Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
楕円関数とおもしろい応用
@matsumoring
2015.9.22
@matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
三角関数
Definition.
“円周率” π を
π
2
:=
∫ 1
0
dx
√
1 − x2
で定める.また,
x = sin u
def.
⇐⇒ u =
∫ x
0
...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
x2
+ y2
= 1 の微分を考えて
x + y
dy
dx
= 0, よって
dy
dx
= −
x
y
⇒ u =
∫ x
0
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
=...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proposition.
sin(u + 2π) = sin u,
sin(−u) = − sin u.
Proof.
後半のみ示す.
∫ −y0
0
dx
√
1 − x2
...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Theorem.
u, v を十分小さくとれば次式が成立;
sin(u + v) = sin u
√
1 − sin2
v + sin v
√
1 − sin2
u
Proof...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof (Cont.)
dx
√
1 − x2
+
dy
√
1 − y2
= 0
⇒
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ y
z
dy
√
1 − y2
= 0
...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
cos 関数を次のようにして定める.
Definition.
cos u := sin
(π
2
− u
)
.
ここで次は明らか.
Proposition.
cos2
u + ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
レムニスケート関数
Definition.
“レムニスケート周率” ϖ を
ϖ
2
:=
∫ 1
0
dx
√
1 − x4
で定める.また,
x = sl u
def.
⇐⇒ ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
三角関数のときと同様に r2
= cos 2θ の微
分を考える.rdr = − sin 2θ dθ より,
dθ
dr
= −
r
sin 2θ
= −
r
√
1 − r4...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
三角関数のときと同様に考えて
Proposition.
sl(u + 2ϖ) = sl u,
sl(−u) = − sl u.
Theorem.
u, v を十分小さくとれば次...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
cl 関数を次のようにして定める.
Definition.
cl u := sl
(ϖ
2
− u
)
.
Proposition.
cl2
u + cl2
u sl2
u + ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Definition.
v ∈ R, i =
√
−1 とする.
sl iv := i sl v, cl iv :=
1
cl v
.
∵ ∫ iy0
0
dx
√
1 − x4...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
加法定理とあわせて,
Definition.
u, v ∈ R とする.
sl(u + iv) :=
sl u cl iv + cl u sl iv
1 − sl u cl u ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Definition.
R 上独立な 2 つの周期を持つ有理型関数を楕円関数という.
Remark.
sl の基本周期は実は 2ϖ と ϖ + ϖi である.
@matsumor...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Definition.
a, b > 0, a0 := a, b0 := b
an+1 :=
an + bn
2
, bn+1 :=
√
anbn
とする.このとき,
M(a, ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
単振り子
l
mgt = 0
θ
E =
1
2
m
(
l ˙θ
)2
+ mgl (1 − cos θ)
= mgl (1 − cos θ0)
(ただし −θ0 ≤ θ ≤...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
1
2
˙θ2
+ (1 − cos θ) = 1 − cos θ0
⇒
1
2
˙θ2
+ 2 sin2 θ
2
= 2 sin2 θ0
2
⇒ ˙θ2
= 4
(
sin2...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
t =
∫ t
0
dt =
∫ θ
0
dθ
2k cos φ
=
∫ φ
0
dφ
√
1 − k2 sin2
φ
=
∫ x
0
dx
√
(1 − x2)(1 − k2...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Jacobi の楕円関数
Definition.
K(k) = K :=
∫ π/2
0
dφ
√
1 − k2 sin2
φ
=
∫ 1
0
dx
√
(1 − x2)(1 −...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
定義からすぐ分かること
k → 0 sn u → sin u,
k = i sn u = sl u, cl u = cn u/ dn u
k → 1 sn u → tanh u...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Theorem. (sn の加法定理)
sn(u + v) =
sn u cn v dn v + sn v cn u dn u
1 − k2 sn2 u sn2 v
Theor...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proposition.
K =
2
1 + k′
K1
(
K1 := K(k1)
)
Proof.
