1. В.В. Цевелев, В.Н. Аксенов, О.Р. Окрестина
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ
В ЗАДАЧАХ ПЛАНИРОВАНИЯ
Методическиеуказаниякпрактическимзанятиям
НОВОСИБИРСК
2013
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
625.1
Ц298
2. УДК 658.011.22(075.8)
Ц298
Цевелев В.В., Аксенов В.Н., Окрестина О.Р. Методы и мо-
дели оптимизации в задачах планирования: Метод. указ. к
практ. занятиям. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2013. – 66 с.
Составлены в соответствии с ГОС дисциплин «Методы принятия управлен-
ческих решений», «Методы оптимальных решений», «Математика» для экономи-
стов. По каждой теме разработаны варианты заданий. В издании отражены
следующие разделы: транспортные задачи в сетевой и матричной форме, моди-
фикации транспортныхзадач, задачи поиска кратчайших (оптимальных) путей на
транспортных сетях и т.п.
Предназначены для студентов очной и заочной форм обучения СГУПСа.
Рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафед-
ры «Менеджмент на транспорте».
О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р
канд. экон. наук, доц. кафедры «Менеджмент на транспорте»
С.Ф. Самсонов
Р е ц е н з е н т
канд. техн. наук, доц. кафедры «Высшая математика» СГУПСа
А.Г. Власов
Цевелев В.В., Аксенов В.Н.,
Окрестина О.Р., 2013
Сибирский государственный
университет путей сообщения, 2013
3. 3
ВВЕДЕНИЕ
В работе разобраны ситуации, представлены примеры решений
задач по основным разделам ГОС дисциплин «Методы принятия
управленческих решений», «Методы оптимальных решений», «Ма-
тематика» для экономистов. В издание включены следующие разде-
лы: решение транспортных задач в сетевой и матричной формах;
модификациитранспортныхзадач;решениезадачпоискарациональ-
ных(кратчайших)путейнатранспортныхсетях,транспортных задач
с ограничениями пропускных способностей участков и т.д.
Задания разработаны таким образом, чтобы, ознакомившись с
ними, студент приобрел практические навыки применения предло-
женных методов для более эффективного управления социально-
экономическими объектами, каковыми являются организации. В
условиях рыночного хозяйствования немаловажной является спо-
собность менеджера правильно прогнозировать развитие ситуации,
оценивать условия и последствия принятия решений, уметь анализи-
ровать ситуацию, требующую решения, учитывать интересы сторон,
вовлеченных в проблемную ситуацию, а также грамотно и своевре-
менно обосновывать выбор той или иной альтернативы, используя
предложенные автором подходы.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
В методических указаниях к решению задач не рассматриваются
подробно математические основы использования того или иного
метода. Основная цель состоит в том, чтобы научить студентов
решать приведенные задачи. Для более глубокого знакомства с
сущностью решаемых задач следует обращаться к указанной в
изданиидополнительнойлитературе.
Задачи 1–3 представляют собой закрытые транспортные задачи
линейного программирования. Они могут решаться различными ме-
тодами, среди которых наиболее часто применяемыми являются
метод потенциалов и метод разрешающих слагаемых.
МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ
Данный метод основан на идее последовательного улучшения
плана, начиная с некоторого исходного варианта. В качестве такого
выбираетсяреальныйвариантприкрепления,удовлетворяющийвсем
ограничениям.
4. 4
Существует ряд способов составления начального плана: северо-
западного угла (диагональный), наименьшего значения показателя
оптимальности, двойного предпочтения, аппроксимации Фогеля.
Последний способ самый сложный, но в большинстве случаев он
дает наиболее близкий к оптимальному план поставок.
Рассмотрим решение задачи типа 1–3 на примере. Для составле-
ния начального плана применим способ Фогеля. Все необходимые
данные приведены в исходной табл. 1.
Таблица 1
Потребители
Поставщики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
А1 = 450 10 6 14 9 8 1 20 15 11
А2 = 350 17 4 1 6 12 13 8 6 15
А3 = 550 4 4 17 19 13 12 7 16 15
А4 = 400 18 2 9 18 18 20 14 5 16
А5 = 500 17 22 21 8 16 2 20 25 16
А6 = 300 14 3 16 14 11 14 19 15 1
А7 = 250 14 12 12 12 13 27 3 12 10
А8 = 700 11 9 10 28 6 10 6 8 13
Процесс начинается с определения разностей между двумя
наименьшими показателями оптимальности каждой строки и каж-
дого столбца матрицы. Так, в столбце В1 наименьший показатель
оптимальности равен 4, следующий за ним по величинепоказатель
оптимальности – 10, разность между ними – 6. В столбце В6
наименьший показатель оптимальности –1, следующий за ним по
величине равен 2, разность между ними – 1. Такая же процедура
выполняется и по строкам А1, А2, …, А5.
Все эти разности по столбцам и строкам показаны в табл. 2.
Затем из всех разностей столбцов и строк выбирается наиболь-
шая. В нашем примере это 9 в столбце В9.
Минимальный показатель оптимальности в этом столбце ука-
зывает на клетку, которую надо использовать в первую очередь.
Клетка соответствует транспортной связи между поставщиком и
потребителем. Максимально возможная перевозка между по-
ставщиком А6 и потребителем В9 равна 250. После записи постав-
ки в таблицу спрос потребителя В9 удовлетворен. Исключаем
6. 6
Окончание табл. 3
Разности изменяются, но не все и только по строкам, поскольку
мы теперь не принимаем во внимание показатели оптимальности
столбца В9. Теперь наибольшая разность равна 9 в строке А7.
Минимальный показатель оптимальности в этой строке – 3 (в
клетке А7В7). Заносим сюда поставку. Исключаем из дальнейше-
го рассмотрения показатели оптимальности столбца В7 и перехо-
дим к следующей табл. 4.
Таблица 4
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность
по
строкам
А8 = 700
11 9 10 28 6 10 6 8
0
Разность
по столб-
цам
6 1 8 2 2 1 3 1
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность по
строкам
А1 = 450
10 6 14 9 8 1 15
5
А2 = 350
17 4 1
350
В
6 12 13 6
3
А3 = 550
4 4 17 19 13 12 16
0
А4 = 400
18 2 9 18 18 20 5
3
А5 = 500
17 22 21 8 16 2 25
6
А6 = 300
14 3 16 14 11 14 15
250
8
А7 = 250
14 12 12 12 13 27
200
12
0
А8 = 700
11 9 10 28 6 10 8
2
Разность по
столбцам 6 1 8 2 2 1 1
7. 7
В этой таблиценаибольшая разность 8 и в строке А6, и в столбце
В3. Возникает вопрос: куда следует занести новую поставку?
Проверяем, не является ли какой-нибудь из минимальных показа-
телей оптимальности в этих столбце и строке минимальным и по
строке, и по столбцу. В столбце В3 минимальный показатель
оптимальности находится в А2В3 и равен 1. Этот же показатель
минимален и по строке А2. Следовательно, именно сюда надо
занести новую поставку. Записываем ее, исключаем из рассмот-
рения элементы и столбца В3, и строки А2. Такой случай носит
название вырожденного. Отмечаем в углу клетки, что поставка
вырожденная (В). В дальнейшем это потребует дополнительной
работы. Переходим к табл. 5.
В ней наибольшая разность 8 в строке А6. Делаем необходимые
преобразования и переходим к табл. 6.
Таблица 5
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность по
строкам
А1 = 450
10 6 9 8 1 15 5
А2 = 350
350
А3 = 550
4 4 19 13 12 16 0
А4 = 400
18 2 18 18 20 5 3
А5 = 500
17 22 8 16 2 25 6
А6 = 300
14 3
50
14 11 14 15 250 8
А7 = 250
14 12 12 13 27
200
12 0
А8 = 700
11 9 28 6 10 8 2
Разность по
столбцам
6 1 1 2 1 3
8. 8
В табл. 6 мы снова имеем две одинаковые максимальные
разности в строке А5 и в столбце В1, причем показатели оптималь-
ности в обоих случаях минимальны и по столбцу, и по строке. В
этом случае вычисляем в соответствующих столбце и строке
вторые разности между минимальными показателями оптималь-
ности и показателями, не ближайшими к ним по величине, а
следующими за ними. При необходимости могут вычисляться и
третьи разности и т.д. Вторая разность строки А5 равна 14, что
больше второй разности столбца В1. Значит, поставку заносим в
эту строку. Дальнейшее рассмотрение процесса составления на-
чального плана не содержит никаких новых методических момен-
тов, поэтому, пропуская оставшиеся промежуточные этапы, пере-
ходим к окончательному варианту начального плана.
