341.математические методы исследования учебно методический комплекс

1
Министерство культуры Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет
культуры и искусств»
Институт информационных и библиотечных технологий
Кафедра технологии автоматизированной обработки информации
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Учебно-методический комплекс дисциплины
по направлению подготовки
51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная деятельность»
Профиль подготовки
«Технология автоматизированных
библиотечно-информационных систем»,
Квалификация (степень) выпускника
«бакалавр»
Форма обучения
очная, заочная
Кемерово 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требо-
ваниями ФГОС ВПО по направлению подготовки 51.03.06 (071900)
«Библиотечно-информационная деятельность», профиль «Технология ав-
томатизированных библиотечно-информационных систем», квалификация
(степень) выпускника «бакалавр»
Утвержден на заседании кафедры технологии автоматизированной
обработки информации КемГУКИ 22.04.2014 г., протокол № 2.
Рекомендован к изданию учебно-методическим советом института
информационных и библиотечных технологий КемГУКИ 29.04.2014 г.,
протокол № 5.
Математические методы исследования [Текст]: учеб.-метод. ком-
плекс дисциплины по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библио-
течно-информационная деятельность», профиль подготовки «Технология
автоматизированных библиотечно-информационных систем», квалифика-
ция (степень) выпускника «бакалавр» / сост. Э. Н. Огнева. – Кемерово:
Кемеров. гос. ун-т культуры и искусств, 2014. – 98 с.
Составитель:
доцент
Э. Н. Огнева

3
ВВЕДЕНИЕ
В условиях современного общества с развитием автоматизированных
технологий и процессов с каждым годом усиливается математизация мно-
гих областей библиотечно-информационной деятельности. Как объектив-
ный инструмент анализа и оптимизации математика дает возможность
детально проанализировать сущность библиотечно-информационных про-
цессов, выявить их количественные закономерности и, следовательно, най-
ти оптимальные решения по их совершенствованию.
Это требует формирования у будущего специалиста в области биб-
лиотечно-информационной деятельности не только знаний, но и, в особой
мере, умений и навыков применения математических методов для быстро-
го и рационального решения многочисленных и разнообразных задач
библиотечно-информационной деятельности (моделирование развития
и модернизации библиотечно-информационных учреждений; изучение
потребителей информации и их информационных потребностей; изучение
и анализ информационных, кадровых, экономических и материально-
технических ресурсов библиотеки; организация библиотечно-информа-
ционного обслуживания пользователей и т. д.).
Обеспечить математическую подготовку студентов направления
подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная деятель-
ность», профиль подготовки «Технология автоматизированных библио-
течно-информационных систем», призвана, прежде всего, учебная дисцип-
лина «Математические методы исследования».
Целью освоения дисциплины «Математические методы иссле-
дования» является формирование общекультурных и профессиональных
компетенций выпускника, ориентированных на усвоение теоретических
знаний и выработку практических навыков по использованию математи-
ческих методов при исследовании объектов библиотечно-информацион-
ной деятельности.
Учебная дисциплина «Математические методы исследования» вхо-
дит в вариативную часть профессионального цикла образовательной
программы по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-
информационная деятельность», профиль подготовки «Технология автома-
тизированных библиотечных систем», квалификация (степень) «бакалавр».

4
Для освоения дисциплины «Математические методы исследования»
необходимы знания курса математики в объеме общеобразовательной
средней школы, а также знания, умения и компетенции, сформированные
в результате изучения студентами дисциплины «Логика». Дисциплина
«Математические методы исследования» является предшествующей для
дисциплины «Менеджмент библиотечно-информационной деятельности».
Изучение дисциплины направлено на формирование следующих
компетенций:
 готовность к использованию основных законов естественно-науч-
ных дисциплин в профессиональной деятельности, применению методов
математического анализа и моделирования, теоретического и эксперимен-
тального исследования (ОК-10);
 владение методами качественной и количественной оценки работы
библиотеки (ПК-7);
 готовность к решению задач по организации и осуществлению
текущего планирования, учета и отчетности (ПК-10);
 готовность к применению результатов прогнозирования и модели-
рования в профессиональной сфере (ПК-18);
 способность к изучению и анализу библиотечно-информационной
деятельности (ПК-22);
 готовность к использованию научных методов сбора и обработки
эмпирической информации при исследовании библиотечно-информацион-
ной деятельности (ПК-23);
 способность к информационной диагностике предметной области
и информационному моделированию (ПК-29).
В результате изучения дисциплины «Математические методы
исследования» студент должен:
знать:
 статистические методы обработки экспериментальных данных
(ОК-10, ПК-7, ПК-23);
 структурные и суммарные меры центральной тенденции (ПК-10);
 показатели, характеризующие количественную вариацию признака
(ПК-7);

5
 метод выборочного анализа (ОК-10, ПК-7);
 основы булевой алгебры (ОК-10);
 основные понятия теории графов (ПК-22);
 модели системы массового обслуживания (ОК-10, ПК-18, ПК-29);
уметь:
 использовать меры центральной тенденции при анализе информа-
ционных ресурсов и документальных фондов (ОК-10);
 использовать аппарат дискретной математики и теории массового
обслуживания при анализе библиотечно-информационной деятельности
(ОК-10, ПК-10, ПК-22, ПК-29);
владеть:
 навыками статистической обработки экспериментальных данных
(ОК-10, ПК-23);
 навыками применения булевых функций в информационном ана-
лизе и синтезе (ОК-10, ПК-22).
В структуре дисциплины выделяется два раздела. В первом разделе
изучаются статистические методы обработки экспериментальных данных,
во втором рассматриваются основы дискретной математики и исследо-
вания операций.
В соответствии с учебным планом направления подготовки 51.03.06
(071900) «Библиотечно-информационная деятельность», профиль подго-
товки «Технология автоматизированных библиотечных систем», квали-
фикация (степень) «бакалавр», на изучение студентами очной и заочной
форм обучения учебной дисциплины «Математические методы исследова-
ния» в шестом семестре отводится 108 часов, из которых 28 часов отво-
дится для аудиторных занятий и 80 часов для самостоятельной работы
(для ЗФО – 10 и 98 часов соответственно). В рамках аудиторной работы
предусматривается проведение лекционных (ОФО – 14 часов, ЗФО –
4 часа) и практических занятий (ОФО – 14 часов, ЗФО – 6 часов). Формой
итогового контроля знаний и умений студентов по учебной дисциплине
является зачет.
Для обеспечения теоретической подготовки студентов в данном
учебно-методическом комплексе представлены конспекты лекций по всем
темам, предусмотренным программой дисциплины. Каждый конспект со-

