Download báo cáo nghiên cứu khoa học ngành toán học với đề tài: Luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên, cho các bạn có thể tham khảo

1. i
MỤC LỤC
Thông tin kết quả nghiên cứu 1
Mở đầu 5
Chương 1 Mảng hiệu martingale và một số bất đẳng thức moment 9
1.1 Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Mảng hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Một số bất đẳng thức moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2 Luật yếu số lớn đối với mảng phù hợp 19
2.1 Tiêu chuẩn hội tụ suy biến đối với mảng phù hợp . . . . . . 19
2.2 Luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller đối với mảng phù hợp . . 24
Chương 3 Luật mạnh số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên 30
3.1 Luật mạnh số lớn đối với mảng hiệu martingale . . . . . . . 30
3.2 Luật mạnh số lớn đối với mảng phù hợp . . . . . . . . . . . 33
3.3 Luật mạnh số lớn đối với mảng M-phụ thuộc . . . . . . . . 41
Kết luận và kiến nghị 49
Tài liệu tham khảo 51
Phụ lục 57

2. 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đơn vị: Đại học Đồng Tháp
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên
- Mã số: B2009-20-17
- Chủ nhiệm: ThS. Nguyễn Văn Huấn
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Đồng Tháp
- Thời gian thực hiện: từ 3/2009 đến 9/2010
2. Mục tiêu
- Thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến
ngẫu nhiên bằng việc làm yếu đi các giả thiết trong một số kết quả đã được
công bố,
- Mở rộng một số luật số lớn đối với dãy và mảng các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị thực sang mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach.
3. Tính mới và sáng tạo
- Chúng tôi giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale - phiên bản nhiều
chỉ số của khái niệm hiệu martingale.
- Sử dụng một số giả thiết yếu hơn giả thiết độc lập và giả thiết cùng phân
phối, chúng tôi phát triển được một số kết quả trước đó.
- Chúng tôi cung cấp bốn đặc trưng mới của không gian Banach p-khả
trơn.
4. Kết quả nghiên cứu
- Khái niệm mảng hiệu martingale, hai bất đẳng thức moment đối với
mảng hiệu martingale và một bất đẳng thức cực đại dạng Hájek-Rényi đối
với mảng các biến ngẫu nhiên,
- Hai luật yếu số lớn đối với mảng phù hợp nhận giá trị trong không gian

3. 2
Banach p-khả trơn,
- Ba luật mạnh số lớn đối với mảng hiệu martingale, mảng phù hợp và
mảng các biến ngẫu nhiên M-phụ thuộc,
- Bốn đặc trưng của không gian Banach p-khả trơn dưới dạng bất đẳng
thức moment và luật mạnh số lớn đối với mảng hiệu martingale.
5. Sản phẩm
Nội dung chính của đề tài được công bố trong 3 bài báo khoa học sau:
1. Huan N. V., “The Hájek-Rényi inequality for M-dependent arrays and
a general strong law of large numbers”, Journal of Probability and Statistical
Science (nhận đăng ngày 22/06/2010).
2. Quang N. V. and Huan N. V. (2009), “On the strong law of large num-
bers and Lp-convergence for double arrays of random elements in p-uniformly
smooth Banach spaces”, Statistics & Probability Letters, 79(18), 1891-1899.
3. Quang N. V. and Huan N. V. (2010), “A characterization of p-uniformly
smooth Banach spaces and weak laws of large numbers for d-dimensional
adapted arrays”, Sankhy¯a: The Indian Journal of Statistics, 72(2), 344-358.
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả
năng áp dụng
- Một số kết quả chính của đề tài được đưa vào nội dung luận án tiến sỹ
của chủ nhiệm đề tài.
- Đề tài góp phần nâng cao chất lượng hoạt động Nghiên cứu khoa học
của giảng viên và sinh viên Khoa Toán học - Trường Đại học Đồng Tháp.
- Đề tài là một tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và nghiên cứu
sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.
Ngày 25 tháng 01 năm 2011
Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài

