Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang statistika deskriptif dalam bahasa R, termasuk rerata, median, minimum, maksimum, histogram, dan plot. Secara khusus, dibahas cara menghitung dan menampilkan rerata, median, serta grafik seperti scatter plot, histogram, dan ecdf plot untuk dataset iris dan eruption dalam R.

1. 47
V.1. Statistika deskriptif
V.1.1. Rerata (Mean)
Rerata merupakan deskripsi statistika yang menggambarkan tentang nilai rata-rata
dari suatu sample. Perhitungan rerata secara matematis adalah sebagai berikut:
∑=
n
i
ixnmean */1
Dalam R terdapat fungsi untuk menghitung nilai rerata sampel. Fungsi yang
digunakan adalah mean(x) ataupun dengan menggunakan fungsi summary(x).
Sebagai contoh, digunakan data dari datapackage yang sudah tersedia di R, pilih
salah satu data (misalkan Nile). Kemudian hitung nilai rerata sampel, dengan
menuliskan
> data()
> data(Nile)
> Nile
Time Series:
Start = 1871
End = 1970
Frequency = 1
[1] 1120 1160 963 1210 1160 1160 813 1230 1370 1140 995 935 1110
[14] 994 1020 960 1180 799 958 1140 1100 1210 1150 1250 1260 1220
[28] 1030 1100 774 840 874 694 940 833 701 916 692 1020 1050
[41] 969 831 726 456 824 702 1120 1100 832 764 821 768 845
[54] 864 862 698 845 744 796 1040 759 781 865 845 944 984
[67] 897 822 1010 771 676 649 846 812 742 801 1040 860 874
[80] 848 890 744 749 838 1050 918 986 797 923 975 815 1020
[94] 906 901 1170 912 746 919 718 714 740
R untuk Pengolahan &
Analisis Statistik
BAB
V

2. 48
> mean(Nile)
[1] 919.35
> summary(Nile)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
456.0 798.5 893.5 919.4 1033.0 1370.0
Hasil tersebut di atas adalah menunjukkan tentang data Nile yang terdiri dari 100 data
dengan nilai rerata 919.35. Selain rerata ada pula nilai statistik lainnya, yaitu
minimum, kuartil pertama, nilai tengah (median), kuartil ke tiga dan maksimum.
Nilai-nilai tersebut ditampilkan dengan menjalankan fungsi summary().
V.1.2. Nilai Tengah (median)
Seperti halnya dengan rerata, R juga menyediakan fungsi untuk mencari nilai tengah
(median) sampel dengan menuliskan fungsi median().
Sebagai contoh, dapat digunakan data seperti mencari nilai rerata sebelumnya untuk
menghitung nilai tengah (median):
> median(Nile)
[1] 893.5
V.1.3. Nilai minimum dan maksimum
R menyediakan fasilitas untuk mencari nilai minimum dan maksimum suatu data,
yaitu dengan digunakan perintah min() dan max()
> min(x) # untuk nilai minimum, dan
> max(x) # untuk nilai maksimum
V. 2. Grafik
R dilengkapi dengan fasilitas untuk visualisasi statistik dalam bentuk grafik, baik
statistik, kontur, map, dll. Sistem grafik di R terdiri dari dua sistem: sistem
(dasar/default) yang terdapat dalam paket graphics dan sistem trellis yang terdapat
dalam paket lattice. Grafik di R dapat diatur sesuai keperluan. Untuk melihat
lebih detil mengenai fitur grafik dalam R, pilih menu Help di menu R kemudian pilih
Manual (dalam format pdf) atau HTML help. Untuk mendapatkan gambaran langsung
tentang grafik dalam R, dapat dilihat dalam fungsi demo(), dengan menuliskan
> demo() # untuk melihat jenis-jenis demo
> demo(graphics) # atau
> demo(image) # atau
> demo(persp) # atau
> demo(lattice) # sebelumnya diperlukan load package dan pilih
lattice pada menu di windows R anda; atau
> demo(package = .packages(all.available = TRUE)) # untuk melihat
semua jenis demo yang tersedia
Ket: untuk R versi 2.1.1, penulisan Return dituliskan setelah penulisan fungsi
demo()

3. 49
Grafik Dasar (Base)
Pengantar tentang prosedur grafik dapat dilihat di dokumen “Introduction to R” pada
menu Help ->Manual (dalam format pdf).
Berikut akan disajikan contoh pembuatan plot secara bertahap diawali dengan model
standar hingga pengaturan sesuai dengan yang diinginkan (customize). Contoh
berikut adalah pembuatan scatterplot untuk petal.length yang dibandingkan
dengan petal.width dari dataset iris. Default scatterplot dari dua variabel
dihasilkan oleh metod plot.default, yang secara otomatis digunakan oleh
perintah plot generik dimana argumennya merupakan dua vektor dengan panjang
yang sama seperti berikut ini:
> data(iris)
> str(iris)
‘data.frame’: 150 obs. of 5 variables:
$ Sepal.Length: num 5.1 4.9 4.7 4.6 5 5.4 4.6 5 4.4 4.9 …
$ Sepal.Width : num 3.5 3 3.2 3.1 3.6 3.9 3.4 3.4 2.9 3.1 …
$ Petal.Length: num 1.4 1.4 1.3 1.5 1.4 1.7 1.4 1.5 1.4 1.5 …
$ Petal.Width : num 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1 …
$ Species : Factor w/ 3 levels "setosa","versicolor",..:
1 1 1 1 1 1
Data tersebut di atas menyatakan bahwa data iris terdiri dari 5 variabel dimana setiap
variable terdiri dari 150 data observasi. Lima variable tersebut adalah: Sepal.Length,
Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width dan Species.
> attach(iris)
> plot(Petal.Length, Petal.Width)
Hasil dari perintah tersebut terlihat pada Grafik 5.1 (merupakan bentuk grafik secara
default). Dalam grafik tersebut, sumbu x dan sumbu y berasal dari argumen pertama
(Petal.Length) dan argumen kedua (Petal.Width), dari pernyataan
plot(argument_1, argument_2).

4. 50
Gambar 5.1: Scatter plot data variabel Petal
Grafik 5.1 di atas dapat dilengkapi untuk menunjukan dependensi argumen dimana
sumbu y sebagai variabel dependen. Hal tersebut dilakukan dengan menuliskan
perintah seperti berikut, dimana variable terikat terletak sebelah kiri:
> plot(Petal.Width ~ Petal.Length,)
Pada Gambar 5.1 bentuk grafik sangat standart, sehingga perlu dilengkapi dengan
beberapa keterangan tambahan untuk memperjelas dan mempermudah dalam
melakukan interpretasi grafik. Hal ini dapat dilakukan dengan menambahkan fitur
warna atau simbol dalam tampilan grafik. Untuk hal tersebut, R mempunyai fasilitas
pewarnaan (yaitu dengan argumen col), simbol (dengan argumen pch), ukuran
(dengan argumen cex), label/nama sumbu kordinat (dengan argumen xlab dan
ylab), judul grafik (dengan argumen main). Beberapa jenis warna yang disediakan
dalam R dapat diketahui dengan menggunakan perintah colours(), dimana akan
ditampilan daftar warna-warna tersebut.
> colours()
[1] "white" "aliceblue" "antiquewhite"
[4] "antiquewhite1" "antiquewhite2 " antiquewhite3"
…
[655] "yellow3" "yellow4" "yellowgreen"
sedangkan fungsi palette() dapat digunakan untuk menampilkan daftar warna
dalam bilangan numeric:
> palette()
[1] "black" "red" "green3" "blue" "cyan" "magenta" "yellow"
[8] "gray"

5. 51
Selain warna, simbol juga dapat digunakan untuk menampilkan tanda plot.
Spesifikasi simbol dapat dilakukan dengan menentukan karakter yang akan
digunakan (misalkan asterik ”*”) atau kode integer dari simbol tersebut. Gambar 5.2
menunjukkan simbol dan kodenya. Simbol dengan kode 21-26 memiliki fill (warna
latar) yang dispesifikasikan pada argumen bg, spesifikasi warna utama dengan
argumen col menspesifikasikan garis border.
Gambar 5.2: Simbol dan kode dalam R
Berikut ini merupakan contoh yang menampilkan grafik plot yang dilengkapi dengan
pewarnaan, modifikasi ukuran dan pemilihan simbol plotting. Penulisannya adalah
sebagai berikut:
> plot(1, 1, xlim=c(1, 7.5), ylim=c(0,5), type="n")
> points(1:7, rep(4.5, 7), cex=1:7, col=1:7, pch=0:6)
> text(1:7,rep(3.5, 7), labels=paste(0:6), cex=1:7, col=1:7)
> points(1:7,rep(2,7), pch=(0:6)+7) # Plot simbol 7 hingga 13
> text((1:7)+0.25, rep(2,7), paste((0:6)+7)) # Label dengan bilangan simbol
> points(1:7,rep(1,7), pch=(0:6)+14) # Plot symbols 14 hingga 20
> text((1:7)+0.25, rep(1,7), paste((0:6)+14)) # Labels dengan bilangan simbol
dan akan menghasilkan Gambar 5.3 sebagai berikut:

6. 52
Gambar 5.3: Simbol, Kode dan Warna dalam R
Setelah kita mengetahui bentuk dan kode simbol, maka berikut ini akan dilakukan
penggunaan simbol, warna dan modifkasi lain untuk menggambarkan plot/grafik dari
contoh sebelumnya dengan menuliskan perintah seperti berikut:
> plot(Petal.Length, Petal.Width, pch=20, cex=1.2,
+ xlab=" Petal length (cm)", ylab="Petal width (cm)",
+ main="Data Anderson Iris",
+ col=c("slateblue","firebrick",darkolivegreen")
+ [as.numeric(Species)])
Data menunjukkan dengan jelas bahwa ukuran spesies berbeda (Sentosa paling kecil,
Versicolor menengah, Virginica terbesar) tetapi rasio petal length dan weight sama
untuk ketiga ukuran tersebut.
Gambar 5.4: Grafik scatterplot data Iris