Таблица 6
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность по
строкам
А1 = 450
10 6 9 8 1 15 5
А2 = 350
350
В
А3 = 550
4 4 19 13 12 16 0
А4 = 400
18 2 18 18 20 5 3
А5 = 500
17 22 8 16 2
400
25 6
А6 = 300
50 250
А7 = 250
14 12 12 13 27
200
12 0
А8 = 700
11 9 28 6 10 8 2
Разность по
столбцам
6 2 1 2 0 3
Если при составлении начальногоплана получено вырождение,
то необходимо кроме вырожденной клетки отметить ту клетку,
куда была направлена последняя поставка. В табл. 7 это клетка
9. 9
А7 В4 (К). Для решения задачи методом потенциалов необходимо,
чтобы количество поставок было равно m + n – 1, где m – число
поставщиков, n – число потребителей. В случае вырождения это
правило нарушается. Для последующих действий надо дополнить
число поставок до m + n – 1. Для этого назначают дополнитель-
ные поставки, равные сколь угодно малой величине или «искусст-
венному нулю». В дальнейшем ими оперируют как обычными
поставками. Вводится столько «искусственных нулей», сколько
было случаев вырождения. Они вводятся в одну из двух следую-
щих клеток матрицы для каждого случая вырождения: а) клетка
на пересечении строки, содержащей последнюю поставку К, со
столбцом, содержащим вырожденную клетку В; б) клетка на
пересечении столбца, содержащего К, со строкой, содержащей В.
Таблица 7
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
А1 = 450
10 6 14 9
350
8
100
1 20 15 11
А2 = 350
17 4 1
350
В
6 12 13 8 6 15
А3 = 550
4
150
4
400
17 19 13 12 7 16 15
А4 = 400
18 2
300
9 18 18 20 14 5
100
16
А5 = 500
17 22 21 8
100
16 2
400
20 25 16
А6 = 300
14 3
50
16 14 11 14 19 15 1
250
А7 = 250
14 12 12 12
50
К
13 27 3
200
12 10
А8 = 700
11 9 10 28 6
500
10 6 8
200
13
10. 10
Из этих двух клеток (в нашем случае А7В3 и А2В4) выбираем
клетку с меньшим значением показателя оптимальности (в дан-
ном случае А2В4), в которую и заносим «искусственный нуль»
(табл. 8).
Таблица 8
Далее рассмотрим методику последовательного улучшения
начального варианта методом потенциалов вплоть до достижения
оптимального плана перевозок.
На основе теоремы, доказанной Л.В. Канторовичем, условия
оптимальности плана формулируются следующим образом.
Допустимый план является оптимальным тогда и только тогда,
когда каждому отправителю Аi (i = 1, 2, …, m) и каждому получа-
телю Вј (ј = 1, 2, …, n) могут быть приписаны некоторые числа Ui
и Vј, называемые потенциалами, которые отвечают условиям:
Vј – Ui сіј для всех хіј;
Vј – Ui = сіј, если хіј > 0,
где сіј – показатель оптимальности между пунктами і и ј; хіј –
величина перевозки от пункта і до пункта ј.
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность по
строкам
А1 = 450
10 6 14 9 4
350
8
100
1 1 20 15 11
3
А2 = 350
17 4 1
350
6
0
12 13 8 6 15
6
А3 = 550
4 150 4 17 19 13 12 7 16 15
6
А4 = 400
18 2
300
9 18 18 20 14 5
100
16
8
А5 = 500
17 22 21 8 3
100
16 2 2
400
20 25 16
4
А6 = 300
14 3
50
16 14 11 14 19 15 1
250
7
А7 = 250
14 12 12 12
50
13 27 3
200
12 10
0
А8 = 700
11 9 10 28 6
500
10 6 8
200
13
5
Потенциалы
столбцов
10 10 7 12 11 6 3 13 8
11. 11
Из второго соотношения можно вывести формулы для опреде-
ления потенциалов строк и столбцов:
Vј = Ui + сіј;
Ui = Vј – сіј.
Начальный потенциал одной строки (или столбца) выбирается
произвольным, так как во всех расчетах имеют значение лишь
разности, а не абсолютные величины потенциалов.
В табл. 8 примем потенциал строки А7 U7 = 0. По этому
потенциалу через занятые клетки можно определить V4 = 0 + 12 =
= 12 и V7 = 0 + 3 = 3. Далеечерез эти потенциалы столбцов находим
потенциалы строк А1, А2, А5, в которых есть поставки в данных
столбцах. Аналогичным образом определяются все остальные
потенциалы (см. табл. 8).
После определения потенциалов необходимо проверить, со-
блюдается ли условие оптимальности для свободных клеток.
Будем считать величиной нарушения значение
Hіј = Vј – Ui – сіј при условии, что Hіј > 0.
Наличие нарушения свидетельствует, что проверяемый план
не оптимален и может быть улучшен. Улучшение плана целесооб-
разно начинать с клетки максимального нарушения. Проверяя все
свободные клетки, находим следующие нарушения (см. табл. 8):
H12 = 1, H16 = 2, H28 = 1.
Наибольшее из нарушений – в клетке А1В6.
Выявив величинунарушений, вводим поправкив исходный план
перевозок. Для этого вводим максимально возможную перевозку
в клетку с наибольшим нарушением Hіј. Поскольку ресурсы и
потребности сбалансированы, то суммы поставок в каждой стро-
ке и столбце должны оставаться неизменными. Появление в
какой-либо клетке поставки должно быть компенсировано умень-
шением других поставок в той же строке и том же столбце. Для
соблюдения этого условия при внесении поправок выполняется
следующий порядок действий. Из выбранной клетки с нарушени-
ем проводим ломаную линию, заканчивающуюся в той же клетке
и движущуюся аналогичноходушахматнойладьи,приэтом направ-
ление движения изменяется под прямым углом только в занятых
клетках. Там, где ломаная линия меняет направление, поставка
подлежит изменению. Для клетки А1В6 такая ломаная линия будет
иметь следующий вид: А1В6 – А5В6 – А5В4 – А1В4 (см. табл. 8).
12. 12
Пронумеруем в последовательном порядке эти клетки, начиная с
клетки с нарушением (в табл. 8 выделенные полужирным цифры
в правом верхнем углу клеток).
Так как в клетку с нарушением направляется поставка, то,
очевидно, во всех нечетных клетках поставки должны быть уве-
личены, а во всех четных — уменьшены. Обозначим величину
поправки xул. Она, как вытекает из вышеизложенного, должна
быть равна minxij в четных клетках. В табл. 8
xул = minxij чет = x14 = 350.
Прибавим xул = 350 во все нечетные клетки замкнутого контура
и вычтем из всех четных. В результате клетка с нарушением
стала занятой, а четная клетка, где хij = хул – свободной. Таких
четных клеток с хij = хул может оказаться несколько. В этом
случае одна будет считаться свободной, а остальные, где показа-
тели оптимальности меньше, – занятыми «искусственными нуля-
ми». Это необходимо для соблюдения правила равенства количе-
ства поставок в плане m + n – 1.
На этом первый цикл решения заканчивается. В результате
получен новый улучшенный план перевозок (табл. 9). Величина
улучшения составляет в каждом цикле расчета Нij * xул.
В данном случае Н16 * xул = 2 * 350 = 700.