4. 3
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information
- Project title: Laws of large numbers for random variables
- Code number: B2009-20-17
- Coordinator: M.Sc. Nguyen Van Huan
- Implementing institution: Dong Thap University
- Duration: from March 2009 to September 2010
2. Objectives
- Establish some strong laws of large numbers for arrays of random variables
by the weakening of the hypotheses of some previous results,
- Extend some strong laws of large numbers for sequences and arrays of
real-valued random variables to arrays of random variables in Banach spaces.
3. Creativeness and innovativeness
- We introduce the concept of martingale difference array which is the
multidimensional version of the concept of martingale difference sequence.
- We extend some previous results under hypotheses which are weaker than
independence and identically distribution hypotheses.
- We provide four new characterizations of p-smoothable Banach spaces.
4. Research results
- The concept of martingale difference array, two moment inequalities for
martingale difference arrays and a Hájek-Rényi type maximal inequality for
arrays of random variables,
- Two weak laws of large numbers for adapted arrays in p-smoothable
Banach spaces,
- Three strong laws of large numbers for martingale difference arrays,
adapted arrays and M-dependent arrays,
- Four characterizations of p-smoothable Banach spaces in terms of moment
inequalities and strong laws of large numbers for martingale difference arrays.

5. 4
5. Products
The main results of this project have been published in 3 following articles.
1. Huan N. V., “The Hájek-Rényi inequality for M-dependent arrays and
a general strong law of large numbers”, Journal of Probability and Statistical
Science (accepted June 22, 2010).
2. Quang N. V. and Huan N. V. (2009), “On the strong law of large num-
bers and Lp-convergence for double arrays of random elements in p-uniformly
smooth Banach spaces”, Statistics & Probability Letters, 79(18), 1891-1899.
3. Quang N. V. and Huan N. V. (2010), “A characterization of p-uniformly
smooth Banach spaces and weak laws of large numbers for d-dimensional
adapted arrays”, Sankhy¯a: The Indian Journal of Statistics, 72-A(2), 344-
358.
6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability
- Some main results of the project report will be presented in the Ph.D.
thesis of the coordinator of the project.
- The project partly contributes to researching activities of Mathematics
Faculty - Dong Thap University.
- The project is a reference for lecturers, students and post-graduates in
Probability and Statistics.

6. 5
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu
nhiên hội tụ theo xác suất (P). Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng định
trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.).
Luật yếu số lớn đầu tiên được chứng minh bởi một nhà toán học người
Thụy Sỹ J. Bernoulli và kết quả này được công bố năm vào 1713 khi ông đã
qua đời. Sau đó, luật số lớn của J. Bernoulli được mở rộng bởi J. Bienaymé,
P. L. Chebyshev và A. A. Markov. Tuy nhiên phải đến năm 1909 thì luật
mạnh số lớn mới được một nhà toán học người Pháp É. Borel phát hiện và
kết quả này đã được A. N. Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Luật số lớn
đối với dãy một chỉ số các biến ngẫu nhiên tiếp tục được rất nhiều nhà khoa
học quan tâm nghiên cứu, một số dạng luật số lớn đã được đặt tên gắn liền
với các nhà khoa học như J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, H. D. Brunk, Y. V.
Prokhorov, K. L. Chung, W. Feller, ...
Đối với mảng các biến ngẫu nhiên (dãy nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên),
R. T. Smythe [42] đã thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov; luật số lớn
Marcinkiewicz-Zygmund cũng đã được nghiên cứu bởi A. Gut [8], A. Gut
và U. Stadtm¨uller [12], D. H. Hong và S. Y. Hwang [17], D. H. Hong và A.
Volodin [19], E. B. Czerebak-Mrozowicz, O. I. Klesov và Z. Rychlik [3]. Luật
yếu số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach đã được nhiều tác giả quan tâm, một số kết quả theo hướng nghiên
cứu này thuộc về L. Zhang [49], D. H. Hong, M. Ordó˜nez Cabrera, S. H. Sung
và A. Volodin [18], A. Rosalsky và M. Sreehari [37], A. Rosalsky và A. Volodin
[39]. Gần đây, luật mạnh số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá

7. 6
trị trong không gian Banach cũng đã được nhiều tác giả quan tâm, điển hình
là các nghiên cứu của T. Mikosch và R. Norvai˜sa [26], F. Móricz, K. L. Su và
R. L. Taylor [28], J. Hoffmann-Jørgensen, K. L. Su và R. L. Taylor [16], A.
Kuczmaszewska [23], T. Tómács [45], K. L. Su [43], Z. A. Lagodowski [24].
Ở trong nước, nghiên cứu về luật số lớn có các nhà khoa học như Giáo sư
Nguyễn Duy Tiến, cố Giáo sư Đinh Quang Lưu và các học trò của họ. Chi
tiết hơn về một số kết quả có thể tìm thấy trong các bài báo [4, 7, 21, 22, 33,
34, 35, 36].
2. Tính cấp thiết của đề tài
Luật số lớn nói riêng và các định lý giới hạn nói chung đã được nhiều nhà
nghiên cứu về xác suất và thống kê trên thế giới quan tâm. Các kết quả thu
được từ những nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong thống kê toán học,
kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì vậy,
việc nghiên cứu vấn đề này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có những ý
nghĩa thực tiễn to lớn. Hướng nghiên cứu về luật số lớn đối với mảng các biến
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach là một hướng nghiên cứu đã
và đang phát triển mạnh, tạo ra những đặc trưng giao thoa giữa lý thuyết xác
suất và giải tích hàm. Bên cạnh đó, đề tài hoàn thành sẽ tạo ra một hướng
nghiên cứu mới cho giảng viên và sinh viên Khoa Toán học, Trường Đại học
Đồng Tháp, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo và năng lực nghiên cứu
khoa học cho giảng viên.
3. Mục tiêu của đề tài
- Thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến
ngẫu nhiên bằng việc làm yếu đi các giả thiết trong một số kết quả đã được
công bố;
- Mở rộng một số kết quả về luật số lớn đối với dãy và mảng các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị thực sang mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian Banach.

8. 7
4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
4.1. Cách tiếp cận
- Tiếp cận hệ thống: Đọc các tài liệu có liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu
của đề tài, đặc biệt là các bài báo đã được công bố trên các tạp chí khoa học
quốc tế xuất bản trong thời gian gần đây.
- Tiếp cận định tính: Tiếp cận nghiên cứu đề tài bằng việc thay thế giả
thiết ban đầu trong một số kết quả đã biết về luật số lớn bằng các giả thiết
yếu hơn như: thay thế điều kiện độc lập bởi điều kiện phù hợp, thay thế điều
kiện độc lập bởi điều kiện M-phụ thuộc, điều kiện độc lập kỳ vọng không
bởi điều kiện lập thành hiệu martingale, điều kiện cùng phân phối bởi điều
kiện bị làm trội ngẫu nhiên; mở rộng các kết quả về luật số lớn đối với dãy
và mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang luật số lớn đối với mảng
các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
4.2. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo;
- Trao đổi thông tin với Người hướng dẫn, nhóm nghiên cứu và các tác giả
khác có cùng hướng nghiên cứu; viết bài cho các tạp chí khoa học để kiểm tra
kết quả nghiên cứu.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu: Các định lý giới hạn dạng luật số lớn.
5.2. Phạm vi nghiên cứu: Dãy nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên.
6. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm có ba
chương.
Chương 1 chủ yếu được dành để giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale
và nghiên cứu về một số bất đẳng thức moment. Mục 1.1 trình bày một số
kiến thức chuẩn bị bao gồm các ký hiệu và khái niệm cơ bản liên quan đến
nội dung của cả đề tài. Trong Mục 1.2, chúng tôi giới thiệu khái niệm mảng
hiệu martingale - phiên bản nhiều chỉ số của khái niệm hiệu martingale đã