7. 53
V.2.1. Histogram
Selain plot, bentuk representasi grafis lainnya yang paling mudah digunakan untuk
menggambarkan sebaran data adalah histogram. R menyediakan fasilitas fungsi
histogram yang digunakan untuk mengetahui sebaran sampel suatu data. Sebagai
catatan: histogram ataupun boxplot, digunakan untuk satu variable.
Sebelum kita mencoba untuk menggunakan fasilitas histogram, maka perlu sedikit
penjelasan yang berkaitan dengan histogram, yaitu:
• histogram digunakan untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas
densitas (probability density function);
δδ
δ
/)(Prlim)(
0
xXxobxf ≤<−=
→
• histogram ditentukan pula oleh bin/lebar batang;
• sumbu- y dalam histogram dapat berupa frekuensi kemunculan atau proporsi;
• tidak ada estimasi statistik yang dapat dibaca langsung dari histogram, namun
• dengan histogram kita dapat menduga kemiringan, sifat/behavior pada tail
atau ujung kurva, dan outlier data;
• histogram dapat dibandingkan sebagai suatu distribusi analitik standar.
Selain histogram, R juga menyediakan plot yang fungsinya menyerupai histogram
yakni stem-and-leaf plot dengan penulisan:
> stem(variabel)
Sebagai contoh, gunakan variabel eruptions dari tabel data faithful, dengan
menuliskan:
> attach(faithful)
> summary(eruptions)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.600 2.163 4.000 3.488 4.454 5.100
> fivenum(eruptions)
[1] 1.6000 2.1585 4.0000 4.4585 5.1000
> stem(eruptions)
The decimal point is 1 digit(s) to the left of the |
16 | 070355555588
18 | 000022233333335577777777888822335777888
20 | 00002223378800035778
22 | 0002335578023578
24 | 00228
26 | 23
28 | 080
30 | 7
32 | 2337
34 | 250077
36 | 0000823577
38 | 2333335582225577

8. 54
40 | 0000003357788888002233555577778
42 | 03335555778800233333555577778
44 | 02222335557780000000023333357778888
46 | 0000233357700000023578
48 | 00000022335800333
50 | 0370
Kita juga dapat melihat sebaran data dalam plot histogram yaitu dengan
menggunakan fungsi hist()
> hist(eruptions)
Gambar 5.5: Grafik histogram data eruptions
Pada Gambar 5.5 di atas, fungsi hist() menggunakan jarak antar batang (disebut
bin) cukup besar. Untuk membuat bin lebih kecil, diperlukan tambahan atribut
dengan menuliskan:
> hist(eruptions, seq(1.6, 5.2, 0.2), prob=TRUE)
Pada perintah di atas, argumen seq(1.6, 5.2, 0.2) adalah histogram
menggunakan range dari 1.6 hingga 5.2 dengan lebar bin 0.2. Sehingga tampilan
grafik histogram adalah sebagai berikut:

9. 55
Gambar 5.6: Grafik histogram data eruption berdasarkan lebar bin 0.2
Gambar 5.6 di atas menunjukkan lebar batang histogram yang lebih kecil dibanding
Gambar 5.5. Apabila ingin ditambahkan garis pada data densitas, maka dapat
menggunakan fungsi lines()seperti berikut:
> lines(density(eruptions, bw = 0.1))
Keterangan: bw adalah bandwidth (lebar pita), dengan nilainya berdasarkan trial and
error.
Gambar 5.7: Grafik histogram data eruptions dengan bw = 0.1
Untuk menampilkan point data aktual digunakan fungsi rug() sbb:
> rug(eruptions)

10. 56
Gambar 5.8: Grafik histogram data eruption dengan data aktual
Selain histogram, R dapat memplot fungsi distribusi kumulatif empiris dengan
menggunakan fungsi ecdf():
> plot(ecdf(eruptions), do.points=FALSE, verticals=TRUE)
Gambar 5.9: Plot 1 ecdf data eruption
Distribusi ecdf di atas masih jauh dari standar distribusi yang ada. Untuk itu dapat
dicobakan dengan mencocokkan distribusi normal dan “menutupi” fungsi distribusi
kumulatif (ecdf) sebelumnya. Penulisannya adalah sebagai berikut:
> long <- eruptions[eruptions > 3]
> plot(ecdf(long), do.points=FALSE, verticals=TRUE)

11. 57
Gambar 5.10: Plot 2 ecdf data eruption
> x <- seq(3, 5.4, 0.01)
> lines(x, pnorm(x, mean=mean(long), sd=sqrt(var(long))), lty=3)
Gambar 5.11: Plot 3 ecdf data eruption
V.2.2. Q-Q (Quantile – Quantile)
Selain histogram sebagai alat untuk memplot sebaran data suatu variabel adalah
Quantile – Quantile (Q-Q) plot. Q-Q plot dapat digunakan untuk memplot variable
secara lebih teliti berdasarkan nilai quantile data.
Q-Q plot adalah suatu scatter plot yang membandingkan distribusi empiris dengan
fitted distribution dalam kaitannya dengan nilai dimensi suatu variabel (misalkan:
nilai quantile empiris). Q-Q plot dapat memplot dengan baik jika dataset diperoleh
dari populasi yang sudah diketahui.

12. 58
Q-Q plot dalam R dibagi menjadi dua, yaitu:
• qqnorm(variabel); untuk menguji goodness of fit dari distribusi
Gaussian. qqnnorm() disebut juga sebagai plot probabilitas normal.
• qqplot(variabel); untuk sebarang jenis distribusi
Melanjutkan contoh sebelumnya, untuk data eruptions, penggunaan Q-Q plot
dituliskan sbb:
> par(pty="s") # mengatur pembuatan daerah gambar berbentuk kotak
> qqnorm(long)
Gambar 5.12: Plot1 Q-Q Normal
> qqline(long)
Gambar 5.13: Plot 2 Q-Q Normal

13. 59
V.2.3. Boxplot
Selain dua alat untuk menggambarkan grafik untuk satu variable yang sudah
dijelaskan sebelumnya, terdapat fasilitas boxplot yang digunakan untuk melihat
sebaran data. Berikut adalah penjelasan tentang fitur dasar boxplot:
• Berguna untuk membanding banyak kelompok/grup.
• Dasarnya menggunakan 3 jenis summary: 3 quartil.
• Mudah dalam menampilkan nilai rerata (mean).
• Dapat diperluas untuk menampilkan persentil lainnya, terutama pada
ujung(tails) suatu distribusi.
R menyediakan fitur untuk menampilkan boxplot, dengan menuliskan fungsi
boxplot(variabel).
Untuk menjelaskan penggunaan fungsi boxplot(), berikut adalah contoh
menggambar grafik dengan menggunakan data faithful seperti pada contoh
sebelumnya.
> boxplot(eruptions)
Perintah di atas akan mendapatkan gambar boxplot dari variabel eruption seperti
berikut:
Gambar 5.14: Boxplot data eruption
Apabila ingin menambahkan judul gambar, maka penulisannya adalah:
> boxplot(eruptions, main=”Plot dengan Boxplot”)

14. 60
Gambar 5.15: Boxplot data eruption dengan nama titel
R menyediakan beragam bentuk penyajian grafik plot. Berikut adalah daftar plot
grafik dasar yang ada dalam R (beberapa ada yang termasuk dalam instalasi awal dan
adapula yang masuk dalam paket lain yang harus didownload dari CRAN):
Tabel 5.1: Jenis plot dalam R
Jenis Fungsi Plot Keterangan
assocplot Plot Asosiasi (Association)
barplot Plot Batang (Bar)
boxplot Plot Kotak (Box)
contour Plot Contour
coplot Plot Conditioning
dotchart Plot Cleveland Dot
filled.contour Plot Level (Contour)
fourfoldplot Plot Fourfold
hist Histogam
image Menampilkan suatu Warna Image
matplot Plot Kolom suatu Matriks
mosaicplot Plot Mosaic
pairs Matriks Scatterplot
persp Plot Perspektif
plot Plot X-Y Umum
stars Plot Star (Spider/Radar)
stem Plot Stem-and-Leaf
stripchart Plot Scatter 1-D
sunflowerplot Plot Scatter Sunflower

15. 61
Gambar 5.16 terdiri dari beberapa contoh tampilan grafik plot, yaitu boxplot, a
conditioning plot, pairwise scatterplot, dan star plot, yang kesemuanya mengaplikasikan dataset
Anderson iris. Perintah di R untuk menggambarkan grafik-grafik tersebut adalah :
> boxplot(Petal.Length ~ Species, horizontal=T,
+ col="lightblue", boxwex=.5,
+ xlab="Petal length (cm)", ylab="Species",
+ main="BoxPlot Group")
> coplot(Petal.Width ~ Petal.Length | Species,
+ col=as.numeric(Species), pch=as.numeric(Species))
> pairs(iris[,1:4], col=as.numeric(Species),
+ main="Pairwise scatterplot")
> stars(iris[,1:4], key.loc=c(2,35), mar=c(2, 2, 10, 2),
+ main="Star plot of individuals", frame=T)
boxplot
Conditioning plot
Pairwise scatterplot Star plot
Gambar 5.16: Contoh grafik plot

16. 62
V.2.4 Grafik Trellis
Sistem grafik trellis dalam R tersedia dalam paket lattice. Model grafik ini khususnya
digunakan untuk visualisasi multivariate apabila relasi antara variable berubah
bersama beberapa group factor yang disebut sebagai kondisi (conditioning) suatu
grafik terhadap factor. Metoda ini menggunakan formula yang similar dengan
formula statistic untuk menspesifikasikan variable yang akan diplot serta
hubungannya dalam plot.
Untuk memudahkan dalam penggunaannya, jenis plot dibagi berdasarkan banyaknya
variabel: satu variable (univariate), dua variable (bivariate), tiga variable (trivariate)
dan banyak variable (hypervariate).
Satu varibel/Univariate
Sebagai salah contoh univariate adalah membuat grafik plot densitas pada
keseluruhan data. Pada contoh ini digunakan dataset iris seperti contoh sebelumnya.
Berikut adalah metode yang digunakan untuk menampilkan plot densitas:
> densityplot(~ Petal.Length, data=iris,main=”Seluruh Spesies”)
Operator ~ tidak memiliki operan di sebelah kiri, karena tidak ada variable terikat
(dependent) dalam plot; ini menunjukkan sifat univariate. Petal.Length adalah
variable bebas (independent), dan diperoleh plotnya. Gambar 5.17(a) sebelah kiri
menunjukkan plot densitas univariate.
Pengkondisian dilakukan dengan menambahkan operator “|”, yang dapat dibaca
sebagai “pengkondisian pada” (conditioned on) satu (beberapa) variable pada sisi
kanan operator, seperti pada berikut ini:
> densityplot(~ Petal.Length | Species, data=iris)
Perintah tersebut akan menampilkan satu panel per spesies; seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 5.17(b). Pada gambar tersebut tampak jelas bahwa distribusi multi-
modal keseluruhan data set berdasarkan perbedaan distribusi untuk setiap spesies.
(a) (b)
Gambar 5.17 Plot densitas triller (a) tanpa dan (b) dengan pengkondisian faktor

