1. PROBLEMA 1
Si devono produrre due tipi di cioccolatini: uno fondente e l'altro al latte.
Per produrre un hg di cioccolatini di tipo fondente occorrono 80 g di cacao e 20 g di
zucchero; per produrre un hg di cioccolatini al latte occorrono 50 g di cacao, 30 g di
zucchero e 20 g di latte in polvere. Per un ciclo di lavorazione si hanno a disposizione 20
Kg di cacao, 12 Kg di zucchero e 4 Kg di latte in polvere.
I cioccolatini di tipo fondente saranno venduti a € 3 all'ettogrammo e i cioccolatini di tipo
al latte a € 2,6 all'ettogrammo.
Determinare la combinazione produttiva che consente il massimo ricavo.
MATRICE DEI DATI
1 hg di cioc. fond. 1hg di cioc. latte scorte
cacao 80 g = 0,8 hg 50 g = 0,5 hg 20 kg = 200 hg
zucchero 20 g = 0,2 hg 30 g = 0,3 hg 12 kg = 120 hg
latte in polvere 20 g = 0,2 hg 4 kg = 40 hg
ricavi €3 € 2,6
VARIABILI:
x = n° degli hg di cioccolatini di tipo fondente da produrre
y = n° degli hg di cioccolatini di tipo al latte da produrre
MODELLO MATEMATICO:
0,8 x 0,5y 200
0,2x 0,3y 120
0,2y 40 con R 3 x 2,6y da massimizzare
x 0
y 0
FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA
x y
250 400 1
x y
1
600 400
y 200 con R 3 x 2,6y da massimizzare
x 0
y 0
2. POLIGONO DELLE SOLUZIONI:
COORDINATE DEL VERTICE B:
x y x 200 x 1
1 1 1
250 400 sostituend :
o 250 400 250 2
y 200
y 200
y 200
x 1 x 125
250 2
y 200 y 200
COORDINATE DEI VERTICI:
O (0; 0) A(250; 0) B(125; 200) C(0; 200)
VALUTAZIONE DELLA FUNZIONE RICAVO NEI VERTICI DEL POLIGONO:
R0 = 3· 0 + 2,6· 0 = 0
RA = 3· 250 + 2,6· 0 = 750
RB = 3· 125 + 2,6· 200 = 375 + 520 = 895
RC = 3· 0 + 2,6· 200 = 520
Il massimo ricavo si ottiene producendo:
125 hg = 12,5 kg di cioccolatini di tipo fondente
200 hg = 20,0 kg di cioccolatini di tipo al latte
3. PROBLEMA 2
Un pasticcere deve confezionare due tipi di torte: torta margherita e crostata.
Per ciascuna torta margherita sono necessari 150 g di zucchero, 300 g di farina e 60 g di
burro; per ciascuna crostata occorrono 100 g di zucchero, 300 g di farina e 120 g di burro.
Sapendo che in dispensa ci sono 7,5 Kg di zucchero, 9 kg di farina e 2,4 kg di burro e che
ogni torta margherita viene venduta a € 6 mentre ogni crostata viene venduta a € 8
ciascuna, come dovrà organizzare la propria produzione in modo da avere il massimo
ricavo?
MATRICE DEI DATI
1 torta margherita 1 crostata scorte
farina 300 g 300 g 9 kg = 9000 g
zucchero 150 g 100 g 7,5 kg = 7500 g
burro 60 g 120 g 2,4 kg = 2400 g
ricavi €6 €8
VARIABILI:
x = n° torte margherite da produrre
y = n° crostate da produrre
MODELLO MATEMATICO:
300x 300y 9000
150x 100y 6000
60x 120y 2400 con R 6 x 8y da massimizzare
x 0
y 0
FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA
x y
30 30 1
x y
1
40 60
x y con R 6 x 8y da massimizzare
40 20 1
x 0
y 0
5. PROBLEMA 3
Un autoproduttore di energia elettrica ha due gruppi elettrogeni, uno che utilizza gasolio
e l’altro che utilizza olio combustibile. Per ogni litro di gasolio bruciato sono prodotti 4 g di
CO2 (anidride carbonica) e 4 g di NOx (ossidi di azoto); per ogni litro di olio combustibile
bruciato sono prodotti 2 g di CO2, 4 g di NOx e 1 g di SOx (ossidi di zolfo). I vincoli imposti
sulle emissioni stabiliscono che al giorno non si possa produrre più di 160 g di CO2, 240 g di
NOx e 50 g di SOx. Non potendo superare i vincoli sulle emissioni giornaliere (per non
pagare penali) e, considerando che per ogni litro di gasolio si producono 2 kWh di
energia elettrica, mentre per ogni litro di olio combustibile si producono 4 kWh di energia
elettrica, ci si chiede quanti litri di gasolio e olio combustibile bruciare al giorno per
massimizzare la produzione di energia elettrica.
