Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Astro formulas
1. АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Составитель – Р. У. Ибатуллин
Последняя версия — 31 октября 2014 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. КОНСТАНТЫ, МЕРЫ, КООРДИНАТЫ................................................................................2
А. Константы.............................................................................................................................2
Б. Меры расстояния..................................................................................................................2
В. Меры времени.......................................................................................................................2
Г. Меры массы...........................................................................................................................2
Д. Меры мощности и энергии..................................................................................................3
Е. Меры давления......................................................................................................................3
Ж. Системы координат.............................................................................................................3
2. ЗВЁЗДЫ......................................................................................................................................5
А. Звёздная величина и светимость.........................................................................................5
Б. Температура, радиус, масса, спектральный класс.............................................................6
В. Время жизни.........................................................................................................................8
3. ПЛАНЕТЫ................................................................................................................................10
А. Размер орбиты....................................................................................................................10
Б. Эксцентриситет...................................................................................................................12
В. Орбитальный период..........................................................................................................13
Г. Осевой период.....................................................................................................................14
Д. Масса, плотность, тяготение.............................................................................................15
Е. Альбедо и яркость..............................................................................................................17
Ж. Спутники............................................................................................................................19
З. Приливы...............................................................................................................................21
И. Планеты как эллипсоиды..................................................................................................22
К. Столкновения с астероидами............................................................................................23
Л. Химический состав планет................................................................................................26
4. УСЛОВИЯ НА ПЛАНЕТАХ..................................................................................................28
А. Состав атмосферы..............................................................................................................28
Б. Давление и плотность атмосферы.....................................................................................29
В. Температура на поверхности.............................................................................................31
Г. Тектоника............................................................................................................................33
Д. Магнитное поле..................................................................................................................33
5. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ..........................................................................................35
А. Искривление пространства-времени................................................................................35
Б. Чёрные дыры.......................................................................................................................36
В. Космология.........................................................................................................................37
6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ.........................................................................................40
А. Аккреция.............................................................................................................................40
Б. Самогравитация..................................................................................................................41
В. Гравитация несферических тел.........................................................................................42
Список литературы......................................................................................................................44
1
2. 1. КОНСТАНТЫ, МЕРЫ, КООРДИНАТЫ
А. Константы
Гравитационная постоянная
G = 6,67428 · 10-11
м3
кг-1
с-2
Скорость света
c = 299 792 458 м/с
Постоянная Стефана-Больцмана
σ = 5,6704 · 10−8
Вт · м-2
· K-4
Универсальная газовая постоянная
ℜ = 8,31 Дж / (моль·К)
Б. Меры расстояния
1 радиус Земли* (Rзем) = 6,371 ·106
м = 0,09 Rюп = 0,009 Rсол
1 радиус Юпитера* (Rюп) = 6,991 ·107
м = 10,97 Rзем = 0,10 Rсол
1 радиус Солнца* (Rсол) = 6,96 ·108
м = 109 Rзем = 9,96 Rюп
1 астрономическая единица (а. е.) = 1,496 · 1011
м = 1,58 · 10-5
св. г. = 4,85 · 10-6
пс
1 световой год (св. г.) = 9,461 · 1015
м = 63 240 а. е. = 0,3066 пс
1 парсек (пс) = 3,086 · 1016
м = 206 265 а. е. = 3,262 св. г.
* Волуметрический средний.
В. Меры времени
1 календарные сутки (сут) = 8,64 · 104
с
1 григорианский год (г) = 365,2425 сут = 3,1557 · 107
с
Г. Меры массы
1 масса Земли (Мзем) = 5,9736 ·1024
кг = 3 · 10-3
Мюп = 3 ·10-6
Мсол
1 масса Юпитера (Мюп) = 1,8986 ·1027
кг = 317,8 Мзем = 9,5 ·10-4
Мсол
1 масса Солнца (Мсол) = 1,9891 ·1030
кг = 332 946 Мзем = 1048 Мюп
2
3. Д. Меры мощности и энергии
1 светимость Солнца (Lсол) = 3,842 · 1026
Вт
1 джоуль (Дж) = 2,390 · 10-10
т ТНТ = 6,242 · 1018
эВ
1 тонна тротилового эквивалента (т ТНТ) = 4,184 · 109
Дж
1 электрон-вольт (эВ) = 1,602 · 10-19
Дж
Е. Меры давления
1 паскаль (Па) = 10-5
бар = 9,8692 · 10−6
атм = 7,5006 · 10−3
мм рт. ст.
1 бар = 100 000 Па = 0,98692 атм = 750,06 мм рт. ст.
1 атмосфера (атм) = 101 325 Па = 1,01325 бар = 760 мм рт. ст.
1 мм рт. ст. = 133,32 Па = 1,3332 · 10−3
бар = 1,3158 · 10−3
атм
Ж. Системы координат
Экваториальная на небесной сфере: прямое восхождение α (или часовой угол H),
склонение δ.
Экваториальная на земной поверхности: долгота λ, широта φ.
Горизонтальная: азимут A, высота a.
Переход от экваториальной системы к горизонтальной
sin a=sin ⋅sin cos ⋅cos⋅cos H (1.Ж.1а)
cos A⋅cosa=cos⋅sin −sin ⋅cos ⋅cos H (1.Ж.1б)
sin A⋅cos a=−cos⋅sin H (1.Ж.1в)
Переход от горизонтальной системы к экваториальной
sin=sin⋅sin acos⋅cosa⋅cos H (1.Ж.2а)
cos H⋅cos=cos⋅sin a−sin ⋅cosa⋅cos A (1.Ж.2б)
sin H⋅cos=−cosa⋅sin A (1.Ж.2в)
Часовой угол
H = TS – α (1.Ж.3)
где TS – местное звёздное время, выраженное в тех же единицах, что H и α (часах или
градусах).
Склонение Солнца
сол=−I⋅cos360
o
⋅
n
N
(1.Ж.4)
3
4. где I = 23,45° – угол наклона земной оси,
N = 365 – число дней в году,
n – число дней, прошедших от последнего зимнего солнцестояния (= 10 + номер текущего
дня в году).
Высота Солнца над горизонтом в полдень
aсол=90o
−сол (1.Ж.5)
Продолжительность светового дня (от восхода до заката)
Tдч=2arccostg ⋅tgсол/15
o
(1.Ж.6)
Азимуты точек восхода и захода
Aвосх=180
o
−Aзах=arccos
sin сол
cos
(1.Ж.7)
4
5. 2. ЗВЁЗДЫ
А. Звёздная величина и светимость
Абсолютная визуальная звёздная величина
Mвиз
= mвиз
+5 – 5 log10 ( D / 1 пс ) =
= 4,82 – 2,5 log10 ( F / Fсол ) (2.А.1а)
где mвиз
– относительная (наблюдаемая) визуальная звёздная величина,
D – расстояние до звезды,
F – световой поток от звезды,
Fсол – световой поток от Солнца: 3,469 · 1028
люмен.
Относительная визуальная звёздная величина
mвиз
= Mвиз
– 5 + 5 log10 ( D / 1 пс ) =
= 5 log10 ( D / 1 пс ) – 2,5 log10 ( F / Fсол ) – 0,17 (2.А.1б)
Световой поток
F = Fсол · 2,5124,83-M виз
=
= Fсол · ( D / 1 пс )2
· 2,512-0,17-m виз
(2.А.1в)
Абсолютная болометрическая (по всему спектру, включая невидимое глазом излучение)
звёздная величина
Mбол
= mбол
+5 – 5 log10 ( D / 1 пс ) =
= 4,75 – 2,5 log10 ( L / Lсол ) (2.А.2а)
где mбол
– относительная (наблюдаемая) болометрическая звёздная величина,
L – светимость звезды,
Lсол – светимость Солнца: 3,842 · 1026
Вт.
Относительная болометрическая звёздная величина
mбол
= Mбол
– 5 + 5 log10 ( D / 1 пс ) =
= 5 log10 ( D / 1 пс ) – 2,5 log10 ( L / Lсол ) – 0,25 (2.А.2б)
Светимость
L = Lсол · 2,5124,75-M бол
=
= Lсол · ( D / 1 пс )2
· 2,512-0,25-m бол
(2.А.2в)
Связь между визуальными и болометрическими звёздными величинами
Mбол
– Mвиз
= mбол
– mвиз
= BC (2.A.3a)
5
6. где ВС — болометрическая поправка (табличная величина, зависящая от спектрального
класса звезды; для Солнца BC = -0,07).
