VBAを使って数値計算の解説を行ったスライドシリーズです。

1. 2017-01更新 熊本高専
森下功啓
VBAで
数値計算09

2. 本資料の目次
掃き出し法で連立方程式を解く
練習問題
その他
2

3. 掃き出し法
3

4. 掃き出し法とは
掃き出し法とは、連立一次方程式を解くためのアルゴリズム
の一つである。ガウス・ジョルダン法やガウスの消去法とも
呼ばれる。応用すれば逆行列を求めることができる。なお、
連立一次方程式を解く方法には他にもクラメールの公式など、
多数存在する。
掃き出し法の計算オーダーは𝑂𝑂(𝑛𝑛3
)で、巨大な行列の計算には
向いていない。また、安定性（理論解が存在する場合に必ず
数値計算で解が求まるなら安定）も良いとは言えない。しか
しながらアルゴリズムがわかり易く、他のアルゴリズムでの
ミスを発見するのに役立つポピュラーな手法である。
4

5. 連立一次方程式の行列表現
式(1)の連立方程式を行列に書き換えると、式(1)は式(2)に変
形できます。以降ではm=nとして掃き出し法を解説します。
5
𝑦𝑦1 = 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑚𝑚
𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎21 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑚𝑚
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 𝑚𝑚1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎 𝑚𝑚2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑚𝑚
𝑦𝑦1
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚
=
𝑎𝑎11 ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚1 ⋯ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥1
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
式(1)
*未知数を求めるには、未知数と同数以上の
方程式が必要となる。ただし、𝑦𝑦𝑖𝑖が厳密であ
れば方程式の数は未知数の数と同数で良い。
未知数と方程式の数が等しい場合、Aは正方
行列となり、n=mである。𝐲𝐲 = 𝐀𝐀𝐀𝐀
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
行番号 列番号
添字の見方
式(2)

6. 行列の操作
連立方程式の解法では、i行目を
c倍して、c倍されたi行目を他の
行から引いても良いことを思い
出そう。
6
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
𝑦𝑦3
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚
=
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚1
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
𝑦𝑦1/𝑎𝑎11
𝑦𝑦2
𝑦𝑦3
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚
=
1
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚1
𝑎𝑎12/𝑎𝑎11
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛/𝑎𝑎11
𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
Step 1: 1行目の1列目以降と𝑦𝑦1を𝑎𝑎11で割る。
origin
𝑦𝑦1/𝑎𝑎11
𝑦𝑦2 − 𝑎𝑎21 𝑦𝑦1/𝑎𝑎11
𝑦𝑦3 − 𝑎𝑎31 𝑦𝑦1/𝑎𝑎11
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚 − 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑦𝑦1/𝑎𝑎11
=
1
0
0
⋮
0
𝑎𝑎12/𝑎𝑎11
𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12/𝑎𝑎11
𝑎𝑎32 − 𝑎𝑎31 𝑎𝑎12/𝑎𝑎11
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚2 − 𝑎𝑎 𝑚𝑚1 𝑎𝑎12/𝑎𝑎11
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛/𝑎𝑎11
𝑎𝑎2𝑛𝑛 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎1𝑛𝑛/𝑎𝑎11
𝑎𝑎3𝑛𝑛 − 𝑎𝑎31 𝑎𝑎1𝑛𝑛/𝑎𝑎11
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑎𝑎 𝑚𝑚1 𝑎𝑎1𝑛𝑛/𝑎𝑎11
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
Step 2: 1行目にk行目1列の係数を掛けたものをk行目から引く。ただし1行目は除く。
*1列目が1行目を除いて0になった事に注目しよう。