6
держит план лекции, список рекомендуемой литературы и конспективный
теоретический материал по теме.
Практикум по учебной дисциплине предусматривает выполнение
шести практических работ. В описании каждой практической работы при-
водятся цель, задачи работы и упражнения. Также каждая практиче-
ская работа содержит список рекомендуемой литературы, который помо-
жет студентам в подборе документов для получения дополнительных све-
дений по изучаемым темам и расширения круга заданий для само-
стоятельной работы.
Повышению эффективности самостоятельной работы студента при-
званы способствовать представленные в составе учебно-методического
комплекса методические указания по работе с литературой и методиче-
ские указания по выполнению контрольных работ. Помощь в организа-
ции самостоятельной работы студентов призван оказать список основной и
дополнительной литературы, включающий как печатные, так и электрон-
ные учебные издания.
Для реализации самопроверки, текущей и итоговой проверки зна-
ний и умений студентов, а также организации подготовки студентов
к сдаче зачета по дисциплине «Математические методы исследования»
в учебно-методический комплекс включены следующие контрольно-
измерительные материалы: тесты для самоконтроля, контрольные вопро-
сы, текущие контрольные работы, вопросы к зачету.
1. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины в соответствии с учебным планом
направления подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная
деятельность», профиль подготовки «Технология автоматизированных
библиотечно-информационных систем» составляет три зачетных единицы
(108 часов), в том числе доля аудиторных занятий в интерактивных фор-
мах 25 %, в соответствии с требованиями ФГОС ВПО.

7
Тематический план для студентов очной формы обучения
Раздел/тема
дисциплины
Се-
местр
Виды учебной рабо-
ты, включая само-
стоятельную работу
студентов и трудоем-
кость (в часах)
Интерак-
тивные
формы
обучения
Формы
текущего
контроля
успеваемо-
сти; форма
промежу-
точной
аттестации
Лекц. Практ. СРС
1. Статистические
методы обработки
эмпирических
данных
6 8(3) 6(1) 40 Тестовый
контроль,
контрольная
работа
1.1. Элементы выбо-
рочного анализа
2(2) 10 Лекция-
визуали-
зация
1.2. Упорядочение
эмпирических данных
2(1) 2 10 Лекция-
визуали-
зация
1.3. Меры центральной
тенденции
2 2(1) 10 Решение
ситуацион-
ных задач
1.4. Показатели
вариации
2 2 10
2. Основы дискрет-
ной математики
и исследования
операций
6 6(1) 8(2) 40 Тестовый
контроль,
работа
2.1. Элементы булевой
алгебры
2 2 12
2.2. Основные понятия
теории графов
2(1) 2 12 Лекция-
беседа
2.3. Элементы теории
массового обслужива-
ния
2 4(2) 16
Работа
в малых
группах
Зачет
Итого: 14(4) 14(3) 80
в т. ч. 7 час.
(25 %) ауди-
торных заня-
тий в инте-
рактивных
формах
обучения

8
Тематический план для студентов заочной формы обучения
Раздел/тема
дисциплины
Се-
местр
Виды учебной рабо-
ты, включая само-
стоятельную работу
студентов и трудоем-
кость (в часах)
Интерак-
тивные
формы
обучения
Формы
текущего
контроля
успеваемо-
сти; форма
промежу-
точной
аттестации
Лекц. Практ. СРС
1. Статистические
методы обработки
эмпирических
данных
5 2(2) 4 50 Тестовый
контроль,
работа
1.1. Элементы выбо-
рочного анализа
2(2) 12 Лекция-
визуали-
зация
1.2. Упорядочение
эмпирических данных
2 12
1.3. Меры центральной
тенденции
2 12
1.4. Показатели вариа-
ции
14
2. Основы дискрет-
ной математики
и исследования
операций
5 2 4(1) 48 2
Тестовый
контроль,
работа
2.1. Элементы булевой
алгебры
2 2 12 1
2.2. Основные понятия
теории графов
2(1) 12 Решение
ситуацион-
ных задач
2.3. Элементы теории
массового обслужива-
ния
24
Зачет
Итого: 4(2) 6(1) 98
в т. ч. 3 час.
(30 %) ауди-
торных заня-
тий, в инте-
рактивных
формах
обучения