MATRICE DEI DATI
1 lit gasolio 1 lit olio combustibile emissioni massime giornaliere
CO2 4g 2g 160 g
NOx 4g 4g 240 g
SOx 1g 50 g
produzione 2 kWh 4 kWh
VARIABILI:
x = n° litri gasolio da bruciare giornalmente
y = n° litri olio combustibile da bruciare giornalmente
MODELLO MATEMATICO:
4 x 2y 160
4 x 4y 240
y 50 con P 2x 4y da massimizzare
x 0
y 0
FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA
x y
40 80 1
x y
1
60 60
y 50 con R 2x 4y da massimizzare
x 0
y 0
6. POLIGONO DELLE SOLUZIONI:
COORDINATE DEL VERTICE B:
x y
40 80 1 2x y 80
x
y x y 60
1
60 60
2 1 80 1 2 80
2 1 1; x 80 60 20; y 120 80 40
1 1 60 1 1 60
x 20
y 40
COORDINATE DEL VERTICE C:
x y x y 60 x 50 60
1
60 60 sostituend :
o
y 50 y 50
y 50
x 10
y 50
COORDINATE DEI VERTICI:
O (0; 0) A(40; 0) B(20; 40) C 10; 50 D(0; 50)
VALUTO LA FUNZIONE PRODUZIONE NEI VERTICI:
P0 = 2· 0 + 4· 0 = 0
PA = 2· 40 + 4· 0 = 80
PB = 2· 20 + 4· 40 = 40 + 160 = 200
PC = 2· 10 + 4· 50 = 20 + 200 = 220
PD = 2· 0 + 4· 50 = 200
Per massimizzare la produzione di energia elettrica conviene bruciare 10 litri di gasolio e
50 litri di olio combustibile.
7. PROBLEMA 4
Un’azienda tessile produce due tipi di tessuti utilizzando tre filati, lana, poliestere e seta, in
diversa proporzione. Per realizzare una pezza di lunghezza unitaria del primo tessuto
occorrono 120 g di lana, 180 g di poliestere e 60 g di seta; per produrre una pezza di
lunghezza unitaria del secondo tessuto occorrono 120 g di lana, 90 g di poliestere e 180 g
di seta. In magazzino si hanno a disposizione 144 kg di lana, 180 kg di poliestere e 180 kg
di seta. Individuare la produzione che rende massimo il ricavo sapendo che il primo
tessuto è venduto a 2 € la pezza di lunghezza unitaria mentre il secondo tessuto a 3 €.
MATRICE DEI DATI
1 pezza unitaria 1 pezza unitaria emissioni massime giornaliere
tessuto 1 tessuto 2
lana 120 g 120 g 144000 g
poliestere 180 g 90 g 180000 g
seta 60 g 180 g 180000 g
ricavi 2€ 3€
VARIABILI:
x = n° pezze unitarie di tessuto 1 da produrre
y = n° pezze unitarie di tessuto 2 da produrre
MODELLO MATEMATICO:
120x 120y 144000
180x 90y 180000
60x 180y 180000 con R 2x 3y da massimizzare
x 0
y 0
FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA
x y
1200 1200 1
x y
1
1000 2000
x y con R 2x 3y da massimizzare
3000 1000 1
x 0
y 0
8. POLIGONO DELLE SOLUZIONI:
COORDINATE DEL VERTICE B:
x y
1200 1200 1 x y 1200
x
y 2x y 2000
1
1000 2000
1 1 1200 1 1 1200
1 2 1; x 1200 2000 800; y 2000 2400 400
2 1 2000 1 2 2000
x 800
y 400
COORDINATE DEL VERTICE C:
x y
1200 1200 1 x y 1200
x
y x 3y 3000
1
3000 1000
1 1 1200 1 1 1200
3 1 2; x 3600 3000 600; y 3000 1200 1800
1 3 3000 3 1 3000
x 300
y 900
COORDINATE DEI VERTICI:
O (0; 0) A(1000; 0) B(800; 400) C 300; 900 D(0; 1000)
VALUTAZIONE DELLA FUNZIONE RICAVO NEI VERTICI:
R0 = 2· 0 + 3· 0 = 0; RA = 2· 1000 + 3· 0 = 2000
RB = 2· 800 + 3· 400 = 1600 + 1200 = 2800 RC = 2· 300 + 3· 900 = 600 + 2700 = 3300
RD = 2· 0 + 3· 1000 = 3000
Il massimo ricavo si ottiene producendo 300 pezze di tessuto 1 e 900 pezze di tessuto 2.
