2. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται
στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου
βαθμού καθώς και των εξισώσεων 2ου βαθμού με
αρνητική διακρίνουσα.
Ειδικότερα η εξίσωση x2 = –1 δεν έχει λύση στο
σύνολο R των πραγματικών αριθμών, αφού το
τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη
αρνητικός αριθμός.
Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
3. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C είναι ένα
σύνολο το οποίο περιέχει:
όλους τους πραγματικούς αριθμούς
το στοιχείο i για το οποίο ισχύει i2=1
όλα τα στοιχεία της μορφής α+βi, όπου α, β IR
Συνεπώς:
4. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
ΟΡΙΣΜΟΣ :
Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα
υπερσύνολο του συνόλου IR των πραγματικών
αριθμών, στο οποίο:
επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του
πολλαπλασιασμού, έτσι ώστε να έχουν τις ίδιες
ιδιότητες όπως και στο IR , με το 0 να είναι το
ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 το
ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού
υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε i2=−1
κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό
τρόπο με τη μορφή z=α+βi όπου α, βIR
5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, βIR,
ισχύουν τα εξής:
το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και
συμβολίζεται α=Re(z)
το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και
συμβολίζεται β=Im(z)
π.χ. z = 5 + 3i
6. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, βIR,
ισχύουν τα εξής:
το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και
συμβολίζεται α=Re(z)
το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και
συμβολίζεται β=Im(z)
π.χ. z = 5 + 3i
7. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, βIR,
ισχύουν τα εξής:
το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και
συμβολίζεται α=Re(z)
το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και
συμβολίζεται β=Im(z)
π.χ. z = 5 + 3i
Re(z)=5
8. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, βIR,
ισχύουν τα εξής:
το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και
συμβολίζεται α=Re(z)
το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και
συμβολίζεται β=Im(z)
π.χ. z = 5 + 3i
9. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, όπου α, βIR,
ισχύουν τα εξής:
το α λέγεται πραγματικό μέρος του z και
συμβολίζεται α=Re(z)
το β λέγεται φανταστικό μέρος του z και
συμβολίζεται β=Im(z)
π.χ. z = 5 + 3i
Im(z)=3
13. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός
αν α=0, τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός
14. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός
αν α=0, τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός
Ως γνωστόν το σύνολο των πραγματικών αριθμών
συμβολίζεται IR.
Αντιστοίχως το σύνολο των φανταστικών αριθμών
συμβολίζεται Ι
15. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
αν β=0, τότε ο z είναι πραγματικός αριθμός
αν α=0, τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός
Ως γνωστόν το σύνολο των πραγματικών αριθμών
συμβολίζεται IR.
Αντιστοίχως το σύνολο των φανταστικών αριθμών
συμβολίζεται Ι
Όταν λέμε ο μιγαδικός z=α+βi, εννοούμε ότι α, βIR
και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα
24. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0
απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,βIR.
Αν α, βC τότε η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει.
25. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0
απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,βIR.
Αν α, βC τότε η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει.
β) Στο σύνολο C δεν υπάρχει διάταξη των αριθμών.
26. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Για να ισχύει α+βi=0 α=β=0
απαραίτητη προϋπόθεση είναι να ισχύει α,βIR.
Αν α, βC τότε η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει.
β) Στο σύνολο C δεν υπάρχει διάταξη των αριθμών.
Για παράδειγμα αν υπήρχε διάταξη τότε θα έπρεπε
να ισχύει i2>0 1>0 που είναι προφανώς άτοπο.
27. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z=α+βi με α,βIR.
Μπορούμε στο z να αντιστοιχίσουμε το σημείο
Μ(α, β) του επιπέδου ή το διάνυσμα .
Αλλά και αντίστροφα σε κάθε σημείο Μ(α, β) του
επιπέδου μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το
μιγαδικό z=α+βi.
Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού z και
συμβολίζεται Μ(z).
Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών αριθμών
30. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Ο άξονας xx΄ λέγεται πραγματικός άξονας αφού περιέχει τα
σημεία Μ(α, 0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών
z=α+0i
31. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Ο άξονας xx΄ λέγεται πραγματικός άξονας αφού περιέχει τα
σημεία Μ(α, 0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών
z=α+0i
Πραγματικός
άξονας
32. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Ο άξονας yy΄ λέγεται φανταστικός άξονας αφού περιέχει τα
σημεία Μ(0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών αριθμών
z=0+βi
33. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Ο άξονας yy΄ λέγεται φανταστικός άξονας αφού περιέχει τα
σημεία Μ(0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών αριθμών
z=0+βi
Φανταστικός
άξονας
36. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Σύμφωνα με τον ορισμό του ₵, η πρόσθεση και ο
πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται
όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με
διώνυμα α + βx στο IR, όπου βέβαια αντί για x
έχουμε το i .
