1.  f  x  f  x  dx
n

2.  f  x  f  x  dx
n
 f  x n1  c
 f  x  f  x  dx 
n
n 1

3.  f  x  f  x  dx
n
 f  x n1  c
 f  x  f  x  dx 
n
n 1
e.g. i  a) Find
d
dx
 1 x  3

4.  f  x  f  x  dx
n
 f  x n1  c
 f  x  f  x  dx 
n
n 1
e.g. i  a) Find
d
dx
 1 x  3
 
1  x 3  1  x 3  2  3 x 2 
1
d 1 
dx 2
 3x 2

2 1  x3

5. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx

6. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx

7. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3

8. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx

9. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2

10. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3

11. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

12. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

13. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1
  2 x 2  x 2 dx
2
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

14. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1 du
  2 x 2  x 2 dx  2x
2 dx
du  2 xdx
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

15. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1 du
  2 x 2  x 2 dx u  2x
2 dx
du  2 xdx
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

16. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1 du
  2 x 2  x 2 dx 1 u  2x
2 du dx
2
du  2 xdx
  2  x 2 2  c
3
1 2
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

17. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1 du
  2 x 2  x 2 dx 1 u  2x
2 du dx
2
du  2 xdx
  2  x 2 2  c
3
1 2 1
1 2
2 3   u du
2
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

18. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1 du
  2 x 2  x 2 dx 1 u  2x
2 du dx
2
du  2 xdx
  2  x 2 2  c
3
1 2 1
1 2
2 3   u du
2
 2  x 2  2  x 2  c
1 1 2 2
3
3   u c
2 3

19. x2
b) Hence find;  1 x 3
dx
x2 2  3x 2
 1 x 3
dx   
3 2 1 x 3
dx
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2
1 du
  2 x 2  x 2 dx 1 u  2x
2 du dx
2
du  2 xdx
  2  x 2 2  c
3
1 2 1
1 2
2 3   u du
2
 2  x 2  2  x 2  c
1 1 2 2
3
3   u c
2 3
 2  x 2  2  x 2  c
1
3

20. 1
x2
iii  dx
0 x 3
 2
3

21. 1
x2
iii  dx
0 x 3
 2
3
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3

22. 1
x2
iii  dx
0 x 3
 2
3
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30

23. 1
x2
iii  dx
0 x 3
 2
3
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30
1 3
6

  x  2  0
2 1


24. 1
x2
iii  dx
0 x 3
 2
3
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30
1 3
6

  x  2  0
2 1

1 1 1 
   
6  1  2 2 
2
1

8

25. 1 1
x2 x2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30
1 3
6

  x  2  0
2 1

1 1 1 
   
6  1  2 2 
2
1

8

26. 1 1
x2 x2 u  x3  2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
du  3 x 2 dx
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30
1 3
6

  x  2  0
2 1

1 1 1 
   
6  1  2 2 
2
1

8

27. 1 1
x2 x2 u  x3  2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
du  3 x 2 dx
x  0, u  2
1
1 3x 2
  dx
3 0 x 3  2 3
x  1, u  1
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30
1 3
6

  x  2  0
2 1

1 1 1 
   
6  1  2 2 
2
1

8

28. 1 1
x2 x2 u  x3  2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
du  3 x 2 dx
1
x  0, u  2
1
1 3x 2 1 3
  dx   u du
3 0 x 3  2 3
3 2 x  1, u  1
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3
30
1 3
6

  x  2  0
2 1

1 1 1 
   
6  1  2 2 
2
1

8

29. 1 1
x2 x2 u  x3  2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
du  3 x 2 dx
1
x  0, u  2
1
1 3x 2 1 3
  dx   u du
3 0 x 3  2 3
3 2 x  1, u  1
  u  2
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3 1  2 1
30 6
1 3
6

  x  2  0
2 1

1 1 1 
   
6  1  2 2 
2
1

8

30. 1 1
x2 x2 u  x3  2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
du  3 x 2 dx
1
x  0, u  2
1
1 3x 2 1 3
  dx   u du
3 0 x 3  2 3
3 2 x  1, u  1
  u  2
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3 1  2 1
30 6
6

  x  2  0
1 3 2 1
 1 1
  2

1 

6  1  2 2 
1 1 1  1
    
6  1  2 2 
2
8
1

8

31. 1 1
x2 x2 u  x3  2
iii  dx  x dx
 2
OR
0 x 3
 2
3
0
3 3
du  3 x 2 dx
1
x  0, u  2
1
1 3x 2 1 3
  dx   u du
3 0 x 3  2 3
3 2 x  1, u  1
  u  2
1
  3 x x  2  dx
1 2 3 3 1  2 1
30 6
6

  x  2  0
1 3 2 1
 1 1
  2

1 

6  1  2 2 
1 1 1  1
    
6  1  2 2 
2
8
1

8
Exercise 11H; 1, 3, 5, 7ace etc, 8bdf,9 11*