9
1.2. Содержание дисциплины
Содержание раздела дисциплины Результаты
Раздел 1. Статистические методы обработки эмпирических данных
Тема 1.1. Элементы выборочного
анализа
Понятие генеральной и выборочной
(выборка) совокупности. Характери-
стики выборки: объем, репрезентатив-
ность. Организация случайного отбора:
повторная и бесповторная выборка.
Типы выборок: простая (случайная),
механическая, типическая (райониро-
ванная) выборка, серийная (гнездовая),
комбинированная выборка. Погрешно-
сти выборочного метода при изучении
рынка информационных ресурсов и
особенностей его использования
Формируемые компетенции:
- готовность к использованию основ-
ных законов естественно-научных
дисциплин в профессиональной дея-
тельности, применению методов мате-
матического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального
исследования (ОК-10);
- владение методами качественной и
количественной оценки работы биб-
лиотеки (ПК-7);
- готовность к решению задач по орга-
низации и осуществлению текущего
планирования, учета и отчетности
(ПК-10);
- готовность к использованию научных
методов сбора и обработки эмпириче-
ской информации при исследовании
библиотечно-информационной дея-
тельности (ПК-23).
В результате изучения раздела курса
студент должен:
знать:
- статистические методы обработки
экспериментальных данных (ОК-10,
ПК-7, ПК-23);
- структурные и суммарные меры цен-
тральной тенденции (ПК-10);
- показатели, характеризующие количе-
ственную вариацию признака (ПК-7);
- метод выборочного анализа (ОК-10,
ПК-7);
уметь:
- использовать мер центральной тен-
денции при анализе информационных
ресурсов и документальных фондов
(ОК-10);
владеть:
- навыками статистической обработки
экспериментальных данных (ОК-10,
ПК-23)
Тема 1.2. Упорядочение эмпириче-
ских данных
Табличное представление эмпириче-
ских данных: ранжирование, дискрет-
ная, интервальная и комбинационная
группировка. Понятие частоты и отно-
сительной частоты, накопленной час-
тоты и накопленной относительной
частоты. Графическое изображение
эмпирических данных: полигон распре-
деления, гистограмма вариационного
ряда, кумулятивная кривая. Понятие
эмпирической функции распределения,
её свойства и график. Особенности
упорядочения эмпирических данных
при анализе информационных ресурсов
и документальных фондов
Тема 1.3. Меры центральной тен-
денции
Структурные меры центральной тен-
денции: мода и медиана. Суммарные
меры центральной тенденции: выбо-
рочная средняя, средняя гармоническая
и средняя геометрическая. Выбор и ис-
пользование мер центральной тенден-
ции при анализе документальных и чи-
тательских потоков

10
Тема 1.4. Показатели вариации
Показатели, характеризующие количе-
ственную вариацию признака: размах
вариации, среднее линейное отклоне-
ние, выборочную дисперсию, выбороч-
ное среднее квадратическое отклоне-
ние, коэффициент асимметрии, эксцесс,
коэффициент вариации. Основные
свойства показателей вариации
Раздел 2. Основы дискретной математики и исследования операций
Тема 2.1. Элементы булевой алгебры
Понятие высказывания. Основные ло-
гические операции над высказывания-
ми. Булевы функции n переменных.
Свойства дизъюнкции, конъюнкции и
отрицания для булевых функций. Спо-
собы задания функций. Применение
булевых функций в информационном
анализе
Формируемые компетенции:
- готовность к использованию основ-
ных законов естественно-научных
дисциплин в профессиональной дея-
тельности, применению методов мате-
матического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального
исследования (ОК-10);
- готовность к решению задач по орга-
низации и осуществлению текущего
планирования, учета и отчетности
(ПК-10);
- готовность к применению результа-
тов прогнозирования и моделирования
в профессиональной сфере (ПК-18);
- способность к изучению и анализу
библиотечно-информационной дея-
тельности (ПК-22);
- способность к информационной ди-
агностике предметной области и
информационному моделированию
(ПК-29).
В результате изучения раздела курса
студент должен:
знать:
- основы булевой алгебры (ОК-10);
- основные понятия теории графов
(ПК-22);
- модели системы массового обслу-
живания (ОК-10, ПК-18, ПК-29);
уметь:
- использовать аппарат дискретной ма-
тематики и теории массового обслужи-
вания при анализе библиотечно-ин-
Тема 2.2. Основные понятия теории
графов
Элементы графов: подграфы, маршру-
ты, цепи, циклы. Валентность, связ-
ность вершин графа. Расстояние между
вершинами. Различные виды графов.
Операции над графами. Пути и мар-
шруты в графах. Представление графов
в ЭВМ
Тема 2.3. Элементы теории массо-
вого обслуживания
Основные понятия и классификация
систем массового обслуживания
(СМО). Показатели эффективности
СМО. Формула Литтла. Некоторые мо-
дели СМО: простейшая СМО с отказа-
ми (задача Эрланга), простейшая одно-
канальная СМО с неограниченной
очередью и с ограничением по длине
очереди, простейшая многоканальная
СМО с неограниченной очередью и с
ограничением по длине очереди. Ис-
пользование моделей СМО для анализа
документальных и читательских пото-
ков

11
формационной деятельности (ОК-10,
ПК-10, ПК-22, ПК-29);
владеть:
- навыками применения булевых
функций в информационном анализе и
синтезе (ОК-10, ПК-22)
2. УЧЕБНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
2.1. Конспекты лекций по дисциплине
Тема 1.1. Элементы выборочного анализа
План:
1. Организация случайного отбора
2. Типы выборок
3. Погрешности выборочного метода при изучении рынка информацион-
ных ресурсов
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 395–396.
3. Ключенко, Т. И. Математика в библиотечной профессии [Текст]:
учебно-практическое пособие / Т. И. Ключенко. – Москва: Либерея-
Бибинформ, 2009. – С. 10–27.
4. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электронный учебник /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
П.1. Организация случайного отбора
Совокупность всех возможных значений, или реализаций, исследуе-
мых случайных величин называется генеральной совокупностью. Она мо-

12
жет состоять из конечного или бесконечного множества значений, назы-
ваемых элементами генеральной совокупности.
Выборочной совокупностью (или просто выборкой) называется сово-
купность элементов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют чис-
ло элементов этой совокупности.
Метод, основанный на том, что по данным обследования выборки,
выделенной из генеральной совокупности, делается заключение о всей ге-
неральной совокупности, называется выборочным методом.
Задача математической статистики состоит в исследовании свойств
выборки и обобщении этих свойств на всю генеральную совокупность.
Полученный при этом вывод называется статистическим.
Основное требование к выборке: она должна хорошо представлять ге-
неральную совокупность, т. е. быть репрезентативной (представитель-
ной). Выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайным
образом.
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после
того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может
быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Соответ-
ственно выборки подразделяются на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный элемент
(перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный элемент
в генеральную совокупность не возвращается.
П. 2. Типы выборок
Различают следующие способы составления выборки: а) простой
(случайный), б) механический, в) типический, г) серийный.
Eсли занумеровать все элементы генеральной совокупности и затем
изготовить карточки с такими же номерами, тщательно перемешать их и
отобрать пачку карточек, то элементы генеральной совокупности с номе-
рами извлечённых карточек образуют простую (случайную) выборку. Здесь
возможно повторная и бесповторная выборка.
Если элементы генеральной совокупности выбираются через опреде-
лённый интервал, то такая выборка называется механической. Например,
при анализе качества ноутбуков, сходящих с конвейера, отбирается каж-
дый 25 ноутбук.

