Competenze di cittadinanza

1. La matematica nella vita
Progetto interdisciplinare della classe 2°I 2019-2020

2. Di che cosa si tratta ?
Questo progetto cerca di comprendere in un solo PowerPoint gli aspetti della
matematica nella vita di tutti giorni.
Per fare questo, la classe si è divisa in gruppi che hanno ricercato e unificato le
informazioni inerenti al loro argomento e successivamente le hanno inserite in alcune
slide.
Questo progetto è stato svolto sia a casa che durante le ore di matematica, grazie
anche all’aiuto dei docenti di Scienze, Fisica, e, ovviamente, Matematica.
Il PowerPoint, purtroppo non è stato completato per via dell’emergenza corona virus

3. Indice
 Crittografia
 Economia
 Genetica
 Lenti
 Musica
 Sezione Aurea

4. LA CRITTOGRAFIA
LAVORO DI:
• VITTORIA PADOVANI
• AZZURRA RIDOLFO
• ROBERTA VINCIGUERRA
• PAOLO VOLPINI

5. LA CRITTOGRAFIA NELLA VITA
• «Scienza che si occupa di proteggere le informazioni».
• In continua evoluzione, oggi viene utilizzata per assicurare la riservatezza e
l’autenticazione delle informazioni archiviate o inviate. Non mira a nascondere il
messaggio, ma bensì il significato. Un qualunque file di dati, anche utilizzato nella
vita di tutti i giorni (testo, immagini, musica, ecc.), è trasformato in modo da essere
privo di significato per chi non conosce la chiave giusta per decifrarli.
• La utilizziamo ogni giorno, per esempio quando facciamo un acquisto su Internet la
nostra transazione è cifrata, e anche se le mail viaggiano spesso in chiaro, esistono
molti programmi che permettono di cifrarle con facilità.

6. INTRODUZIONE ALLA CRITTOGRAFIA
ATTUALE
• Scienza che si occupa di proteggere le informazioni
• A chiave simmetrica:
 Pro: una sola chiave, processo rapido;
 Contro: pericoli nella distribuzione delle chiavi.
• A chiave asimmetrica:
 Pro: doppia chiave, più sicuro, formazione di firme digitali uniche;
 Contro: molto lento il processo di formazione delle chiavi.

7. IL CALCOLO COMBINATORIO
• Fondamentale per risoluzione di problemi matematici per raggruppare/ordinare elementi
• Fondamentale nel corso della risoluzione di messaggi cifrati
• Tipi di permutazioni:
semplici (senza ripetizioni): P = 𝑛!
con ripetizioni: P =
𝑛!
𝑘1!𝑘2!…𝑘!

8. ENIGMA MACHINE
• Dispositivo elettromeccanico per cifrare e decifrare messaggi (sostituzione).
• Impiegato dai nazisti durante la guerra.
• Descrizione macchina:
tastiera;
rotori;
parti aggiuntive (plugboard, ecc.…).
• Falla: nessuna lettera poteva essere cifrata nella stessa lettera.
Indice

9. L’equilibrio
di mercato
LAVORO DI GIULIO SCHILIRÒ

10. Il collegamento tra l’economia e la
matematica non è di certo casuale .
Alla base dell’analisi di mercato, dei
grafici di previsione e di quelli
sull’equilibrio tra domanda e offerta,
ci sono principi matematici.

11. LA DOMANDA
La domanda nel mercato di un certo bene o
servizio è costituita dal gruppo di persone che
è disposto a pagare denaro per acquistare
quantità del bene o servizio. La curva di
domanda, o la funzione di domanda, è la
relazione tra prezzo del bene e quantità che i
compratori sono disposti ad acquistare a quel
determinato prezzo. La curva di domanda
esprime l’ipotesi che più è alto il prezzo, meno
persone acquisteranno il bene, e, quelle che lo
faranno, ne compreranno di meno. La curva
definisce che succede se cambia solo il prezzo,
ma la quantità domandata cambia per molte
altre ragioni. Quando una o più di queste altre
ragioni si modifica, allora la curva si sposta, in
quanto i compratori compreranno quantità di
beni diverse allo stesso prezzo.

12. L’OFFERTA
Analogamente alla domanda, si definisce
l’offerta come la quantità di bene che i
venditori sono disposti a vendere in
cambio di denaro. La curva di offerta
indica la relazione tra il prezzo di un bene
e la quantità che i venditori sono disposti
a vendere a quel determinato prezzo. La
curva si ipotizza crescente in quanto a
prezzi più alti si può supporre che i
venditori abbiano maggiori incentivi a
vendere quantità che, a prezzi più bassi,
non troverebbero convenienti. Come la
curva di domanda, anche la curva di
offerta si può spostare come effetto di
altri eventi che cambiano la relazione
prezzo-quantità offerta. In questi casi, la
curva si sposta.