9. 8
biết. Mục 1.3 được dành để thiết lập ba bất đẳng thức moment, bao gồm hai
bất đẳng thức moment đối với mảng hiệu martingale nhận giá trị trong không
gian Banach p-khả trơn và một bất đẳng thức cực đại dạng Hájek-Rényi đối
với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một không gian Banach khả
ly bất kỳ.
Trong Chương 2, chúng tôi mở rộng hai luật yếu số lớn đối với mảng phù
hợp. Trong Mục 2.1, chúng tôi thiết lập tiêu chuẩn hội tụ suy biến đối với
mảng phù hợp, chúng tôi cũng chỉ ra Định lý 2.1.1 không những tổng quát và
còn mạnh hơn Định lý 2.13 của P. Hall và C. C. Heyde [14]. Dựa vào kết quả
này, trong Mục 2.2, chúng tôi mở rộng luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller cho
mảng phù hợp trong trường hợp các biến ngẫu nhiên bị làm trội ngẫu nhiên.
Trong Chương 3, chúng tôi thiết lập ba luật mạnh số lớn đối với mảng các
biến ngẫu nhiên. Trong Mục 3.1 và Mục 3.3, chúng tôi mở rộng luật mạnh số
lớn Kolmogorov cho mảng hiệu martingale và mảng các biến ngẫu nhiên M-
phụ thuộc. Mục 3.2 được dành để thiết lập luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-
Zygmund cho mảng phù hợp trong trường hợp các biến ngẫu nhiên bị làm
trội ngẫu nhiên.

10. 9
CHƯƠNG 1
MẢNG HIỆU MARTINGALE VÀ
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale và
thiết lập ba bất đẳng thức moment. Chúng tôi cũng cung cấp hai đặc trưng
của không gian Banach p-khả trơn dưới dạng các bất đẳng thức moment cho
mảng hiệu martingale. Phần lớn các kết quả của chương này đã được công bố
trong [31, 32].
Trước khi phát biểu các kết quả chính, chúng tôi sẽ trình bày phần kiến
thức chuẩn bị bao gồm các ký hiệu và khái niệm cơ bản liên quan đến nội
dung của cả đề tài.
1.1 Các kiến thức chuẩn bị
Chúng tôi ký hiệu N là tập các số nguyên dương, N0 là tập các số tự
nhiên và R là tập các số thực. Cho d ∈ N, khi đó các phần tử thuộc Nd
0
như (1, 1, ..., 1), (m1, m2, ..., md), (n1, n2, ..., nd), (n1 + 1, n2 + 1, ..., nd + 1),
(2n1
, 2n2
, ..., 2nd) sẽ lần lượt được ký hiệu bởi 1, m, n, n + 1, 2n
. Cho a ∈ R,
log(max{a, 1}) sẽ được ký hiệu bởi log+
a, trong đó logarit được lấy theo
cơ số 2. Cho α = (α1, α2, ..., αd) ∈ Rd
, j ∈ N, chúng tôi ký hiệu αmin =
min{αi : i = 1, 2, ..., d}, |n(α)| =
d
i=1 nαi
i , |n| = |n(1)|, dj = card{k ∈
Nd
: |k| = j}, trong đó card(A) là lực lượng của tập hợp A. Chúng tôi viết
m n (hoặc n m) nếu mi ni với mọi i = 1, 2, ..., d.
Cho {bn, n ∈ Nd
} là một mảng các số thực, chúng tôi ký hiệu bn là sai
phân của bn (quy ước bk = 0 nếu |k| = 0).
Giới hạn n → ∞ được hiểu là ni → ∞ với mọi i = 1, 2, ..., d. Ngoài ra,

