Естественнонаучная серия. Механика. № 6 (65), 2008, 202-208.7. Aslanov V. S. Chaotic behavior of the biharmonic dynamics system. International Journal ofMathematics and Mathematical Sciences Volume 2009, Article ID 319179, 18 pagesdoi:10.1155/2009/319179. 2009.8. Асланов В. С. Колебания КА с упругим вертикальным тросом на орбите. Известия РАН«Механика твердого тела», №5. 2011, с. 3-15.9. V. S. Aslanov and A. S. Ledkov, Chaotic Oscillations of Spacecraft with an Elastic RadiallyOriented Cable, ISSN 00109525, Cosmic Research, 2012, Vol. 50, No. 2, pp. 188–198.Communications, 25, n 4, 371-9 (1998). 23

×