Связь между светимостью и световым потоком
F = Fсол · ( L / Lсол ) · 2,512BC + 0,07
=
= 96,29 лм · ( L / 1 Вт) · 2,512BC + 0,07
(2.A.3б)
Б. Температура, радиус, масса, спектральный класс
Связь светимости, температуры и радиуса
L=Lсол
( R
Rсол
)
2
⋅
( T
Тсол
)
4
(2.Б.1)
где L – светимость звезды,
R – радиус звезды,
Т – эффективная температура фотосферы звезды,
Тсол = 5778 К — эффективная температура фотосферы Солнца.
Таблица 2.Б.0а
Зависимость светимости от массы для звезд главной последовательности
Масса m = M / Мсол Светимость l = L / Lсол
>20 l = 1800 m
2 – 20 l = m3,5
0,43 – 2 l = m4
<0,43 l = 0.23 m2,3
Таблица 2.Б.0б
Зависимость массы от светимости для звезд главной последовательности
Светимость l Масса m
>36000 m = 5,6·10-4
l
11 – 36000 m = l 0,29
0,034 – 16 m = l 0,25
<0,034 m = 4,3 l 0,43
6
8. Эмпирическая формула (аппроксимация по данным таблицы 2.Б.2) для нахождения
абсолютной величины по температуре для звезд главной последовательности:
M = 6,296·10-7
x6
– 8,242·10-5
x5
+ 4,277·10-3
x4
– 0,112 x3
+ 1,557 x2
– 11,25 x + 34,94 (2.Б.2)
где x = T / 1000 K. Реальные значения могут отклоняться примерно на 1 зв. вел. в
большую или меньшую сторону.
Таблица 2.Б.3
Доля энергии, излучаемой звёздами в разных диапазонах
Спектральный класс Температура, К Доля светимости в диапазонах
инфракрасном видимом ультрафиоле-
товом
A0 10000 0,12 0,43 0,45
F0 7060 0,35 0,44 0,21
F5 6320 0,40 0,45 0,15
G0 5780 0,45 0,47 0,08
G2 5545 0,50 0,43 0,07
G5 5160 0,55 0,39 0,06
K0 4685 0,62 0,34 0,04
K5 4240 0,67 0,31 0,02
M0 3720 0,76 0,23 0,01
M5 2935 0,82 0,18 0
Коричневый карлик 2000 0,99 0,01 0
В. Время жизни
Время жизни звезды на главной последовательности
T = 10 млрд. лет · ( M / Mсол ) 1 - n
(2.В.1)
где M – масса звезды,
n – показатель, равный
n = 4,75 для звёзд массой (0,7 ... 2) · Мсол,
n = 3,75 · ( M / Мсол ) + 2,125 для звёзд массой (0,1 ... 0,7) · Мсол.
Светимость в момент вступления на главную последовательность
L0 = 0,71 Lсол · ( M / Мсол ) n
(2.В.2)
Зависимость светимости от времени
Lt=L0⋅e
t/T
4 /3
(2.В.3)
где t – время с момента вступления на главную последовательность.
Другая модель:
Светимость Солнца в прошлом
8
9. Lпрошл(t)=
Lнаст
1+0,4⋅(1−t /4,6 млрд. лет)
(2.В.4а)
где Lнаст — светимость Солнца в настоящем,
t – возраст Солнца с момента вступления на главную последовательность,
4,6 млрд. лет — текущий возраст Солнца.
Светимость Солнца в будущем (до схода с главной последовательности)
Lбуд(t)=Lнаст⋅
(5,59 млрд. лет
t
−1,41+0,26
t
1 млрд. лет) (2.В.4б)
Светимость белых карликов массой от 0,55 до 0,65 Mсол [Barnes]
log10 (L/ Lсол)=−2,478−0,7505t+0,1199t
2
−6,686 ˙10
−3
t
3
(2.B.5)
где t – время (в млрд. лет) с момента превращения звезды в белый карлик.
9
10. 3. ПЛАНЕТЫ
А. Размер орбиты
Обобщённое правило Тициуса-Боде
(эмпирическая формула)
a ≈ a0 + b · 2k
(3.А.1)
где а – большая полуось орбиты планеты (а. е.),
а0, b – параметры планетной системы,
k – порядковый параметр планеты: k = –∞, 0, 1, 2, ....
Для Солнечной системы
a ≈ 0,4 + 0,3 · 2k
(3.А.2)
Таблица 3.А.1
Планета k a
(согласно правилу)
а
(в действительности)
Меркурий –∞ 0,4 0,39
Венера 0 0,7 0,72
Земля 1 1,0 1,00
Марс 2 1,6 1,52
Церера 3 2,8 2,77
Юпитер 4 5,2 5,20
Сатурн 5 10,0 9,54
Уран 6 19,6 19,2
Плутон 7 38,8 39,44
Орбита Нептуна не соответствует правилу.
Максимальный допустимый радиус стабильной орбиты соседней планеты или астероида,
расположенного ближе к звезде, чем данная
rint=a[(1−ϵ)−nint
3
√ m
3 M ] (3.А.3а)
Минимальный допустимый радиус стабильной орбиты соседней планеты, расположенной
дальше от звезды, чем данная
rext=a[(1+ϵ)+next
3
√ m
3M ] (3.А.3б)
где a – большая полуось орбиты данной планеты,
ε — эксцентриситет орбиты данной планеты,
m – масса данной планеты,
М – масса звезды,
nint, next – коэффициенты, зависящие от эксцентриситета.
10
11. Рис. 3.А.1
Чертеж к формулам 3.А.3а-б
Рис. 3.А.2
График для нахождения коэффициентов nint, next
Внутренний и внешний радиусы обитаемой зоны (наименьшее и наибольшее расстояния
планеты от звезды, на которых планета пригодна для жизни)
rmin=1а.е.⋅
√L/ Lсол
S1(T)
, rmax=1а.е.⋅
√L/ Lсол
S2(T )
(3.А.4а-б)
где L – светимость звезды,
S1, S2 – функции температуры звезды (в кельвинах):
S1(T )=4,190⋅10
−8
T
2
−2,139⋅10
−4
T+1,296
S2(T )=6,190⋅10
−9
T
2
−1,139⋅10
−5
T +0,2341
(3.А.4в-г)
Формулы 3.А.3-4 и рис. 3.А.2 взяты из работы [Jones].
Другая модель [Barnes]
rmin=[rmin0−2,7619⋅10
−5
⋅(T −Tсол) a.e.−3,8095⋅10
−9
⋅(T −Tсол)
2
a.e.]( L/ Lсол)
1/2
(1−ϵ
2
)
−1/ 4
rmax=[rmax0−13,786⋅10
−5
⋅(T−T сол) a.e.−1,4286⋅10
−9
⋅(T−T сол)
2
a.e.](L/ Lсол)
1/2
(1−ϵ
2
)
−1/4
(3.А.5а-б)
где Tсол — температура Солнца (принятое в формуле значение — 5700 К),
rmin0, rmax0 – внутренний и внешний радиусы обитаемой зоны в Солнечной системе.
11
12. Радиус орбиты, на которой планета получает от звезды столько же энергии, сколько Земля
от Солнца (эффективный радиус)
r=1а.е.⋅√L/ Lсол (3.А.6)
Радиус «идеальной» орбиты (при котором планета максимальное время проводит в
экосфере)
r = 1,16 а. е. · ( M / Мсол )n/2
(3.А.7)
где M – масса звезды (Мсол),
n – показатель, равный
n = 4,75 для звёзд массой (0,7 ... 2) · Мсол,
n = 3,75 · ( M / Мсол ) + 2,125 для звёзд массой (0,1 ... 0,7) · Мсол.
Б. Эксцентриситет
Расстояние от планеты до звезды в произвольной точке орбиты
r=a
1−2
1cos
(3.Б.1а)
где ε – эксцентриситет,
θ – истинная аномалия (гелиоцентрическая угловая полярная координата).