11. 10
chúng tôi còn sử dụng loại giới hạn |n| → ∞. Rõ ràng, n → ∞ tương đương
với min{n1, n2, ..., nd} → ∞, |n| → ∞ tương đương với max{n1, n2, ..., nd} →
∞. Do đó, nếu n → ∞ thì |n| → ∞, điều ngược lại chỉ đúng trong trường
hợp d = 1.
1.1.1 Định nghĩa. Mảng các số thực {bn, n ∈ Nd
} được gọi là không giảm
(tương ứng không tăng) nếu nó không giảm (tương ứng không tăng) theo quan
hệ thứ tự (nghĩa là bm bn (tương ứng bm bn) với mọi m n).
1.1.2 Định nghĩa. Không gian Banach E được gọi là p-trơn đều (1 p 2)
nếu
ρ(τ) = sup
x + y + x − y
2
−1, x, y ∈ E, x = 1, y = τ = O(τp
).
Hàm ρ(τ) còn được gọi là modulus trơn của không gian Banach E.
1.1.3 Định nghĩa. Không gian Banach E được gọi là p-khả trơn (1 p 2)
nếu tồn tại một chuẩn tương đương và chuẩn này cùng với E trở thành một
không gian Banach p-trơn đều.
Rõ ràng, một không gian Banach p-trơn đều là p-khả trơn. Trong [6, 47, 48],
các tác giả đã chỉ ra rằng mọi không gian Banach khả ly là 1-khả trơn, không
gian các số thực R là 2-khả trơn, hai không gian Lp
và p
đều là 2 ∧ p-khả
trơn với mọi p 1. Ngoài ra, nếu một không gian Banach là p-khả trơn
(1 p 2) thì nó là r-khả trơn với mọi r ∈ [1, p].
Trong đề tài này, chúng tôi sẽ luôn giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác
suất đầy đủ, E là một không gian Banach khả ly, B(E) là σ-đại số tất cả các
tập Borel trong E, C là một hằng số dương và nó có thể khác nhau giữa các
lần xuất hiện.
1.1.4 Định nghĩa. Ánh xạ X : Ω → E được gọi là một biến ngẫu nhiên
(hay còn được gọi là một phần tử ngẫu nhiên) nếu X là F/B(E) đo được
(nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì X−1
(B) ∈ F).

12. 11
1.1.5 Định nghĩa. Mảng các biến ngẫu nhiên {Xn, n ∈ Nd
} được gọi là bị
làm trội ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại một hằng số C (0 <
C < ∞) sao cho, với mọi t 0 và mọi n ∈ Nd
,
P( Xn > t) C P( X > t). (1.1.1)
Rõ ràng, điều kiện (1.1.1) được thỏa mãn nếu {Xn, n ∈ Nd
} là mảng các
biến ngẫu nhiên cùng phân phối.
Phần cuối của mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm mảng các biến
ngẫu nhiên M-phụ thuộc, khái niệm đã được giới thiệu bởi F. Móricz, U.
Stadtm¨uller và M. Thalmaier [27] cho trường hợp d = 2.
Giả sử A, B là hai tập con hữu hạn của Nd
. Ta định nghĩa khoảng giữa A
và B như sau
d(A, B) = min
m∈A
n∈B
max{|m1 − n1|, |m2 − n2|, ..., |md − nd|} .
1.1.6 Định nghĩa. Mảng các biến ngẫu nhiên {Xn, n ∈ Nd
} được gọi là
M-phụ thuộc (M ∈ N0) nếu với mọi tập hữu hạn A, B ⊂ Nd
thỏa mãn
d(A, B) > M, các biến ngẫu nhiên {Xn, n ∈ A} độc lập với các biến ngẫu
nhiên {Xm, m ∈ B}.
Chúng ta dễ nhận thấy rằng một mảng các biến ngẫu nhiên 0-phụ thuộc
là mảng các biến ngẫu nhiên độc lập. Hơn nữa, trong trường hợp đặc biệt khi
d = 1, một mảng M-phụ thuộc chính là dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn
σ-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên nằm bên trái và σ-đại số sinh bởi các
biến ngẫu nhiên bên phải của các khối bất kỳ có độ dài M là độc lập
1.2 Mảng hiệu martingale
1.2.1 Định nghĩa. Họ {Fn, n ∈ Nd
0} các σ-đại số con của F được gọi là
một cơ sở ngẫu nhiên nếu nó không giảm theo quan hệ thứ tự trên Nd
0
(nghĩa là Fm ⊂ Fn với mọi m n).
1.2.2 Định nghĩa. Giả sử {Fn, n ∈ Nd
0} là một cơ sở ngẫu nhiên thỏa mãn
Fn = {∅, Ω} nếu |n| = 0, {Xn, n ∈ Nd
} là một mảng các biến ngẫu nhiên