13
Предположим теперь, что генеральную совокупность разбили на не-
сколько неперекрывающихся групп и из каждой группы отобраны в слу-
чайном порядке объекты. Это типический способ составления выборки
(районированная или стратифицированная выборка). Типическим отбо-
ром пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется
в различных типических частях генеральной совокупности. Например,
при определении рейтинга кандидатов в президенты на выборах страну
делят на округа и в каждом округе определяется рейтинг кандидатов в пре-
зиденты.
Наконец, серийная (гнездовая или кластерная) выборка образуется
следующим образом. Генеральная совокупность делится на неперекры-
вающиеся группы. После этого случайным образом отбираются некоторые
группы. Полученная выборка будет серийной.
На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором
сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают гене-
ральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым слу-
чайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии
простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.
Разумеется, если бы мы могли провести сплошное обследование всех
элементов генеральной совокупности, то не нужно было бы применять ни-
какие статистические методы, и саму математическую статистику можно
было бы отнести к чисто теоретическим наукам. Однако такой полный
контроль невозможен по следующим причинам. Во-первых, часто испыта-
ние сопровождается разрушением испытуемого объекта; в этом случае мы
имеем выборку без повторения. Во-вторых, обычно необходимо исследо-
вать весьма большое количество объектов, что просто невозможно физиче-
ски и т. д.
П. 3. Погрешности выборочного метода при изучении рынка
информационных ресурсов
Так как сущность выборочного метода состоит в том, что к обследо-
ванию привлекается некоторое количество единиц, специальным образом
отобранных из генеральной совокупности, то при формировании выборки
должна быть обеспечена ее представительность, которая зависит от двух
основных факторов: от объема и способа формирования выборки. Наибо-
лее важным принципом, который используется в выборочном методе, яв-

14
ляется обеспечение равной возможности всем вариантам, входящим в ге-
неральную совокупность, быть избранными, попасть в выборку.
Репрезентативность – свойство выборочной совокупности представ-
лять характеристику генеральной. Если совпадения нет, говорят об ошибке
репрезентативности – мере отклонения статистической структуры выборки
от структуры соответствующей генеральной совокупности.
Наряду с термином «ошибка репрезентативности» используется дру-
гой – «ошибка выборки». Иногда они употребляются как синонимы, а ино-
гда «ошибка выборки» используется вместо «ошибки репрезентативности»
как количественно более точное понятие.
Ошибка выборки – отклонение средних характеристик выборочной
совокупности от средних характеристик генеральной совокупности.
На практике ошибка выборки определяется путем сравнения извест-
ных характеристик генеральной совокупности с выборочными средними.
Сравнение средних генеральной и выборочной совокупностей, затем
на основе этого определение ошибки выборки и ее уменьшение называют-
ся контролированием репрезентативности. Поскольку сравнение своих и
чужих данных можно сделать по завершении исследования, такой способ
контроля называется апостериорным, т. е. осуществляемым после опыта.
Ошибка выборки обусловливается двумя факторами: методом форми-
рования выборки и размером выборки.
Ошибки выборки подразделяются на два типа – случайные и систе-
матические. Случайная ошибка – это вероятность того, что выборочная
средняя выйдет (или не выйдет) за пределы заданного интервала. К слу-
чайным ошибкам относят статистические погрешности, присущие самому
выборочному методу. Они уменьшаются при возрастании объема выбо-
рочной совокупности.
Второй тип ошибок выборки – систематические ошибки. Системати-
ческие ошибки – результат деятельности самого исследователя. Они наи-
более опасны, поскольку приводят к довольно значительным смещениям
результатов исследования. Систематические ошибки считаются более зна-
чимыми, чем случайные, еще и потому, что они не поддаются контролю и
измерению.
Они возникают, когда: выборка не соответствует задачам исследова-
ния; исследователь не знает характера генеральной совокупности; отбира-
ются только «выигрышные» элементы генеральной совокупности.

15
В отличие от случайных ошибок систематические ошибки при возрас-
тании объема выборки не уменьшаются.
Источником неконтролируемых перекосов в распределении выбороч-
ных наблюдений могут быть следующие факторы:
 нарушены правила проведения исследования;
 выбраны неадекватные способы формирования выборочной сово-
купности, методы сбора и расчета данных;
 произошла замена требуемых единиц наблюдения другими, более
доступными;
 осуществлен неполный охват выборочной совокупности.
Систематические ошибки легче предупредить (по сравнению со слу-
чайными), но их очень трудно устранить. Предупреждать систематические
ошибки, точно предвидя их источники, лучше всего заранее – в самом
начале исследования.
Основные способы избежать ошибки выборки:
 каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную
вероятность попасть в выборку;
 отбор желательно производить из однородных совокупностей;
 надо знать характеристики генеральной совокупности;
 при составлении выборочной совокупности надо учитывать слу-
чайные и систематические ошибки.
Если выборочная совокупность составлена правильно, то исследова-
тель получает надежные результаты, характеризующие всю генеральную
совокупность. Если она составлена неправильно, то ошибка, возникшая на
этапе составления выборки, на каждом следующем этапе проведения ис-
следования приумножается и достигает, в конечном счете, такой величи-
ны, которая перевешивает ценность проведенного исследования.
Подобные ошибки могут произойти только с выборочной совокупно-
стью. Чтобы избежать или уменьшить вероятность ошибки, самый простой
способ – увеличивать размеры выборки (в идеале до объема генеральной:
когда обе совокупности совпадут, ошибка выборки вообще исчезнет). Если
такой метод невозможен, то возникает вопрос об определении размеров
выборочной совокупности.
На практике используются разные подходы к определению объема
выборки. Самый простой называется произвольным подходом и основан
на применении «правила большого пальца». Например, бездоказательно
принимается, что для получения точных результатов выборка должна со-