Рис. 3.Б.1
Эллиптическая орбита
Расстояние до звезды в перицентре и апоцентре
rp = a ( 1 – ε ) (3.Б.1б)
ra = a ( 1+ ε ) (3.Б.1в)
Эксцентриситет и большая полуось, выраженные через расстояния в перигелии и афелии
=
ra−r p
rar p
(3.Б.1г)
12
13. a=
rar p
2
(3.Б.1д)
Орбитальная скорость в произвольной точке орбиты
v=
√G M (2
r
−
1
a) (3.Б.2а)
В удобных единицах
v=29,780км/с⋅
√ M
М сол
⋅(2
r
−
1
a)⋅1а.е.=
=19,961км/ с⋅
√ M
М зем
(2
r
−
1
a)⋅1тыс. км
(3.Б.2б)
Орбитальные скорости в перигелии и афелии
v p=
√G M
a
⋅
1+ϵ
1−ϵ
(3.Б.3а)
va=
√G M
a
⋅
1−ϵ
1+ϵ
(3.Б.3б)
Эти скорости могут быть выражены в удобных единицах с теми же коэффициентами, что
в формуле (3.Б.2а).
Компоненты вектора скорости в произвольной точке орбиты:
Трансверсальная
vθ = vp rp / r (3.Б.3в)
Радиальная
vr=±√v
2
−vθ
2
(3.Б.3г)
где знак плюс ставится при θ < π (удаление от звезды), знак минус при θ > π (приближение
к звезде).
В. Орбитальный период
Обобщённый третий закон Кеплера
( P
2π)
2
=
a3
G⋅(M +m)
(3.В.1а)
где Р – орбитальный период,
а – большая полуось,
M, m – массы звезды и планеты.
Третий закон Кеплера, выраженный в удобных единицах (пренебрегая массой планеты по
сравнению с массой звезды)
13
14. P=1год⋅
√(a/1а.е.)
3
M /M сол
(3.В.1б)
Синодический период двух планет (время, через которое повторяется их взаимное
расположение)
1/S=∣1/P1−1/ P2∣ (3.В.2)
где P1, P2 – сидерические периоды (находимые по закону Кеплера).
Время прохождения по орбите от перицентра до заданной точки:
t=P⋅
E− sin E
2
(3.В.3а)
где ε — эксцентриситет,
Е — эксцентрическая аномалия:
E=arccos
1−r /a
ϵ
=arccos
ϵ+cosθ
1+ϵcosθ
(3.В.3б),
r – расстояние от звезды до заданной точки,
θ – истинная аномалия заданной точки.
Г. Осевой период
Период осевого вращения без учёта приливного торможения
(эмпирическая формула)
p≈1сут⋅C
R
Rзем √ j
M /M зем
(3.Г.1)
где R – средний радиус планеты,
M – масса планеты,
j – безразмерный момент инерции планеты (чем сильнее концентрация массы к центру
планеты, тем он ниже),
С – параметр планетной системы: для Солнечной системы С = 1,11.
Таблица 3.Г.1
Безразмерные моменты инерции тел Солнечной Системы
Тело Безразмерный момент
инерции
Тело Безразмерный момент
инерции
Однородный шар 0,4 Марс 0,366
Меркурий 0,33 Юпитер 0,254
Венера 0,33 Сатурн 0,210
Земля 0,3308 Уран 0,225
Луна 0,394 Нептун ?
14
15. Солнечные сутки
1/s = 1/p – 1/P (3.Г.2)
где p – звёздные сутки, вычисляемые по (3.Г.1),
P – орбитальный период.
Если s = ∞, то вращение планеты синхронизировано (обращена всегда одной стороной к
светилу); если s < 0, то вращение обратное (светило движется по небу противоположно
вращению звёздной сферы).
Д. Масса, плотность, тяготение
Средняя плотность планеты в зависимости от радиуса, г/см3
(эмпирическая формула для земноподобных планет)
ρ≈2,77г/см
3
⋅e
0,6904 R/Rзем
(3.Д.1)
где R – средний радиус планеты.
Теоретическая зависимость радиуса от массы для твердых планет [Seager]
log10
R
R1
=k1+
1
3
log10
M
M 1
−k2
(M
M 1
)
k3
(3.Д.1а)
где R, M — радиус и масса планеты,
R1, M1, k1, k2, k3 — коэффициенты, зависящие от химического состава планеты.
Таблица 3.Д.1
Коэффициенты в формуле 3.Д.1а
Состав планеты M1 /Мзем. R1 / Rзем k1 k2 k3
Для M/M1 > 4
Железо 5,80 2,52 -0,20949 0,0804 0,394
Силикат магния 10,55 3,90 -0,209594 0,0799 0,413
Водяной лёд 5,52 4,43 -0,209396 0,0807 0,375
Для M/M1 < 4
Железо 4,34 2,23 -0,20945 0,0804 0,394
Силикат магния 7,38 3,58 то же
Водяной лёд 8,16 4,73 то же
70 % железа + 30 % силиката 6,41 2,84 то же
32,5 % железа + 67,5 % силиката 6,41 3,19 то же
22,5 % железа + 52,5 % силиката + 25 % льда 6,41 3,63 то же
6,5 % железа + 48,5 % силиката + 45 % льда 6,88 4,02 то же
3 % железа + 22 % силиката + 75 % льда 7,63 4,42 то же
15
16. Рис. 3.Д.2
Теоретическая зависимость радиус-масса для твёрдых планет
Теоретическая зависимость радиуса от массы для газовых планет [Grießmeier]
R=1,47 Rюп⋅
(M / M юп )
1/3
1+(M /M юп
3,16 )
2/3
⋅
[1+0,05
(T
T0
)
γ
] (3.Д.1б)
где R, M – радиус и масса планеты,
Т — эффективная температура; см. формулы (4.В.1-2),
Т0 = 764 (M / Мюп) 0,28
,
γ=1,15+0,05⋅
( 0,59
M /M юп
)
1,03
.
Зависимость радиуса от массы для коричневых карликов
R ≈ Rюп ( M / Mюп )-1/8
(3.Д.1в)
Ускорение свободного падения (на сферической не вращающейся планете)
g=9,81 м/ с
2
⋅
M /M зем
( R/ Rзем)
2
=1,78 м/с
2
⋅
ρ
1г/см
3
⋅
R
Rзем
(3.Д.3)
Космические скорости
vI =√g R – первая (круговая) (3.Д.4а)
vII =√2 g R – вторая (параболическая) (3.Д.4б)
16
17. Рис. 3.Д.2
Теоретические зависимости радиус-масса для газовых гигантов (с изолиниями
эффективной температуры) и коричневых карликов
Е. Альбедо и яркость
Абсолютная визуальная звёздная величина планеты (видимая величина, которую планета
имела бы при наблюдении со звезды на расстоянии 1 а. е.), и её связь с диаметром
планеты
H =(M
виз
−4,82)+15,61−5 log10( D
1км
⋅√A
) (3.Е.1а)
D=
1324км
√A
⋅10
0,2(M виз
−4,82−H)
(3.E.1б)
где Mвиз
– абсолютная визуальная величина звезды,
4,82 — абсолютная визуальная величина Солнца,
А – геометрическое альбедо планеты,
D — диаметр планеты.
Видимая звёздная величина планеты
m=H +5log10( d H
1а.е.)( dЗ
1а.е.)−2,5log10 p(χ) (3.Е.2)
где dH – расстояние от наблюдателя до планеты,
17
18. dЗ – расстояние от звезды до планеты,
χ – фазовый угол (угол между отрезками планета-звезда и планета-наблюдатель),
p(χ) – фазовый интеграл.
Рис. 3.Е.1
Чертёж к формулам 3.Е.2-3
Рис. 3.Е.2
Диаграммы для нахождения абсолютной и относительной звёздной величины планеты.
По левой диаграмме определяется абсолютная величина через альбедо и диаметр, по правой —
относительная величина (для наблюдателя на Земле в противостоянии, χ = 0) через расстояние до Солнца и
абсолютную величину.
Фазовый интеграл идеальной отражающей сферы (сферы Ламберта)
pЛамберт(χ)=(1−
χ
π)cos χ+
1
π
sin χ (3.Е.3а)
18
19. Для реальной планеты
p(χ)≈
2
3
pЛамберт(χ) (3.Е.3б)
Ж. Спутники
Закон Дермотта для систем из многих спутников (эмпирическая формула)
Pn = P0 Cn
(3.Ж.1)
где Pn – период обращения n-го спутника,
P0 и C – параметры системы:
Таблица 3.Ж.1
Параметры в законе Дермотта
Планета P0, сут C
Юпитер 0,444 2,03
Сатурн 0,462 1,59
Уран 0,513 1,73
Нептун 0,488 2,24
Большая полуось орбиты спутника
asat =42164км⋅
3
√m+msat
M зем
⋅
( Psat
1сут)
2
(3.Ж.2)
где Рsat – период спутника,
m, msat – массы планеты и спутника.