13. EQUILIBRIO TRA
DOMANDA E OFFERTA
Le due funzioni di domanda e di offerta descrivono comportamenti potenziali:
ci dicono cosa succederebbe ai due lati del mercato in una serie di possibili
condizioni, cioè valori del prezzo. Il loro uso contemporaneo permette di
comprendere cosa succede ad un mercato. In un mercato non c’è nessuna
persona particolare che determina il prezzo, ma è l’insieme di tutti gli agenti
che, collettivamente, determinano il prezzo a cui tutti gli scambi avvengono.
Supponiamo di avere due curve di domanda ed offerta. Supponiamo che ad un
certo prezzo, chiamiamolo Pe, le due curve si incrociano. Questo è il prezzo di
equilibrio, in cui la quantità che i compratori desiderano acquistare, eguaglia la
quantità che i venditori desiderano vendere. In questo punto tutti gli agenti
sono soddisfatti, ogni compratore trova la quantità desiderata, ed il sistema è
in stasi.
Se il prezzo a cui avvengono degli scambi è Pe, allora, come abbiamo detto il
sistema è in equilibrio. Le uniche due alternative sono:
•P > Pe: il prezzo è superiore al prezzo di equilibrio. A questo prezzo la
quantità offerta supera la quantità domandata. I venditori si troveranno con
merce invenduta e, per liberare i magazzini, cominceranno a praticare sconti
ed a diminuire gli ordini. Il prezzo scende a causa di un eccesso di offerta (o
carenza di domanda).
•P < Pe: il prezzo è inferiore al prezzo di equilibrio. I compratori chiedono
maggiori quantità di quelle disponibili. I venditori si rendono conto che anche
alzando il prezzo non riescono a tener dietro alla domanda. Il prezzo sale a
causa di una carenza di offerta (o eccesso di domanda). Indice

14. LA MATEMATICA
DELL’EVOLUZIONE
DA GALILEI A MENDEL
Fra le branche della scienza più recenti, nonché
ancora fra le più incognite, la genetica si occupa
dello studio dei caratteri ereditari e della loro
trasmissione. La principale applicazione che la
matematica trova nella genetica è il calcolo della
probabilità; tuttavia, non è il solo collegamento che
è possibile tracciare fra le due.

15. Possiamo considerare Gregor Mendel il padre fondatore della genetica: trattasi di un monaco moravo vissuto nella seconda metà dell’800;
Mendel si dedicò ad un programma di ricerca sugli incroci nelle piante, seguendo un accurato metodo scientifico che gli consentì di elaborare
tre leggi attualmente valide per cui oggi è ricordato.
Nella prima serie di incroci, si occupò di analizzare la
trasmissione delle forme alternative di un solo
carattere, osservando che:
«Dall’incrocio di due individui omozigoti che
differiscono per un carattere, si ottengono degli
individui eterozigoti che presentano solo uno dei due
caratteri, che assumerà il nome di carattere
dominante: quello che non si manifesta, invece, si
definisce recessivo»
Rincrociando, poi, gli ibridi ottenuti nella prima
generazione filiale, constatò che:
«Quando un individuo produce gameti, le diverse
copie di un carattere (alleli) si separano cosicché
ciascun gamete riceva soltanto una copia»
Infine, si interessò della trasmissione di diversi caratteri
contemporaneamente, ottenendo che:
«diversi alleli segregano indipendentemente gli uni dagli
altri»

16. LA PROBABILITÀ
 La probabilità moderna nasce con Galileo Galilei e si afferma
definitivamente con Pascal e De Fermat, i quali ne stabilirono i canoni
con cui la conosciamo oggi, cominciando dalla definizione: la
probabilità è uno studio che considera un fenomeno osservabile solo
dal punto di vista della possibilità che si verifichi o meno. Da questo,
individuiamo -nell’insieme delle possibilità che un evento si verifichi-
due casi estremi, quello certo e quello impossibile (rappresentanti
rispettivamente il 100% e lo 0%). Tra i due estremi, individuiamo poi
dei casi più o meno probabili che definiamo aleatori. Da ciò, Pascal e
De Fermat dedussero che è possibile definire la probabilità come il
rapporto fra i casi favorevoli F (in cui, cioè, l’evento si verifica) ed i
casi possibili P (tutti gli altri). Non a caso, otterremo sempre un
numero compreso fra 0 e 1, che convertiremo poi in percentuale.
 Riassumendo, la probabilità che un evento E si verifichi, è determinata
dalla formula: PE = F/P (con F=casi favorevoli e P=casi possibili).
Ed è proprio quando analizziamo gli enunciati delle leggi di Mendel che facciamo affidamento al calcolo della probabilità,
prima importante applicazione matematica alla genetica.