17. 63
Jenis plot untuk satu variable (univariate) adalah seperti pada table 5.2 berikut:
Tabel 5.2: Jenis plot untuk satu variable
Jenis Keterangan
assocplot Plot hubungan (association)
barchart Plot batang (bar)
bwplot Plot box dan whisker
densityplot Plot kepadatan Kernel
dotplot Plot dot
histogram Histogram
qqmath Quantile plot distribusi matematis
stripplot Scatterplot 1 dimensi
Dua variable (Bivariate)
Salah satu metode membuat plot dua variable (bivariate) adalah xyplot, dimana
sumbu y adalah variable terikat dan sumbu x adalah variable bebas; variable tersebut
juga dapat dikondisikan terhadap satu atau lebih kelompok faktor seperti pada
perintah berikut.
> xyplot(Petal.Width ~ Petal.Length, data=iris,
+ groups=Species, auto.key=T,main=”Seluruh Spesies”)
> xyplot(Petal.Width ~ Petal.Length | Species, data=iris,
+ groups=Species,main=”Dipisah berdasarkan spesies”)
Gambar 5.18: Scatter plot triller (a) tanpa dan (b) dengan pengkondisian faktor
Gambar 5.18 menunjukkan penggunaan argumen group untuk menspesifikasikan
perbedaan cara menampilkan grafik (dalam hal ini warna) untuk setiap spesies, dan
argument auto.key untuk mendapatkan kunci sederhana terhadap warna yang
digunakan untuk setiap spesies. Motode lain yang ada di R untuk membentuk grafik
dengan bivariate adalah pada table 5.3 berikut:

18. 64
Tabel 5.3: Jenis plot untuk dua variable
Jenis Keterangan
qq Plot untuk membandingkan dua
distribusi
xyplot Plot scatter
Tiga variable(Trivariate)
Plot yang paling banyak digunakan untuk trivariate adalah levelplot dan
contourplot untuk melakukan plot 2D dari satu variable respon pada dua variable
terikat kontinu (misalkan, elevation vs. dua koordinat), metode wireframe untuk suatu
versi grafik 3D, dan metode cloud (awan) untuk scatter plot 3D dari tiga variable.
Semua dapat dikondisikan pada suatu factor tertentu. Gambar 5.19 menunjukkan
contoh yang dihasilkan dari kode berikut:
> pl1 <- cloud(Sepal.Length ~ Petal.Length * Petal.Width,
+ groups=Species,
+ data=iris, pch=20, main="Anderson Iris data, all species",
+ screen=list(z=30, x=-60))
> data(volcano)
> pl2 <- wireframe(volcano,
+ shade = TRUE, aspect = c(61/87, 0.4),
+ light.source = c(10, 0, 10), zoom=1.1, box=F,
+ scales=list(draw=F), xlab="", ylab="", zlab="",
+ main="Wireframe plot, Maunga Whau Volcano, Auckland")
> pl3 <- levelplot(volcano,
+ col.regions=gray(0:16/16),
+ main="Levelplot, Maunga Whau Volcano, Auckland")
> pl4 <- contourplot(volcano, at=seq(floor(min(volcano)/10)*10,
+ ceiling(max(volcano)/10)*10, by=10),
+ main="Contourplot, Maunga Whau Volcano, Auckland",
+ sub="contour interval 10 m",
+ region=T,
+ col.regions=terrain.colors(100))
> print(pl1, split=c(1,1,2,2), more=T)
> print(pl2, split=c(2,1,2,2), more=T)
> print(pl3, split=c(1,2,2,2), more=T)
> print(pl4, split=c(2,2,2,2), more=F)
> rm(pl1, pl2, pl3, pl4)
Gambar 5.19 menunjukkan hasil dari perintah di atas. Sebagai catatan, data set
volcano merupakan matriks elavasi:
> str(volcano)
num [1:87, 1:61] 100 101 102 103 104 105 105 106 107 108 ...
Metode levelplot menkonversi ke variable respon (nilai z) dan dua predictor, yaitu
baris dan kolom matriks (nilai x dan y). Contoh tersebut menunjukkan metode lattice
tingkat tinggi yang melakukan pembentukan grafik sendiri. Hasil dari metode
levelplot digambar dengan metode print. Metode plot tiga variable adalah seperti
Table 5.4:

19. 65
Gambar 5.19: Grafik plot Trellis trivariate
Tabel 5.4: Jenis plot untuk tiga variable
Jenis Keterangan
levelplot Plot level
contourplot Plot contour
cloud Plot scatter 3 dimensi
wireframe Permukaan 3 dimensi (similar
dengan plot persp di R)
Lebih dari tiga variabel/Hypervariate
Selain motode plot untuk satu, dua, tiga variable, R juga menyediakan plot grafik
untuk lebih dari tiga variable (hypervariate) seperti pada Table 5.5 berikut:
Tabel 5.5: Jenis plot untuk lebih dari tiga variable
Jenis Keterangan
splom Matriks plot scatter
parallel Plot koordinat paralel
V.3. Fungsi Distribusi
Fungsi distribusi merupakan salah satu bahasan penting dalam statistika, terutama
dalam analisis data. Fungsi distribusi merupakan salah satu alat pendekatan distribusi
suatu data. Fungsi distribusi juga berperan dalam menentukan densitas suatu fungsi

20. 66
data. Dalam bab ini akan dibahas fungsi distribusi dan fungsi yang berkaitan
dengannya.
V.3.1. Jenis fungsi distribusi dalam R
Software R mempunyai koleksi fungsi distribusi standar yang lengkap, yang tersedia
dalam paket program R dan dapat ditambah dengan mendownload dalam bentuk
paket dari situs R.
Fungsi distribusi di R disediakan untuk memfasilitasi fungsi distribusi kumulatif
(Cummulative Distributive Function (CDF)) P(X ≤ x),fungsi probabilitas densitas
(Probability Density Function (PDF)), dan fungsi kuantil (diberikan q, x lebih kecil
sedemikian hingga P(X ≤ x) > q). Berikut adalah tabel distribusi di R.
Tabel 5.6: Jenis fungsi distribusi dalam R
Nama Distribusi Nama fungsi di R Argument tambahan
Beta beta shape1, shape2, ncp
Binomial binom size, prob
Cauchy cauchy location, scale
Chi-squared chisq df, ncp
Exponential exp rate
F f df1, df1, ncp
Gamma gamma shape, scale
Geometric geom Prob
Hypergeometric hyper m, n, k
Log-normal lnorm meanlog, sdlog
Logistic logis location, scale
Binomial negative nbinom size, prob
Normal norm mean, sd
Poisson pois Lambda
t - Student’s t df, ncp
Uniform unif min, max
Weibull weibull shape, scale
Wilcoxon wilcox m, n
V.3.2. Fungsi Probabilitas Densitas (Probability Density Function (PDF))
Fungsi probabilitas densitas merupakan salah satu parameter statistic yang digunakan
untuk mengetahui probabilitas terhadap suatu factor yang ada dalam sample. Buku ini
akan mengawali pembahasan dengan contoh kasus untuk mempermudah pemahaman
tentang fungsi densitas seperti berikut ini:
Terdapat 16 mahasiswa dipilih secara acak dari populasi dimana 30% adalah wanita.
Berapa probabilitas sebanyak nol, satu, dua, …, enam belas dari mahasiswa tersebut
yang dipilih adalah wanita?. Untuk menghitung probabilitas tersebut akan digunakan
beberapa langkah dalam R seperti dibawah ini.

21. 67
> round(dbinom(0:16, 16, 0.3), 3) # dbinom artinya d:densitas dan
binom:binomial
[1] 0.003 0.023 0.073 0.146 0.204 0.210 0.165 0.101 0.049 0.019 0.006 0.001
[13] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Pertama adalah menghitung nilai probabilitas jumlah wanita yang terpilih dari
populasi yang dicari tersebut berdasarkan distribusi binomial dengan menggunakan
fungsi dbinom(). Nilai probabilitas dari masing-masing kejadian tersebut adalah:
Jml Wanita
terpilih
Probabilitas
0 0.003
1 0.023
2 0.073
3 0.146
4 0.204
5 0.210
6 0.165
7 0.101
8 0.049
9 0.019
10 0.006
11 0.001
12 - 16 0.000
Total kumulatif dari masing-masing nilai probabilitas tersebut adalah 1 (hal ini
menunjukkan bahwa nilai probabilitas tersebut merupakan pdf). Kemudian untuk
menggambarkan scatter plot nilai probabilitas tersebut digunakan perintah plot seperti
berikut:
> plot(dbinom(0:16, 16, 0.3), type =”h”, xlab=” Banyaknya wanita”,
+ ylab=”Probabilitas”)
Perintah tersebut menggambarkan grafik plot (Gambar 5.20) dimana sample
berdistribusi binomial dimana menghitung probabilitas sukses 0 hingga 16 (0:16)
pada suatu populasi yang terdiri dari 16 mahasiswa dimana terdiri dari 0.3 (30%)
mahasiswa wanita.
Misalkan terdapat kondisi bahwa hanya 2 dari 16 yang terpilih adalah wanita. Berapa
probabilitas dua atau kurang dari jumlah wanita dapat terpilih kembali? Penyelesaian
masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi pbiom() seperti
perintah program dibawah, dimana argument pertama = 2 yang menyatakan jumlah
wanita terpilih, argument kedua adalah 16 yang menyatakan jumlah keseluruhan,
argument ketiga menyatakan probabilitas jumlah wanita. Perintah dalam R adalah
sebagai berikut:
> pbinom(2, 16, 0.3, lower.tail = T) # pbinom, p: fungsi distribusi
atau probabilitas, binom: binomial
[1] 0.09935968