Landen 変換で u = K とすると
sn
(
(1 + k′
)...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Theorem.
a, b > 0, k′
:= b/a とする.このとき
M(1, k′
) =
π
2K
.
Proof.
k′
1 :=
√
1 − k2
1 とおけば,...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof (Cont.)
つまり
k′
1 =
2
√
k′
1 + k′
.
ここで k′
= b/a としたので
k′
1 =
2
√
b/a
1 + (b/a)
=
2...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof (Cont.)
ここで I(a, b) :=
∫ π/2
0
dφ
√
a2 cos2 φ + b2 sin2
φ
と書くと
K =
∫ π/2
0
dφ
√
1 ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof (Cont.)
Landen 変換の後の Proposition より
K =
2
1 + k′
K1 =
2
1 + (b/a)
K1
=
2a
a + b
K1...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof (Cont.)
I(a∞, b∞) =
1
M(a, b)
I(1, 1) であるから
K
a
= I(a∞, b∞) =
1
M(a, b)
I(1, 1)
=
...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Definition.
v ∈ R, i =
√
−1 とする.
sn(iv, k) := i
sn(v, k′
)
cn(v, k′)
,
cn(iv, k) :=
1
cn(...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
u, v ∈ R に対し sn(u + iv, k) 等を加法定理の式で定めれば
周期 極(1 位) 零点(1 位)
sn 4K, 2K′
i 2mK + (2n − 1)K′...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
テータ関数
簡単のため次の記法を用いる;
∏
:=
∞∏
n=1
,
∑
:=
∞∑
n=−∞
Definition.
v ∈ C, τ ∈ H = {z ∈ C | Im z ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
ここで
ϑ0(v) = 0 ⇔ q2n−1
z±2
= 1
⇔ eπi
(
(2n−1)τ±2v
)
= 1
⇔ (2n − 1)τ ± 2v = 2m
⇔ v = ±m ∓ ...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
零点 τ =
K′
K
i, v =
u
2K
のとき
ϑ1 m + nτ 2mK + 2nK′
i
ϑ2
(
m − 1
2
)
+ nτ (2m − 1)K + 2nK′
...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proposition.
sn u = C1
ϑ1(v)
ϑ0(v)
,
cn u = C2
ϑ2(v)
ϑ0(v)
,
dn u = C3
ϑ3(v)
ϑ0(v)
.
Pro...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proposition. (ϑk の Fourier 展開)
ϑ1(v) = i
∑
(−1)n
q(2n−1
2 )
2
z2n−1
ϑ2(v) =
∑
q(2n−1
2 )...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Fact.
℘(u) − ℘(v) = −ϑ′2
1
ϑ1(u + v)ϑ1(u − v)
ϑ1(u)2ϑ1(v)2
.
ただし ℘ の周期は 1, τ である.
Propos...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Theorem.
n ∈ N, Φ(n) := #{(n1, n2, n3, n4) ∈ Z4
| n2
1 + n2
2 + n2
3 + n2
4 = n} とす
る.この...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof of Theorem.
ϑ3 =
∑
qn2
より ϑ4
3 =
∑∞
n=0 Φ(n)qn
が分かる.よって
ϑ2
ϑ0
=
2q
1
4
∏
(1 + q2n
...
三角関数
レムニスケート関数
Jacobi の楕円関数
テータ関数
Proof (Cont.)
