d

1. Лекція Кількість годин 2
«РОБОТА З МАТРИЦЯМИ В СЕРЕДОВИЩІ MATHCAD»
Завдання лінійної алгебри, які вирішуються в MathCAD, можна умовно
розділити на два класи. Перший це найпростіші матричні операції, які
зводяться до певних арифметичних дій над елементами матриці. Вони
реалізовані у вигляді операторів і декількох специфічних функцій,
призначених для створення, об'єднання, сортування, отримання основних
властивостей матриць і т. д. Другий клас це більш складні дії, які реалізують
алгоритми обчислювальної лінійної алгебри, такі як обчислення визначників
і звернення матриць, обчислення власних векторів і власних значень,
рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь і різні матричні розкладання.
Найпростіші операції матричної алгебри реалізовані в MathCAD у вигляді
операторів, причому їх запис максимально наближена до математичного
значенням. Кожен оператор виражається відповідним символом. Деякі
операції застосовні тільки до квадратних матрицям N  N, деякі
допускаються тільки для векторів (наприклад, скалярний твір), а інші,
незважаючи на однакове написання, по-різному діють на вектори і матриці.
Створення матриць
Є два способи створити матрицю.
1-й спосіб. Використання команди створення масивів:
• скористатися командою Вставка → Матриця;
• натискання клавіш Ctrl + M;
• вибір піктограми з зображенням шаблону матриці на панелі інструментів
Матриці.
У діалоговому вікні вказати розмірність матриці, тобто кількість її рядків
m (Rows) і стовпців n (Columns).
Для векторів один з цих параметрів повинен бути рівний 1. При m = 1
отримаємо вектор-стовпець, а при n = 1 - вектор-рядок.
На екрані появиться шаблон , в який необхідно ввести значення
елементів масиву.
Звертатися до окремих елементів вектора або матриці можна
використовуючи нижній індекс. Для елемента матриці вказуються два
індекси, один для номера рядка, інший для номера стовпчика.
Щоби ввести нижній індекс, необхідно натиснути клавішу [ після імені
вектора або матриці або вибрати команду на панелі Матриці.
2-й спосіб. Використання діапазонної змінної.
Діапазонна змінна використовується для визначення індексу (номера)
елемента масиву.
Приклад:
1) Створити матрицю В, що складається з 2 рядків і 3 стовпців.

2. ORIGIN 1= Çàäàäèì начальный индекс массива равным 1
i 1 2= Êîëè÷åñòâî строк
j 1 3= Êîëè÷åñòâî столбцов
Элементы матрицы рассчитываются
по заданной формуле
B
i j
i j+=
B
2
3
3
4
4
5






=
2) Створити вектор S, що складається з 3 елементів
ORIGIN 1= Çàäàäèì начальный индекс массива равным 1
i 1 3= Êîëè÷åñòâî элементов вектора
S
i
i
2
=
S
1
4
9








=
Команди панелі інструментів Матриці
Кнопка призначення
Створення матриці
Обернена матриця
Визначник матриці
Транспонування матриці
Виділення стовбця матриці
Оператори для роботи з масивами
Позначення: для векторів V, для матриць М і для скалярних величин z.
Оператор Ввід Призначення оператора
V1+V2 V1+V2 Додавання двох векторів V1 та V2
V1-V2 V1-V2 Віднімання двох векторів V1 та V2
-М -М Зміна знака у елементів матриці M
V-z V-z Віднімання від вектора V скаляра z
z*V, V*z z*V, V*z Множення вектора V на скаляр z

3. z*M, M*z z*M, M*z Множення матриці М на скаляр z
V1*V2 VI*V2 Множення двох векторів V1 та V2
M*V M*V Множення матриці М на вектор V
М1*М2 М1*М2 Множення двох матриць М1 та М2
z
V
V/z Ділення вектора V на скаляр z
z
M
M/z Ділення матриці М на скаляр z
n
M М^n Піднесення матриці М до степені п
Фрагмент документа MathCAD:
Äåéñòâèÿс матрицами
ORIGIN 1= Çàäàäèì начальный индекс массива равным 1
A
1
4
3
2
5
8
3
6
9








= A
T
1
2
3
4
5
6
3
8
9








= A 12=
2 A
2
8
6
4
10
16
6
12
18








= A
1−
0.25−
1.5−
1.417
0.5
0
0.167−
0.25−
0.5
0.25−








= A
1 
1
4
3








=
A A
1−

1
0
0
0
1
0
0
0
1








=
Функції для роботи з векторами і матрицями.
Деякі з них (V повинен бути вектором, A може бути вектором або
матрицею):
length(V) -повертає кількість елементів у векторі v;
last(V) - повертає індекс останнього елемента;
max(A) – повертає максимальний по значенню елемент;
min(A) - повертає мінімальний по значенню елемент.
Матричні функції
Для роботи з матрицями також існує ряд вбудованих функцій:
augment(M1, М2) – об‘єднує в одну матриці М1 и М2, що мають однакову
кількість стрічок;
identity(n) - створює одиничну квадратну матрицю розміром nn , (n –
розмір матриці (число));

4. stack(MI, M2) – об‘єднує дві матриці М1 и M2, що мають однакову
кількість стовбців, поміщоючи M1 над M2;
diag(V) - створює діагональну матрицю, елемент головної діагоналі якої -
вектор V;
cols(M) - повертає кількість стовбців матриці М;
rows(M) - повертає кількість стрічок матриці М;
rank(M) -повертає ранг матриці М;
tr(M) - повертає слід (суму діагональних елементів) квадратної матриці
М;
mean(M) - повертає середнє значення елементів масиву М;
median(M) - повертає медіану елементів масиву М;
eigenvals(M) - повертає вектор, елементами якого є власні значення
матриці M (M повинна бути квадратною матрицею.);
submatrix(M,ir,jr,ic,jc) - повертає підмасив, що складається з усіх
елементів, які містяться в рядках з ir по jr і стовпцях з ic по jc масиву М.
Символьні обчислення
Всі матричні і векторні оператори допустимо використовувати як в
чисельних, так і в символьних розрахунках. Міць символьних операцій
полягає в можливості проводити їх не тільки над конкретними числами, а й
над змінними.
Фрагмент документа MathCAD:
a
d
b
f
c
g






u
x
v
y
w
z






+
a u+
d x+
b v+
f y+
c w+
g z+






→
a
d
b
f
c
g






u
x
v
y
w
z






−
a u−
d x−
b v−
f y−
c w−
g z−






→
a
d
b
f
c
g






k+
a k+
d k+
b k+
f k+
c k+
g k+






→
Контрольні питання
1. Як створити матрицю, вектор рядок, вектор стовпець?
2. Які оператори є для роботи з матрицями?
3. Перерахуйте команди панелі інструментів Матриці.
4. Як вставити матричні функції?
5. Як виконувати обчислення, якщо матриця задана у символьному вигляді?