22. 68
Gambar 5.20: Plot binomial data mahasiswa
(Interpretasi: dalam sample random dari 16 orang populasi dengan 30% adalah
wanita, terdapat sekitar 10% bahwa dari sample akan terpilih sebanyak nol, satu atau
dua adalah wanita. Maka jika kita lihat, 16 orang sample dengan dua atau kurang
wanita, maka kita menduga bahwa terjadi diskriminasi terhadap hal tersebut, maka
10% kesempatan yang kita duga tersebut adalah tanpa dasar yang kuat).
Contoh berikut menyatakan bahwa dua random sample yang saling bebas yang
berdistribusi normal seharusnya tidak berkorelasi. Kita dapat mensimulasikan hal ini
berulangkali untuk menaksi koefisien korelasi dimana probabilitas error Type I (yaitu
menolak hipotesis yang menyatakan tidak terdapat suatu korelasi) adalah 10%.
Pertama, kita akan menuliskan:
> size <- 20
> sample.1 <- rnorm(size) # rnorm; r: deviasi random; norm:
distribusi normal
> sample.2 <- rnorm(size)
> cor.test(sample.1, sample.2)
Pearson’s product-moment correlation
data: sample.1 and sample.2
t = 0.4394, df = 18, p-value = 0.6656
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.3557135 0.5217580
sample estimates:
cor
0.1030244
> plot(sample.1, sample.2)
> abline(h=0, lty=2)
> abline(v=0, lty=2)
> title(paste(“r=”, round(cor(sample.1, sample.2), 3)))

23. 69
Gambar 5.21: Plot variabel sample1 dan sample 2
Gambar 5.21 menunjukkan bahwa 2 variabel random sample.1 dan sample.2 adalah
saling bebas.
Sebagai catatan, karena sifat kerandomannya, hasil yang akan anda peroleh dari hasil
percobaan yang dilakukan tentu akan berbeda dengan apa yang disajikan dalam buku
ini.
Kemudian, untuk perhitungan yang lebih besar lagi, yakni mencari nilai-nilai
statistiknya, perlu mendefinisikan fungsi secara tersendiri seperti berikut ini:
> cor.2 <- function(size) {
+ sample.1 <- rnorm(size)
+ sample.2 <- rnorm(size)
+ cor(sample.1, sample.2)
+}
> results <- NULL
> length <- 1000
> for (i in 1:length) {
+ results[i] <- cor.2(20)
+}
> hist(results, xlab= “r”, main= “Koefisien Korelasi”)
> (paste(“5% nilai r lebih negative dari”,
round(sort(results)[length/20], 3)))
[1] "5% nilai r lebih negative dari -0.386"
> (paste(“5% nilai r lebih positif dari”,
round(sort(results)[length - length/20], 3)))
[1] "5% nilai r lebih positif dari 0.35"

24. 70
Gambar 5.22: Histogram koefisien korelasi
Sepertinya, terlihat suatu interval antara -0, 36 …. +0,37 yang melingkupi 90% dari
koefisien korelasi r sample untuk ukuran sample 20. Sekali lagi hasilnya mungkin
sedikit berbeda antara yang anda lakukan dengan yang dikerjakan dalam buku ini.
Suatu plot perspektif untuk PDF - distribusi normal bivariat:
> range <- seq (-3, 3, by= 0.1)
> random.1 <- dnorm(range, 0, 1)
> random.2 <- dnorm(range, 0, 0.7)
> mesh <- outer(random.1, random.2, function(x, y) x * y)
> persp(range, range, mesh, phi = 20, theta = 30, expand = 0.8,
+ xlab = “N(0, 1)”, ylab = “N(0, 0.7)”,zlab = “PDF”,
+ main = ”Contoh PDF untuk Distribusi Normal Bivariat”)
Gambar 5.23: Grafik 3D untuk pdf normal bivariat

25. 71
Baris perintah di atas adalah salah satu contoh pembahasan mengenai fungsi
probabilitas densitas (probability density function (PDF)) dengan kasus distribusi
normal bivariat.
V.3.3. Fungsi Kumulatif Densitas Empirik (Empirical Cummulative Density
Function (ECDF))
R menyediakan fitur dengan fungsi ecdf()untuk mencari fungsi densitas kumulatif
empirik (empirical cummulative density function (ecdf))..
Berikut adalah teori yang berkaitan dengan ecdf:
• Fungsi distribusi kumulatif suatu populasi dituliskan dalam bentuk
)(Pr)( xXobxF ≤=
• Daerah di bawah fungsi densitas f(x) dari a ke b dituliskan dalam bentuk
)(Pr)()( bXaobaFbF ≤<=−
• Fungsi distribusi kumulatif dicari dengan mengestimasi nilai F(x), dimana
proporsi nilai data ≤ x
• Histogram yang ditampilakan adalah histogram kumulatif
• Dapat menjadi sempurna jika histogramnya hanya memiliki satu observasi per
bin (batang)
• ECDF bersifat unik dan tidak memerlukan binning
• Sangat baik untuk menunjukkan perbedaan dalam distribusi keseluruhan di
antara dua atau tiga grup yang berlapis/ menumpuk.
• Dapat membaca langsung nilai quantil nya.
V.4. Regresi & ANOVA (Analysis of Variance)
Dalam sub bab ini akan dijelaskan tentang regresi dan ANOVA, yang merupakan
salah satu metode dasar statitistik dalam melakukan pengolahan dan analisis data.
Disini akan disajikan teori dan praktek regresi dan anova serta penggunaan R untuk
analisis tersebut. Pada tahap awal mungkin akan terasa sedikit rumit, namun
diharapkan setelah mencoba beberapa contoh akan menjadi lebih mudah.
Analisis regresi digunakan untuk menjelaskan atau memodelkan hubungan antara
suatu variable tunggal Y, disebut sebagai variable respon, output atau terikat, dan satu
atau lebih variable predictor, input, bebas atau penjelasan (explanatory), X1, …, Xp.
Apabila p = 1 maka disebut regresi sederhana, sedangkan apabila p > 1 maka
disebut regresi berganda atau regresi multivariate. Jika terdapat lebih dari satu
variable terikat Y, maka disebut regresi mulrivariate berganda.
Variabel respon harus berbentuk kontinu, sedangkan variabel penjelasan dapat
berbentuk kontinu, diskrit ataupun kategori. Sebelum kita masuk ke contoh, maka
akan digunakan data pima dari paket library ”faraway” yang sudah tersedia di paket

26. 72
CD. Selain dalam CD, library(faraway) dapat didownload di situs
www.stat.lsa.umich.edu/˜faraway.
Pertama digunakan library faraway dan memanggil data pima tersebut dengan
mengetikkan:
> library(faraway)
> data(pima)
> pima
pregnant glucose diastolic triceps insulin bmi diabetes age test
1 6 148 72 35 0 33.6 0.627 50 1
2 1 85 66 29 0 26.6 0.351 31 0
3 8 183 64 0 0 23.3 0.672 32 1
4 1 89 66 23 94 28.1 0.167 21 0
5 0 137 40 35 168 43.1 2.288 33 1
….
Simpulan dari dataset tersebut dapat kita lihat sebagai berikut:
> summary(pima)
pregnant glucose diastolic triceps
Min. : 0.000 Min. : 0.0 Min. : 0.0 Min. : 0.00
1st Qu.: 1.000 1st Qu.: 99.0 1st Qu.: 62.0 1st Qu.: 0.00
Median : 3.000 Median :117.0 Median : 72.0 Median :23.00
Mean : 3.845 Mean :120.9 Mean : 69.1 Mean :20.54
3rd Qu.: 6.000 3rd Qu.:140.2 3rd Qu.: 80.0 3rd Qu.:32.00
Max. :17.000 Max. :199.0 Max. :122.0 Max. :99.00
insulin bmi diabetes age
Min. : 0.0 Min. : 0.00 Min. :0.0780 Min. :21.00
1st Qu.: 0.0 1st Qu.:27.30 1st Qu.:0.2437 1st Qu.:24.00
Median : 30.5 Median :32.00 Median :0.3725 Median :29.00
Mean : 79.8 Mean :31.99 Mean :0.4719 Mean :33.24
3rd Qu.:127.2 3rd Qu.:36.60 3rd Qu.:0.6262 3rd Qu.:41.00
Max. :846.0 Max. :67.10 Max. :2.4200 Max. :81.00
test
Min. :0.0000
1st Qu.:0.0000
Median :0.0000
Mean :0.3490
3rd Qu.:1.0000
Max. :1.0000
Simpulan data di atas menunjukkan beberapa hal yang tidak wajar yang mungkin
disebabkan ketika memasukkan data, misalkan nilai maksimum pregnant = 17 (ini
sangat besar, tetapi juga memungkinkan), tekanan darah (diastolic) = 0. Dengan
demikian kita perlu sedikit melakukan pembersihan data tersebut, khususnya yang
diasumsikan ketika memasukkannya tidak benar. Melihat ketidak wajaran tersebut
kita perlu menset nilai dari dataset yang bernilai 0 dengan NA, hal ini untuk
menghindari terjadinya pada kesalahan perhitungan. Nilai NA data tidak tersedia
untuk nilai yang diasumsikan salah ketika memasukkan, sehingga tidak termasuk
dalam perhitungan. Apabila nilai tersebut tetap 0, maka nilai statistik menjadi tidak
wajar, karena tidak sesuai dengan kenyataan. Perintah yang digunakan untuk menset
nilai tersebut adalah:
> pima$diastolic[pima$diastolic == 0] <- NA
> pima$glucose[pima$glucose == 0] <- NA
> pima$triceps[pima$triceps == 0] <- NA
> pima$insulin[pima$insulin == 0] <- NA
> pima$bmi[pima$bmi == 0] <- NA