Второй цикл расчета осуществляется в том же порядке. Сна-
чала вновь определяются потенциалы. Далее проверяются нару-
шения условий оптимальности в свободных клетках. Таких нару-
шений четыре: Н12 = 1, Н22 = 2, Н28 = 3, Н78 = 3. Имеются два
одинаковых максимальных нарушения. Новая поставка должна
быть направлена таким образом, чтобы величина улучшения xул
была максимальна. Строим ломаные линии для каждой клетки
с максимальным нарушением. Для клетки А2В8 имеем: лома-
ная линия А2В8 – А8В8 – А8В5 – А1В5 – А1В6 – А5В6 – А5В4 – А2В4,
xул = minxijчет =0.ДляклеткиА7В8:ломанаялинияА7В8 – А8В8 – – А8В5
– А1В6 – А5В6 – А5В4 – А7В4, xул = 50. Ломаные линии в табл. 9
показаны по-разному: 1-я – пунктиром, 2-я – сплошной линией.
13. 13
Таблица 9
Далее заносим поставку в клетку А7В8.
Улучшение плана при этом составит Н78 * xул = 3 * 50 = 150. В
четных клетках ломаной линии величины поставок уменьшаем на
50, в нечетных – увеличиваем на 50. В клетке А5В6 оставляем
«искусственный нуль», чтобы количество поставок было m + n – 1.
Чтобы избавиться от Н28 = 3, направляем в эту клетку «искусст-
венный нуль», так как по ломаной линии для этой клетки xул = 0.
Остальные поставки при этом не изменяются. На этом второй
цикл решения заканчивается. Его результаты заносим в табл. 10.
После двух циклов расчета осталось единственное нарушение
Н12 = 1. Направляем в клетку с нарушением Н12 = 1, xул = 50 и
соответственно изменяем все поставки по замкнутой ломаной
линии. В итоге получаем вариант плана, приведенный в табл. 11.
Улучшение на данном этапе равно Н12 * xул = 1 * 50 = 50.
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность по
строкам
А1 = 450
10 6 14 9 8 4
100
1 5
350
20 15 11
5
А2 = 350
17 4 1
350
6 8
0
12 13 8 6 1 15
6
А3 = 550
4 150 4 400 17 19 13 12 7 16 15
8
А4 = 400
18 2
300
9 18 18 20 14 5
100
16
10
А5 = 500
17 22 21 8 7
450
16 2 6
50
20 25 16
4
А6 = 300
14 3
50
16 14 11 14 19 15 1
250
9
А7 = 250
14 12 12 12 8
50
13 27 3
200
12 1 10
0
А8 = 700
11 9 10 28 6 3
500
10 6 8 2
200
13
7
Потенциалы
столбцов 12 12 7 12 13 6 3 15 10
15. 15
Окончание табл. 11
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 150
В2 =
= 750
В3 =
= 350
В4 =
= 500
В5 =
= 600
В6 =
= 400
В7 =
= 200
В8 =
= 300
В9 =
= 250
Раз-
ность по
строкам
А7 = 250
14 12 12 12 13 27 3
200
12
50
10
0
А8 = 700
11 9 10 28 6
600
10 6 8
100
13
4
Потенциалы
столбцов
9 9 7 10 10 4 3 12 7
Проверив на оптимальность полученный в табл. 11 вариант
плана, убеждаемся, что нарушений нет. Следовательно, решение
закончено. Суммарное улучшение плана перевозок по сравнению
с исходным планом вычисляется как 700 + 150 + 50 = 900.
Общие затраты на перевозки (объем работы, т·км):
F = 150·4 + 50·6 + 400·4 + 250·2 + 50·3 + 350·1 + 500·8 + 600·6 +
+ 400 · 1 + 200 · 3 + 150 · 5 + 50 · 12 + 100 · 8 + 250 · 1 = 14 500 т·км.
МЕТОД РАЗРЕШАЮЩИХ СЛАГАЕМЫХ
При использовании данного метода решение заключается в
постепенном введении начального условно-оптимального плана в
границы допустимости. Исходный план является лучшим по пока-
зателям оптимальности, но ограничения по размерам мощностей
поставщиков не позволяют удовлетворять всех потребителей по-
добным образом, поэтому он должен быть изменен. Решение
заканчивается при получении реального допустимого плана.
Рассмотрим решение задачи типа 1–3 на примере. Все необхо-
димые данные приведены в табл. 12.
При решении методом разрешающих слагаемых план является
оптимальным тогда, когда для каждого поставщика Аi могут быть
найдены такие числа Ui0, называемые разрешающими слагаемы-
ми, при которых соблюдается условие
jii cU 00
= mini (Ui + cij), если xij > 0,
где i0 – номер некоторого определенного поставщика.
16. 16
Таблица 12
При составлении исходного плана значения 0iU принимаются
равными 0. Далее для составления начального плана в каждом
столбце выделяется клетка с наименьшим показателем опти-
мальности. В эти клетки направляются поставки, равные спросу
соответствующих потребителей. Так, в нашем примере
(см. табл. 12) в столбце В1 такая клетка А5В1. Направляем в нее
поставку x51 = 460. Для третьего столбца х53 = 300, для четвертого
x44 = 510, для пятого х35 = 750 и т.д. В последнюю очередь
заполняются столбцы, где несколько одинаковых наименьших
показателей оптимальности. В этом случае можно распределить
поставки по этим клеткам в зависимости от наличия излишков
груза у некоторых поставщиков. При отсутствии подобных излиш-
ков поставка направляется в любую из клеток с минимальным
показателем оптимальности. Так, в нашем примере после распре-
деления поставок по всем столбцам кроме второго у четвертого
поставщика остается излишек 100 единиц продукции и у пятого –
10. Поэтому в клетку А4В2 направляем 100, а в клетку А5В2 –
остальные 460 единиц. В итоге получаем исходный план, наилуч-
ший с точки зрения потребителей. Но он условный, так как у одних
поставщиков ресурсов не хватает, а у других они в избытке.
Потребители
Разрешающие
слагаемые
Поставщики
В1 =
= 460
В2 =
= 560
В3 =
= 300
В4 =
= 510
В5 =
= 750
В6 =
= 840
В7 =
= 650
В8 =
= 530
В9 =
= 400
Небалансы
0 А1 = 1 660
6 9 7 3 5 5
840
10 5 3
400
+420
0 А2 = 910 4 14 10 13 7 8 16 9 7 +910
1 + 0 А3 = 520
10 14 9 19 3
750
9 1
650
16 5 –880
1 + 0 А4 = 610
6 8
100
6 2
510
15 9 7 8 15 –0
1 + 0 А5 = 1 300
3
460
8
460
4
300
8 7 15 7 2
530
5 –450
Разности 1 1 3 1 2 9 3
17. 17
Далее сопоставляем ресурсы каждого поставщика с суммой
направленных в его строку поставок. Небалансы записываем в
таблице. Так, для первой строки: 1 660 – (840 + 400) = +420, для
второй: 910 – 0 = +910, для третьей: 520 – (750 + 650) = –880 и т.д.
Если в строке небаланс положительный, то она называется избы-
точной, если отрицательный – недостаточной. Нейтральные (ну-
левые) строки также подлежат классификации. Если в нулевой и
какой-либо другой строке имеются поставки в одном и том же
столбце, то эти строки считаются связанными. При наличии связи
с недостаточной строкой нейтральная строка получает знак «ми-
нус» и считается недостаточной. В противном случае, а также при
отсутствии связи с другими строками нейтральная строка – избы-
точная. В табл. 12 недостаточных строк три. Четвертая строка
связана с пятой и за счет этого получает знак «минус». Остальные
строки избыточные. К недостаточным строкам прикреплены (име-
ют поставки в этих строках) 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8-й столбцы. В каждом
из этих столбцов находим минимальное значение сij изб в клетках,
находящихся на пересечении этих столбцов с избыточными стро-
ками. Например, для первого столбца это 4, для второго – 9 и т.д.
Находим разности между [( 0iU + сij изб) – ( 0iU + сij недоcт)]. Для пер-
вого столбца [(0 + 4) – (0 + 3)] = 1, для второго – [(0 + 9) – (0 + 8)] =
= 1 и т.д. Полученные разности записываем в табл. 12.