16
ставлять 5 % от совокупности. Данный подход, простой и доступный в ис-
полнении, не позволяет получать точные результаты. Его достоинством
является относительная дешевизна затрат. С учетом других подходов чис-
ленность выборочной совокупности зависит от двух факторов:
1) стоимости сбора информации;
2) стремления к определенной степени статистической достоверности
результатов, которую надеется получить исследователь.
Ошибка выборки может зависеть не только от ее величины, но и
от степени различий между отдельными единицами внутри генеральной
совокупности, которую исследуют. Чем больше различия (или гетероген-
ность) внутри генеральной совокупности, тем больше величина возможной
ошибки выборки.
Таким образом, численность (объем) выборки зависит от уровня од-
нородности или разнородности изучаемых объектов. Чем более они одно-
родны, тем меньшая численность может обеспечить статистически досто-
верные выводы.
Определение объема выборки зависит также от уровня доверительно-
го интервала допустимой статистической ошибки. Здесь имеются в виду
так называемые случайные ошибки, которые связаны с природой любых
статистических погрешностей.
Тема 1.2. Упорядочение эмпирических данных
План:
1. Табличное представление эмпирических данных.
2. Графическое изображение эмпирических данных.
3. Эмпирическая функция распределения.
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 397–402.
3. Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки эксперименталь-
ных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов,

17
В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – С. 99–110 // Универси-
тетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://
www.biblioclub.ru/book/117636/
4. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. /
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
П. 1. Табличное представление эмпирических данных
Как правило, результаты эксперимента или наблюдения дискретных
случайных величин (первичные данные) сводятся в таблицу, в первой
строке которой записывается номер i эксперимента, а во второй – соответ-
ствующий признак xi, называемый вариантой случайной величины. Табли-
цы такого вида называются статистическими рядами несгруппированных
данных (рис. 1). В таблицу можно включать данные о нескольких призна-
ках (несколько видов вариант), но часто ограничиваются данными об од-
ном признаке.
i 1 2 …
xi x1 x2 …
Рисунок 1 – Статистический ряд несгруппированных данных
Статистический ряд несгруппированных данных не позволяет прово-
дить содержательный анализ. Учитывая, что нередко статистические ис-
следования охватывают совокупность численностью в десятки и сотни ты-
сяч объектов, возникает необходимость упорядочения первичных данных.
Для этого используются статистические методы ранжирования и группи-
ровки (дискретной, интервальной и комбинационной). Иногда этих приё-
мов обработки статистических данных достаточно для последующего ана-
лиза. Чаще приходится прибегать к более сложным методам, но и тогда
предварительное упорядочение является обязательной операцией.
Ранжированием называется расположение элементов совокупности
в порядке возрастания или убывания величины соответствующих им вари-
антов.
Статистический ряд, расположенный по возрастанию вариант, назы-
вается вариационным рядом.

18
Дискретной группировкой называется распределение совокупности
вариантов по группам, содержащим одинаковые варианты.
Число, показывающее сколько раз (как часто) некоторый вариант xi
встречается в совокупности, называется частотой ni (абсолютной часто-
той) данного варианта. Сумма всех частот равняется количеству элемен-
тов совокупности (объему выборки), т. е.
nni  . (1)
Относительной частотой (частостью) i некоторого варианта xi на-
зывается доля этого варианта в общем количестве данных, т. е. отношение
частоты к объему выборки:
n
ni
i  . (2)
Относительную частоту часто выражают в процентах, умножая ре-
зультат на 100.
Соответствие между вариантами и их частотами (относительными
частотами) называется статистическим распределением выборки (рис. 2).
xi x1 x2 …
ni n1 n2 …
Рисунок 2 – Статистическое распределение выборки
Одновременно с понятием частоты и относительной частоты в сгруп-
пированных совокупностях применяются понятия накопленной частоты и
относительной частоты.
Накопленной частотой нак
in некоторого варианта xi называется коли-
чество элементов ранжированной в порядке возрастания совокупности,
имеющих значение признака меньшее или равное данному:
i
нак
i nnnn  ...21 . (3)
Накопленной относительной частотой нак
i некоторого варианта xi
называется отношение накопленной частоты этого варианта нак
in к объему
выборки:
n
nнак
iнак
i  . (4)

19
В тех случаях, когда число различных вариантов в совокупности ве-
лико или вариация является непрерывной, при обработке статистических
данных используется интервальная группировка.
Интервальной группировкой называется распределение совокупности
вариантов на группы вариантов, находящихся в определённых границах.
Статистическая таблица, получаемая в результате интервальной груп-
пировки, называется интервальным вариационным рядом (рис. 3).
xi – xi+1 x1 - x2 x2- x3 …
ni n1 n2 …
Рисунок 3 – Интервальный вариационный ряд
Максимальное значение варианта для конкретного интервала называ-
ется верхней границей xi(max), а минимальное – нижней границей интервала
xi(min). Величина интервала – разность между верхней и нижней границами
интервала:
(min)(max) iii xxh  . (5)
Понятия частоты, относительной частоты, накопленной частоты и на-
копленной относительной частоты интервального вариационного ряда
аналогичны соответствующим понятиям дискретного вариационного ряда,
но относятся не к отдельному признаку, а ко всему интервалу.
Ещё одним способом группировки совокупности является комбинаци-
онная группировка.
Комбинационной группировкой называется распределение совокупно-
сти на группы по сочетанию (комбинации) нескольких признаков.
П. 2. Графическое изображение эмпирических данных
Для наглядности рассмотрения статистических данных вариационные
ряды изображают графически. Наиболее широко используются следующие
виды графического изображения вариационных рядов в прямоугольной
системе координат: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.
Эти графики дают возможность представить характер варьирования
значений признака, выявить состав изучаемой совокупности, её структуру
и структурные сдвиги. При нанесении на единую координатную сетку, не-
скольких вариационных рядов возможно их сравнение.