27. 73
Variabel test adalah bukan kuantitatif melainkan kategori. Variabel tersebut adalah faktor.
Tetapi karena merupakan kode numerik, variabel tersebut diperlakukan seperti halnya
kuantitatif. Akan lebih baik apabila variabel tersebut adalah faktor sehingga dapat
diperlakukan sesuai fungsinya. Hal seperti itu kadang terlupakan dan akibatnya akan terjadi
kesalahan proses perhitungan statistik (misalkan proses perhitungan ”rata-rata code pos”
(dimana kodenya numerik tetapi bukan data kuantitatif)). Sehingga untuk mendefinisikan
variabel test sebagai faktor maka perintah yang digunakan adalah:
> pima$test <- factor(pima$test)
> summary(pima$test)
0 1
500 268
Sekarang jelas bahwa 500 kasus adalah negative (0) dan 268 positif (1). Sehingga untuk
menggunakan deskripsi label yang benar untuk variabel test sebagai kategori maka dimana
(0) adalah negatif dan (1) adalah positif, maka dituliskan perintah berikur:
> levels(pima$test) <- c("negative","positive")
> summary(pima)
pregnant glucose diastolic triceps insulin
Min. : 0.00 Min. : 44 Min. : 24.0 Min. : 7.0 Min. : 14.0
1st Qu.: 1.00 1st Qu.: 99 1st Qu.: 64.0 1st Qu.: 22.0 1st Qu.: 76.2
Median : 3.00 Median :117 Median : 72.0 Median : 29.0 Median :125.0
Mean : 3.85 Mean :122 Mean : 72.4 Mean : 29.2 Mean :155.5
3rd Qu.: 6.00 3rd Qu.:141 3rd Qu.: 80.0 3rd Qu.: 36.0 3rd Qu.:190.0
Max. :17.00 Max. :199 Max. :122.0 Max. : 99.0 Max. :846.0
NA’s : 5 NA’s :35 NA’s :227 NA’s :374
bmi diabetes age test
Min. :18.2 Min. :0.078 Min. :21.0 negative:500
1st Qu.:27.5 1st Qu.:0.244 1st Qu.:24.0 positive:268
Median :32.3 Median :0.372 Median :29.0
Mean :32.5 Mean :0.472 Mean :33.2
3rd Qu.:36.6 3rd Qu.:0.626 3rd Qu.:41.0
Max. :67.1 Max. :2.420 Max. :81.0
NA’s :11.0
Data yang ada menunjukkan beberapa kemungkinan diantaranya regresi test
(sebagai respons) terhadap diastolic dan bmi (predictor) melibatkan suatu
respon kualitatif. Hal tersebut menunjukkan bahwa analisis regresi memiliki beberapa
kemungkinan berdasarkan pada tujuan yang dikehendaki, yaitu:
− Prediksi observasi ke depan
− Penilaian efek, hubungan antara, variable explanatory terhadap respon.
− Deskripsi umum struktur data.
Variabel prediktor dalam fungsi adalah berbentuk data kategori/kualitatif. Nama
ANOVA sendiri merupakan kependekan dari Analysis of Variance, dimana sering
digunakan untuk membagi/mempartisi keseluruhan variansi sebagai respon terhadap
setiap faktor-faktor dan error. Pada saat ini variabel prediktor disebut sebagai faktor
karena memiliki beberapa tingkatan/level. Sedangkan parameter-paremeter yang
terlibat disebut sebagai efek. Kita sekarang akan memperhatikan model dimana
parameternya tetap (fixed) tetapi tidak diketahui – disebut model fixed-effect tetapi
model randompeffect juga digunakan dimana parameter yang diambil merupakan
variabel random.

28. 74
V.4.1. ANOVA Satu Arah
V.4.1.1. Model
Model untuk ANOVA jenis ini yaitu, diberikan faktor α terjadi pada tingkat i = 0, 1,
…, I , dengan sejumlah j observasi per tingkat dimana j = 1, …, Ji. Model yang
digunakan:
iijiij JjIiy ,...,1;,...,1, ==++= εαμ
dengan batasan-batasan parameter sebagai berikut:
1. Set μ = 0 dan variabel dummy I yang berbeda
2. α1 = 0 – berhubungan dengan perlakuan yang kontras
3. 0=∑i
iiJ α , yang mengarah pada penaksir kuadrat terkecil (least square
estimate).
,ˆ,ˆ ••••• −== yyy iiαμ
Dimana tanda • (misal pada ••y ) menyatakan indeks dari rerata yang digunakan.
Metode terakhir ini paling banyak direkomendasikan untuk penghitungan
manualwalaupun akan lebih sulit disajikan dalam bentuk εβ += Xy . Faktor kedua
pertama di atas lebih mudah diimplementasikan secara komputas. Seperti biasa,
beberapa analisis grafis awal diperlukan sebelum melakukan pencocokkan (fitting).
Boxplot sisi per sisi merupakan plot yang paling banyak digunakan. Lihat pada
persamaan variansi, transformasi, outliers (disini tidak berpengaruh secar relevan
karena levarage tidak akan berbeda kecuali disain yang sangat tidak seimbang)
V.4.1.2. Penaksiran dan Pengujian
Penaksiran efek menggunakan langsung formula seperti yang sudah dijelaskan
sebelumnya atau menggunakan pendekatan least square (karena hasil sama).
Pada ANOVA, penaksiran dan pengujian dilakukan pertama kali adalah mencari
perbedaan factor levelnya. Kita lakukan perbandingan hipotesis, dimana:
• H0 : αi = 0 , berlaku untuk semua i
• Ha :paling sedikit satu αi ≠ 0
Contoh kasus,
Suatu penelitian ingin mengetahui apakah factor sosioekonomi mempengaruhi IPK
mahasiswa. Sosioekonomi dibagi dalam tiga kelompok, yaitu rendah (r), sedang (s)
dan tinggi (t). Dalam penelitian tersebut, masing-masing kelompok terdiri dari 7
mahasiswa yang diambil data IPK secara acak.
> ipksosek <- edit(data.frame()) #memasukkan data ipksosek
>ipksosek
ipk sosek
1 2.87 r
2 2.16 r
3 3.14 r
4 2.51 r
5 1.80 r
6 3.01 r

29. 75
7 2.16 r
8 3.23 s
9 3.45 s
10 2.78 s
11 3.77 s
12 2.97 s
13 3.53 s
14 3.01 s
15 2.25 t
16 3.13 t
17 2.44 t
18 2.54 t
19 3.27 t
20 2.81 t
21 1.36 t
Langkah pertama adalah melihat sebaran data dengan melakukan plot, dan digunakan
boxplot dan hasilnya seperti Gambar 5.24:
> boxplot(ipk˜sosek, data=ipksosek)
Gambar 5.24. Boxplot sebaran IPK mahasiswa berdasarkan sosio ekonomi
Disini diharapkan tidak terlihat adanya outlier, kemiringan (skewness) dan variansi
yang berbeda.
Selanjutnya, dilakukan pencocokan model dengan cara sebagai berikut:
Eksperimen tersebut melibatkan suatu factor tunggal yaitu kelas sosioekonomi
(sosek) pada tiga level (r,s,t). Misalkan tsr μμμ ,, masing-masing menyatakan rata-
rata IPK untuk mahasiswa tingkat social ekonomi rendah, sedang dan tinggi.
Sehingga akan diujikan hal berikut:
tsrH μμμ ==:0
melawan alternatif:
Ha : paling sedikit dua dari tiga perlakuan berbeda.
Maka untuk mendapatkan hal tersebut, maka perlu dibuat suatu model linear yang
menggambarkan hubungan ipk dengan sosek sebagai berikut:
> g <- lm(ipk˜sosek,ipksosek)

30. 76
> summary(g)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.18286 -0.29286 -0.01143 0.34857 0.72714
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.52143 0.19336 13.040 1.31e-10 ***
soseks 0.72714 0.27346 2.659 0.0160 *
sosekt 0.02143 0.27346 0.078 0.9384
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.5116 on 18 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.3372, Adjusted R-squared: 0.2636
F-statistic: 4.579 on 2 and 18 DF, p-value: 0.02468
Karena nilai statistik F = 4.579 melebihi nilai kepercayaan F0.05 = 3.55, maka H0
ditolak dan disimpulkan (pada tingkat kepercayaan α = 0.05) bahwa rata-rata IPK
mahasiswa berbeda paling sedikit dua dari tiga tingkat sosio ekonomi. Hal ini juga
ditunjukkan oleh α = 0.05 lebih besar dari p-value = 0.02468.
Grup r adalah level rujukan dan mempunyai nilai rerata 2.52143, sedangkan grup s
dan t berturut-turut memiliki nilai rerata 0.72714 dan 0.02143 lebih besar dari rata-
rata r. Kemudian berdasarkan factor sosioekonomi tersebut, maka dilakukan
pemeriksaan matriks rancangan untuk memahami pengkodean:
> model.matrix(g)
Kita dapat mencocokan model tanpa mengintersepsi batasan:
> gi <- lm(ipk˜sosek -1, ipksosek)
> summary(gi)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.18286 -0.29286 -0.01143 0.34857 0.72714
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
sosekr 2.5214 0.1934 13.04 1.31e-10 ***
soseks 3.2486 0.1934 16.80 1.91e-12 ***
sosekt 2.5429 0.1934 13.15 1.14e-10 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.5116 on 18 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.972, Adjusted R-squared: 0.9674
F-statistic: 208.4 on 3 and 18 DF, p-value: 3.662e-14
Kita lihat, dengan nilai p (p-value) = 3.662*10-14
(mendekati 0) maka kita tidak dapat
melakukan perbandingan hipotesis sebelumnya.

31. 77
V.4.2. ANOVA Dua Arah
Anggap terdapat dua faktor, α pada level I dan β pada level J. Misalkan jumlah observasi
pada level i dari α dan level j dari β dan misalkan observasi tersebut sebagai yi j1, yi j2, …. Suatu
layout lengkap A memiliki 1≥ijn untuk semua i, j. memiliki model umum yang paling
sesuai adalah :
ijkijjiijky εαββαμ ++++= )(
Efek interaksi ((αβ)ij diinterpretasikan sebagai bagian dari rata-rata respon yang bukan
merupak atribut efek tambahan dari αi and βj Sebagai contoh misalkan anda menyukai
strawberi dan es krim secara individu, tetapi strawberi yang dicampur dalam eskrim
lebih disukai. Hal yang berlawanan misalkan anda menyukai ikan dan es krim tetapi
tidak menyukai es krim yang dicampur ikan.
Berikut ini adalah contoh penggunaan anova dua arah [23]:
Perusahaan pengecatan pesawat udara akan melakukan pengecatan pada permukaan
alumunium dengan dua cara; penyemprotan (spray) dan dipping. Percobaan
perbedaan faktor dilakukan untuk menyelidiki efek dari tipe pengecatan dan metode
pengecatan terhadap daya rekat (adhisif) cat. Kekuatan daya rekat diukur, dengan tiga
jenis cat (primer) yang berbeda dan dua metode pengecatan (aplikasi). Berikut adalah
penulisan dalam R:
> paint <- data.frame(adhf =
c(4.0,4.5,4.3,5.6,4.9,5.4,3.8,3.7,4.0,5.4,4.9,5.6,5.8,6.1,6.3,5.5
,5.0,5.0), primer = factor(rep(rep(1:3,rep(3,3)),2)),applic =
factor(rep(c("D","S"),c(9,9))))
> paint
adhf primer applic
1 4.0 1 D
2 4.5 1 D
3 4.3 1 D
4 5.6 2 D
5 4.9 2 D
6 5.4 2 D
7 3.8 3 D
8 3.7 3 D
9 4.0 3 D
10 5.4 1 S
11 4.9 1 S
12 5.6 1 S
13 5.8 2 S
14 6.1 2 S
15 6.3 2 S
16 5.5 3 S
17 5.0 3 S
18 5.0 3 S
Hasil tersebut adalah untuk anova satu arah, dengan mengabaikan metode
pengecatan. Statemen lm() menyesuaikan model linier dan statemen anova()
menampilkan hasil dalam bentuk tabel anova.
> anova(lm(adhf~primer, data=paint))