17. LA GENETICA DELLE POPOLAZIONI ED IL TEOREMA DI HARDY-WHEINBERG
Capace di spiegare molti fenomeni come
l’adattamento, la genetica delle
popolazioni si fonda su quattro teorie
principali: la selezione naturale, secondo
la quale ai cambiamenti dell’habitat
sopravvivono solo gli esseri viventi capaci
di adattarsi; la deriva genetica, ovvero la
componente dell’evoluzione di una
specie dovuta a fattori CASUALI; le
mutazioni -ogni modifica stabile ed
EREDITABILE nella sequenza
nucleotidica di un genoma dovuta ad
agenti esterni o al caso- ed infine il flusso
genico, che consiste nella diffusione
dei geni fra popolazioni per dispersione
dei gameti sotto forma di polline seguiti
da riproduzione.
TEOREMA DI HARDY-WHEINBERG
Data la costanza delle frequenze alleliche, le frequenze genotipiche raggiungono in una generazione di
incroci casuali un equilibrio dettato dai valori:
FAA= p2
FAa= 2pq
Faa= q2
Il teorema di HW stabilisce che le frequenze genotipiche sono correlate a quelle alleliche tramite la
formula:
p2 + 2pq + q2 = 1
(AA) (Aa) (aa)
Come è possibile intuire leggendola, possiamo esprimere la formula più semplicemente come il quadrato
di binomio (p + q)2 = 1 da cui: p + q = 1
F=frequenza genotipica
A e a= alleli interessati (di conseguenza con FAa
indicheremo, per esempio, la frequenza del
genotipo Aa eterozigote con carattere dominante)
p= frequenza dell’allele dominante A
q= frequenza dell’allele recessivo

18. IL SISTEMA BINARIO
Un terzo possibile collegamento con la matematica è individuabile nella notazione binaria, nella quale possono essere
riscontrate interessanti applicazioni inerenti alla seconda e alla terza legge di Mendel. Cominciamo con i rispettivi riquadri di
Punnet per capire come applicarlo:
GL Gl gL gl
GL GGLL GGLl GgLL GgLl
Gl GGLl GGll GgLl Ggll
gL GgLL GgLl ggLL ggLl
gl GgLl Ggll ggLl ggll
GL (002) Gl (012) gL (102) gl (112)
GL (002) GGLL
0000
GGLl
0001
GgLL
0010
GgLl
0011
Gl (012) GGLl
0100
GGll
0101
GgLl
0110
Ggll
0111
gL (102) GgLL
1000
GgLl
1001
ggLL
1010
ggLl
1011
gl (112) GgLl
1100
Ggll
1101
ggLl
1110
ggll
1111
G (0) g (1)
G (0) 00 01
g (1) 01 11
Indice

19. Le lenti
• Su cosa si basano?
• Tipi di lenti
• Dove le applichiamo?Lavoro di:
• Alessandro Asero
• Elasabetta Leonardi
• Marianna Lo Piano
• Giulio Longo
• Roberto Zinna

20. Su cosa si basano ?
Le lenti si basano principalmente sulla rifrazione che è il
fenomeno che si verifica quando un’onda elettromagnetica,
propagandosi, incontra la superficie di separazione fra due mezzi
diversi e di conseguenza cambia direzione e velocità.
Le formule
𝑛 =
𝑐
𝑣
sin 𝑖
sin 𝑟
= 𝑛12 𝑛12 =
𝑛2
𝑛1
Indice di rifrazione assoluto Indice di rifrazione relativo
La rifrazione è «regolata» dalla legge di Snell che dice: il rapporto
tra il seno dell’angolo i e il seno dell’angolo r è costante.

21. Tipi di lenti
Lenti convergenti Lenti divergenti
Biconvessa
Biconcava
Piano-convessa
Piano-concava
Concavo-convessa

22. Dove le applichiamo?
Indice

23. MUSICA E MATEMATICA
Lavoro di: Pierfrancesco Biondi, Maria Vittoria Nicosì, Antonio Capizzi
Tra le varie forme d’arte, la musica è forse quella che ha connessioni più strette
con la matematica. E non è un caso se molti artisti considerano il linguaggio
musicale la trasposizione di principi matematici sul pentagramma.
Molta matematica applicata in campo musicale deriva infatti dallo studio della
fisica acustica e dai problemi ad essa collegati.