Из всех разностей, записанных в нижней части таблицы, выби-
раем минимальную. Это величина приращения разрешающих сла-
гаемых на данном цикле расчета для недостаточных строк. У нас
она равна 1. Прибавляем ее в табл. 12 к исходным значениям
разрешающих слагаемых в 3, 4 и 5-й недостаточных строках.
Теперь с учетом разрешающих слагаемых в некоторых столбцах
появились свободные клетки с минимальными по столбцу показа-
телями оптимальности. Так, в первом столбце U2 + c21 = U5 + c25 = 4,
во втором столбце U1 + c12 = U4 + c42 = U5 + c52= 9 и т.д.
Следовательно, можно перераспределить поставки, освободив
недостаточные строки. Поскольку мощность поставщиков и спрос
потребителей сбалансированы, изменения и передвижения поста-
вок должны производиться по незамкнутой ломаной линии. Один
конец ее должен выходить в недостаточную, а другой – в избыточ-
ную строку. Вершины такой ломаной линии (цепи) лежат в занятых
клетках и новой допустимой клетке. В этих вершинах цепь меняет
18. 18
свое направление. В нашем случае можно построить три таких
цепи. Для клетки А2В1 цепь включает избыток +910, клетки А2В1 и
А5В1 – недостаток –450. Для клетки А1В4 – избыток +420; цепь
А1В4, А4В4, А4В2, А5В2 – недостаток –450. Аналогично строится
цепь в любом другом случае. Каждый отрезок цепи, лежащий в
каком-либо столбце, включает клетки с одинаковыми значениями
jii cU 00
.
Необходимо выбрать новую допустимую клетку. Для этого
сравниваем величины максимально возможных исправлений пла-
на по трем цепям, расставляем знаки по вершинам цепи. Новая
допустимая клетка получает знак «+», далее знаки чередуются: +,
–, +, –. Тогда, например, для клетки А1В4 будем иметь: А1В4, знак
«+»; А4В4, «–»; А4В2, «+»; А5В2, «–». Аналогично для других цепей.
Величина максимально возможного исправления определяется
как минимум из трех чисел: 1) минимальной поставки в отрица-
тельных вершинах цепи; 2) избытка в строке, куда выходит конец
цепи; 3) недостатка в строке, куда выходит конец цепи.
В нашем случае для клетки А1В4 будем иметь min(460; 450; 420) =
= 420, для клетки А2В1 min(460; 450; 910) = 450, для клетки А1В2
min(460; 450; 420) = 420. Как мы видим, максимально возможное
исправление будет в клетке А2В1. Следовательно, направляем
туда поставку. На величину максимально возможного исправле-
ния увеличиваем поставки в положительных вершинах цепи и
уменьшаем в отрицательных вершинах. Новый вариант плана
также удовлетворяет необходимым условиям оптимальности
(табл. 13) Ui0 + сi0j = min(Ui + cj)i. Например, для 1-го столбца
U2 + c21 = 0 + 4 = U5 + c21 = 1 + 3 = min = 4 и т.д.
В новом плане снова производится классификация строк. В
результате переноса поставок осталась только одна недостаточ-
ная строка. Нейтральные строки с ней не связаны, поэтому они
получают знак «+». В табл. 13 к недостаточной строке прикрепле-
ны 5-й и 7-й столбцы. В каждом из них находим минимальное
значение сij + Ui в клетках, расположенных на пересечении с
избыточными строками (в том числе и положительными нейтраль-
ными). Для 5-го столбца сij + Ui = 0 + 5 = 5 в 1-й строке, для 7-го
столбца 7 + 1 = 8 в 4-й и 5-й строках. Определяем разности и
записываем их внизу: (0 + 5) – (1 + 3) = 1 для 5-го столбца, (1 + 7) –
– (1 + 1) = 6 для 7-го столбца. Минимальная разность равна 1.
19. 19
Прибавляем ее к значениям разрешающих слагаемых в недоста-
точной строке.
Таблица 13
Строим цепь (она показана в табл. 13) и определяем знаки ее
вершин. Находим величину максимально возможного исправле-
ния (новой допустимой поставки) x15 = 420. Лимитирующей явля-
ется величина избытка в строке, куда выходит конец цепи. Полу-
чаем новый вариант плана, заносим его в табл. 14. Условия
оптимальности при этом соблюдаются.
В новом варианте плана две строки недостаточные (в том
числе одна нулевая) и три – избыточные (две нулевые).
С недостаточными строками связаны 5, 6, 7, 9-й столбцы. Нахо-
дим для них разностии записываем внизутаблицы. Так, 5-й столбец:
(0 + 7) – (0 + 5) = 2 или (0 + 7) – (2 + 3) = 2, 6-й столбец: (0 + 8) –
– (0 + 5) = 3 и т.д.
Прибавляем минимальную разность к значениям разрешаю-
щих слагаемых в недостаточных строках, строим цепь и опреде-
ляем знаки ее вершин. Величина максимально возможного ис-
правления лимитируется в этом случае наименьшей поставкой в
отрицательных вершинах.
Следовательно, x25 = 330. После перераспределения получаем
новый вариант плана (табл. 14).
Потребители
Разрешающие
слагаемые
Поставщики
В1 =
= 460
В2 =
= 560
В3 =
= 300
В4 =
= 510
В5 =
= 750
В6 =
= 840
В7 =
= 650
В8 =
= 530
В9 =
= 400
Небалансы
0 А1 = 1 660
6 9 7 3 5
+
5
840
10 5 3
400
+420
0 А2 = 910 4
450
14 10 13 7 8 16 9 7
+460
1 + 1 А3 = 520
11 15 10 20 4
750
10 2
650
17 6
–880
1 А4 = 610
7 9
100
7 3
510
16 10 8 9 16
+0
1 А5 = 1 300
4
10
9
460
5
300
9 8 16 8 3
530
6
+0
Разности 1 6
20. 20
Таблица 14
В табл. 15 недостаточная строка поставщика А3 не имеет связи
ни с одной нулевой строкой. Поскольку это единственная недоста-
точная строка (не нулевая), то все нулевые строки будут избыточ-
ными и иметь знак «+». С 3-й строкой связан 7-й столбец. Находим
для этого столбца разность между минимальным значением сизб с
учетом разрешающих слагаемых в избыточных строках и снедост в
недостаточной строке с учетом разрешающего слагаемого:
(7 + 1) – (4 + 1) = 3. Прибавляем минимальную в данном случае
(единственную) разность к значению разрешающего слагаемого
в недостаточной строке. Построенная цепь включает четыре
вершины и два конца, выходящих в недостаточную и избыточную
строки, x57 = 10.
Получаем новый вариант плана (табл. 16).
В табл. 16 две одинаковые наименьшие разности. Прибавляем
2 к разрешающим слагаемым в недостаточных строках. Как
легко убедиться, поставку можно направить в любую из двух
допустимых клеток. В каждом случае небалансы станут равными
нулю, т.е. величина передвигаемой поставки одинакова. Выбира-
ем, например, клетку А1В4. Получаем сложную цепь и после всех
необходимых операций по перераспределению поставокприходим
к оптимальному плану (табл. 17).
ПотребителиРазрешающие
слагаемые
Поставщики
В1 =
= 460
В2 =
= 560
В3 =
= 300
В4 =
= 510
В5 =
= 750
В6 =
= 840
В7 =
= 650
В8 =
= 530
В9 =
= 400
Небалансы
2 + 0 А1 = 1 660
6 9 7 3 5
420
5
840
10 5 3
400
–0
0 А2 = 910 4
450
14 10 13 7 + 8 16 9 7
+460
2 + 2 А3 = 520
12 16 11 21 5 –
330
11 3
650
18 7
–460
1 А4 = 610
7 9
100
7 3
510
16 10 8 9 16
+0
1 А5 = 1 300
4
10
9
460
5
300
9 8 16 8 3
530
6
+0
Разности 2 3 5 3
22. 22
Таблица 17
Потребители
Разрешающие
слагаемые
Постав-
щики В1 =
= 460
В2 =
= 560
В3 =
= 300
В4 =
= 510
В5 =
= 750
В6 =
= 840
В7 =
= 650
В8 =
= 530
В9 =
= 400
Небалансы
2 А1 = 1 660
6 9 7 3
120
5
300
5
840
10 5 3
400 0
0 А2 = 910 4
460
14 10 13 7
450
8 16 9 7
0
9 А3 = 520
10 14 9 19 3 9 1
520
16 5
0
3 А4 = 610
6 8
220
6 2
390
15 9 7 8 15
0
3 А5 = 1 300
3 8
340
4
300
8 7 15 7
130
2
530
5
0
Общие затраты на перевозки (объем работы, т·км) рассчиты-
ваем путем умножения полученных величин поставок на соответ-
ствующие им показатели оптимальности (взятые из исходной
таблицы):
F = 460 · 4 + 220 · 8 + 340 · 8 + 300 · 4 + 120 · 3 + 390 · 2 + 300 · 5 +
+ 450 · 7 + 840 · 5 + 520 · 1 + 130 · 7 + 530 · 2 + 400 · 3 = 21 200.