20
Полигоном (многоугольником) распределения называется графическое
изображение вариационного ряда в прямоугольной системе координат,
при котором величины признака (варианты) xi откладываются на оси абс-
цисс, а величина частоты (или относительные частоты) – на оси ординат.
Таким образом, полигон частот представляет собой ломаную, отрез-
ки которой соединяют точки M1(x1, n1), M2(x2, n2), …, Mk(xk, nk) (рис. 4).
Полигон относительных частот есть ломаная, отрезки которой соединя-
ют точки M1(x1, ω1), M2(x2, ω 2), …, Mk(xk, ω k). Крайние точки М1 и М2,
если они не лежат на оси абсцисс, обычно также соединяют со смежными
точками M0(x0, 0), Mk+1(xk+1, 0).
Рисунок 4 – Построение полигона частот
Гистограммой вариационного ряда называется графическое изобра-
жение вариационного ряда в виде прямоугольников, основания которых –
отрезки оси абсцисс, соответствующие интервалам изменения признака,
а высоты пропорциональны плотностям частот (или относительных час-
тот) интервалов.
В случае непрерывных интервалов гистограмма частот строится сле-
дующим образом (рис. 5): на оси абсцисс наносится шкала для интервалов,
на оси ординат – для плотностей частот интервалов
i
i
h
n
. Из всех точек
на оси абсцисс восстанавливаются перпендикуляры, на которых последо-
вательно, начиная с первого, откладываются значения плотности частот
интервалов.
ni
x2
xi
x1 x3 x4
. . . xk xk+1
n1
n2
n3
n4
. . .

21
Кумулятивная кривая (или кумулята) – линия, изображающая распре-
деление накопленных частот (или относительных частот).
При построении кумулятивной кривой дискретного вариационного
ряда на ось абсцисс наносят значения варианты, ординатами служат нарас-
тающие итоги частот, т. е. накопленные частоты (или относительные час-
тоты). Ломаная линия, соединяющая вершины ординат, образует кумуля-
тивную кривую (рис. 6). При интервальной группировке ординаты
откладываются на перпендикулярах к точкам, изображающим верхние
границы (или середины) интервалов
Рисунок 6 – Построение кумулятивной кривой частот
Рисунок 5 – Построение гистограммы частот
xi
n1/h1
xk(min) x1(min) x2(min) xi(min) xk(max)
ni/hi
n2/h2
nk/hk
ni/hi
ni
нак
xi
x2x1 x3
. . . xk
n1
нак
n2
на
n3
на
. . .
nk
нак

22
П. 3. Эмпирическая функция распределения
Пусть известно распределение частот количественного признака (слу-
чайной величины) X.
Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения
выборки) называется функция )(*
xF , определяющая для каждого значения
x относительную частоту события X < x:
n
n
xF x
)(*
, (5)
где nx – число вариант, меньших x; n – объем выборки.
Эмпирическая функция )(*
xF обладает следующими свойствами:
1) значения функции )(*
xF принадлежат интервалу [0,1];
2) )(*
xF – неубывающая функция;
3) если а – наименьшая, а b – наибольшая варианта, то 0)(*
xF
при ax  и 1)(*
xF при bx  .
График эмпирической функции )(*
xF представляет собой ломаную
линию. В промежутках между соседними членами вариационного ря-
да )(*
xF сохраняет постоянное значение. При переходе через точки
оси Оx, равные членам выборки, )(*
xF претерпевает разрыв, скачком воз-
растая на величину 1/n, а при совпадении l наблюдений – на l / n.
Тема 1.3. Меры центральной тенденции
План:
1. Структурные меры центральной тенденции.
2. Суммарные меры центральной тенденции.
3. Выбор и использование мер центральной тенденции при анализе доку-
ментальных и читательских потоков.

23
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.
3. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. /
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
П. 1. Структурные меры центральной тенденции
К структурным мерам центральной тенденции относятся: мода и ме-
диана.
Медианой Ме называется вариант, стоящий в центре ранжированного
ряда, так что число вариант совокупности с большим и меньшим, чем ме-
диана, значением признака одинаково.
Пусть имеется дискретный вариационный ряд. Если всем вариантам
ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечётным
числом членов n определится как
2
1n
. Если же вариантов чётное число,
то медиану приходится определить как среднюю из двух центральных
вариантов, порядковые номера которых
2
n
и 1
2

n
.
Если объем выборки достаточно большой и различия между вариантами
небольшие, то можно считать медианой (с достаточной степенью точно-
сти) одну из центральных вариант с порядковым номером
2
n
.
Для интервального распределения сначала находят медианный интер-
вал 1 ll xx ( 1,1  nl ). Номер его будет соответствовать интервалу, куму-
лятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:



1
11 2
l
i
i
l
i
i n
n
n . (1)
В случае выполнения равенства, стоящего в левой части формулы
(11), номер медианного интервала равен l, в противном случае – l+1.
Медиану вычисляют по формуле:
Me
l
i
i
le
n
n
n
hxM




1
12 , (2)

24
где l – порядковый номер интервала, где находится медиана, h – величина
медианного интервала, 