32. 78
Analysis of Variance Table
Response: adhf
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
primer 2 4.5811 2.2906 5.5989 0.01527 *
Residuals 15 6.1367 0.4091
---
Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1
Tampilan hasil di atas adalah anova satu arah untuk metode pengecatan, dengan
mengabaikan jenis cat (primer).
> anova(lm(adhf~applic, data=paint))
Analysis of Variance Table
Response: adhf
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
applic 1 4.9089 4.9089 13.521 0.002039 **
Residuals 16 5.8089 0.3631
---
Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1
Hasil berikut merupakan anova dua arah untuk metode pengecatan, varibel primer
dan interaksi antar keduanya.
Sebagai catatan, jumlah kuadrat untuk variable primer dan untuk variable applic
bernilai sama dengan hasil perhitungan dalam analisis satu arah.
> anova(lm(adhf~primer*applic, data=paint))
Analysis of Variance Table
Response: adhf
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
primer 2 4.5811 2.2906 27.8581 3.097e-05 ***
applic 1 4.9089 4.9089 59.7027 5.357e-06 ***
primer:applic 2 0.2411 0.1206 1.4662 0.2693
Residuals 12 0.9867 0.0822
---
Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1
Interaksi variable tidak signifikan (p = 0.2693) oleh karena itu kita dapat
melakukan uji untuk efek utama, dimana keduanya memiliki signifikansi yang tinggi.
Kesimpulan: Bahwa pemilihan tipe primer dan pemilih metode pengecatan (aplikasi)
mempengaruhi kekuatan daya rekat cat, dan selisih antara tiga tipe cat adalah sama
untuk kedua cara pengecatan (aplikasi), dan selisih antara dua metode pengecatan
adalah sama untuk setiap tipe cat.
Untuk uji t contoh pengecatan di atas, dibahas di V.5. sub bab uji t.
Perintah berikut digunakan untuk menunjukkan cara perhitungan nilai rerata untuk
enam tipe cat yang berbeda: kombinasi variable applic dan cara bagaimana mengatur
nilai rerata dalam bentuk matriks untuk memberikan plot interaksi.
> split(paint$adhf,paint$applic:paint$primer)
$"D:1"
[1] 4.0 4.5 4.3
$"D:2"
[1] 5.6 4.9 5.4

33. 79
$"D:3"
[1] 3.8 3.7 4.0
$"S:1"
[1] 5.4 4.9 5.6
$"S:2"
[1] 5.8 6.1 6.3
$"S:3"
[1] 5.5 5.0 5.0
>sapply (split (paint$adhf, paint$applic:paint$primer), mean)
D:1 D:2 D:3 S:1 S:2 S:3
4.266667 5.300000 3.833333 5.300000 6.066667 5.166667
>matrix(sapply(split(paint$adhf,
paint$applic:paint$primer),mean),ncol=2)
[,1] [,2]
[1,] 4.266667 5.300000
[2,] 5.300000 6.066667
[3,] 3.833333 5.166667
Perintah mathplot() akan mem-plot setiap kolom dari matriks pada graph yang
sama.
> matplot(matrix(sapply(split(paint$adhf,
paint$applic:paint$primer),mean),ncol=2), type="l",
xlab="Primer",ylab="Daya Rekat")
Gambar 5.25: Plot kolom matrik
Dua garis di atas tampak seperti paralel, sesuai dengan kesimpulan sebelumnya
bahwa tidak terjadinya suatu interaksi. Oleh karena itu, selisih/perbedaan antara tipe
cat (primer) adalah sama untuk setiap metode pengecatan.

34. 80
> matplot(matrix(sapply(split(paint$adhf,paint$primer:paint$applic),
mean),ncol=3), type="l", xlab="Aplikasi",ylab="Daya Rekat")
Cara lain, anda dapat juga memplot daya rekat (adhesi) dengan metode pengecatan
(aplikasi), dengan garis yang berbeda untuk setiap primer garis tampak parallel
(Gambar 5.23).
Gambar 5.26: Matplot daya rekat (adhesi) vs aplikasi
V. 5. Analisis (Uji) Statistika t
Berkaitan den gan contoh kasus pengecatan pesawat terbang dengan variable primer
(tipe cat) dan variable applic (metode pengecatan; semprot dan dipping) (lihat kasus
di bagian anova dua arah), penulisan uji t dan koefisiennya dalam R adalah:
> summary(lm(adhf~primer*applic, data=paint))
Call:
lm(formula = adhf ~ primer * applic, data = paint)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.40000 -0.16667 0.03333 0.21667 0.33333
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 4.2667 0.1656 25.772 7.1e-12 ***
primer2 1.0333 0.2341 4.414 0.000845 ***
primer3 -0.4333 0.2341 -1.851 0.088949 .
applicS 1.0333 0.2341 4.414 0.000845 ***
primer2:applicS -0.2667 0.3311 -0.805 0.436265
primer3:applicS 0.3000 0.3311 0.906 0.382736
---
Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1
Residual standard error: 0.2867 on 12 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9079, Adjusted R-squared: 0.8696

35. 81
F-statistic: 23.67 on 5 and 12 DF, p-value: 7.89e-06
Data di atas menunjukkan nilai uji t dari masing-masing variabel.
V.6. R dan Statistika Lanjut
V.6.1. Pencocokan distribusi (Fitting Distribution)
Pencocokan distribusi adalah suatu cara untuk menentukan fungsi matematis yang
diwakili dalam bentuk variabel-variabel statistika.
Masalah yang sering dihadapi oleh statistikawan adalah, jika mempunyai suatu
pengamatan/observasi dengan variabel kuantitatif x1, x2, …., xn dan ingin
menguji jika pengamatannya itu, menjadi sample dari populasi yang tidak diketahui
atau milik dari suatu populasi dengan pdf (fungsi densitas probabilitas) f(x, θ), dimana
θ adalah vektor dari parameter yang akan diestimasi dengan data yang ada.
Ada empat langkah utama dalam pencocokan distribusi:
1) Pemilihan model: Hipotesis distribusi
2) Estimasi/taksiran parameter
3) Pengukuran Goodnes of Fit
4) Uji Goodness of Fit
Empat langkah ini akan dibahas pada sub-bagian berikut ini.
V.6.1.1. Pemilihan Model
Langkah pertama dalam pencocokan distribusi adalah memilih model atau fungsi
matematis yang mewakili data dengan baik. Semakin baik suatu model maka semakin
baik pula keterwakilan data. (Catatan: baik buruknya model, salah satunya dapat
diukur dengan error yang dihasilkan).
Terkadang untuk pemilihan suatu model atau fungsi, teknik grafik seperti histogram
dan lainnya dapat membantu. Namun secara grafik dapat mengakibatkan cenderung
subjektif, oleh karena itu ada metode yang didasari pada ekspresi analitik seperti
kriteria Pearson’s K. Memecahkan persamaan diferensial tertentu dapat dicapai
dengan menggunakan kelompok fungsi yang mewakili distribusi empiris. Kurva dari
fungsi tersebut hanya bergantung pada nilai rerata, variabilitas, skewness/kemiringan,
dan kurtosis. Dengan menstandarisasi data, tipe kurva yang hanya bergantung pada
pengukuran skewness dan kurtosis diformulasikan dalam fungsi berikut:
)32)(1234(4
)6(
2
12
2
12
2
2
2
1
γγγγ
γγ
−+−
+
=K
dimana:
3
1
3
1
)(
σ
μ
γ
n
x
n
i
i∑=
−
= adalah koefisien skewness Pearson’s
3
)(
4
1
4
2 −
−
=
∑=
σ
μ
γ
n
x
n
i
i
adalah koefisien kurtosis Pearson’s

36. 82
Berdasarkan nilai K, yang diperoleh dari data yang ada, kita mempunyai suatu fungsi
jenis tertentu. Berikut adalah beberapa contoh distribusi kontinu dan distibusi diskrit.
Untuk setiap distribusi, terdapat bentuk grafik dan perintah R untuk membentuk
grafik tersebut.
Untuk data diskrit, dapat melihat distribusi Poisson, dengan fungsi mass probabilitas:
!
),(
x
exf
x
λ
λ λ−
= dimana x = 0, 1, 2, ...
Contoh, penulisan:
> x.poi <- rpois(n=200,lambda=2.5)
> hist(x.poi,ylab="Frekuensi",xlab="x.poi",main="Distribusi Poisson")
menghasilkan gambar berikut
Gambar 5.27: Histogram distribusi Poisson
Untuk data yang kontinu, distribusi yang digunakan antara lain:
• Distibusi Normal (Gaussian), dengan fungsi:
2
2
2
)(1
2
1
),,( σ
μ
σπ
σμ
−
−
=
x
exf untuk Rx∈
Sebagai contoh, dapat dituliskan perintah pembentukan kur va untuk model distribusi
Normal (Gaussian):
> curve(dnorm(x,m=10,sd=2), from=0,to=20,main="Distribusi Normal")
maka akan menghasilkan tampilan grafik seperti Gambar 5.28 sebagai berikut:

37. 83
Gambar 5.28: Kurva distribusi Normal
• Distribusi Gamma:
x
exxf λα
α
α
λ
λα −−
Γ
= 1
)(
),,( untuk +
∈ Rx
Sebagai contoh, penulisan:
> curve(dgamma(x, scale=1.5, shape=2),from=0, to=15, main="Distribusi
Gamma")
Menghasilkan grafik sebagai berikut:
Gambar 5.29: Kurva distribusi Gamma

38. 84
Distribusi Weibull:
])([
1
),,(
α
βαα
αββα
x
exxf
−
−−
= untuk +
∈ Rx
Sebagai contoh, penulisan:
> curve(dweibull(x, scale=2.5, shape=1.5),from=0, to=15, main="Distribusi
Weibull")
akan menghasilkan grafik seperti Gambar 5.30 sebagai berikut:
Gambar 5.30: Kurva distribusi Weibull
Indeks kemiringan dan kurtosis dihitung dengan menggunakan perintah
skewness()dan kurtosis() yang terdapat dalam paket fBasics (dapat
didownload dari website CRAN). Perintah untuk menghitungnya adalah sebagai
berikut:
> library(fBasics) ## load paket fBasics
> skewness(x.norm) ## kemiringan(skewness) distribusi normal
[1] 0.1242952
> kurtosis(x.norm) ## kurtosis distribusi normal
[1] 0.01372539
> skewness(x.wei) ## skewness distribusi Weibull
[1] 0.7788843
> kurtosis(x.wei) ## kurtosis distribusi Weibull
[1] 0.4331281
V.6.1.2. Taksiran parameter
Setelah pemilihan model yang merepresentasikan data, kita perlu melakukan
penaksiran parameter dari model yang telah dipilih. Dalam literatur statistik, ada
beberapa metode penaksiran parameter namun dalam buku ini memfokuskan pada
metode berikut:

39. 85
1) analogi
2) moment
3) maximum likelihood.
Metode analogi terdapat dalam penaksiran model parameter yang mengaplikasikan
fungsi yang sama untuk data empiris, yaitu: kita estimasi rerata yang tidak diketahui
dari populasi normal menggunan rerata sample.
> mean.hat<-mean(x.norm)
> mean.hat
[1] 0.02646597
Metode moment adalalah teknik untuk membentuk penaksir parameter berbasis pada
pencocokan moment sample yang berhubungan dengan moment distribusi. Metode
ini membandingkan moment terhadap populasi (secara teori). Apabila terdapat
metode momen maka keuntungannya adalah terdapat pula bentuk yang sederhana.
Kita mendefinisikan moment sample (secara empiris) dengan cara tersebut.
Pendefinisian moment (empiris) suatu sampel adalah sebagai berikut:
• Moment sample ke-t sekitar 0 (nol):
,...2,1,0,
1
== ∑=
tyxm
n
i
i
t
it
• Moment sample ke-t sekitar rerata (mean):
∑=
=−=
n
i
i
t
it tyxm
1
'
,...2,1,0,)( μ
dimana moment populasi dari tinjauan teori adalah:
• Moment populasi ke-t sekitar 0 (nol):
,...2,1,0,),(*
== ∫ tdxxfxm t
t
α
β
θ
• Moment populasi ke-t sekitar rerata:
∫ =−=
α
β
θμ ,...2,1,0,),()('*
tdxxfxm t
t
dimana (β – α) adalah range dimana f(x,θ) didefinisikan, μ adalah rerata dari
distribusi, dan yi adalah frekuensi relative empiris, yaitu: kita akan menaksir
parameter distribusi gamma menggunakan metode moment dengan
mempertimbangkan moment pertama sekitar 0 (maupun rerata) dan moment kedua
terhadap rerata (maupun variansi):
x=
λ
α
2
2
s=
λ
α

40. 86
dimana pada sisi kiri adalah rerata dan variansi distribusi gamma dan sisi kanan
adalah rerata sample dan variansi sample terkoreksi. Dengan memecahkan persamaan
sebelumnya di atas, didapat:
2
ˆ
s
x
=λ
2
2
ˆ
s
x
=α
Penulisan untuk kasus di atas dengan R adalah sebagai berikut:
> x.gam<-rgamma(200,rate=0.5,shape=3.5) # sampling dari distribusi
gamma dengan λ = 0.5 dan α = 0.35 (parameter bentuk)
> med.gam<-mean(x.gam) # rerata sampel
> var.gam<-var(x.gam) # variansi sample
> l.est<-med.gam/var.gam # penaksiran lambda (berhubungan dengan
rata-rata)
> a.est<-((med.gam)^2)/var.gam # penaksiran alfa
> l.est
[1] 0.579852
> a.est
[1] 4.153633
Metode maximum likelihood digunakan dalam inferensi statistic untuk menaksir
parameter. Misal kita mempunyai variabel random dengan diketahui pdf f(x,θ) yang
menggambarkan karakter kuantitatif dalam populasi. Untuk itu kita harus menaksir
vektor konstanta dan parameter tidak diketahui (unknown) θ sesuai data sample: x1,
x2, …, xn .
Penaksiran maximum likelihood dimulai dengan model matematika yang diketahui
sebagai fungsi likelihood dari data sample. Singkatnya, likelihood dari himpunan data
adalah probabilitas untuk memperoleh himpunan data dengan yang sudah diberikan
model probabilitas yang dipilih. Ekspresi ini mengandung parameter tidak diketahui
(unknown). Nilai-nilai parameter yang memaksimumkan likelihood suatu sampel
dikenal sebagai penaksiran maximum likelihood (MLE = Maximum Likelihood
Estimate).
Definisi fungsi likelihood adalah sebagai berikut:
∏=
=
n
i
in xfxxxL
1
21 ),(),,...,,( θθ
Selanjutnya kita dapat menggunakan metode analisis matematik (turuan parsial sama
dengan nol) bila fungsi likelihoodnya cukup sederhana, namun seringnya kita
mengoptimasi L(x1, x2, …, xn, θ) menggunakan metode iterasi. MLE mempunyai
beberapa sifat statistik dan beberapa keuntungan.
Misalkan, dalam kasus distribusi gamma, fungsi likelihoodnya adalah:

41. 87
∑
Γ
=
Γ
== =
−
−
=
−−
==
∏∏∏
n
i
i
i
xn
i
i
nx
i
n
i
n
i
in exexxfxxxL 11
1
1
11
21 )()
)(
(
)(
),,(),,...,,(
λ
α
α
λα
α
α
λ
α
λ
λαθ
dan fungsi logaritmanya:
∑ ∑= =
−−+Γ−=
n
i
n
i
ii xxnnL
1 1
log)1())(log()log()log( λααλα
R menyediakan fungsi untuk menghitung MLE dalam dua statement berikut:
1) mle() yang termasuk dalam paket stats4
2) fitdistr() yang termasuk dalam paket MASS
mle() mencocokkan (fit) parameter dengan metode maximum likelihood yang
menggunakan metode iterasi kalkulus numeric untuk meminimumkan negative log-
likelihood ekspresi analitik sebagai argumen dan memberikan nilai penaksiran
parameter awal. Penulisan di R untuk kasus distribusi gamma adalah sebagai berikut:
> library(stats4) # loading paket stats4
> ll<-function(lambda,alfa) {n<-200 x<-x.gam -
n*alfa*log(lambda)+n*log(gamma(alfa))-(alfa-
1)*sum(log(x))+lambda*sum(x)} # fungsi negative log-likelihood
> est<-mle(minuslog=ll, start=list(lambda=2,alfa=1))
> summary(est)
Maximum likelihood estimation
Call:
mle(minuslogl = ll, start = list(lambda = 2, alfa = 1))
Coefficients:
Estimate Std. Error
lambda 0.5290189 0.05430615
alfa 3.6829126 0.35287672
-2 log L: 1044.282
Pertama ditentukan nilai awal parameter penaksir secara acak, tetapi dapat pula
digunakan metode moment untuk menentukan nilai awal parameter penaksir tersebut.
Perintah mle( ) digunakan untuk menaksir parameter setiap jenis pdf. Untuk hal ini
perlu diketahui bahwa ekspresi analitik likelihood perlu diketahui.
Dalam paket MASS tersedia fungsi fitdistr() untuk pencocokan maximum
likelihood distribusi univariate tanpa informasi tentang likelihood ekspresi analitik.
Hal ini cukup dengan menspesifikasikan suatu vector data, tipe pdf (densfun) dan
tentu saja daftar (list) nilai awal (start) untuk prosedur iterasi.
> library(MASS) # loading package MASS
> fitdistr(x.gam,"gamma") # fitting parameter pdf gamma
shape rate
3.68320097 0.52910229
(0.35290545) (0.05431458)

42. 88
> fitdistr(x.wei,densfun = dweibull, start = list(scale=1,shape=2))#
fitting parameter pdf Weibull
scale shape
-1.04721828 2.04959159
(0.03814184) (0.11080258)
> fitdistr(x.norm,"normal") # fitting parameters pdf gaussian
mean sd
9.9355373 2.0101691
(0.1421404) (0.1005085)
V.6.1.3. Pengukuran Goodness of Fit
Pengukuran goodness of Fit berguna untuk memasangkan frekuensi secara empiris
dengan yang dicocokkan oleh model teoritis. Dalam hal ini terdapat pengukuran
absolute dan relative. Diantara pengukuran absolute kita dapat memilih:
n
yy
n
i
ii∑=
−
= 1
*
ξ
n
yy
n
i
ii∑=
−
= 1
*
2
)(
ξ
dimana yi adalah frekuensi empiric dan *
iy adalah nilai yang dicocokkan.
Berikut adalah beberapa pengukuran relative:
∑
∑
∑ =
=
=
−
== n
i
i
n
i
ii
n
i
i y
yy
ny
1
1
*
1
ξ
δ
( )
ny
nyy
ny
n
i
i
n
i
ii
n
i
i /
/
1
1
2*
1
2
2
∑
∑
∑ =
=
=
−
==
ξ
δ
∑
∑
∑ =
=
=
−
== n
i
i
n
i
ii
n
i
i
y
yy
ny
1
2
1
2*
1
2
2
2
2
)(
/
ξ
δ
Keterangan: biasanya indeks tersebut merupakan persentase dari rerata yang sesuai.
Berikut adalah contoh menggunakan R perhitungan data (berdistribusi Poisson):
> lambda.est<-mean(x.poi) # estimasi lambda parameter
> tab.os<-table(x.poi) # tabel dengan frekuensi empiris
> tab.os
> x.poi

43. 89
0 1 2 3 4 5 6 7 8
21 29 46 53 28 16 4 2 1
> freq.os<-vector()
> for(i in 1: length(tab.os)) freq.os[i]<-tab.os[[i]] # vektor frekuensi
empirik
> freq.ex<-(dpois(0:max(x.poi),lambda = lambda.est)*200) # vektor
frekuensi yang diharapkan atau fitted (expected)
> freq.os
[1] 21 29 46 53 28 16 4 2 1
> freq.ex
[1] 15.0040080 38.8603808 50.3241931 43.4465534 28.1316433 14.5721912
6.2903292
[8] 2.3274218 0.7535028
> acc<-mean(abs(freq.os-trunc(freq.ex))) # index absolute dari
goodness of fit
> acc
[1] 2.111111
> acc/mean(freq.os)*100 # persentase relative index goodness of fit
[1] 17
Suatu teknik grafik untuk menghitung goodness of fit dapat menggambarkan kurva
pdf dan histogram dalam satu kesatuan seperti pada gambar 5.31. Adapun
penulisannya dalam R adalah sebagai berikut:
> h<-hist(x.norm,breaks=15)
> xhist<-c(min(h$breaks),h$breaks)
> yhist<-c(0,h$density,0)
> xfit<-seq(min(x.norm),max(x.norm),length=40)
> yfit<-dnorm(xfit,mean=mean(x.norm),sd=sd(x.norm))
> plot(xhist,yhist, type = "s", ylim = c(0,max(yhist, yfit)),
main=”Normal pdf dan histogram”)
> lines(xfit,yfit, col=”red”)