13. 12
thỏa mãn Xn là Fn/B(E) đo được với mọi n ∈ Nd
. Khi đó {Xn, Fn, n ∈ Nd
}
được gọi là một mảng phù hợp.
Giả sử {Fn, n ∈ Nd
0} là một cơ sở ngẫu nhiên. Với mọi n ∈ Nd
0, đặt
F1
n =
ki 1 (2 i d)
Fn1k2k3...kd
:= σ
∞
k2=1
∞
k3=1
· · ·
∞
kd=1
Fn1k2k3...kd
,
Fj
n =
ki 1 (1 i j−1) ki 1 (j+1 i d)
Fk1...kj−1njkj+1...kd
if 1 < j < d,
Fd
n =
ki 1 (1 i d−1)
Fk1k2...kd−1nd
,
Gn =
1 i d
Fi
n,
trong trường hợp d = 1, ta đặt F1
n = Fn.
1.2.3 Định nghĩa. Mảng phù hợp {Xn, Fn, n ∈ Nd
} được gọi là một mảng
hiệu martingale nếu E(Xn|Fi
n−1) = 0 với mọi n ∈ Nd
và mọi i = 1, 2, ..., d.
1.2.4 Định nghĩa. Mảng phù hợp {Xn, Fn, n ∈ Nd
} được gọi là một mảng
hiệu martingale mạnh nếu E(Xn|Gn−1) = 0 với mọi n ∈ Nd
.
Từ tính chất “hút” của kỳ vọng có điều kiện ta chỉ ra được rằng mọi mảng
hiệu martingale mạnh đều là mảng hiệu martingale. Sau đây, chúng tôi sẽ đưa
ra hai ví dụ để chỉ ra mối quan hệ giữa mảng hiệu martingale mạnh và mảng
các biến ngẫu nhiên độc lập có các kỳ vọng bằng 0.
1.2.5 Ví dụ. Giả sử {Xn, n ∈ Nd
} là một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập
có các kỳ vọng bằng 0. Với mọi n ∈ Nd
, ta đặt
Fn = σ{Xk, 1 k n}.
Khi đó {Xn, Fn, n ∈ Nd
} là một mảng hiệu martingale mạnh.
1.2.6 Ví dụ. Giả sử d là một số nguyên dương và {Xj, Fj, j 1} là một
hiệu martingale thỏa mãn {Xj, j 1} không phải là một dãy các biến ngẫu

