calculo vectorial

1. Tema 04:
Electrostática
Campos Electromagnéticos, IEIE 62
Jorge Rabanal-Arabach, PhD
jorge.rabanal@uantof.cl

2. Esquema del Tema 04
Campo eléctrico debido a cargas puntuales
Campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas
Potencial eléctrico
Energía en campos electroestáticos
Condiciones de borde en electroestática
Dispositivos electroestáticos
2
4a
4b
4c
4d
4e
4f

3. Dispositivos Electroestáticos
Campos Electromagnéticos, IEIE 62
Jorge Rabanal-Arabach, PhD
jorge.rabanal@uantof.cl

4. Agenda
4
• Ecuación de Poisson.
• Ecuación de Laplace.
• Resistores.
• Capacitores.
• Ejemplo de aplicación de los conceptos.

5. Ecuación de Poisson
Medio Inhomogéneo Medio Homogéneo
• La permitividad es constante en todo el
medio (no varía)
5
  V
V
 
   
 
 
  V
V


   
 
 
2 V
V


  

6. Ecuación de Laplace
Medio Inhomogéneo Medio Homogéneo
• La permitividad es constante en todo el
medio (no varía)
6
  0
V

  
 
 
2 V
V


  
2
0
V
 
La ecuación de Laplace es un caso particular de Poisson, cuando la carga es nula
Laplaciano
2


7. Ecuación de Laplace
7
¿Bajo qué condiciones no hay carga en electrostática?
+ + + + + + + + + + + + +
− − − − − − − − − − − − −
No hay carga entre las placas
2
0
V
 

8. Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson
Nombre Medio Inhomogéneo Medio Homogéneo
Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace
8
Notas
  V
V
 
   
 
 
  0
V

  
 
 
2 V
V


  
2
0
V
 
• Las ecuaciones de Poisson y Laplace describen como un potencial eléctrico varía a lo largo de un
volumen.
• Son ecuaciones diferenciales escalares, usualmente más fácil de resolver que ecuaciones
diferenciales vectoriales.
• Usar Poisson cuando hay carga y Laplace cuando ésta no existe.
• La ecuación de Laplace es importante en electrostática porque puede ser usada para calcular el
potencial eléctrico alrededor de conductores mantenidos a diferentes voltajes.
• El teorema de la singularidad indica que no existe solución única.

9. Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson
9
Recomendaciones para resolver ecuación de Laplace
Las ecuaciones de Laplace se resuelve como un problema de frontera (i.e., ecuaciones diferenciales
parciales más condiciones de borde)
1. Seleccionar el sistema de coordenadas a conveniencia que simplifique las matemáticas.
2. Resolver la ecuación de Laplace ∇2𝑉 = 0 en cada región homogénea
1. Cuando el V está en función de sólo una variable, usar integración directa.
2. Caso contrario, usar separación de variables (superposición).
3. Aplicar las condiciones de frontera a los bordes de la región homogénea.
4. Calcular 𝐸 a partir de 𝑉 usando 𝐸 = −∇𝑉.
5. Calcular 𝐷 a partir de 𝐸 usando 𝐷 = 𝜀𝐸.

10. Resistores
• Un resistor es un elemento pasivo, de dos terminales, que limita
la conductividad del sistema, por tanto limitando el fujo de
corriente.
10

11. Resistores
11
S
V
R
I


I
V
J
=?

12. Resistores
12
S
V
R
I


I
V
J
• Ley de Ohm
• Intensidad de Campo Eléctrico
• Densidad de Corriente Eléctrica
J E


V
E 
En un Medio Homogéneo
R
S S


  
I
J
S


13. Resistores
13
S
V
R
I


I
V
J
Considerando un análisis electromagnético
• Voltaje en el conductor
• Corriente a través del conductor
V E d
  

En un Medio no-Homogéneo
S
E d
R
E ds

 
 



S
I J ds
 
 S
E ds

 


14. Resistores
14
Receta para analizar un resistor
1. Seleccionar el sistema de coordenadas a conveniencia que simplifique las matemáticas.
2. Asumir 𝑉0 como el potencial de referencia a través de los terminales del conductor.
3. Calcular el potencial eléctrico 𝑉 resolviendo la ecuación de Laplace ∇2𝑉 = 0.
4. Calcular 𝐸 usando 𝐸 = −∇𝑉.
5. Calcular 𝐼 a partir de 𝐼 = 𝑆
𝜎𝐸 ⋅ 𝑑𝑠.
6. Calcular 𝑅 usando 𝑅 = 𝑉0
𝐼.

15. Capacitores
• Un capacitor es un componente eléctrico pasivo de dos
terminales, el cual permite almacenar y liberar energía eléctrica.
Proporciona una corriente tal que el voltaje entre sus terminales
se mantiene constante.
15

16. Capacitores
• Se define como capacitancia a la magnitud de la carga en una de las placas a la
diferencia de potencial entre las dos placas.
16
Concepto de Capacitancia
Q

Q

0
Q
C
V



17. Capacitores
17
Receta para analizar un capacitor
1. Seleccionar el sistema de coordenadas a conveniencia que simplifique las matemáticas.
2. Identificar que placas acarrea que carga, +𝑄 y −𝑄.
3. Calcular 𝐷 usando la Ley de Gauss.
4. Calcular 𝐸 usando 𝐸 = 𝐷
𝜀.
5. Calcular 𝑉0 usando 𝑉0 = − 𝐿
𝐸 ⋅ 𝑑ℓ.
6. Calcular 𝐶 usando 𝐶 = 𝑄
𝑉0
.

18. Capacitores
18
Geometrías simples
S
C
d


2
ln
L
C
b
a


 
 
 

20. Actividades Asíncronas, S06
Actividad Grupal: Hacer video explicativo (max. 20 min.) sobre:
• Plantear y desarrollar 2 problemas sobre electroestática, que incluyan:
• Tema 04: Electrostática
• Campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas.
• Dispositivos electroestáticos.
• Ecuación de Laplace (condición de borde).
• REF: SADIKU cap.4, cap.5
• Entregable: video en plataforma MS Stream.
• Responder Quiz (sumativo) : Tema 4