1
1
l
i
in – накопленная частота домедианного интерва-
ла, Men – частота медианного интервала.
Модой Мо называется наиболее часто встречающаяся в совокупности
величина варианты.
Для дискретного ряда мода определяется как значение признака
с наибольшей частотой. В случае непрерывной вариации определяют
модальный интервал 1 ll xx , т. е. интервал, которому соответствует
наибольшая частота Men . Мода вычисляется по формуле:
)()( 11
1





llll
ll
lo
nnnn
nn
hxM , (3)
где nl-1 и nl+1 – частоты, которые находят в соответствии с предмодальным
и послемодальным интервалами.
П. 2. Суммарные меры центральной тенденции
Среди суммарных мер центральной тенденции выделяют: среднюю
арифметическую, среднюю гармоническую и среднюю геометрическую.
Пусть x1, x2, …, xn – выборка из генеральной совокупности объёма n.
Выборочной средней (или средним значением выборки) называется
среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны,
то




n
i
i
n
x
nn
xxx
x
1
21 1...
. (4)
Если все значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно часто-
ты n1, n2, …, nk , причем n1 + n2 + …+ nk = n, то
i
k
i
i
kk
nx
nn
nxnxnx
x 


1
2211 1...
. (5)
Если дано распределение непрерывной случайной величины, то вме-
сто xi берут середину интервала, т. е.
2
1 ii xx
.

25
При описании рядов, в которых изучаемое свойство находится в об-
ратно пропорциональной зависимости от значений влияющего на него
фактора, используется средняя гармоническая.
Средней гармонической выборки называется величина, обратная сред-
ней арифметической из обратных значений вариантов:







n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
гарм
x
n
n
x
n
x
11
1
11
. (6)
В некоторых исследованиях требуется определить среднюю величину
так, чтобы при замене ею каждого варианта, произведение вариантов оста-
валось бы неизменным. Для этих целей используется средняя геометриче-
ская.
Средней геометрической называется корень степени, равный числу
вариантов, из их произведения:
n
nгеом xxxx  ...21 . (7)
Средняя геометрическая применяется для характеристики средних
темпов изменения какого-либо явления за определённый период.
П. 3. Выбор и использование мер центральной тенденции
при анализе документальных и читательских потоков
При выборе и использовании мер центральной тенденции при анализе
документальных и читательских потоков следует учитывать особенности
исследуемой выборочной совокупности. В частности:
 в малых группах мода может быть нестабильной;
 на медиану не влияют величины «больших» и «малых» значений;
 на величину выборочной средней влияет каждое значение. Если од-
но какое-нибудь значение меняется на с единиц, x изменится в том
же направлении на с/п единиц;
 выборки, имеющие более чем одну моду, не имеют центральной
тенденции;
 центральная тенденция для выборок, содержащих крайние значе-
ния, наилучшим образом измеряется медианой, когда гистограмма

26
унимодальна; в этом случае крайнее значение может сместить
среднее группы гораздо дальше того места, которое стоит рассмат-
ривать как центральную область;
 в унимодальных выборках, которые симметричны (т. е. половина
гистограммы, расположенная ниже моды, есть зеркальное отраже-
ние другой половины), среднее, медиана и мода совпадают.
Во многих случаях данные, с которыми работает исследователь,
не являются нормально или даже симметрично распределенными, а коли-
чество имеющихся значений ограничено. В таких условиях выборочное
среднее не может рассматриваться в качестве надежной меры центральной
тенденции в силу отсутствия устойчивости к смещенности распределения
и наличию выбросов.
Для анализа локализации распределения эмпирических данных реко-
мендуется использовать подход, основанный на предварительном усече-
нии тех значений, которые расположены в хвостах распределений, и по-
следующем усреднении оставшихся значений. Существует множество
алгоритмов идентификации значений, подлежащих удалению. В простей-
шем случае устойчивая мера центральной тенденции может быть получена
уже путем простого усечения фиксированного одинакового процента значе-
ний из каждого хвоста распределения данных. Вопрос о количестве значе-
ний, подлежащих усечению, должен решаться с учетом особенностей кон-
кретного исследования, но в большинстве случаев усечение порядка 20 %
данных из каждого хвоста распределения можно считать оптимальным.
В качестве альтернативы усечению данных может рассматриваться
подход, основанный на взвешивании. В рамках этого подхода в расчете
меры центральной тенденции участвуют все полученные значения, однако
их относительный вес зависит от их удаленности от основного массива
данных. Из двух взвешенных оценок центральной тенденции, предложен-
ных в данной работе, по крайней мере, одна оценка оказывается предпоч-
тительной по сравнению с большинством других мер и вполне сопостави-
мой с 20 % усеченным средним. При этом преимущество подхода,
основанного на взвешивании, состоит в отсутствии необходимости удале-
ния части имеющихся значений, что особенно актуально для реальных эм-
пирических данных, когда практически невозможно с уверенностью отне-
сти то или иное значение к категории выбросов.

27
Тема 1.4. Показатели вариации
План:
1. Показатели, характеризующие количественную вариацию признака.
2. Основные свойства показателей вариации.
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.
3. Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки эксперименталь-
ных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов,
В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – С. 110–123 // Универси-
тетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/117636/
П.1. Показатели, характеризующие количественную вариацию
признака
Среди показателей, характеризующих количественную вариацию при-
знака, выделяют: размах вариации, среднее линейное отклонение, выбо-
рочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, ко-
эффициент асимметрии, эксцесс, коэффициент вариации.
Простейшей мерой рассеяния случайной величины является размах
выборки.
Размах вариации выборки R – это разность между наибольшим и наи-
меньшим значениями выборки:
minmax xxR  . (1)
Отклонение каждого варианта от выборочного среднего x характе-
ризуется абсолютной величиной разности xxi  , а весь ряд отклонений
характеризует вариацию признака в совокупности.