14. 13
nhiên độc lập. Với mọi n ∈ Nd
, ta đặt
Xn = Xj nếu n1 = j và ni = 1 với mọi i = 2, 3, ..., d,
Xn = 0 nếu tồn tại i : 2 i d sao cho ni > 1,
và với mọi k ∈ Nd
0, đặt
Fk = Fj nếu k1 = j và |k| = 0,
Fk = {∅, Ω} nếu |k| = 0.
Khi đó {Xn, Fn, n ∈ Nd
} là một mảng hiệu martingale mạnh nhưng không
phải là một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập.
Như vậy, tập tất cả các mảng hiệu martingale mạnh thực sự rộng hơn tập
tất cả các mảng các biến ngẫu nhiên độc lập có các kỳ vọng bằng 0.
1.3 Một số bất đẳng thức moment
Định lý 1.3.3 cung cấp hai đặc trưng của không gian Banach p-khả trơn
dưới dạng hai bất đẳng thức moment đối với mảng hiệu martingale. Kết quả
này là công cụ quan trọng để chứng minh Định lý 2.1.1 và Định lý 3.1.2 trong
hai chương tiếp theo. Trước khi phát biểu Định lý 1.3.3, chúng tôi cần nhắc
lại hai bổ đề sau đây. Bổ đề thứ nhất là bất đẳng thức Doob (xem Y. S. Chow
và H. Teicher [1, trang 255]), bổ đề thứ hai thuộc về G. Pisier [29].
1.3.1 Bổ đề. Giả sử p là một số thực (1 < p < ∞), {Xj, Fj, j 1} là một
martingale dưới không âm, nhận giá trị thực và có các moment bậc p hữu hạn.
Khi đó, với mọi j 1,
E max
1 i j
Xi
p p
p − 1
p
EXp
j .
1.3.2 Bổ đề. Không gian Banach E là p-khả trơn (1 p 2) khi và chỉ khi
tồn tại một hằng số dương C sao cho, với mọi hiệu martingale {Xj, Fj, j 1}
nhận giá trị trong E, có các moment bậc p hữu hạn và với mọi j 1,
E
j
i=1
Xi
p
C
j
i=1
E Xi
p
.

15. 14
1.3.3 Định lý. Giả sử p là một số thực (1 p 2). Khi đó ba phát biểu
sau đây là tương đương:
(i) E là một không gian Banach p-khả trơn.
(ii) Với mọi mảng hiệu martingale {Xn, Fn, n ∈ Nd
} có các moment bậc
p hữu hạn, tồn tại một hằng số C sao cho
E
1 k n
Xk
p
Cd
1 k n
E Xk
p
, n ∈ Nd
. (1.3.1)
(iii) Với mọi mảng hiệu martingale {Xn, Fn, n ∈ Nd
} có các moment bậc
p hữu hạn, tồn tại một hằng số C(p,d) (chỉ phụ thuộc vào p và d) sao cho
E max
1 k n
1 l k
Xl
p
C(p,d)
1 k n
E Xk
p
, n ∈ Nd
. (1.3.2)
Chứng minh. (i)⇒(ii): Rõ ràng với d = 1, kéo theo này được suy ra từ Bổ đề
1.3.2. Ta giả sử rằng kéo theo ((i)⇒(ii)) đúng với d = D − 1 1 và ta chỉ
ra nó cũng đúng với d = D.
Đặt Sk =
1 l k
Xl, k ∈ ND
. Khi đó, với mọi n ∈ ND
và mọi kD 1,
E(Sn1n2···nD−1kD+1|FD
n1n2···nD−1kD
)
= E(Sn1n2···nD−1kD
|FD
n1n2···nD−1kD
)
+ E(
1 ki ni(1 i D−1)
Xk1k2···kD−1,kD+1|FD
n1n2···nD−1kD
)
= Sn1n2···nD−1kD
.
Do đó {Sn1n2···nD−1kD
, FD
n1n2···nD−1kD
, 1 kD nD} là một martingale. Theo
Bổ đề 1.3.2,
E Sn
p
C
nD
kD=1
E
1 ki ni(1 i D−1)
Xk1k2···kD−1kD
p
. (1.3.3)
Với mỗi kD cố định, đặt
Yk1k2···kD−1
= Xk1k2···kD−1kD
, Fk1k2···kD−1
= Fk1k2···kD−1kD
. (1.3.4)

16. DOWNLOAD ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
MÃ TÀI LIỆU: 53532
DOWNLOAD: + Link tải: tailieumau.vn
Hoặc : + ZALO: 0932091562