Радиус Хилла (максимальное допустимое расстояние от планеты до спутника)
rH ≈a1−
3
m
3M
(3.Ж.3)
где а – большая полуось орбиты планеты,
ε – её эксцентриситет,
m – масса планеты,
М – масса звезды.
Орбита спутника может быть стабильной на расстоянии не более 0,53 rH от планеты (при
прямом вращении) или 0,69 rH (при обратном вращении).
Синодический период (промежуток времени между двумя одинаковыми фазами)
1/Ssat = 1/Psat – 1/P (3.Ж.4)
где P и Рsat – орбитальные периоды планеты и спутника. Если 1/Ssat = 0, то спутник всегда
в одной фазе; если Ssat < 0, смена фаз происходит в обратном направлении.
19
20. Радиус геосинхронной орбиты (на которой спутник висит над одной и той же точкой
планеты)
rгеосинхр=
3
√G(m+msat)( p
2π)
2
=42164 км⋅
3
√m+msat
M зем
⋅( p
1сут)
2
(3.Ж.4а)
где p – период осевого вращения планеты.
Точки Лагранжа (точки равновесия для третьего тела в поле тяготения планеты и
спутника, см. рис. 3.Ж.1).
Расстояние от L1 и L2 до спутника (приблизительная формула для случая, когда планета
значительно массивнее спутника: μ = msat /m << 1)
r1,2≈r
3
/3 (3.Ж.5а)
где r — радиус орбиты спутника.
Расстояние от L3 до планеты
r3≈r 1/12 (3.Ж.5б)
Рис. 3.Ж.1
Точки Лагранжа
(Mass 1 — планета, Mass 2 — спутник)
Точные уравнения для нахождения r1, r2, r3 (для любого μ):
x1
5
−3 x1
4
3 x1
3
−x1
2
2 x1−1=0 (3.Ж.6а)
x2
5
3 x2
4
3 x2
3
− x2
2
−2 x2−1=0 (3.Ж.6б)
x3
5
2 x3
4
x3
3
−1 x3
2
−2 x3−=0 (3.Ж.6в)
где xi = ri / r для i = 1, 2, 3.
L4 и L5 лежат в вершинах равносторонних треугольников, основанием которых служит
отрезок планета-спутник. Тело, помещенное в одну из этих точек, может оставаться в
устойчивом равновесии, если отношение масс спутника и планеты μ < 1/24,96.
20
21. З. Приливы
Пусть И – тело, испытывающее приливы, В – тело, вызывающее приливы (см. рис. 3.З.1).
Рис. 3.З.1
Приливная деформация тела И под действием тела В
Высота приливов на И
h=4,6 hзем⋅
(M В
M И
)(RИ
Rзем
)
4
( a
1 млн.км)
−3
(3.З.1)
где h3 – высота приливов на Земле (в открытом глубоком океане h3 ≈ 30 см),
а – расстояние между И и В,
МИ, МВ – массы тел И и В,
RИ - радиус тела И.
Предел Роша для твёрдого (недеформируемого) шара
d r=RB
3
2B/И (3.З.2а)
где dr – расстояние между И и В, ближе которого приливная сила, создаваемая В,
превосходит самогравитацию И,
ρB, ρИ – плотности В и И.
Предел Роша для жидкого (деформируемого) шара
d r≈2,44 RB
3
B /И (3.З.2б)
Находясь на этом расстоянии, деформируемый шар вытягивается, принимая
эксцентриситет фигуры e = 0,88303 (отношение полуосей a / b ≈ 2,13, см. раздел 3.И).
Время, за которое приливное трение тормозит тело И с начальной угловой скорости ω0 до
конечной ω [Grießmeier]
T=
2
3G
a
6
RИ
3
M И
M B
2
jИ QИ
kИ
(ω0−ω) (3.З.3а)
где jИ – безразмерный момент инерции тела И,
QИ – коэффициент диссипации приливной энергии; для Юпитера QИ лежит между 6,6 · 104
и 2 · 106
,
21
22. kИ – число Лява тела И; для Юпитера kИ = 0,5, для Сатурна kИ = 0,3; для Земли и Марса
известны отношения QИ/kИ ≈ 500 и 700 соответственно.
В удобных единицах
T=1,5 млрд. лет⋅
( a
1а.е.)
6
(M B
M сол
)
−2
(M И
М зем
)(RИ
Rзем
)
−3
⋅
jИ QИ
kИ
⋅
(1сут
p0
−
1сут
p ) (3.З.3б)
где p0, p — начальный и конечный периоды осевого вращения планеты.
Чтобы найти время полной синхронизации, нужно подставить вместо р период
орбитального вращения тела И.
И. Планеты как эллипсоиды
Сжатие эллипсоида
f = 1 – b/a (3.И.1)
где а – экваториальная полуось эллипсоида (для эллипсоидов вращения, какими являются
планеты, обе экваториальные полуоси равны: a1 = а2),
b – полярная полуось (параллельная оси вращения).
Рис. 3.И.1
Эллипсоид
Эксцентриситет фигуры
e=√1−(b/a)
2
(З.И.2)
Объём
V=
4
3
πa
3
(1− f )=
4
3
πa1 a2b (З.И.3а)
Средний волуметрический радиус (радиус сферы того же объёма)
R=a
3
√1− f =
3
√a1 a2b (3.И.3б)
Площадь поверхности (для случая a1 = а2 > b)
S=2πa
2
(1+
1−e
2
2e
ln
1+e
1−e ) (3.И.4а)
Для малых е
S≈2π(a
2
+b
2
) (3.И.4б)
22
23. Расстояние между центром эллипсоида и точкой на его поверхности с широтой φ
r (ϕ)=a
√ 1−e
2
1−e
2
cos
2
ϕ
=
b
√1−e
2
cos
2
ϕ
(3.И.5)
Гравитация на поверхности эллипсоида на широте φ (формула Клеро)
g(ϕ)=ge
[1+
(5
2
ω
2
a
ge
− f
)sin
2
ϕ
] (3.И.6)
где ge — ускорение силы тяжести на экваторе,
ω — угловая скорость вращения планеты.
Угловая скорость вращения однородного эллипсоида вращения с плотностью ρ,
находящегося в гидростатическом равновесии (фигуры Маклорена)
ω
2
2πGρ
=W =
3−2e
2
e
3 √1−e
2
arcsin e−
3
e
2
(1−e
2
) (3.И.8а)
Приближённая обратная формула
e≈1,8704W
0,4943
(3.И.8б)
В удобных единицах, для небольших угловых скоростей
e≈5⋅
( p
1ч)
−1
(
ρ
1г/см
3
)
−1/2
(3.И.8в)
где р — осевой период вращения.
При e ≥ 0,81267 и соотв. W ≥ Wmax = 0,18712 фигура Маклорена перестаёт быть
устойчивой. Фигурой равновесия становится эллипсоид Якоби с a1 ≠ а2. Для него угловая
скорость понижается с ростом эксцентриситета, т. е. никакая равновесная фигура не
может иметь угловую скорость вращения выше ωmax:
ωmax=√2πG ρW max=8,86⋅10
−6
√ ρ (3.И.9а)
Минимально возможный период вращения (в удобных единицах)
рmin=2π/ωmax=6,23ч⋅
√1г /см
3
ρ
(3.И.9б)
К. Столкновения с астероидами
Почти все формулы этого раздела взяты из работы [Collins].