Задачи 4–5. Это закрытые транспортные задачи линейного
программирования. По сравнению с предыдущими они имеют ту
особенность, что ряд потребителей могут принять от некоторых
поставщиков ограниченное количество груза. Такое усложнение
условия задачи требует некоторого изменения метода решения.
Наиболее часто для решения подобных задач используется метод
потенциалов, модифицированный соответствующим образом.
Рассмотрим решение задачи типа 4–5 на примере. Для состав-
ления начального плана может использоваться любой способ. В
процессе решения будут видны особенности использования моди-
фицированного метода потенциалов. Все необходимые данные
приведены в табл. 18. В правых верхних углах некоторых клеток
указаны ограничения по приему груза от данных поставщиков.
23. 23
Таблица 18
Составление первоначального плана подробно рассматривать не
будем, так как по сравнению с обычной транспортной задачей
принципиальных отличий нет. Следует внимательно следить, чтобы
в клетку с ограничением не была направлена поставка, большая
величины ограничения. Первоначальный план должен иметь m + n – 1
базисных поставок. Базисными называются поставки dij > xij > 0, где
dij – величина ограничения в клетке АiВj. При отсутствии ограниче-
ния в клетке всякая поставка является базисной. Поставки xij = dij
небазисные. Если количество базисных поставок не достигает
m + n – 1, необходимо ввести в некоторых клетках аналогично
предыдущей задаче «искусственные нули».
Таким образом, вместо двух категорий клеток (свободных и с
поставками, как в предыдущей задаче) здесь мы имеем дело с
тремя: свободными, с поставками dij > xij > 0 и с поставками xij = dij.
Потенциалы рассчитываются только по базисным поставкам.
Правила расчета обычные. Проверка на оптимальность произво-
дится для свободных клеток и клеток с небазисными поставками.
Для первых клеток Vi – Uj сij;
для вторых: Vi – Uj сij.
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 500
В2 =
= 1 030
В3 =
= 800
В4 =
= 750
В5 =
= 900
В6 =
= 700
В7 =
= 720
В8 =
= 600
Потен-
циал
строк
A1 = 1 000
13 250 9 300 8 10
50
2
6 600
350
3
28 10 6
600 6
A2 = 1 300
11
100
12 300
300
10
300
12 280 12
150
4
13
150
5
3 300
300
27
0
A3 = 800
12 14
100
14
450
11
_0_
1
1 400
400
14 300
300
6
19 300 35
5
A4 = 1 200
16 16 2 500
500
3
700
20 14 400 25 16
250
13
A5 = 1 700
8 400
400
18
630
21 14 300 22 5 250
250
17
420
16
1
Потен-
циал
столбцов
11 19 10 16 12 13 18 12
24. 24
Рассчитаем потенциалы для первоначального плана в табл. 18.
Для этого зададим начальный потенциал строки U2 = 0. Осталь-
ные находим из соотношения Ui + сij = Vj. Для отличия небазисные
поставки не выделены.
Проверяем соблюдение условий оптимальности в свободных и
небазисных клетках. Нарушения имеются в клетках A1В2, А4В3,
А2В4, А5В4, А3В6, А1В7. Исправление плана начинается с клетки с
наибольшим по абсолютной величине нарушением. Такой являет-
ся клетка А3В6, Н36 = –6. Эта клетка небазисная. Для устранения
нарушения строим ломаную линию по рассмотренным выше пра-
вилам. Она проходит по клеткам А3В6 – А2В6 – А2В5 – А1В5 – A1В4 –
– A3В4. Поскольку нарушение оптимальности произошло в неба-
зисной клетке, то для исправления плана необходимо сделать эту
клетку базисной, т.е. уменьшить в ней величину поставки. При
нумерации клетокцепи для сохранения прежних правил изменения
поставок клетке с отрицательным нарушением присваивается
нулевой номер.
Затем находится xул. Изменение поставки должно быть не
больше минимальной поставки в четных клетках и не больше
минимального резерва пропускной способности в нечетных клет-
ках ломанойлинии.Так,втабл.55minхijчет = 50;min(dij = хij)нечет = 250.
Следовательно, величина улучшения xул = 50. Изменив поставки в
клетках ломаной линии, получаем новый вариант плана в табл. 19.
После изменения плана количество базисных поставок оста-
лось m + n – 1, а улучшение равно 50 · 6 = 300. Снова рассчитываем
потенциалы и проверяем план на оптимальность. Осталось два
нарушения:в клеткеА5В4 Н54 = 1, в клеткеА5В8 Н58 = 1. Строим цепь
для клетки А5В8. Она включает восемь вершин (см. табл. 19).
Используя рассмотренные правила, выясняем, что xул = 100.
Изменив поставки в клетках ломаной линии на величину, рав-
ную xул, получаем новый вариант плана (табл. 20). Он лучше
предыдущего на 100 · 1 = 100.
26. 26
В очередном варианте плана единственное нарушение опти-
мальности в клетке А5В4. Поступая по рассмотренной схеме,
получаем очередной, оптимальный план (табл. 21).
Таблица 21
Общие затраты на перевозки (объем работы, т·км):
F = 100 · 11 + 400 · 8 + 300 · 12 + 14 · 150 + 18 · 480 + 10 · 300 +
2 · 500 + 3 · 700 + 14 · 50 + 6· 500 + 16 · 400 + 13 · 300 + 14 · 150 +
+ 5 · 250 + 3 · 300 + 17 · 420 + 6 · 500 + 16 · 100 = 48 730.
Суммарное улучшение по сравнению с начальным планом
Fопт – Fнач = 50 · 6 + 100 · 1 + 50 · 1 = 450.
Задача 6. При решении задач планирования перевозок полнос-
тью или частично взаимозаменяемых грузов необходимо особым
образом обработать исходные данные. При этом ресурсы и по-
требности выражаются в условных единицах (усредненная марка
цемента, условное топливо и т.д.). Одновременно показатели сij в
каждой строке делятся на переводной коэффициент, который ис-
пользовался для выражения ресурсов в условных единицах. Каж-
дому сорту взаимозаменяемого груза у отдельных поставщиков
выделяется одна строка. При полной взаимозаменяемости грузов
Потребители
Постав-
щики В1 =
= 500
В2 =
= 1 030
В3 =
= 800
В4 =
= 750
В5 =
= 900
В6 =
= 700
В7 =
= 720
В8 =
= 600
Потен-
циал
строк
A1 = 1 000
13 250 9 300 8 10 600
500
28 10 6
500 10
A2 = 1 300
11
100
12 300
300
10
300
12 280 12 13
300
3 300
300
27
5
A3 = 800
12 14
150
14 450 11 1 400
400
14 300
150
19 35
4
A4 = 1 200
16 16 2 500
500
3
700
20 14 400 25 16
11
A5 = 1 700
8 400
400
18
480
21 14 300
50
22 5 250
250
17
420
16 250
100
0
Потенциал
столбцов
16 18 15 14 16 18 17 16
27. 27
спрос потребителя в условных единицах показывается одним
столбцом. В случае частичной взаимозаменяемости в отдельные
столбцы выделяются объемы по каждому роду груза. Далее на
полученной матрице решается обычная транспортная задача.