7. 7
́𝑦𝑦1
́𝑦𝑦2
́𝑦𝑦3
⋮
́𝑦𝑦𝑚𝑚
=
1
0
0
⋮
0
́𝑎𝑎12
́𝑎𝑎22
́𝑎𝑎32
⋮
́𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
́𝑎𝑎1𝑛𝑛
́𝑎𝑎2𝑛𝑛
́𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
́𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
́𝑦𝑦1
́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
́𝑦𝑦3
⋮
́𝑦𝑦𝑚𝑚
=
1
0
0
⋮
0
́𝑎𝑎12
1
́𝑎𝑎32
⋮
́𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
́𝑎𝑎1𝑛𝑛
́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
́𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
́𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
Step 1’: 2行目の2列目以降と ́𝑦𝑦2を ́𝑎𝑎22で割る
（2列目より前は0なので処理を要しない）
Step 2’: 2行目にk行目2列の係数を掛けたものをk行目から引く。ただし2行目は除く。
*2列目が2行目を除いて0になった事に注目しよう。
表記が長いのでダッシュを付けて書き直した。
́𝑦𝑦1 − ́𝑎𝑎12 ́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
́𝑦𝑦3 − ́𝑎𝑎32 ́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
⋮
́𝑦𝑦𝑚𝑚 − ́𝑎𝑎 𝑚𝑚2 ́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
=
1
0
0
⋮
0
0
1
0
⋮
0
⋯
́𝑎𝑎1𝑛𝑛 − ́𝑎𝑎12 ́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
́𝑎𝑎3𝑛𝑛 − ́𝑎𝑎32 ́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
⋮
́𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛 − ́𝑎𝑎 𝑚𝑚2 ́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
́𝑦𝑦1
́𝑦𝑦2
́𝑦𝑦3
⋮
́𝑦𝑦𝑚𝑚
=
1
0
0
⋮
0
0
1
0
⋮
0
⋯
0
0
0
⋮
1
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚
́𝒚𝒚 = 𝐈𝐈𝒙𝒙
m行目まで繰り返す。
*𝒙𝒙が求まった。

8. アルゴリズムを考える
8
ループで全行処理
For row=0 to m-1
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖で割る
全ての行から引くの
で、全体のループの
中にループのある2
重ループ構造が必要
と分かる。

9. 実装イメージ
9
Sub get_x(vector_Y, matrix_A)
For Row = 0 To matrix_Aのサイズ
' Step 1
‘ vector_Yもmatrix_AもRow行をmatrix_A(Row)(Row)で割る
' Step 2
For row2 = 0 To matrix_Aのサイズ
If Row <> row2 Then
For col = Row To matrix_Aのサイズ
‘ matrix_A(row2)(col)からmatrix_A(Row2)(Row) * matrix_A(Row)(col) を引く
‘ vector_Yも同様に処理する
Next col
End If
Next row2 Next Row
End Sub
@VBA
ループで全行処理
For row=0 to m-1
全ての行から引くので、
全体のループの中に
ループのある2重ルー
プ構造が必要と分かる。
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖で割る
正方行列を仮定
1次元ベクトルを仮定

10. 掃き出し法 実装例1
10
Function get_x_0(vector_Y_, matrix_A_)
' 掃き出し法により解を求める
vector_Y = vector_Y_ ' Variant型ならDeep copyされる
matrix_A = matrix_A_
For Row = 0 To UBound(vector_Y)
' row行の係数を(row行, row列)の係数で割る
coef = matrix_A(Row)(Row)
vector_Y(Row) = vector_Y(Row) / coef
For col = Row To UBound(vector_Y)
matrix_A(Row)(col) = matrix_A(Row)(col) / coef
Next col
' row行に(row2行, row列)の係数を掛けたものをrow2行から引く。ただしrow=row2は除く。
For row2 = 0 To UBound(vector_Y)
If Row <> row2 Then
coef = matrix_A(row2)(Row)
vector_Y(row2) = vector_Y(row2) - vector_Y(Row) * coef
For col = Row To UBound(vector_Y)
matrix_A(row2)(col) = matrix_A(row2)(col) - matrix_A(Row)(col) * coef
Next col
End If
Next row2
Next Row
get_x_0 = vector_Y
End Function
正方行列を仮定
1次元ベクトルを仮定
Step 1
Step2
@VBA
変数をDeep copyすることで、
引数への副作用を避けた

11. 変数の変化の様子を追う
下記の様にブレイクポイントを設置し、変数vector_Yと
matrix_Aをウォッチ式に追加する。その上でプログラムをデ
バッグモードで実行しながら、これらの変化を追ってみよう。
11