Количество околоземных астероидов диаметром больше L
N>L ≈ 1148 · ( L / 1 км )-2,354
(3.К.1)
Средний промежуток времени (в годах) между падениями астероидов с энергией выше E
мегатонн (три разные оценки)
23
24. T>E ≈ 33 · E 0,8
(или) 136 · E 0,9
(или) 109 · E 0,78
(3.К.2а-в)
Условие разрушения импактора (астероида, метеороида или кометы) в атмосфере:
4,07
Cd h0 Y
i Lv0
2
sin
1 (3.К.3а)
где Cd — коэффициент трения; для импакторов неправильной формы Cd = 2;
h0 — высота, на которой плотность атмосферы уменьшается в e раз; для изотермической
атмосферы Земли h0 ≈ 8000 м (см. формулу 4.Б.3а);
Y — предел прочности импактора (в Па):
log10 Y ≈ 2.107 + 0.0624 i (3.К.3б);
ρi — плотность импактора (кг/м3
). Типичные значения для каменных метеороидов 2000-
3000 кг/м3
, для железных 8000 кг/м3
, для ледяных комет 500-1500 кг/м3
;
v0 — скорость входа в атмосферу. Типичные значения для астероидов 12-20 км/с, для
комет 30-70 км/с;
θ — угол входа в атмосферу (отсчитывается от горизонтали); наиболее вероятное
значение 45°.
Если условие 3.К.3а не выполняется, импактор долетает до Земли неразрушенным.
Скорость при ударе о землю
ln
v
v0
=−
3B Cd h0
4t Lsin
(3.К.4)
где ρB — плотность воздуха у поверхности.
Немедленно после падения образуется переходный кратер, размеры которого (км):
Dt=1,161 g
−0,22
(ρt
ρg
sinθ)
1/3
L
0,78
v
0,44
(3.К.5а)
dt=Dt /2√2 (3.К.5б)
ht = Dt / 14,1 (3.К.5в)
где Dt — диаметр кратера, измеренный по внутреннему склону вала,
dt — глубина кратера, измеренная от уровня земли до столкновения,
ht — высота вала,
ρg — плотность грунта в месте удара.
После осыпания стенок переходного кратера образуется финальный кратер. При диаметре
переходного кратера Dt < 3,2 км размеры финального кратера рассчитываются по
формулам
Df = 1,25 Dt (3.К.6а)
t = 0,0896 Df (1 + hf / dt) (3.К.6б)
24
25. hf = Df / 34,9 (3.К.6в)
df = dt + hf - t (3.К.6г)
где Df — диаметр финального кратера,
t — толщина слоя осыпи на дне,
hf — высота вала,
df — глубина кратера.
Если диаметр переходного кратера Dt > 3,2 км, то размеры финального кратера
D f =Dt
1,13
(3.К.7а)
df = 0,4 Df
0,3
(3.К.7б)
Отклонение астероида с целью предотвратить столкновение [Izzo]
Если за N оборотов астероида до столкновения изменить его орбитальную энергию, то
расстояние наибольшего сближения между астероидом и Землёй изменится на величину
d min=N
6
Ea
5
/aЗ (3.К.8а)
где γ — параметр орбиты астероида (см. ниже),
μ — гравитационный параметр Солнца,
ΔЕ — изменение удельной энергии астероида,
а — большая полуось орбиты астероида,
аЗ — большая полуось орбиты Земли.
В удобных единицах
Δ dmin=3,18км⋅N γ
( a
1а.е.)
5/2
⋅
Δ E
1 Дж/кг
(3.К.8б)
Таблица К.1
Параметры γ и a для некоторых околоземных астероидов
Астероид γ Большая полуось, а.е. γ a5/2
2004 GG21 0,9997 2,2837 7,88
2004 JA27 0,7416 1,6658 2,66
2004 HF12 0,9908 2,1377 6,62
2004 VA 0,9572 1,9018 4,77
Нерей 0,7981 1,4886 2,16
Икар 0,653 1,078 0,79
Аполлон 1 1,471 2,62
25
26. Л. Химический состав планет
Таблица Л.1
Основные свойства наиболее распространённых в космосе элементов и соединений
Вещество Мол.
масса
Температуры
плавления и кипения
при p = 1 атм
Тройная точка,
температура и
давление
Критическая точка,
температура и
давление
Т плав., К Т кип., К Т, К p, кПа Т, К p, кПа
Водород H2 2 14,01 20,28 13,8 7,042 33 1293
Гелий He 4 - 4,22 2,19 5,1 5,19 227
Углерод (графит) С 12 3948 4300 3900 10100
Метан CH4 16 90,6 111,55 90,1 11,7 190,5 4600
Аммиак NH3 17 195,42 239,81 195,4 6,06 405,5 11300
Вода H2O 18 273,15 373,15 273,16 0,6117 647 22100
Неон Ne 20,2 24,56 27,07 24,56 43 44,4 2760
Магний Mg 24,3 923 1363
Азот N2 28 63,15 77,36 63,15 12,5 126,21 3390
Кремний Si 28 1687 2628
Угарный газ CO 28 68 81 67,9 15,35 132,7 3498
Этан C2H6 30 90,34 184,5 91 0,001 305,3 4900
Кислород O2 32 54,36 90,2 54,36 0,152 154,59 5043
Сера S 32 388,36 717,8 1314 20700
Сероводород H2S 34,1 190,85 212,87 373,2 8937
Соляная кислота HCl 36,5 158,8 187,9 158,96 13,9 324,5 8258
Аргон Ar 39,9 83,8 87,3 83,8 68,9 150,87 4898
Углекислый газ CO2 44 - 195* 216,58 518,5 304,18 7380
Оксид диазота N2O 44 182,29 184,67 182,34 87,85 309,55 7245
Диоксид азота NO2 46 261,95 293,25 431 10132
Озон O3 48 80,7 161,3 80,6 0,00114 261 5573
Железо Fe 55,8 1811 3134
Кремнезём SiO2 60,1 1923 2503
Диоксид серы SO2 64,1 200,75 263 197,69 1,67 430,8 7884
Хлор Cl2 70,9 171,6 239,11 416,9 7991
Триоксид серы SO3 80,1 290 318
Гематит Fe2O3 159,7 1838** -
* Сублимация.
** Химическое разложение.
26
28. 4. УСЛОВИЯ НА ПЛАНЕТАХ
А. Состав атмосферы
Условие удержания газа тяготением планеты
vII
〈v〉кв
≥6,0 (4.А.1)
где vII – вторая космическая скорость (по формуле 3.Д.4б),
<v>кв – среднеквадратичная скорость молекул в экзосфере планеты:
〈v〉кв=√3ℜTexo /μ (4.А.2),
Tехо – температура экзосферы,
μ – молярная масса газа.
При отношении скоростей 5,0 газ улетучивается за сотни миллионов лет, при 4,0 за
тысячи лет. Время определяется по формуле Джинса:
t Дж=
〈v〉кв
3
2 g
2
R
exp
(3 g R
〈v〉кв
2
) (4.А.5)
где tДж – время, за которое концентрация газа в атмосфере уменьшается в е раз,
g – тяготение планеты,
R – радиус планеты.
Т. обр., планета с данным радиусом и тяготением может удержать газ, молярная масса
которого не меньше
μmin=450
Texo
g R
(4.А.3а)
В зависимости от массы и плотности планеты, в удобных единицах
μmin=11г/ моль⋅
Texo
1500 K
⋅
( M
M зем
)
−2/ 3
⋅
(
ρ
5,5 г/см
3
)
−1/3
(4.А.3б)
Температура экзосферы Земли около 1500 К, Юпитера 1100 К, Сатурна и Урана 800 К,
Нептуна 750 К. В общем случае применима эмпирическая формула
Texo≈1500 K⋅[√L
UV
/ Lсол
UV
r /1а.е. ]
0,21
(4.А.4)
где r – расстояние от звезды до планеты,
LUV
, LUV
сол – ультрафиолетовые светимости звезды и Солнца:
LUV
= kUV L, LUV
сол = 0,07 Lсол (4.А.5)
L – полная светимость звезды,
28
29. kUV – доля энергии, излучаемой в ультрафиолетовом диапазоне (определяется по таблице
2.Б.3).
Таблица 4.А.1
Допустимые для человека парциальные давления некоторых газов
Газ Парциальное давление, атм
допустимый диапазон в атмосфере Земли
Азот N2 0,01 – 3 0,78
Аргон Ar до 1,6 0,01
Водяной пар H2O до 0,03 до 0,03
Кислород O2 0,16 – 1 0,21
Углекислый газ CO2 7·10-5
– 0,009 0,004
Б. Давление и плотность атмосферы
Давление у поверхности планеты:
p=
M a g
4π R
2 (4.Б.1а)
где Ma – масса атмосферы,
g – тяготение,
R – радиус планеты.