Решение такой задачи может производиться как методом
потенциалов, так и методом разрешающих слагаемых. Рассмот-
рим решение задачи методом разрешающих слагаемых. Исход-
ные данные берем из табл. В18–21 и сводим их в табл. 22.
Объемы мощностей поставщиков А11, А12 и т.д. получены
умножением соответствующих объемов в действительном выра-
жении на переводныекоэффициенты. Например, А11 = 4 000 · 1,2 =
= 4 800. Объемы спросов потребителей в табл. 22 заданы в услов-
ных единицах и их перевод не требуется. Показатели оптимально-
сти получены делением действительных показателей на перевод-
ной коэффициент. Например, С11 = 6 : 1,2 = 5. В некоторых клетках
показатели оптимальности опущены. Это означает, что данные
виды груза в какой-то мере не годятся для данного потребителя.
Например, потребителю В1 требуется 1 800 единиц портландце-
мента марки 500, 1 000 единиц – марки 400 или 500 и 3 000 единиц
портландцемента марки 500, 1 000 единиц – марки 400 или 500 и
300 единиц любого цемента. Это показано в столбцах В11, В12, В13.
Распределяем известным образом поставки первоначального
плана для решения методом разрешающих слагаемых. Данная
задача является открытой транспортной задачей. В ней суммар-
ный спрос потребителей меньше суммарной мощности поставщи-
ков, поэтому сумма отрицательных небалансов не равна сумме
положительных небалансов. В оптимальном плане мощности не-
которых поставщиков будут использоваться не полностью.
Действуя по правилам, рассмотренным выше, улучшаем план и
получаем следующий вариант (табл. 23) после четырех циклов
расчета . Для столбцов В11, В21, В32, В41 разности не находим, так как
в этих столбцах нет клеток, имеющих показатели оптимальности в
избыточныхстроках.Выполняяпреобразования,переходимктабл. 24.
В табл. 24 после построения цепи выясняется, что величина
хул = 0, следовательно, в клетку А31В11направляем «искусствен-
ный нуль» и получаем новый вариант плана. После направления
«искусственного нуля» в данную клетку строки А21 и А31 меняют
знак и становятся недостаточными (табл. 25).
32. 32
После всех проделанных преобразований получаем очередной
вариант плана, в котором еще есть недостаточные строки. Опти-
мальный план получаем на следующем цикле расчета.
Опуская эти преобразования, приводим в табл. 26 оптимальный
план.
Общие затраты на перевозки (объем работы, т·км ):
F = 1 400 · 5 + 400 · 7,5 + 400 · 6 + 600 · 5 + 1 200 · 6 + 1 800 · 5 +
+ 900 · 2,5 + 1 100 · 3 + 100 · 3 + 900 · 4 + 1 800 · 4 + 3 200 · 4 +
+ 2 500 · 2 + 2000 · 2,4 + 1500 · 2,4 = 74 450.
При решении открытых транспортных задач методом потенци-
алов используется особый прием – введение фиктивного потреби-
теля (если имеется излишек предложения груза) или фиктивного
поставщика (если имеется недостаток предложения груза). На-
пример, в данной задаче необходимо ввести фиктивного потреби-
теля. Показатели оптимальности в клетках такого столбца (стро-
ки) принимаются равными нулю. Решение полученной задачи
ведется обычным методом потенциалов.
34. 34
Задачи 7–8 относятся к типу многоэтапных транспортных
задач. С помощью некоторых искусственных приемов их можно
свести к обычным транспортным задачам. Матрица многоэтап-
ной задачи построена особым образом. По строкам в ней распо-
ложены не только поставщики, но и промежуточные пункты пере-
валки груза (базы, склады и т.д.). Аналогично по столбцам, кроме
потребителей, расположены указанные промежуточные пункты.
Например, в двухэтапной задачепо такому принципу можно выде-
лить четыре подматрицы (см. табл. 22). В первой подматрице
показываются транспортные связи между поставщиками и скла-
дами, во второй – между поставщиками и потребителями, в
третьей – между складами, в четвертой – между складами и
потребителями. Перевозки от поставщиков непосредственно по-
требителям, минуя склады, недопустимы, поэтому показатели
оптимальности во 2-й подматрице не указаны. Бессмысленны
также перевозки со склада на склад. Иногда в такие запрещенные
клетки заносят некоторые весьма большие числа М. Клетки на
пересечении столбца и строки, представляющие один и тот же
склад, соответствуют при решении задачи недоиспользованным
мощностям складов. Показателями оптимальности в таких клет-
ках должны быть нули. Такие клетки образуют в подматрице так
называемую фиктивную диагональ.
Многоэтапная транспортная задача может решаться как мето-
дом потенциалов, так и методом разрешающих слагаемых.
Рассмотрим на примере решение двухэтапной транспортной
задачи методом потенциалов. Все необходимые исходные дан-
ные приведены в табл. 27. В ней дано и начало решения.
При составлении первоначального плана любым известным
способом следует начинать с какой-либо одной подматрицы («по-
ставщики–склады», «склады–потребители»). Избыток мощности
складов заносится в клетки фиктивной диагонали. После этого с
учетом заполненных клеток заполняется другая подматрица.
В нашем примере начнем с составления первоначального пла-
на методом наименьшего элемента в подматрице «поставщики–
склады». Осталась недоиспользованной мощность склада В1. На-
правляем в клетку фиктивной диагонали, соответствующей этому
складу, величину недоиспользованной мощности x = 250.
35. 35
Далее переходим к построению плана в подматрице «склады–
потребители», учитывая, что мощность склада В1 недоиспользо-
вана на 250 единиц.
Затем без всяких изменений применяем метод потенциалов:
рассчитываем потенциалы строк и столбцов, проверяем опти-
мальность полученного плана, выполняем операции по его улуч-
шению.
В табл. 27 наибольшее нарушение оптимальности в клетке А1В2
равно 9. Строим ломаную линию, находим величину улучшения
плана и переходим к следующему циклу решения.
Таблица 27
После ряда циклов расчета (мы их опускаем, так как они не
содержат новых методических моментов) получаем оптималь-
ный план, приведенный в табл. 28.
Отметим лишь, что ломаные линии в многоэтапной задаче
могут проходить как в одной, так и в нескольких подматрицах.
Например, в табл. 27 ломаная линия проходит в трех подматри-
цах: «поставщики–склады», «склады–склады», «склады–потре-
бители».
Склады Потребители
Поставщики
и склады B1 =
= 450
B2 =
= 500
B3 =
= 300
C1 =
= 120
C2 =
= 120
C3 =
= 200
C4 =
= 120
C5 =
= 220
C6 =
= 220
Потен-
циал
строк
A1 = 300
10 9
300
12
4
A2 = 100
14
100
16 17
1
A3 = 450
15 3
100
13 2
50
11
300
0
Поставщики
A4 = 150
8 6
150
10
7
B1 = 450
0 4
250
13 19 25 22 16 5
80
12
120
15
B2 = 500
0 1 6
120
13
120
14 28
120
27 6
140
35
4
Склады
B3 = 300
0 20 21 7
200
18 15 12
100
15
Потенциал
столбцов
15 13 11 10 17 22 32 31 27
36. 36
Общие затраты (объем работы, т·км):
F = 300 · 10 + 100 · 14 + 50 · 15 + 100 · 13 + 150 · 6 + 300 · 11 +
+ 120 · 6 + 120 · 13 + 10 · 14 + 190 · 7 + 10 · 22 + 110 · 18 + 220 · 16 +
+ 220 · 12 = 22 760.
Таблица 28
Склады Потребители
Поставщики
и склады B1 =
= 450
B2 =
= 500
B3 =
= 300
C1 =
= 120
C2 =
= 120
C3 =
= 200
C4 =
= 120
C5 =
= 220
C6 =
= 220
Потен-
циал
строк
A1 = 300
10
300
9 12
5
A2 = 100
14
100
16 17
1
A3 = 450
15
50
13
100
11
300
0
Поставщики
A4 = 150
8 6
150
10
7
B1 = 450
0 13 19 25 22
10
16
220
12
220
16
B2 = 500
0 6
120
13
120
14
10
28 27 35
13
Склады
B3 = 300
0 20 21 7
190
18
110
15 12
20
Потенциал
столбцов
15 13 11 19 26 27 38 32 28
Задача 9 – подобные задачи носят название задач об опти-
мальном назначении («проблема выбора»). Они представляют
частный случай транспортных задач линейного программирова-
ния. Вместо поставщиков заданы конкретные исполнители работ
(рабочие, механизмы и т.д.), вместо потребителей — виды работ.