Έστω z1, z2C με z1=α+βi και z2=γ+δi όπου
α,β,γ,δIR. Οι πράξεις μεταξύ των μιγαδικών
αριθμών γίνονται ως εξής:
Πράξεις μιγαδικών αριθμών
57. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των
μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι το άθροισμα των
διανυσματικών ακτίνων τους
Απόδειξη
Αν M1 (α, β) και M2 (γ,δ)
είναι οι εικόνες των
z=α + βi και w=γ + δi
αντιστοίχως στο μιγαδικό
επίπεδο, τότε το άθροισμα
z+w = (α + γ) + (β + δ)i,
παριστάνεται με το σημείο
M(α + γ, β + δ)
πατήστε στην εικόνα
58. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των
μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των
διανυσματικών ακτίνων τους
Απόδειξη
Αν M1 (α, β) και M2 (γ,δ)
είναι οι εικόνες των
z=α + βi και w=γ + δi
αντιστοίχως στο μιγαδικό
επίπεδο, τότε η διαφορά
z - w = (α - γ) + (β - δ)i,
παριστάνεται με το σημείο
Ν(α - γ, β - δ)
πατήστε στην εικόνα
81. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Δύναμη μιγαδικού αριθμού
Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με ακέραιο
εκθέτη ορίζονται όπως και στους πραγματικούς
αριθμούς. Δηλαδή:
zν= με ν θετικό ακέραιο και ν>1
z0=1
zν = για κάθε θετικό ακέραιο ν
παράγοντεςν
zzz
ν
z
1
82. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Άρα ισχύουν οι σχέσεις:
i1=i, i2=1, i3=i2i=1i=i, i4=i2i2=1(1)=1
Ειδικά για τον υπολογισμό των δυνάμεων iν, νN
εργαζόμαστε ως εξής:
Έστω ν=4ρ+υ όπου υ{0,1,2,3}, τότε:
iν = i4ρ+υ = i4ρiυ = (i4)ρiυ = iυ =
3υαν,i
2υαν,1
1υανi,
0υαν,1
95. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Συζυγής μιγαδικού αριθμού
Έστω z=α+βi₵ με α,βIR.
Τότε ο αριθμός αβi ονομάζεται συζυγής του z
και συμβολίζεται με ,
Δηλαδή =αβi.
Z
Z
96. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(α, β) και M'(α,–β)
δύο συζυγών μιγαδικών z = α + βi και = α – βi είναι
σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα.
Z
πατήστε στην εικόνα
98. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Οι εικόνες των συζυγών αριθμών z, είναι συμμετρικά σημεία ως
προς τον xx΄.
β) =z zIR
γ =z zI
δ) Για να δείξουμε ότι η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο x2+y2=ρ2
αρκεί να δείξουμε ότι z = ρ2
z
z
z
99. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Λύση της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 με α0
Ως γνωστόν η εξίσωση = 1 δεν έχει λύση στο IR. Επειδή όμως στο
₵ ισχύει = 1 , η εξίσωση μπορεί να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών
αριθμών ως εξής:
Ομοίως:
2
x
2
i
ixήixix1x 222
i3xήi3xi3x9x
222
100. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Λύση της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 με α0
Ως γνωστόν η εξίσωση = 1 δεν έχει λύση στο IR. Επειδή όμως στο
₵ ισχύει = 1 , η εξίσωση μπορεί να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών
αριθμών ως εξής:
Ομοίως:
Γενικά μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι κάθε εξίσωση δεύτερου
βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο ₵.
2
x
2
i
ixήixix1x 222
i3xήi3xi3x9x
222
101. ΘΕΩΡΗΜΑ
Η εξίσωση αz2+βz+γ=0 με α,β,γIRκαι α0 έχει πάντα λύση στο ₵.
Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ=β24αγ και στη συνέχεια
διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές κι άνισες λύσεις
z1,2=
αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση
z0=
αν Δ<0 τότε η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές συζυγείς λύσεις
z1,2=
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α2
Δβ
α2
β
α2
Δiβ
103. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Σε κάθε περίπτωση ισχύουν οι τύποι του Vieta, δηλαδή:
z1+z2= και z1z2= .
β) Οι λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης στο σύνολο των
μιγαδικών ₵, είναι πάντοτε συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί
α
β
α
γ