В удобных единицах
p=1,25атм⋅
M a⋅10
6
M
⋅
( M
М зем
)
2
( R
Rзем
)
−4
(4.Б.1б)
Таблица 4.Б.1
Отношение массы атмосферы к массе планеты* для некоторых тел Солнечной системы
Небесное тело Ma / M
Меркурий 10-21
Венера 10-4
Земля 8·10-7
Марс 3·10-8
Юпитер 0,85 – 0,97
Сатурн 0,8 – 0,9
Титан 6·10-5
Уран 0,05-0,1
Нептун 0,05-0,1
*Для газовых гигантов масса атмосферы считается равной массе планеты за
вычетом массы ядра.
Зависимость давления и плотности от высоты в изотермической (разреженной, p < 0,2
атм) атмосфере:
p= p0⋅e
−h/h0
(4.Б.2а)
=0⋅e
−h/ h0
(4.Б.2б)
29
30. где p0 – давление у поверхности,
h0=
ℜT
g
(4.Б.3а) — высота однородной атмосферы,
0=p0
ℜT
(4.Б.3б) – плотность у поверхности,
μ – средняя молярная масса воздуха,
Т – средняя температура,
h – высота.
Зависимость давления, температуры и плотности от высоты в адиабатической (плотной, p
> 0,2 атм) атмосфере:
p= p0
(1−α
h
h0
)
1
α
(4.Б.4а)
T=T 0
(1−α
h
h0
) (4.Б.4б)
ρ=ρ0
(1−α
h
h0
)
1
α
−1
(4.Б.4в)
где α = 1+1/γ – показатель адиабаты,
h0 – высота однородной атмосферы (4.Б.3а) для T = T0.
Для сухого земного воздуха α = 0,28, для влажного α = 0,19. Теоретические значения для
сухого идеального газа: одноатомного α = 0,4; двухатомного α = 0,28; трёхатомного α =
0,25.
Давление насыщенного пара некоторых веществ при температуре Т (давление, при
котором температура кипения равна Т)
Вода (над жидкой фазой):
log10 ( p / 1 Па) = A – B / (T – C) (4.Б.5б)
где для температур от 273 до 333 К
A = 10,2326; B = 1750,286; C = 38,1;
для температур от 333 до 423 К
A = 10,0917; B = 1668,21; C = 45,1.
Вода (над твёрдой фазой, температура от -100 до 0 °С):
ln (p /1 Па) = -5504,4088 / T – 3,5704628 – 1,7337458·10-2
T +
+ 6,5204209·10-6
T2
+ 6,1295027 ln T (4.Б.5в)
Углекислый газ (над твёрдой фазой, между 130 и 300 К):
ln ( p / 1 мм рт. ст.) = 168,4011 – 24,03761 ln T – 7062,404 / T
30
31. + 3,368548 · 10-5
T2
(4.Б.6)
Аммиак (над жидкой фазой, между 190 и 333 К)
log10 (p / 1 Па) = 9,67956 – 1002,711 / (Т – 25,215) (4.Б.7)
Метан (над жидкой фазой, между 90 и 180 К)
log10 ( р / 1 мм рт. ст.) = 6,61184 – 389,93 / (T – 7,15) (4.Б.8)
Общая (неточная) формула для температуры кипения или сублимации в зависимости от
давления р
T=(T 0
−1
+ ℜ
Δ H
ln
p0
p )
−1
(4.Б.9а)
где T0 — температура фазового перехода (К) при давлении р0,
ΔН — молярная энтальпия фазового перехода (кипения или сублимации, Дж/моль).
Обратная формула
p= p0 e
Δ H
ℜ (1
T 0
−
1
T ) (4.Б.9б)
Вблизи тройной точки выполняется равенство
ΔHсубл = ΔНкип +ΔНплав (4.Б.10)
Температура и давление в точке плавления
T=T 0e
−
v
Hплав
p− p0
(4.Б.11а)
p= p0−
H плав
v
ln
T
T0
(4.Б.11б)
где Δv = vж - vтв — разность молярных объёмов твёрдой и жидкой фаз.
Формулы (4.Б.9, 11) соответствуют действительности лишь при температурах и
давлениях, близких к T0, p0.
В. Температура на поверхности
Солнечная постоянная (энергия излучения звезды, поглощаемая единичной площадкой за
секунду)
E=
L
4π a
2
=Eзем
( L
Lсол
)(1а.е.
a )
2
(4.В.1а)
где Езем = 1366 Вт/м2
– солнечная постоянная Земли,
L – светимость звезды,
а – расстояние от планеты до звезды.
Для эксцентричной орбиты
31
32. Eсред=
L
4πa
2
⋅(1+ϵ
2
/2)
−2
(4.В.1б)
где а — большая полуось орбиты,
ε — эксцентриситет.
Средняя равновесная (эффективная) температура «идеальной» быстро вращающейся
планеты (шара без атмосферы)
Te=
4
√1
σ (1−A)
E
4
=278K⋅
4
√(1−A)
E
Eзем
(4.В.2а)
где А – альбедо Бонда планеты (отношение полного потока отражённого света к полному
потоку падающего света).
Средняя эффективная температура медленно вращающейся планеты
Te=4
√1
σ (1−A)
E
2
=330 K⋅4
√(1−A)
E
Eзем
(4.В.2б)
Для неосвещённой (блуждающей) планеты температура определяется внутренним
нагревом (прежде всего за счёт распада радиоактивных элементов). Эффективная
температура блуждающей планеты с полной мощностью теплового излучения W и
удельной мощностью w = W / M
Te=
( W
4πr
2
σ)
1/4
=
( w g
4πG σ)
1/4
≈
≈32 K⋅
( w
wзем
⋅
g
9,81 м/с
2 )
1/4 (4.В.3)
где r – радиус планеты, g – ускорение свободного падения.
Удельная мощность тепловыделения для Земли и углистых хондритов wзем ≈ 5 · 10-12
Вт/кг.
Средняя температура в приземном слое воздуха согласно адиабатической модели
парникового эффекта [Сорохтин]
T0=T e⋅(b p0)
α
(4.В.4)
где р0 – давление у поверхности,
b = 1,612 атм-1
– поправочный коэффициент (определён для Земли и Венеры),
α – показатель адиабаты (см. формулы 4.Б.4).
Температуры в атмосфере согласно радиативной модели парникового эффекта
[Чемберлен]:
на верхней границе атмосферы
Ttop=
Te
4
√2
≈0,84Te (4.В.5а)
32
33. внутри атмосферы, на высоте с давлением p
T0=T e(1
2
+
3
4
τ
)
1/4
(4.В.5б)
где τ — оптическая толща: τ=p/ g q ↑ , q↑ — коэффициент прозрачности атмосферы:
масса воздушного столба, при прохождении сквозь который энергия восходящего
(инфракрасного) излучения уменьшается в е раз. Для земной атмосферы q↑ ≈ 6100 кг/м2
; у
поверхности Земли τ ≈ 1,69;
температура грунта
T g=Te(1+
3
4
τg)
1/4
(4.В.5в)
где τg — оптическая толща у поверхности.
В этой модели температура грунта отличается от температуры воздуха вблизи грунта из-за
того, что не учтена конвекция. Распределение температур вблизи поверхности (между Tg и
T0) описывается адиабатической зависимостью (4.Б.4б).
Г. Тектоника
Зависимость параметров тектонических плит от массы планеты (для земноподобных
планет) [Valencia].
Средняя толщина плиты: 43 км · ( М / Mзем )-0,45
Средняя скорость плиты: 3 см/год · ( М / Mзем ) 1,19
(4.Г.1а-в)
Средняя длина плиты: 1800 км · ( М / Mзем ) 0,28
Д. Магнитное поле
Дипольная составляющая магнитного поля планеты
B=B0R/a
3
13sin
2
(4.Д.1)
где B0 – магнитная индукция на экваторе у поверхности планеты,
R — радиус планеты,
a – расстояние от данной точки до центра планеты,
θ — магнитная широта данной точки.
Составляющие более высокого порядка (квадрупольные, октупольные и др.), как правило,
значительно меньше и быстрее убывают с расстоянием.