Показателями оптимальности могут быть производительность
труда на каждом виде работ, затраты нормo-часов и т.д. В
зависимости от критерия оптимальности задача будет решаться
на максимум или минимум. Количество работников (механизмов)
может быть не равно количеству работ. В этом случае при
решении методом потенциалов в матрицу задачи необходимо
ввести фиктивных работников или фиктивные работы. При реше-
нии методом разрешающих слагаемых усложнение матрицы не
требуется.
37. 37
Само решение значительных особенностей по сравнению с
решением обычных транспортных задач не имеет. Следует лишь
внимательно следить за перераспределением поставок, так как
вырожденность задач о назначении требует использования боль-
шого количества «искусственных нулей».
Рассмотрим на примере решение задачи об оптимальных на-
значениях методом потенциалов. Первоначальный план и другие
необходимые исходные данные приведены в табл. 29.
Таблица 29
Число 1 означает, что данный работник прикрепляется в дан-
ном варианте плана к данной работе. «Искусственные нули»
необходимы для расчета потенциалов и дальнейшей проверки на
оптимальность. Решать будем с таким расчетом, чтобы получить
максимум выработки (показатели оптимальности определенным
образом характеризуют выработку каждого работника на каждой
Вид работРабот-
тники
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
Потен-
циал
строк
A1
15 16 24 1 17 19 15 17 2
1
19
8
A2
19 14 22
0
16 15 16
1
15 14
8
A3
24
0
18 12 18 18 19 18 24
1
2
A4
18 30
1
18 20 24 24
0
21 25
0
A5
13 18 21 20 23
1
20
0
20 20
4
A6
22
1
19 20 15 20 20
0
17 18
4
A7
17 17 18 18
1
18 18
0
18 18
6
A8
19 16 25 4
1
20 21 20 20 3
0
20
5
Потен-
циал
столбцов
26 30 30 24 27 24 25 26
38. 38
работе). При решении транспортных задач на минимум план был
оптимальным при выполнении соотношений:
Vj – Ui, cij при хij = 0;
Vj – Ui = cij при хij > 0.
В данном случае знак первого неравенства меняется на обрат-
ный, так как мы ищем максимум: Vj – Ui cij при хij = 0.
В приведенном начальном варианте плана шесть нарушений.
Наибольшее по абсолютной величине нарушение Н13 = 2. Значит,
эту клетку целесообразно использовать для улучшения плана, т.е.
необходимо первого работника направить на третью работу. Про-
делываем все необходимые при использовании метода потенциа-
лов преобразования, получаем новый улучшенный вариант при-
крепления работников по видам работ. Суммарная выработка
возрастает на 2 единицы (так как величина нарушения равна 2).
Этот план приведен в табл. 30.
Таблица 30
В таком варианте плана при проверке на оптимальность обна-
руживаются три нарушения. Все они равны 1. Произвольно выби-
Вид работРабот-
тники
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
Потен-
циал
строк
A1 15 16 24 17 19 15 17 19 8
A2
19 1 14 22 16 15 16 2 15 14 8
A3
24 18 12 18 18 19 18 24 2
A4
18 30 18 20 24 24 21 25 0
A5
13 18 21 20 23 20 20 20 4
A6
22 4 19 20 15 20 20 3 17 18 4
A7
17 17 18 18 18 18 18 18 6
A8
19 16 25 20 21 20 20 20 5
Потен-
циал
столбцов
26 30 30 24 27 24 25 26
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
39. 39
раем для улучшения плана клетку А2В1. Проделывая необходи-
мые преобразования, получаем новый вариант плана (табл. 31).
Проверив его на оптимальность, убеждаемся, что получен план с
максимально возможной выработкой. Суммарное улучшение по
сравнению с начальным вариантом равно 3 единицам.
Таблица 31
Задача 10 – Подобные транспортные задачи могут решаться
не только в матричной, но и в сетевой форме. Для этого должны
быть заданы сеть путей сообщения (транспортные пункты и
участки путей сообщения, их соединяющие); количественное рас-
пределение отправления и прибытия однородного груза по транс-
портным пунктам; значения показателей оптимальности для каж-
дого участка.
Решение сетевой транспортной задачи может производиться
разными методами. Наиболее часто применяется метод потенци-
алов на сети, который представляет видоизменение метода потен-
циалов решения транспортной задачи в матричной форме. Реше-
ние при этом начинается с составления первоначального плана, в
Виды работРабот-
ники B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
Потен-
циал
строк
A1
15 16 24 17 19 15 17 19
5
A2
19 14 22 16 15 16 15 14
7
A3
24 18 12 18 18 19 18 24
2
A4
18 30 18 20 24 24 21 25
0
A5
13 18 21 20 23 20 20 20
4
A6
22 19 20 15 20 20 17 18
4
A7
17 17 18 18 18 18 18 18
6
A8
19 16 25 20 21 20 20 20
4
Потен-
циал
столбцов
26 30 29 24 27 24 24 26
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
10
1
1
40. 40
котором весь груз должен быть отправлен и все потребности
пунктов прибытия удовлетворены. Направления грузопотоков по-
казываются стрелками, мощность – числами. Условия оптималь-
ности плана такие же, как и при решении задачи в матричной
форме методом потенциалов:
Vj – Vi сij, если хij = 0;
Vj – Vi = сij, если хij > 0,
где Vj и Vi – потенциалы соседних вершин.
Рассмотрим решение транспортной задачи в сетевой форме
методом потенциалов на примере. Исходные данные и начало
решения показаны на рис. 1.
Рис. 1
Составлениепервоначального плана производим, руководству-
ясь здравым смыслом, так как не разработано иного подходящего
способа. Необходимо лишь следить, чтобы количество занятых
участков (стрелок) было n – 1, где n – количество вершин, и не
было замкнутых контуров, т.е. не должно быть так, что, начав
движение из какой-либо вершины по стрелке и переходя от одной
стрелки к другой (не обращая при этом внимания на их направле-
ние), можно было бы вернуться в ту же вершину. В нашем случае
(см. рис. 1) стрелок с потоками xij > 0 оказалось после составления
первоначального плана 11, а n – 1 = 12. Следовательно, необходи-
B2 =
= 250
B3 =
= 170
B1 =
= 120
B5 = 50
B4 = 70
B9 = 25
B8 = 75
B6 = 50
A4 = 310
A3 = 100
A2 = 280
A1 = 180
B7 = 60
100180
10
70
120
0
60
100
30 70
50
70
80
130
100
90
110
40
70
60
20
110
40
50
30
40
80
90
14070
+
+
+
60
240
100
50
170
70
120
30
70
100
60
110
25
120
30 75
0
140
41. 41
мо на один из участков направить нулевой поток (аналогично
матричной форме решения). Для выбора участка выделим на
рис. 1 участки с перевозками. Легко убедиться, что на рисунке
оказались две не связанные друг с другом группы стрелок. Так
всегда бывает при вырождении, когда количество стрелок мень-
ше n – 1. Нулевой поток необходимо направить таким образом,
чтобы соединить между собой эти группы стрелок. Возможные
участки при этом А4–В9, В9–В5, А3–В5, А3–В7. Направлениенулево-
го потока может быть любым. Выбираем участок с наименьшим
показателем оптимальности и направляем на него нулевой поток.
Пусть это будет участок А3–В1. Теперь можно рассчитать потен-
циалы, используя соотношение Vj – Vi = сij, если xij > 0.
Задаем произвольно любой вершине начальный потенциал,
например, VA1
= 0. Тогда VВ1
= VA1
+ сА1 – В1
= 70;
VВ3
= VВ1
+cВ1 – В3
=140; VА2
= VВ3
– сА2 – В1
= 30.