12. 12
これが初期状態
での変数の状態
である。
1行目のデータ
行のイン
デックス
列のイン
デックス
実行停止中
（矢印のある
行は未実行）

13. 13
1になった
0になった
実行停止中
（矢印のある
行は未実行）

14. 14
1になった
0になった
実行停止中
（矢印のある
行は未実行）
ブレークポイ
ントの位置は
変えた。

15. 15
1になった
0になった
実行停止中
（矢印のある
行は未実行）

16. 16
1になった
0になった
実行停止中
（矢印のある
行は未実行）
解

17. プログラム簡易化のための一工夫
𝐲𝐲はよく見ると、計算過程が係数行列Aと同じである。そこで、 𝐲𝐲
を係数行列の最終列に追加することを考える。
17
Aと同じ計算過程
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚1
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
𝑦𝑦3
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚
関数に渡す引数を↓のように変更する。
1
0
0
⋮
0
0
1
0
⋮
0
⋯
0
0
0
⋮
1
́𝑦𝑦1
́𝑦𝑦2
́𝑦𝑦3
⋮
́𝑦𝑦𝑚𝑚
最終的な解はn+1列に格
納される。
́𝑦𝑦1 − ́𝑎𝑎12 ́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
́𝑦𝑦3 − ́𝑎𝑎32 ́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
⋮
́𝑦𝑦𝑚𝑚 − ́𝑎𝑎 𝑚𝑚2 ́𝑦𝑦2/ ́𝑎𝑎22
=
1
0
0
⋮
0
0
1
0
⋮
0
⋯
́𝑎𝑎1𝑛𝑛 − ́𝑎𝑎12 ́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
́𝑎𝑎3𝑛𝑛 − ́𝑎𝑎32 ́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
⋮
́𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛 − ́𝑎𝑎 𝑚𝑚2 ́𝑎𝑎2𝑛𝑛/ ́𝑎𝑎22
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
𝑥𝑥 𝑚𝑚

18. 行列の最終列にベクトルを
追加するコード例
18
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚1
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
Function matrix_append(matrix_A_, vector_Y_)
' 行列の最終列にvector_Y_の要素をコピーする。実用には要素数のチェックを入れたほうが良い。
new_matrix = matrix_A_
For i = 0 To UBound(new_matrix)
Dim row_data As Variant
row_data = new_matrix(i)
ReDim Preserve row_data(UBound(row_data) + 1) ' 内容保持したまま拡張
row_data(UBound(row_data)) = vector_Y_(i)
new_matrix(i) = row_data
Next i
matrix_append = new_matrix
End Function
@VBA
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚1
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚2
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑎𝑎3𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
𝑦𝑦3
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
𝑦𝑦3
⋮
𝑦𝑦𝑚𝑚
２つを結合し
て・・・と

19. 掃き出し法 実装例2
19
Function get_x_1(vector_Y_, matrix_A_)
' 掃き出し法により解を求める
matrix_data = matrix_append(matrix_A_, vector_Y_)
For Row = 0 To UBound(matrix_data)
' row行の係数を(row行, row列)の係数で割る
coef = matrix_data(Row)(Row)
For col = Row To UBound(matrix_data(0))
matrix_data(Row)(col) = matrix_data(Row)(col) / coef
Next col
' row行に(row2行, row列)の係数を掛けたものをrow2行から引く。ただしrow=row2は除く。
For row2 = 0 To UBound(matrix_data)
If Row <> row2 Then
coef = matrix_data(row2)(Row)
For col = Row To UBound(matrix_data(0))
matrix_data(row2)(col) = matrix_data(row2)(col) - matrix_data(Row)(col) * coef
Next col
End If
Next row2
Next Row
' 解を取り出す(なんて面倒なんだ）
Dim ans As Variant
ans = Array()
ReDim ans(UBound(matrix_data))
For i = 0 To UBound(matrix_data)
ans(i) = matrix_data(i)(UBound(matrix_data(0)))
Next i
get_x_1 = ans
End Function
matrix_dataはn行n+1列の2次元配列
Step 1
Step2
@VBA
*VBAでは行数が増えたが、
VBA以外ではシンプルになって
計算速度も上がる。
**逆行列計算での利用を視野に
入れると関数を整理した方が良
いが、ここでは考慮しない。

20. 0除算対策＆計算精度向上の工夫
上記の部分において、対角成分のcoefが0だとエラーとなる。
つまり、対角成分に0が1つでも有ると計算できない。ただし、
今回の場合は𝐲𝐲と𝐀𝐀が連動していれば行の入れ替えが可能なの
で、 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖が0の場合は𝑖𝑖列の成分が0以外である行と入れ替えれば
良い。
また、計算精度を上げるためには0に近い数で割らない方が良
い。したがって、交換する行は絶対値が最も大きいものを選
択する。
この様な操作をピボット操作という。ピボット操作のために、
𝑖𝑖列で最大の係数を持つ行𝑘𝑘 (𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 − 1)を返す関数と、 𝑖𝑖行
と𝑘𝑘行を入れ替える関数を用意しよう。
20
matrix_data(Row)(col) = matrix_data(Row)(col) / coef