33
34. Таблица 4.Д.1
Магнитные поля у поверхностей Солнца и планет
(на экваторе, если не указано другое)
Небесное тело Магнитная
индукция, мкТл
Солнце (у полюсов при
минимуме активности)
100-200
Меркурий 0,3
Земля 35
Земля (у полюсов) 55
Юпитер 430
Сатурн 20
Уран 10-110 (сред. 23)
Магнитная индукция на поверхности может быть выражена через магнитный момент
планеты m:
B0=
μ0
4π
⋅
m
R
3 (4.Д.2)
Полуэмпирическая формула для нахождения магнитного момента [Noyola]:
m=10−5
⋅(σ M
P )
1,10±0,13
(4.Д.3)
где σ — удельная проводимость жидкого ядра планеты (для металлического водорода
предполагается σ=(2,0±0,5)⋅10
5
См/м), М — масса планеты, Р — период вращения.
34
35. 5. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ
А. Искривление пространства-времени
Гравитационный радиус сферического невращающегося тела:
rg=
2G M
c
2 (5.А.1а)
где М — масса тела.
В удобных единицах
rg=1,48⋅10
−27
м⋅(M /1 кг)=0,89см⋅(M /М зем)=2,95км⋅(M /M сол) (5.А.1б)
Замедление времени в поле тяготения невращающегося точечного тела (метрика
Шварцшильда) по сравнению с временем вне поля тяготения.
Для неподвижного наблюдателя
Δ τ=Δt √1−rg /r (5.А.2а)
где Δτ – промежуток времени между событиями по часам наблюдателя в поле тяготения,
Δt – тот же промежуток времени по часам, находящимся вне поля тяготения,
r — расстояние между наблюдателем и центром тяготения.
Для наблюдателя на круговой орбите
Δ τ=Δt √1−3rg/2 r (5.А.2б)
Растяжение пространства в поле тяготения:
r '=
r
1−rg/r
(5.А.3)
Релятивистское выражение для ускорения свободного падения (при r >> rg )
g=
GM
r
2
1
1−rg /r
(5.А.4)
Ускорение приливной силы, действующей на элемент длины l << r при r >> rg
aприл≈l
2G M
r
3
⋅(1+
3
4
rg
r ) (5.А.5)
Отклонение светового луча от прямой в поле тяготения (в радианах)
=
4G M
c
2
b
(5.А.6)
где b – расстояние между точечной массой М и траекторией светового луча.
Поле тяготения вокруг вращающейся точечной массы (метрика Керра).
Замедление времени для неподвижного наблюдателя
35
36. Δ τ=Δt √1−r rg /ρ
2
(5.А.7)
где ρ
2
=r
2
+(K /M c)
2
sin
2
ϕ ,
К — момент импульса центрального тела,
φ — широта местоположения наблюдателя (отсчитывается от плоскости вращения
центрального тела).
Если φ = 0° (наблюдатель находится в плоскости вращения), то формула совпадает с
5.А.2а.
Б. Чёрные дыры
Радиус горизонта событий невращающейся чёрной дыры (ЧД Шварцшильда) R = rg.
В пространстве вокруг ЧД применимы формулы (5.А.1-7).
Плотность ЧД
ρ=
1,13⋅10
19
кг/ м
3
(M /M сол)
2 (5.Б.1)
Радиус наименьшей стабильной орбиты вокруг ЧД Шварцшильда (внутренний радиус
аккреционного диска)
rmin orb = 3 rg (5.Б.2)
Звезда может стать чёрной дырой, только если её момент импульса К < Kmax
K = J M R2
ω < Kmax = 2 G M2
/ c (5.Б.3)
где J — безразмерный момент инерции звезды (у Солнца J = 0,059),
R — радиус звезды до сжатия,
ω — угловая скорость вращения звезды до сжатия.
Гравитационный радиус вращающейся ЧД, или ЧД Керра
rK =
rg
2 [1+
√1−
(2 K
Kmax
)
2
] (5.Б.4)
Это полярный радиус эргосферы, её экваториальный радиус равен rg.
Время хокинговского «испарения» ЧД
tev=8,4⋅10
−17
(M /1кг)
3
=2,1⋅10
67
г⋅(M / M sol )
3
(5.Б.5)
Мощность хокинговского излучения ЧД (Вт)
P=
3,6⋅10
32
Вт
(M /1 кг)
2
=
9,0⋅10
−29
Вт
(M /M sol )
2 (5.Б.6)
36
37. Время падения тела (по его собственным часам) на горизонт событий невращающейся ЧД
с начального расстояния r0 (при нулевой начальной скорости на бесконечном удалении от
ЧД)
τ=
3
2
rg
c [(r0
rg
)
3/2
−1
] (5.Б.7)
По часам внешнего (не падающего) наблюдателя это время бесконечно.
В. Космология
Расширение Вселенной описывается уравнением
r(t) = r0 a(t) (5.B.1)
где r(t) – расстояние между гравитационно не связанными объектами (например,
скоплениями галактик) в момент времени t,
r0 – расстояние между ними же в настоящий момент времени,
a(t) – безразмерный масштабный фактор; a(0) = 1.
Скорость удаления одной галактики от другой, определяемая по красному смещению
dr/dt = H r (5.B.2)
где H = (da/dt) / a – параметр Хаббла.
Его современное значение H0 = 68 (км/с) / Мпс = 1 / (13,8 млрд. лет).
Вид зависимости a(t) определяется кривизной пространства (наблюдаемое значение
практически равно 0, т. е. геометрия Вселенной «плоская», евклидовская) и уравнением
состояния материи во Вселенной:
p = w ρ c2
(5.B.3)
где p – давление,
ρ — плотность,
с — скорость света,
w — множитель, зависящий от той формы материи, которая преобладает во Вселенной.
Для излучения w = 1/3. Для вещества (в т. ч. тёмной материи) w = 0. Для космологической
константы w = -1.
Зависимость масштабного фактора и параметра Хаббла от времени в модели плоской
Вселенной:
a(t)∝t
2
3(w+1)
, H (t)=
2
3(w+1)t
для w>−1 (5.В.4а)
a(t)∝e
H0 t
, H (t )=H0=const для w=−1 (5.В.4б)
37
38. a(t)∝(ts−t)
2
3(w+1)
, H(t)=−
2
3(w+1)(ts−t)
для w<−1 (5.В.4в)
При w > -1/3 скорость расширения Вселенной падает со временем, при w < -1/3 возрастает
со временем. При w < -1 масштабный фактор и параметр Хаббла обращаются в
бесконечность («Большой Разрыв») в некоторый будущий момент времени ts.
В инфляционной космогонии считается, что в первое время после Большого Взрыва (10-36
— 10-32
с) доминировала космологическая константа, и Вселенная испытывала
инфляционное расширение по формуле (5.В.4б) при значении H между 1036
и 1042
с-1.
Затем был период доминирования излучения с a(t)∝t
1/2
, затем период доминирования
вещества с a(t)∝t2/3
. В настоящее время доминирует тёмная энергия, для которой
значение w не определено, но близко к -1 (возможно, точно равно; в этом случае тёмная
энергия есть космологическая константа).
Для Вселенной с материей и космологической константой зависимость между t и a
t=
1
H0
2
3√ΩΛ0
ln
√ΩΛ0 a
3
+√ΩΛ0(a
3
−1)+1
√1−ΩΛ0
(5.В.5)
где ΩΛ0 = 0,72 — современная доля космологической константы в средней плотности
материи во Вселенной (остальные 0,28 составляет вещество, в основном «тёмное»).
Хаббловское расстояние (или радиус хаббловской сферы)
rH = c / H (5.B.6)
– расстояние до объекта, скорость удаления которого равна скорости света. Более
удалённые объекты ненаблюдаемы. Во Вселенной с w = -1 объем хаббловской сферы
постоянен, поэтому удаляющиеся галактики будут со временем уходить из неё. Если
текущее расстояние до галактики r0, то она уйдёт за «горизонт» через время
T=
1
H 0
ln
c
H 0 r0
=13,8 млрд. лет⋅ln
(13,8 млрд.св. лет
r0
) (5.B.7)
Во Вселенной с w < -1 объем хаббловской сферы уменьшается:
rH =−
3(w+1)
2
c Δt (5.В.8)
где Δt – время, оставшееся до Большого Разрыва. По данным обсерватории «Планк» (2013
г.) w = -1,13 ± 0,13, откуда следует, что если Большой Разрыв произойдёт, то не раньше
чем через 35,4 млрд. лет.
Космологическое красное смещение объекта
1+z=
λнабл
λизл
=
1
a(t)
(5.В.9а)
38
39. где λнабл – длина волны излучения, принятого нами в данный момент,
λисп – длина волны того же излучения, испущенного в другой галактике время t назад,
z = Δλ / λ – красное смещение.