Следовательно, если направление стрелки совпадает с направ-
лением определения неизвестного потенциала, то он находится
как сумма известного потенциала и показателя оптимальности
участка со стрелкой, и наоборот. Исходя из этого, рассчитываем
всепотенциалы, а затем проверяем полученный план на оптималь-
ность. Потенциалы на схемах записываем справа от вершин. В
плане на рис. 1 одно нарушение на участке А4 – В9; Н = 120 – 70 –
– 40 = 10.
Направляем на этот участок поток, который, в свою очередь,
имеет направление от вершины с меньшим потенциалом к верши-
не с большим. Для выяснения величины потока необходимо найти
замкнутый контур, в котором все участки с перевозками, а учас-
ток А4 – В9 с нарушением.
Для этого удобно выделять участки с потоками. Легко убе-
диться, что такой контур единственный (А4 – В9 – А3 – В7 – В5 – А2 –
– В3 – В1 – В2 – А4). Стрелки, совпадающие по направлению с вновь
проведенной, получают знак «+», встречные – знак «–». Величина
направляемого потока равна величине наименьшего потока на
отрицательных стрелках.
В нашем случаехул = min (25, 60, 110, 50, 240) = 25. Увеличиваем
на эту величину потоки на положительных стрелках и уменьшаем –
на отрицательных.
42. 42
Величина улучшения плана 250 = xул · Н = 25 · 10. Получаем
новый вариант плана (рис. 2). Проделав все необходимые дей-
ствия, убеждаемся, что этот вариант оптимален.
Рис. 2
Суммарные затраты на перевозки (объем работы, т·км) со-
ставляют:
F = 180 · 70 + 35 · 100 + 25 · 70 + 215 · 100 + 70 · 30 + 25 · 40 +
+ 145 · 110 + 50 · 70 + 85 · 80 + 35 · 20 + 25 · 40 + 75 · 50 = 74 150.
Задача 11 – для решения таких задач, в которых показатели
оптимальности разнятся по направлениям одного участка, целесо-
образно использовать матричные методы. Для этого необходимо
составить матрицу минимальных стоимостей перевозки (либо
кратчайших расстояний) между поставщиками и потребителями.
В дальнейшем задача решается известными методами. Рассмот-
рим нахождение минимальных стоимостей (кратчайших расстоя-
ний) на примере. Пусть задан полигон транспортной сети (рис. 3)
(на участке разная стоимость перевозки в разных направлениях).
Для определения кратчайших расстояний от одной вершины до
всех остальных используется представленная ниже схема.
1. Сначала всем вершинам сети кроме начальной, от которой
определяются расстояния, присваиваются потенциалы, равные
бесконечности. Начальной вершине присваиваем потенциал, рав-
ный нулю, и записываем ее номер.
B6 = 50
A2 = 280
B7 = 60
B5 = 50
B1 = 120
B2= 250 B4 = 70
B9 = 25
B3 = 170
B8 = 75
A4 = 310
A3 = 100
A1 = 180
80
60
70 1200
145
110
70
50
100
20
35
90
180
85
40 25
70
30
40
6080
30
70
40
215
100
25 30
50
75
35 100
25
60
70
43. 43
2. Далее для всех выходящих звеньев проверяем условие:
Vi + cij Vj,
где Vi – потенциал исходной вершины; Vj – потенциал последую-
щей вершины, для которой определяется новый потенциал; cij –
длина звена в правопутном движении.
Если сумма меньше Vj, то ее значение присваиваем j-й вершине
в качестве нового значения потенциала. Записываем номер этой
вершины. Если сумма Vi и cij больше Vj, то без изменений перехо-
дим к п. 3.
3. Проверяем, все ли выходящие звенья для данной вершины
рассмотрены. Если нет, то возвращаемся к п. 2. Если да, то
зачеркиваем записанный ранее номер этой вершины и переходим
к п. 4.
4. Проверяем, есть ли еще номера вершин, которые не зачеркну-
ты (не просмотрены). Если все вершины рассмотрены (возможно
и вторичное рассмотрение при вторичном появлении номера), то
расчеты кратчайших расстояний закончены. Эти расстояния рав-
Рис. 3
7
4
1358
16
1415
31012
1116 9 2
70 15 70 45 115 20 85
15 30 30 35 5 30 40 5 10
25
35
30 20 15 20 20 40 40 75
95(100)2570
(75) 20 30 25 30 15 15
55
17
15
90
35 20 15 30
45 40 20 20 20 25 45
30 20 15 35
35 25 15
20 20 10 10 20
15 10 1015
(5) (8) (15) (14) (13) (7) (12) (10) (16) (4) (8) (11) (3) (6) (9) (1) (17) (1)
44. 44
ны окончательным потенциалам. Если не все вершины рассмотре-
ны, возвращаемся к п. 2.
Исходной вершиной будет первая с незачеркнутым номером.
Определим в нашем примере кратчайшие расстояния от вер-
шины 5 до всех остальных. Присваиваем ей потенциал V5 = 0,
остальные потенциалы равны бесконечности. Рассматриваемые
в определенном порядке номера вершин записываем рядом со
схемой.
Проверяем для вершины 5 условие:
Vi + cij Vj;
V5 + с5, 15 = 20, 20 < ;
V5 + с5, 8 = 0 + 15, 15 < .
Записываем новые значения потенциалов и номера вершин в
порядке смены старых потенциалов. Переходим последовательно
от 5-й вершины к 8-й, от 8-й к 15-й и т.д. Просматриваем все
выходящие звенья, в том числе и входящие в рассмотренные
перед этим вершины. Например, при рассмотрении 8-й вершины
проверяются звенья 8–5, 8–15, 8–7.
Эта процедура продолжается до полного рассмотрения всех
вершин, номера которых не зачеркнуты. В итоге получаем на
рис. 3 кратчайшие расстояния от 5-й вершины до всех остальных.
Аналогичные расчеты для остальных вершин-поставщиков
позволят построить матрицу, в клетках которой эти рассчитанные
значения потенциалов будут показателями оптимальности.
Задача 12. Процесс решения задач с ограничением пропускной
способности некоторых участков в сетевой форме имеет много
общего с решением задач с ограничением приемной способности
некоторых потребителей в матричной форме.
Решениеначинается с построения произвольного первоначаль-
ного плана, в котором, как и в обычной сетевой задаче, весь груз
должен быть вывезен и все потребности удовлетворены.
Количество занятых участков может быть больше n – 1, но
количество базисных участков должно быть n – 1. Базисными
называются участки, величина потока на которых dij > xij > 0, где
dij – величина ограничения пропускной способности участника ij.
Базисные участки не должны образовывать замкнутого контура.
Решение производится методом потенциалов.
45. 45
Расчет ведется только по базисным участкам из соотношения
Vi – Vj = cij.
В оптимальном плане должны выполняться три соотношения:
Vj – Vi < cij, если хіј = 0;
Vj – Vi < cij, если хіј = dij;
Vj – Vi = cij, если dij > хіј > 0.
Улучшение неоптимального плана начинается с участка, име-
ющего наибольшее по абсолютной величине нарушение условия
оптимальности.
Для устранения нарушения необходимо построить замкнутый
контур, состоящий из базисных и одного небазисного участка с
нарушением.
На участке с нарушением, где хіј = dij, поток должен быть
уменьшен на величину хул, которая находится по формуле
хул = min [min хіјпопутн; min(dij – хіј)встр].
Если максимальное по абсолютной величине нарушение будет
на свободном участке, то в этом случае все попутные грузопотоки
увеличиваются, а встречные уменьшаются.
Величина хул для замкнутого контура находится по формуле
хул = min [minхіј встр; min (dij – хіј)попутн].
После нахождения оптимального плана подсчитывается объем
работы, т·км (целевая функция суммарные издержки на пере-
возки).
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Задача 1. Имеются пять поставщиков и девять потребителей
однородной продукции. Стоимость перевозки 1 т груза и объемы
мощностей поставщиков и спроса потребителей приведены в
табл. В1–В3.
Определить оптимальный план прикрепления поставщиков к
потребителям, обеспечивающий минимум затрат на перевозки.