24. INTONAZIONE
Metodo Intonazione Naturale
Nota (x): Do1 Do2 Sol2 Do3 Mi3 Sol3 Sib3 Do4
f(x): n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n
Le scoperte di Pitagora mettevano in diretta relazione
la nostra percezione dei suoni con grandezze
misurabili. In altre parole, se consideriamo i modi di
vibrare (armonici) di una corda tesa fissata agli
estremi e detta n la frequenza fondamentale si hanno
le seguenti corrispondenze (dove f(x) indica la
frequenza della nota x):
L'intervallo ad esempio tra Do1 e Do2 (raddoppio
della frequenza), viene detto intervallo di ottava. Si
noti che la parola intervallo riferito alle altezze dei
suoni, si riferisce al rapporto tra le frequenze, non
alla loro differenza.
Nota Do
1
Re
1
Mi1
Fa
1
Sol
1
La1 Si1
Do
2
Frequenza (scala
naturale)
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
Frequenza (scala
pitagorica)
1 9/8
81/6
4
4/3 3/2
27/1
6
243/12
8
2
Uno degli inconvenienti della scala pitagorica è che i rapporti
di terza e sesta, utilizzando numeratori e denominatori
elevati, danno luogo ad accordi poco consonanti quando sono
utilizzati assieme ad altre note della scala.
Utilizzando anche gli armonici superiori, e in particolare il
quinto armonico - Mi3 -della fondamentale, è possibile
ottenere rapporti più consonanti
A fronte di una maggior consonanza tra le note la scala
naturale introduce, quindi, un certo numero di irregolarità nella
successione degli intervalli, che la rende ancora più inadatta di
quella pitagorica per l'accordatura degli strumenti ad
intonazione fissa.

25. BACH
Nota: Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2
Frequenza: 1 9:8 81:64 4:3 3:2 27:16 243:128 2
La musica di Bach è più vicina alla
perfezione matematica di ogni altra
musica. Egli, in alcune sue opere,
utilizza in maniera sistematica
trasformazioni geometriche che
stravolgono, invertono, dilatano il
tema musicale. Il metodo pitagorico
consiste nel calcolare inizialmente il
rapporto di quinta, cioè la frequenza.
Diversi studiosi si sono occupati dell’analisi delle tecniche
compositive di Bach da un punto di vista matematico. I risultati
sono decisamente interessante: Bach usava metodi assimilabili
ad algoritmi.
L’opera di Bach costituì
la summa e lo sviluppo delle
tendenze compositive della sua
epoca. Il grado di complessità
strutturale e la difficoltà tecnica di
esecuzione della sua musica,
resero la sua opera appannaggio
solo dei musicisti più dotati e
all’epoca ne limitarono la
diffusione fra il grande pubblico.

26. BATTIMENT
I
CICLO DELLE QUINTE
Il fenomeno dei battimenti si ha quando vengono suonate
due note di frequenza simile (ma non identica). Si ha allora
l'impressione di sentire un suono di frequenza vicina a
quelle dei primi due, la cui intensità oscilla però nel tempo
tanto più lentamente quanto più le frequenze dei primi due
suoni erano ravvicinate. Per questo motivo, i battimenti
sono utilizzati per determinare la presenza di note calanti o
crescenti quando si intona uno strumento.
Un modo per accordare uno strumento ad accordatura
fissa consiste nel preservare gli intervalli di quinta a
partire da una corda base. In questo modo si accorda
percorrendo il cosiddetto ciclo delle quinte: Do, Sol, Re,
La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯, La♯, Fa (o Mi♯), Do, che
dopo sette ottave ritorna alla nota fondamentale.
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27. Sezione aurea
Rachele Rapisarda
Francesca Nestre
Gresi Buttafuoco
Francesca Monaco

28. … nell’arte
Gioconda
E’ aurea la divisione
del lato verticale, il
rettangolo che contiene
il viso, le aree del petto
e delle braccia.
Ultima Cena
Gesù è dipinto con le proporzioni divine ed è racchiuso in
un rettangolo aureo.
Uomo vitruviano
Leonardo stabilì che le proporzioni umane
sono perfette quando l’ombelico divide
l’uomo in modo aureo.

29. architettura e scultura
Doriforo
Il corpo è suddiviso in 8 parti: 5 corrispondono
all’altezza da terra all’ombelico e le altre 3 alla
parte superiore. I numeri 3, 5 e 8 sono presenti
nella serie di Fibonacci e sono in rapporto aureo
Piramide di Cheope
Il rapporto aureo in questo caso
è rilevabile fra l’altezza della
facciata triangolare a e il semilato
b della piramide.

30. Il più celebre esempio di sezione aurea presente in natura
è costituito dalla conchiglia del Nautilus,
una perfetta spirale logaritmica chiamata anche spirale di
Fibonacci, che è data dai quarti di circonferenze inscritte
nei quadrati con lati equivalenti ai numeri della
successione.
La spirale logaritmica si presenta
anche nelle corna del muflone e nella coda dei camaleonti.

31. Le infiorescenze sui girasoli seguono due spirali che
girano in senso orario e antiorario: ogni spirale contiene
un numero di semi presente nella successione
(di solito 34 o 55).
Gran parte dei fiori hanno un numero di petali pari
ai numeri presenti nella successione
Michele Scibilia Indice