44. 90
Gambar 5.31: Kurva dan histogram pdf Normal
V.6.1.4. Uji kenormalan
Dalam analisis statitistika, statistikawan sering melakukan pengujian apakah
kumpulan data berasal/tidak dari pupulasi Normal, oleh karena itu perlu melakukan
uji kenormalan atas data tersebut. Beberapa literatur menyebutkan, ada beberapa uji
yang berguna untuk menguji kemiringan (skewness) dan/atau kurtosis dari suatu
distribusi berbasiskan pada b3 e b4 (atau gamma3 e gamma4). Salah satu uji yang
paling baik dan ampuh untuk menguji kenormalan terutama untuk sample kecil
adalah uji Shapiro-Wilk.
Dalam uji Shapiro-Wilk, kenormalan diuji dengan mencocokan dua penaksiran
variansi alternative, yaitu: penaksir non-parametrik didapat dari kombinasi linear nilai
sample terurut dan penaksir parameter biasa. Bobot (ai) dapat dilihat di table statistik:
∑
∑
=
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= n
i
i
n
i
ii
xx
xa
W
1
2
2
1
)(
)(
Fungsi R untuk uji Shapiro-Wilk adalah shapiro.test() yang akan menghitung
nilai statitistik W dan p- value. Penulisan perintah di R adalah sebagai berikut:
> shapiro.test(x.norm)
Shapiro-Wilk normality test
data: x.norm
W = 0.9938, p-value = 0.5659

45. 91
p-value lebih tinggi dibandingkan tingkat (level) signifikansi yang biasanya
digunakan untuk menguji hipotesis statistik. Hipotesis nol akan diterima apabila
sample data termasuk dalam distribusi Gaussian.
Dalam Ekonometrik, uji Jarque-Bera sering digunakan untuk menguji kenormalan.
Uji Jarque-Bera berdasarkan pada pengukuran kemiringan/skewness dan kurtosis dari
distribusi dengan mempertimbangakn distribusi asimptotik dari b3 e b4 yang
merupakan, dibawah hipotesa nol, suatu chi kuadrat dengan 2 derajat kebebasan.
Uji Jarque-Bera di R berada dalam paket tseries (yang harus di download website
CRAN) dengan perintah jarque-bera.test() yang akan menghitung nilai
statistic, derajat kebebasan, dan p-value.
> library(tseries) # loading paket tseries
> jarque.bera.test(x.norm)
Jarque Bera Test
data: x.norm
X-squared = 0.539, df = 2, p-value = 0.7638
Suatu teknik pengujian yang diajukan oleh Cucconi (ahli statistik Italia) menguji
kenormalan tanpa minimbulkan masalah penaksiran parameter data sample.
Misal x1 ≥ x2 ≥, … ≥ xn sample variabel kontinu dan ζ1, ζ2, ζn himpunan bilangan
acak normal standard berukuran n, misalkan:
1
1
1
2
−
==
∑
−
=
n
qer
n
i
i
n
ζ
ζ
kita pertimbangkan transformasi xi:
n
rxx
qy i
i +
−
=
σˆ
dimana x adalah rerata
sample dan σˆ adalah akar kuadrat variansi sample.
Disini dapat dilihat jika xi berasal dari populasi normal dan yi berdistribusi normal
standard maka kita dapat menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov untuk menguji
hipotesis tersebut. Berikut adalah contoh penulisan di R:
> zz <-rnorm(n=200,m=0,sd=1) # bilangan random sampling dari N(0,1)
> r <-zz[200]
> q <-sd(zz[-200])
> m <-mean(x.norm)
> s <-sqrt(var(x.norm))
> y <-q*((x.norm-m)/s)+(r/sqrt(200))
> ks.test(y,”pnorm”,m=0,sd=1)
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: y
D = 0.0298, p-value = 0.9943
alternative hypothesis: two.sided
Paket nortest (harus di download dari situs CRAN) digunakan untuk melakukan
uji kenormalan hingga 5 cara yang berbeda, yaitu:

46. 92
1) sf.test()melakukan uji Shapiro-Francia:
> library(nortest) #loading paket
> sf.test(x.norm)
Shapiro-Francia normality test
data: x.norm
W = 0.9926, p-value = 0.3471
2) ad.test() melakukan uji Anderson-Darling:
merupakan modifikasi uji Kolmogorov-Smirnov dan memerlukan distribusi tertentu
untuk menghitung nilai kritis. Pada saat ini tabel nilai kritis sudah mencakup
distribusi normal, lognormal, exponensial, Weibull, nilai ekstrim tipe I dan logistik.
Uji Anderson-Darling berdasarkan pada statistik ini:
SnA −−=2
dimana,
[ ]∑=
++−+
−
=
n
i
ini xFxF
n
i
S
1
1))(1ln()(ln
)12(
, n adalah ukuran sample, dan F(x) adalah
fungsi distribusi kumulatif (CDF). R hanya menyediakan uji ini untuk cek
kenormalan:
> library(nortest) # loading paket
> ad.test(x.norm)
Anderson-Darling normality test
data: x.norm
A = 0.4007, p-value = 0.3581
3) cvm.test() melakukan uji Cramer-Von Mises, yang didasari teori statistik:
( )∫
∞
∞−
−= dxxfxFxFW n )()()(
22
Penulisan uji ini dalam R adalah sebagai berikut:
> library(nortest) # loading paket
> cvm.test(x.norm)
Cramer-von Mises normality test
data: x.norm
W = 0.0545, p-value = 0.4449
4) lillie.test() melakukan uji Lilliefors:
Uji ini juga merupakan modifikasi dari uji Kolmogorov-Smirnov yang tidak bisa
digunakan untuk kenormalan apabila rerata dan standar deviasi (yang diambil dari

47. 93
data sample) dari hipotesis distribusi normal tidak diketahui. Uji ini cukup ampuh
untuk data sample yang berukuran kecil. Uji Lilliefors mengevaluasi hipotesis bahwa
X berdistribusi normal dengan suatu nilai rerata dan variansi berbanding hipotesis
alternative bahwa X tidak berdistribusi normal.
Uji ini membandingkan distribusi empiric X dengan distribusi normal dengan rerata
dan variansi yang sama dengan X.
Uji Lilliefors mirip dengan uji Kolmogorov-Smirnov, namun parameter distribusi
normalnya ditaksir dari X. Penulisan dalam R adalah sebagai berikut:
> library(nortest) # loading paket
> lillie.test(x.norm)
Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
data: x.norm
D = 0.0414, p-value = 0.5509
5) pearson.test() melakukan uji Pearson’s chi-square:
Uji ini serupa dengan uji Chi-square 2
χ yang digunakan untuk uji Goodness of fit
pada distribusi normal. Berikut adalah penulisan dalam perintah di R untuk uji chi-
square:
> library(nortest) # loading paket
> pearson.test(x.norm)
Pearson chi-square normality test
data: x.norm
P = 10.12, p-value = 0.753
Soal Latihan Bab V
1. Misalkan, tiap akhir tahun perusahaan akan memberikan bonus kepada pegawai
berdasarkan penjualan dalam beberapa bulan terkahir dengan nilai (dalam juta)
12 0.4 5 2 50 8 3 1 4 0.25
Pertama buatlah objek penjualan dengan menggunakan fungsi scan()
penjualan = scan(),kemudian carilah nilai mean, variansi, standard deviasi,
median, minimum, maksimum dan quantile-nya.

48. 94
2. Dengan menggunakan data yang sama, buatlah histogram untuk penjualan tersebut
3. Misalkan, gunakan data set pada R untuk data Orange. Gambarkan boxplot untuk
masing-masing variabel (Tree, age, circumference) data tersebut.
(petunjuk: > boxplot(nama_variabel, main=”title boxplo”t,
horizontal=TRUE)
4. Masukkan data berikut
60 83 71 57 54 47 94 61 25 48 66 84 99 75 89
Buatlah plot stem (stem plot) dan plot daunnya (leaf plot)!
5. Bacalah plot stem dan plot daun berikut, masukkanlah data dan buatlah
histogramnya!
6. Pada library (Packages ->Load package ->MASS) MASS, pilih data UScereal yang
mengandung informasi tentang sarapan sereal yang populer . Attach data tersebut
dengan cara berikut:
> library(‘MASS’)
> data(‘UScereal’)
> attach(UScereal)
> names(UScereal)
Kemudian periksalah hubungan-hubungan berikut dan berik komentar atas hasil
tersebut. Anda dapat menggunakan tables, scatterplots, barplots dan lain lain untuk
memeriksa.
a. Hubungan antara manufacturer dan shelf
b. Hubungan antara fat dan vitamins
c. Hubungan antara fat dan shelf
d. Hubungan antara carbohydrates dan sugars
e. Hubungan antara fibre dan manufacturer
f. Hubungan antara sodium dan sugars
Apakah terdapat hubungan lainnya yang dapat anda prediksi dan periksa?
7. Sebagai upaya meningkatkan kemampuan mengingat mahasiswa, beberapa
perguruna tinggi mencoba program pembelajaran sistem block. Misalkan dari 100
mahasiswa dibagi menjadi dua grup masing-masing 50 orang. Satu setengah bagian
mencoba program block dan setengah sisanya tidak menggunakan program (non-
block). Diketahui jumlah kehadiran tiap tahun. Akan diuji apakah program block
membuat perbedaan pada daya ingat mahasiswa. Datanya sebagai berikut
Program 1 tahun 2 tahun 3 tahun 4 tahun > 5 tahun
Non-Block 18 15 5 8 4
Block 10 5 7 18 10

49. 95
Lakukan uji hipotesis untuk menentukan apakah ada perbedaan antara dua tipe
program tersebut terhadap daya ingat mahasiswa ?
8. Data set InsectSpray pada data built-in di R, berbicara tentang jumlah serangga
dalam beberapa area yang diberi perlakukan dengan 6 jenis semprotan (spray)
berbeda. Data sudah dalam format untuk dilakukan ANOVA satu arah- yaitu vektor
dengan data(count), dan satu factor yang menggambarkan level (spray). Pertama,
buatlah boxplot side-by-side untuk melihat apakah ada kesamaan mean. Kemudian
lakukan ANOVA satu arah untuk melihat apakah terdapat kesamaan mean ?