ϑ4
3 = 1 − 8
∞∑
n=1
4nq4n
1 − q4n
+ 8
∞∑
n=1
nqn
1 − qn
= 1 − 8
∞∑
n=1
4nq...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

20150922_楕円関数とおもしろい応用

11,835 views

Published on

H27.09.22第7回関西すうがく徒のつどい

Published in: Science
  • Hello! Get Your Professional Job-Winning Resume Here - Check our website! https://vk.cc/818RFv
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

20150922_楕円関数とおもしろい応用

  1. 1. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 楕円関数とおもしろい応用 @matsumoring 2015.9.22 @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  2. 2. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 三角関数 Definition. “円周率” π を π 2 := ∫ 1 0 dx √ 1 − x2 で定める.また, x = sin u def. ⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ 1 − x2 ( −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ u ≤ π/2 ) とする. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  3. 3. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 x2 + y2 = 1 の微分を考えて x + y dy dx = 0, よって dy dx = − x y ⇒ u = ∫ x 0 √ 1 + ( dy dx )2 dx = ∫ x 0 √ y2 + x2 y2 dx = ∫ x 0 dx y = ∫ x 0 dx √ 1 − x2 . ⇝ 幾何学的に R 全体に拡張する. x y 0 1x +− u @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  4. 4. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. sin(u + 2π) = sin u, sin(−u) = − sin u. Proof. 後半のみ示す. ∫ −y0 0 dx √ 1 − x2 = (x=−y) − ∫ y0 0 dy √ 1 − y2 =: −u ∴ sin(−u) = −y0 = − sin u. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  5. 5. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. u, v を十分小さくとれば次式が成立; sin(u + v) = sin u √ 1 − sin2 v + sin v √ 1 − sin2 u Proof. z = x √ 1 − y2 + y √ 1 − x2 とおく. z :十分小を fix. ここで x 0 → x y z → y に注意. dz = (√ 1 − y2 − xy √ 1 − x2 ) dx + ( − xy √ 1 − y2 + √ 1 − x2 ) dy = 0 ∴ (√ (1 − x2)(1 − y2) − xy ) ( dx √ 1 − x2 + dy √ 1 − y2 ) = 0. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  6. 6. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) dx √ 1 − x2 + dy √ 1 − y2 = 0 ⇒ ∫ x 0 dx √ 1 − x2 + ∫ y z dy √ 1 − y2 = 0 ⇒ ∫ x 0 dx √ 1 − x2 =: u + ∫ y 0 dy √ 1 − y2 =: v = ∫ z 0 dz √ 1 − z2 . すなわち次が成り立つ. sin(u + v) = z = x √ 1 − y2 + y √ 1 − x2. ここで x = sin u, y = sin v より証明は完了する. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  7. 7. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 cos 関数を次のようにして定める. Definition. cos u := sin (π 2 − u ) . ここで次は明らか. Proposition. cos2 u + sin2 u = 1. Theorem. sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v. Question. sin π 6 を求めよ. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  8. 8. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 レムニスケート関数 Definition. “レムニスケート周率” ϖ を ϖ 2 := ∫ 1 0 dx √ 1 − x4 で定める.また, x = sl u def. ⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ 1 − x4 ( −1 ≤ x ≤ 1 −ϖ/2 ≤ u ≤ ϖ/2 ) とする. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  9. 9. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 三角関数のときと同様に r2 = cos 2θ の微 分を考える.rdr = − sin 2θ dθ より, dθ dr = − r sin 2θ = − r √ 1 − r4 ⇒ u = ∫ r 0 √ 1 + ( r dθ dr )2 dr = ∫ r 0 √ 1 − r4 + r4 1 − r4 dr = ∫ r 0 dr √ 1 − r4 . ⇝ 幾何学的に R 全体に拡張する. x y 1−1 u r + − @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  10. 10. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 三角関数のときと同様に考えて Proposition. sl(u + 2ϖ) = sl u, sl(−u) = − sl u. Theorem. u, v を十分小さくとれば次式が成立; sl(u + v) = sl u √ 1 − sl4 v + sl v √ 1 − sl4 u 1 + sl2 u sl2 v . が成立する. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  11. 11. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 cl 関数を次のようにして定める. Definition. cl u := sl (ϖ 2 − u ) . Proposition. cl2 u + cl2 u sl2 u + sl2 u = 1. Theorem. sl(u + v) = sl u cl v + cl u sl v 1 − sl u cl u sl v cl v . Question. sl ϖ 6 を求めよ. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  12. 12. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. v ∈ R, i = √ −1 とする. sl iv := i sl v, cl iv := 1 cl v . ∵ ∫ iy0 0 dx √ 1 − x4 = (x=iy) i ∫ y0 0 dy √ 1 − y4 =: iv より sl iv = iy0 = i sl v, cl iv = √ 1 − sl2 iv 1 + sl2 iv = √ 1 + sl2 v 1 − sl2 v = 1 cl v . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  13. 13. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 加法定理とあわせて, Definition. u, v ∈ R とする. sl(u + iv) := sl u cl iv + cl u sl iv 1 − sl u cl u sl iv cl iv . Proposition. sl(u + 2ϖi) = sl u (∀u ∈ C). Proof. u = a + bi, (a, b ∈ R) とおけば sl(u + 2ϖi) = sl (a + (b + 2ϖ)i) = sl(a + bi) = sl u. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  14. 14. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. R 上独立な 2 つの周期を持つ有理型関数を楕円関数という. Remark. sl の基本周期は実は 2ϖ と ϖ + ϖi である. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  15. 15. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. a, b > 0, a0 := a, b0 := b an+1 := an + bn 2 , bn+1 := √ anbn とする.このとき, M(a, b) := lim n→∞ an = lim n→∞ bn と定め,a と b の “算術幾何平均” とよぶ. Theorem. M(1, √ 2) = π ϖ . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  16. 16. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 単振り子 l mgt = 0 θ E = 1 2 m ( l ˙θ )2 + mgl (1 − cos θ) = mgl (1 − cos θ0) (ただし −θ0 ≤ θ ≤ θ0.) ここで m = g = l = 1 とする. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  17. 17. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 1 2 ˙θ2 + (1 − cos θ) = 1 − cos θ0 ⇒ 1 2 ˙θ2 + 2 sin2 θ 2 = 2 sin2 θ0 2 ⇒ ˙θ2 = 4 ( sin2 θ0 2 − sin2 θ 2 ) k := sin θ0 2 = 4k2 ( 1 − sin2 φ ) k sin φ := sin θ 2 = 4k2 cos2 φ k cos φ dφ = 1 2 cos θ 2 dθ ∴ dθ dt = 2k cos φ = 1 2 √ 1 − k2 sin2 φ dθ dθ = 2k cos φ dφ √ 1 − k2 sin2 φ @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  18. 18. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 t = ∫ t 0 dt = ∫ θ 0 dθ 2k cos φ = ∫ φ 0 dφ √ 1 − k2 sin2 φ = ∫ x 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) x = sin φ dx = cos φ dφ = √ 1 − x2 dφ θ 0 → θ0 φ 0 → π/2 x 0 → 1 @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  19. 19. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Jacobi の楕円関数 Definition. K(k) = K := ∫ π/2 0 dφ √ 1 − k2 sin2 φ = ∫ 1 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) と定める.ここで K : 第一種完全楕円積分,k : 母数,k′ := √ 1 − k2 : 補母数 という. Definition. x = sn(u, k) = sn u def. ⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) また, cn u := √ 1 − sn2 u, dn u := √ 1 − k2 sn2 u. ※今までと同様に R 全体に 拡張しておく. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  20. 20. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 定義からすぐ分かること k → 0 sn u → sin u, k = i sn u = sl u, cl u = cn u/ dn u k → 1 sn u → tanh u Proposition. sn(−u) = − sn u, sn(u + 4K) = sn u, cn(−u) = cn u, cn(u + 4K) = cn u, dn(−u) = dn u, dn(u + 2K) = dn u. u 0 K 2K 3K 4K dn u 1 k′ 1 k′ 1 @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  21. 21. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. (sn の加法定理) sn(u + v) = sn u cn v dn v + sn v cn u dn u 1 − k2 sn2 u sn2 v Theorem. (Landen 変換) k1 := 1 − k′ 1 + k′ とおく.このとき sn ( (1 + k′ )u, k1 ) = (1 + k′ ) sn(u, k) cn(u, k) dn(u, k) が成立. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  22. 22. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. K = 2 1 + k′ K1 ( K1 := K(k1) ) Proof. Landen 変換で u = K とすると sn ( (1 + k′ )K, k1 ) = (1 + k′ ) sn(K, k) cn(K, k) dn(K, k) = 0 (∵ cn(K, k) = 0, dn(K, k) ̸= 0). よって (1 + k′ )K = 2nK であるが,実は n = 1. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  23. 23. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. a, b > 0, k′ := b/a とする.このとき M(1, k′ ) = π 2K . Proof. k′ 1 := √ 1 − k2 1 とおけば, k′ 1 = √ 1 − ( 1 − k′ 1 + k′ )2 = √ (1 + k′)2 − (1 − k′)2 (1 + k′)2 = √ 4k′ (1 + k′)2 = 2 √ k′ 1 + k′ . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  24. 24. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) つまり k′ 1 = 2 √ k′ 1 + k′ . ここで k′ = b/a としたので k′ 1 = 2 √ b/a 1 + (b/a) = 2 a + b √ ab = b1 a1 . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  25. 25. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) ここで I(a, b) := ∫ π/2 0 dφ √ a2 cos2 φ + b2 sin2 φ と書くと K = ∫ π/2 0 dφ √ 1 − k2 sin2 φ = ∫ π/2 0 dφ √ cos2 φ + (1 − k2) sin2 φ = I(1, k′ ) = I ( 1, b a ) = aI(a, b) 同様に K1 = a1I(a1, b1) が分かる. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  26. 26. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) Landen 変換の後の Proposition より K = 2 1 + k′ K1 = 2 1 + (b/a) K1 = 2a a + b K1 = a a1 K1. よって aI(a, b) = a a1 a1I(a1, b1) ∴ I(a, b) = I(a1, b1). 同様にして K a = I(a, b) = I(a1, b1) = I(a2, b2) = · · · = I(a∞, b∞). @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  27. 27. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) I(a∞, b∞) = 1 M(a, b) I(1, 1) であるから K a = I(a∞, b∞) = 1 M(a, b) I(1, 1) = 1 aM(1, b/a) ∫ π/2 0 dφ = 1 aM(1, k′) π 2 ∴ M(1, k′ ) = π 2K Corollary. M(1, √ 2) = π ϖ @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  28. 28. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. v ∈ R, i = √ −1 とする. sn(iv, k) := i sn(v, k′ ) cn(v, k′) , cn(iv, k) := 1 cn(v, k′) , dn(iv, k) := dn(v, k′ ) cn(v, k′) . これは y0 ∈ R をとって ∫ iy0 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) を考えればよい. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  29. 29. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 u, v ∈ R に対し sn(u + iv, k) 等を加法定理の式で定めれば 周期 極(1 位) 零点(1 位) sn 4K, 2K′ i 2mK + (2n − 1)K′ i 2mK + 2nK′ i cn 4K, 2K + 2K′ i 〃 (2m − 1)K + 2nK′ i dn 2K, 4K′ i 〃 (2m − 1)K + (2n − 1)K′ i ただし K′ := K(k′ ), m, n ∈ Z である. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  30. 30. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 テータ関数 簡単のため次の記法を用いる; ∏ := ∞∏ n=1 , ∑ := ∞∑ n=−∞ Definition. v ∈ C, τ ∈ H = {z ∈ C | Im z > 0}, z := eπiv , q := eπiτ とおく. ϑ1(v) := Cq1/4 z − z−1 i ∏ (1 − q2n z2 )(1 − q2n z−2 ) ϑ2(v) := Cq1/4 (z + z−1 ) ∏ (1 + q2n z2 )(1 + q2n z−2 ) ϑ3(v) := C ∏ (1 + q2n−1 z2 )(1 + q2n−1 z−2 ) ϑ0(v) := C ∏ (1 − q2n−1 z2 )(1 − q2n−1 z−2 ) ここで C := ∏ (1 − q2n ) である.また ϑ3 := ϑ3(0) 等と書く. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  31. 31. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 ここで ϑ0(v) = 0 ⇔ q2n−1 z±2 = 1 ⇔ eπi ( (2n−1)τ±2v ) = 1 ⇔ (2n − 1)τ ± 2v = 2m ⇔ v = ±m ∓ (n − 1 2 )τ @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  32. 32. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 零点 τ = K′ K i, v = u 2K のとき ϑ1 m + nτ 2mK + 2nK′ i ϑ2 ( m − 1 2 ) + nτ (2m − 1)K + 2nK′ i ϑ3 ( m − 1 2 ) + ( n − 1 2 ) τ (2m − 1)K + (2n − 1)K′ i ϑ0 m + ( n − 1 2 ) τ 2mK + (2n − 1)K′ i ϑ0 = 0 ( u 2K ) ⇔ u 2K = m + ( n − 1 2 ) K′ K i u = 2mK + (2n − 1) K′ i @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  33. 33. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. sn u = C1 ϑ1(v) ϑ0(v) , cn u = C2 ϑ2(v) ϑ0(v) , dn u = C3 ϑ3(v) ϑ0(v) . Proposition. ϑk(v + 2) = ϑk(v) (k = 1, 2, 3, 0) Proof. v → v + 2 のとき, eπi(v+2) = eπiv より z → z から分かる. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  34. 34. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. (ϑk の Fourier 展開) ϑ1(v) = i ∑ (−1)n q(2n−1 2 ) 2 z2n−1 ϑ2(v) = ∑ q(2n−1 2 ) 2 z2n−1 ϑ3(v) = ∑ qn2 z2n ϑ0(v) = ∑ (−1)n qn2 z2n Proposition. (熱方程式) ∂2 ϑk ∂v2 = 4πi ∂ϑk ∂τ Proof. 項別微分すればよい. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  35. 35. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Fact. ℘(u) − ℘(v) = −ϑ′2 1 ϑ1(u + v)ϑ1(u − v) ϑ1(u)2ϑ1(v)2 . ただし ℘ の周期は 1, τ である. Proposition. ϑ4 3 = 4q d dq log ϑ2 ϑ0 . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  36. 36. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. n ∈ N, Φ(n) := #{(n1, n2, n3, n4) ∈ Z4 | n2 1 + n2 2 + n2 3 + n2 4 = n} とす る.このとき σ1(n) := ∑ k∈N k|n k, σ2(n) := ∑ k∈4N k|n k, σ(n) := σ1(n) − σ2(n) とすれば Φ(n) = 8σ(n). @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  37. 37. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof of Theorem. ϑ3 = ∑ qn2 より ϑ4 3 = ∑∞ n=0 Φ(n)qn が分かる.よって ϑ2 ϑ0 = 2q 1 4 ∏ (1 + q2n )2 (1 − q2n )2 ∏ (1 − q2n−1)2(1 − q2n)2 = 2q 1 4 ∏ (1 − q4n )2 ∏ (1 − qn)2 この自然対数をとって log ϑ2 ϑ0 = log 2 + 1 4 log q + 2 ∞∑ n=1 log(1 − q4n ) + ∞∑ n=1 log(1 − qn ) ⇒ d dq log ϑ2 ϑ0 = 1 4q + 2 ∞∑ n=1 −4nq4n−1 1 − q4n − 2 ∞∑ n=1 −nqn−1 1 − qn @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
  38. 38. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) ϑ4 3 = 1 − 8 ∞∑ n=1 4nq4n 1 − q4n + 8 ∞∑ n=1 nqn 1 − qn = 1 − 8 ∞∑ n=1 4nq4n ∞∑ m=0 q4nm + 8 ∞∑ n=1 nqn ∞∑ m=0 qnm = 1 − 8 ∞∑ m=0 ∞∑ n=1 4nq4n(m+1) + 8 ∞∑ m=0 ∞∑ n=1 nqn(m+1) = 1 − 8 ∞∑ n=1 σ2(n)qn + 8 ∞∑ n=1 σ1(n)qn = 1 + 8 ∞∑ n=1 σ(n)qn 以上より Φ(n) = 8σ(n). @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用

×