1. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΘΕΩΡΙΑ
§ 2.3

2. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Μέτρο μιγαδικού αριθμού
Έστω M(x,y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z=x+yi στο
μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση
του Μ από την αρχή Ο δηλαδή:
22
yxOM|z| 

3. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Όταν ο μιγαδικός αριθμός είναι της μορφής z=x+0i,
δηλαδή είναι πραγματικός αριθμός, τότε το μέτρο
του z είναι :
|x|x0x|z| 222

Δηλαδή είναι η γνωστή απόλυτη τιμή πραγματικού
αριθμού.

4. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |z

5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |
β) |z|2=z
z
z

6. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |
β) |z|2=z
γ) |z1z2|=|z1||z2|
z
z

7. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |
β) |z|2=z
γ) |z1z2|=|z1||z2|
γενικά αποδεικνύεται ότι: |z1z2…zν|=|z1||z2|…|zν|
z
z

8. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |
β) |z|2=z
γ) |z1z2|=|z1||z2|
γενικά αποδεικνύεται ότι: |z1z2…zν|=|z1||z2|…|zν|
δ) |zν|=|z|ν για κάθε νN.
z
z

9. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |
β) |z|2=z
γ) |z1z2|=|z1||z2|
γενικά αποδεικνύεται ότι: |z1z2…zν|=|z1||z2|…|zν|
δ) |zν|=|z|ν για κάθε νN.
ε)
z
z
|z|
|z|
z
z
2
1
2
1


10. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Για το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
α) |z|=|z|=| |
β) |z|2=z
γ) |z1z2|=|z1||z2|
γενικά αποδεικνύεται ότι: |z1z2…zν|=|z1||z2|…|zν|
δ) |zν|=|z|ν για κάθε νN.
ε)
στ)  |z1+z2|  |z1|+|z2|
z
z
|z|
|z|
z
z
2
1
2
1

21 zz 

11. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Η ιδιότητα |z1z2|=|z1||z2| αποδεικνύεται ως εξής:

12. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Η ιδιότητα |z1z2|=|z1||z2| αποδεικνύεται ως εξής:
|z1z2|=|z1||z2|

13. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Η ιδιότητα |z1z2|=|z1||z2| αποδεικνύεται ως εξής:
|z1z2|=|z1||z2|  |z1z2|2 = |z1|2|z2|2

14. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Η ιδιότητα |z1z2|=|z1||z2| αποδεικνύεται ως εξής:
|z1z2|=|z1||z2|  |z1z2|2 = |z1|2|z2|2 
 (z1z2)(  ) = z1  z2 1z 2z 1z 2z

15. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Ιδιότητες μέτρου μιγαδικού
Η ιδιότητα |z1z2|=|z1||z2| αποδεικνύεται ως εξής:
|z1z2|=|z1||z2|  |z1z2|2 = |z1|2|z2|2 
 (z1z2)(  ) = z1  z2  
 z1z2  = z1  z2 
1z 2z 1z 2z
2z1z 1z 2z

16. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ

17. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Δεν ισχύει |z|2=z2 για κάθε z₵.

18. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Δεν ισχύει |z|2=z2 για κάθε z₵.
Η παραπάνω ισότητα ισχύει μόνο αν zIR.

19. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Δεν ισχύει |z|2=z2 για κάθε z₵.
Η παραπάνω ισότητα ισχύει μόνο αν zIR.

20. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
α) Δεν ισχύει |z|2=z2 για κάθε z ₵.
Η παραπάνω ισότητα ισχύει μόνο αν zIR.
π.χ. |i|2=|i2|=|1|=1 και i2=1 άρα |i|2i2.

21. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR

22. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR
Απόδειξη :
22
z|z| 

23. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR
Απόδειξη :
2
_
22
zzzz|z| 

24. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR
Απόδειξη :
0zzzzzzz|z|
_
22
_
22


25. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR
Απόδειξη :
0)zz(z0zzzzzzz|z|
__
22
_
22


26. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR
Απόδειξη :
_
__
22
_
22
zzή0z
0)zz(z0zzzzzzz|z|



27. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
β) Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
 |z|2=z2  zIR
Απόδειξη :
Rzzzή0z
0)zz(z0zzzzzzz|z|
_
__
22
_
22



28. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
 |z|2=  z2  zΙ
.

29. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.

30. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.
22
z|z| 

31. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
2
_
22
zzzz|z| 
 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.

32. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
0zzzzzzz|z|
_
22
_
22

 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.

33. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
0)zz(z0zzzzzzz|z|
__
22
_
22

 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.

34. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
zzή0z
0)zz(z0zzzzzzz|z|
_
__
22
_
22


 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.

35. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Izzzή0z
0)zz(z0zzzzzzz|z|
_
__
22
_
22


 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.

36. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
Izzzή0z
0)zz(z0zzzzzzz|z|
_
__
22
_
22


 |z|2=  z2  zΙ
Απόδειξη :
.
Τις σχέσεις αυτές τις χρησιμοποιούμε για να δείξουμε αν
ένας αριθμός είναι πραγματικός ή φανταστικός.

37. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
γ) Προσοχή: z1 = z2  |z1| = |z2|.
To αντίστροφο δεν ισχύει.
Δηλαδή από την ισότητα μιγαδικών περνάμε στην ισότητα μέτρων,
το αντίστροφο όμως δεν ισχύει,
π.χ. |1+i|=|1i|  1+i ≠ 1i

38. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
δ) Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει:
|z|=0  z=0

39. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
δ) Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει:
|z|=0  z=0
διότι:
0|z| 

40. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
δ) Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει:
|z|=0  z=0
διότι:
0yx0|z| 22


41. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
δ) Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει:
|z|=0  z=0
διότι:
0z0yx0yx0yx0|z| 2222


42. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
ε)
Το μέτρο της διαφοράς δύο
μιγαδικών αριθμών εκφράζει
γεωμετρικά την απόσταση
των εικόνων τους.
Αν z, wC και Μ, N οι εικόνες
τους αντίστοιχα, τότε ισχύει:
OMONMN 
άρα και
zw|MN| 
Επομένως:

43. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
στ) Επειδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών
ισούται με την απόσταση των εικόνων τους, προκύπτει ότι:
 η εξίσωση |zz0|=ρ με ρ>0 παριστάνει κύκλο με κέντρο την
εικόνα του z0C και ακτίνα ρ

44. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
στ) Επειδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών
ισούται με την απόσταση των εικόνων τους, προκύπτει ότι:
 η εξίσωση |zz1|=|zz2| παριστάνει τη μεσοκάθετο του
ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν οι εικόνες των z1, z2
(z1z2)

45. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ
στ) Επειδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών
ισούται με την απόσταση των εικόνων τους, προκύπτει ότι:
 η εξίσωση |zz1|+|zz2|=2α με α>0 παριστάνει έλλειψη με
εστίες τις εικόνες των z1, z2 σταθερό άθροισμα 2α
(z1z2 και |z1z2|=2α)
 η εξίσωση ||zz1||zz2||=2α με α>0 παριστάνει στο
μιγαδικό επίπεδο υπερβολή (z1z2 και |z1z2|=2α)

46. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