Скорость удаления галактики
v=c z (5.В.9б-в)
Рассчитанная таким образом скорость наблюдаемой галактики может быть больше
скорости света (при z > 1), что не противоречит теории относительности, т. к. в момент
излучения скорость галактики ещё не достигала скорости света.
39
40. 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
А. Аккреция
Скорость аккреции окружающей среды на планету или звезду (формула Бонди)
dM
dt
≈
4 πG
2
M
2
ρ
(v
2
+vs
2
)
3/2 (6.А.1а)
где M – масса планеты,
ρ — плотность окружающей среды (газа или пыли),
v – скорость движения планеты сквозь среду,
vs – скорость звука в среде:
vs=
√γ ℜT
μ
(6.А.1б)
γ – адиабатический коэффициент газа (5/3 для одноатомных, 7/5 для двухатомных, 4/3 для
многоатомных),
T – температура (К),
μ — молярная масса газа (кг/моль).
Масса атмосферы, захваченной путём аккреции за данное время, в удобных единицах
f =1,75⋅10−11
A
( n
1см
−3)( t
1год )( M
M зем
)( u
1км/с )
−3
(6.А.2)
где f – отношение массы атмосферы к массе планеты,
А — массовое число атомов среды (для атомарного водорода А = 1),
t – время,
n – концентрация атомов среды,
М — масса планеты,
u=√v2
+vs
2
. Здесь не учитывается рост массы планеты и её торможение в ходе
аккреции.
Облако межзвёздного газа необратимо сжимается, если его масса превышает критическую
массу Джинса
M J =
3 k T
4G m0
R≈44 M сол⋅
T
100 K
⋅
R
1св. г.
(6.А.3а)
где k – постоянная Больцмана,
T — температура газа,
R – радиус облака,
40
41. G – гравитационная постоянная,
m0 – масса атома водорода.
Эквивалентная формула: облако необратимо сжимается, если его радиус превышает
критический радиус Джинса:
RJ ≈120св. г.⋅
√1
A
⋅
T
100 K
1см
−3
n
(6.А.3б)
Время сжатия в точку сферы с начальной плотностью ρ, на которую не действуют никакие
силы, кроме самогравитации (время Джинса)
t J =
1
4 √ 3π
2Gρ
=
=35 мин⋅
(
ρ
1 г/см
3
)
−1/2
=52 млн. лет⋅
(A
n
1см
−3 )
−1/2 (6.А.4)
Б. Самогравитация
Самогравитация тонкой сферической оболочки создаёт давление
p = π G σ2
(6.Б.1)
где σ = ρ h – поверхностная плотность оболочки,
ρ — объёмная плотность материала оболочки,
h — толщина оболочки.
Сила самогравитации тонкого кольца радиусом R и массой М, действующая на единицу
длины
dF
dl
=
G
π
2
M
2
R
3 (6.Б.2)
Угловая скорость вращения кольца, при которой центробежная сила уравновешивает
самогравитацию
ω=
√2
π
G M
R
3 (6.Б.3а)
Соответствующий период вращения в удобных единицах
T=1,76ч⋅
√(R/ Rзем)
3
M / Mзем
(6.Б.3б)
Потенциальная энергия самогравитации однородного шара радиусом R и массой М (равна
работе, необходимой для разнесения всех его частиц на бесконечное расстояние, со
знаком минус)
41
42. Ep=−
3
5
G M
2
R
(6.Б.4)
Давление внутри однородного шара на расстоянии r от центра
p(r)= pc
[1−
(r
R)
2
] (6.Б.5а)
где pс — давление в центре шара:
pc=
3
8π
G M 2
R
4
=
1
2
ρ g R (6.Б.5б)
ρ — плотность шара,
g – ускорение свободного падения на поверхности.
В. Гравитация несферических тел
Потенциал гравитационного поля тонкого однородного кольца массой М и радиусом R в
точке на расстоянии r > R от центра кольца, на широте θ от плоскости кольца
V (r ,θ)=−
G M
r
[1+∑
n=1
∞
C2n (cosθ)(
R
r
)
2n
] (6.В.1)
где множитель Ck (x) — интеграл от полинома Лежандра:
Ck ( x)=
1
2π
∫
−π
π
Pk ( x cosϕ)d ϕ (6.В.2)
Для области внутри кольца (r < R) в правой части формулы (6.В.1) следует поменять
местами r и R.
Таблица 6.В.1
Значения множителей Ck (x) для небольших k
k Ck (x) Ck (1)
(в плоскости кольца)
Ck (0)
(на оси кольца)
2 1
2
(
3
2
x2
−1)
1
4
−
1
2
4 1
8
(
105
8
x
4
−15 x
2
+3)
9
64
3
8
6 1
16
(
1155
16
x
6
−
945
8
x
4
+
105
2
x
2
−5)
25
256
−
5
16
Орбитальная скорость спутника кольца на круговой орбите радиусом r > R в плоскости
кольца
v2
=r∣
∂V
∂ r
∣=
G M
r
[1+∑
n=1
∞
(2 n+1)C 2n(1)(
R
r
)
2n
]=
42
43. =
G M
r
[1+
3
4
(
R
r
)
2
+
45
64
(
R
r
)
4
+
175
256
(
R
r
)
6
+...] (6.В.3)
Внутри кольца (r > R) в его плоскости стабильные орбиты невозможны.
Потенциал гравитационного поля тонкого однородного диска массой М и радиусом R в
точке на расстоянии r > R от центра диска, на широте θ от плоскости диска
V (r ,θ)=−
G M
r
[1+∑
n=1
∞
1
n+1
C2n(cos θ)(
R
r
)
2n
] (6.В.4)
где значения множителей Ck (x) те же, что в предыдущей формуле.
Орбитальная скорость спутника диска на круговой орбите радиусом r > R в плоскости
диска
v
2
=r∣
∂V
∂ r
∣=
G M
r
[1+∑
n=1
∞
2 n+1
n+1
C2n (1)(
R
r
)
2n
]=
=
G M
r
[1+
3
8
(
R
r
)
2
+
15
64
(
R
r
)
4
+
175
1024
(
R
r
)
6
+...] (6.В.5)
43
44. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Barnes – R. Barnes, R. Heller: Habitable Planets Around White and Brown Dwarfs: The Perils
of a Cooling Primary // arXiv:1211.6467v1
Collins – G. S. Collins, H. J. Melosh, R. A. Marcus: Earth Impact Effects Program: A Web-
based computer program for calculating the regional environmental consequences of a meteoroid
impact on Earth // http://www.lpl.arizona.edu/~marcus/CollinsEtAl2005.pdf
Dole – Stephen H. Dole: Habitable Planets for Man //
http://www.rand.org/pubs/commercial_books/2007/RAND_CB179-1.pdf
Grießmeier — J.–M. Grießmeier et al.: Predicting low-frequency radio fluxes of known
extrasolar planets // arXiv: 0806.0327v1
Izzo – D. Izzo: On the deflection of potentially hazardous objects //
http://www.esa.int/gsp/ACT/doc/MAD/pub/ACT-RPR-MAD-2005-
OnTheDeflectionOfPotentiallyHazardousObjects.pdf
Jones – B. W. Jones, P. N. Sleep, D. R. Underwood: Habitability of known exoplanetary systems
based on measured stellar properties // arXiv: 0603200
Noyola – J. P. Noyola, S. Satyal and Z. E. Musielak: Detection of Exomoons Through
Observation of Radio Emissions // arXiv:1308.4184v4
Seager – S. Seager, M. Kuchner, C. A. Hier-Majumder, B. Militzer: Mass-Radius Relationships
for solid exoplanets // arXiv: 0707.2895v1
Soker – N. Soker: Detecting planets in planetary nebulae // http://ads.inasan.ru/cgi-bin/nph-
bib_query?bibcode=1999MNRAS.306..806S&db_key=AST&high=41e39e6fd828477
Valencia – D. Valencia, R. J. O’Connell, D. D. Sasselov: Inevitability of Plate Tectonics on
Super-Earths // arXiv: 0710.0699v1
Куликовский — Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии. Изд. 3. М., 1961
Сорохтин — Сорохтин О. Г., Ушаков С. А. Развитие Земли //
http://macroevolution.narod.ru/sorohtin.htm
44