21. 最大係数の行を探す関数
指定列𝑖𝑖で最大の係数を持つ行番号𝑘𝑘を返す関数例を以下に示す。
ここで、 𝑖𝑖行より上の行は既に調整済みなので調整範囲から外
し、 𝑘𝑘の初期値は𝑖𝑖とする。（プログラム中では𝑘𝑘はRow，走査
列𝑖𝑖はsearch_colで表している。）
21
Function search_max_coef(search_col, matrix_data)
' search_col列の最大値を持つ行を返す
row_at_max = -1
max_val = 0
For Row = search_col To UBound(matrix_data)
Value = Abs(matrix_data(Row)(search_col))
If Value > max_val Then
max_val = Value
row_at_max = Row
End If
Next Row
search_max_coef = row_at_max
End Function
@VBA

22. 行の入れ替えを行う関数
行を入れ替える関数例を以下に示す。この関数は、引数で渡
されたmatrix_data（Arrayの入れ子による行列を想定）のうち、
row_index1行とrow_index2行（いずれも0からカウントの整
数を想定）を入れ替える。
22
Function switch_row(row_index1, row_index2, matrix_data)
' row_index1行目とrow_index2行目を入れ替える
row1 = matrix_data(row_index1)
row2 = matrix_data(row_index2)
matrix_data(row_index1) = row2
matrix_data(row_index2) = row1
switch_row = matrix_data
End Function
@VBA
行のデータを取り出して、入れ
替えた上で再代入している。

23. 23
Function get_x_2(vector_Y_, matrix_A_)
' 掃き出し法により解を求める
matrix_data = matrix_append(matrix_A_, vector_Y_)
For Row = 0 To UBound(matrix_data)
’最大係数となる行を探して、row行と入れ替える
switch_row_index = search_max_coef(Row, matrix_data)
matrix_data = switch_row(Row, switch_row_index, matrix_data)
' row行の係数を(row行, row列)の係数で割る
coef = matrix_data(Row)(Row)
For col = Row To UBound(matrix_data(0))
matrix_data(Row)(col) = matrix_data(Row)(col) / coef
Next col
' row行に(row2行, row列)の係数を掛けたものをrow2行から引く。ただしrow=row2は除く。
For row2 = 0 To UBound(matrix_data)
If Row <> row2 Then
coef = matrix_data(row2)(Row)
For col = Row To UBound(matrix_data(0))
matrix_data(row2)(col) = matrix_data(row2)(col) - matrix_data(Row)(col) * coef
Next col
End If
Next row2
Next Row
' 解を取り出す(なんて面倒なんだ）
Dim ans As Variant
ans = Array()
ReDim ans(UBound(matrix_data))
For i = 0 To UBound(matrix_data)
ans(i) = matrix_data(i)(UBound(matrix_data(0)))
Next i
get_x_2 = ans
End Function
掃き出し法 実装例3
係数値最大の行を探して、
row行と入れ替えている。
エラー対策のコードも仕込
めば、実用的に使える。
@VBA

24. 関数の呼び出し例
これまで解説してきた関数の呼び出し例を以下に示す。ここ
では、変数temp_matrixに係数行列を代入し、Yに式の値を代
入している。get_x_0()は連立方程式の解を返してresultに代入
される。
24
Sub hakidashi_test()
row1 = Array(1, -2, -2, 2)
row2 = Array(2, -2, -3, 3)
row3 = Array(-1, 6, 3, -2)
row4 = Array(1, 4, 0, -1)
temp_matrix = Array(row1, row2, row3, row4)
Y = Array(5, 10, 2, -10)
result = get_x_0(Y, temp_matrix)
result = get_x_1(Y, temp_matrix)
result = get_x_2(Y, temp_matrix)
End Sub @VBA

25. 練習問題
25

26. 問1
以下の問題を解け。解答は次のページ。
狙い：数値計算的な解法を身に着けるのが第一である。解が
存在しない場合の計算過程で変数がどのように変化するか確
認して感覚をつかんで欲しい。係数行列の行列式を求めてみ
ると面白いだろう。
26
言語指定：VBA
[引用元] 押川元重・他，精
選 線形代数初版第6版発
行，培風館，2005．

27. 問1の問題の数学的解
27

28. その他
28

29. 参考文献
SAK Streets - VB 開発言語資料
 http://sak.cool.coocan.jp/w_sak3/doc/sysbrd/sak3vb.htm
 基本的にVB6.0の解説だが、VBAにほぼそのまま適用できる。かなり詳しい。
筑波大の教員HP 線形代数Ｉ/連立一次方程式
 http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%
A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E9%80%A3%E7%AB%8B%E4%B8%80%E6%A
C%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#oa5d8bb5
29