28
Средним линейным отклонением называется средняя арифметическая
абсолютных величин отклонений вариантов от их выборочной средней:
n
xx
d
n
i
i 
 1
. (2)
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадра-
тов отклонения наблюдаемых значений выборки от их среднего значения
x .
Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны,
то
  

n
i
iB xx
n
D
1
21
. (3)
Если все значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно часто-
ты n1, n2, …, nk , причем n1 + n2 + …+ nk = n, то
  

n
i
iiB xxn
n
D
1
21
. (4)
Для вычисления выборочной дисперсии также можно пользоваться
формулой:
22
xxDB  . (5)
Выборочная дисперсия имеет систематическую ошибку, приводящую
к уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить, вводят поправку, умножая
DB на
1n
n
. В результате получают исправленную (или модифицирован-
ную) дисперсию:
  



n
i
iB xx
n
D
1
2
1
1
. (6)
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака
выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются
сводной характеристикой – средним квадратичным отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)
называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
BB D . (7)

29
Для сравнения меры рассеяния значений признаков около выборочной
средней в разных выборках служит коэффициент вариации.
Коэффициентом вариации v называется отношение выборочного
среднего квадратичного отклонения к выборочной средней, выраженное
в процентах:
%100
x
v B
. (8)
Критериальным значением коэффициента вариации v служит 33,3 %,
то есть если v меньше или равен 33,3 % – вариация считает слабой, а если
больше 33,3 % – сильной. В случае сильной вариации изучаемая статисти-
ческая совокупность считается неоднородной.
Совместно с коэффициентом вариации v используют коэффициент
равномерности:
Кравномерности = 100 – v. (9)
Чем больше коэффициент равномерности Кравномерности , тем равномер-
нее распределены элементы в выборке.
Мерой, описывающей форму распределения (направление скошенно-
сти, асимметричности) элементов в совокупности, является коэффициент
асимметрии.
Коэффициентом асимметрии выборки называется число, вычисляе-
мое по формуле:
  

n
i
iis xxn
n
A
1
3
3
1

. (10)
На практике асимметрия считается значительной, если коэффициент
асимметрии превышает по модулю 0,25.
Форма кривой, отображающей распределение элементов в совокупно-
сти, может иметь разную крутизну. Степень островершинности кривой
описывается с помощью коэффициента, который называется эксцессом.
Эксцессом выборки называется число, вычисляемое по формуле:
  

n
i
iik xxn
n
E
1
4
4
3
1

. (11)

30
П. 2. Основные свойства показателей вариации
Среди основных свойств показателей вариации, рассмотренных в пер-
вом пункте, можно выделить следующие:
 сумма отклонений отдельных значений xi от их среднего x равна
нулю:
0)(
1
 

n
i
i xx ;
 если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число,
то средний квадрат отклонений от этого не изменится;
 если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число
С, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в С2
раз,
а среднее квадратическое отклонение – в С раз;
 если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины С,
которая в той или иной степени отличается от выборочного средне-
го x , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений,
исчисленного от средней арифметической.
Кроме того, так как коэффициент асимметрии sA характеризует пре-
имущественное расположение варианты xi относительно среднего значе-
ния, следовательно, если sA = 0, то данные расположены симметрично
по отношению к x . Если sA < 0, то в данных преобладают значения xi < x ,
т. е. преобладают небольшие значения, в этом случае говорят, что ряд
смещен влево. Если же sA > 0, то говорят, что ряд «смещен» вправо отно-
сительно выборочного среднего, т. е. в данных преобладают бо́льшие зна-
чения.
Эксцесс kE характеризует расстояние данных относительно среднего.
Если kE < 0, то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не
уменьшается по мере удаления от выборочного среднего значения. Если
kE > 0, то данные сгруппированы возле выборочного среднего очень плот-
но.
Тема 2.1. Элементы булевой алгебры
План:
1. Понятие высказывания.
2. Булевы функции n переменных.

31
1. Игошин, В. И. Математическая логика и теории алгоритмов [Текст] /
В. И. Игошин. – 4-е изд., стер. – Москва: Издат. центр «Академия»,
2010. – С. 15–45.
2. Лихтарников, Л. М. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-
практикум и решения [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Лихтарников,
Т. Г. Сукачева. – Санкт-Петербург: Лань, 2009. – С. 11–28.
П. 1. Понятие высказывания
Высказывание – это всякое повествовательное предложение, о кото-
ром можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места
и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина»
(обозначается буквой И или цифрой 1) и «ложь» (обозначается буквой
Л или цифрой 0).
Среди основных логических операций над высказываниями выделя-
ют: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию.
Отрицанием (инверсией) высказывания x называется новое высказы-
вание, которое является истинным, если высказывание x ложно, и ложным,
если высказывание x истинно. Обозначается символом x (или Ίx), читается
«не x». Таблица истинности для x имеет вид:
x x
1 0
0 1
Конъюнкцией (логическим произведением) двух высказываний x и y
называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба
высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
Обозначается символом yx  (или yx & ), читается « x и y».
Дизъюнкцией (логической суммой) двух высказываний x и y называет-
ся новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно
из высказываний x, y истинно, и ложным, если они оба ложны. Обознача-
ется символом yx  , читается «x или y».

32
Импликацией (логическим следованием) двух высказываний x и y на-
зывается новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно,
a y – ложно, и истинным во всех остальных случаях. Обозначается сим-
волом yx  (или yx  ), читается «если x, то y » или «из x следует y».
Эквиваленцией (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказы-
ваний x и y называется новое высказывание, которое считается истинным,
когда оба высказывания x, y либо одновременно истинны, либо одновре-
менно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Обозначается сим-
волом yx  (или x ~ y), читается «для того, чтобы x, необходимо и доста-
точно, чтобы y» или «x тогда и только тогда, когда y».
Таблица истинности для этих логических операций такова:
x y yx  yx  yx  yx 
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется
элементарным (или простым).
Высказывание, которое может быть получено из элементарных выска-
зываний посредством применения логических операций отрицания, конъ-
юнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется сложным
(или составным).
Логическое значение формулы полностью определяется логическими
значениями входящих в нее элементарных высказываний. Все возможные
логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее
элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью
таблицы истинности. Если формула содержит n элементарных высказыва-
ний, то таблица истинности содержит 2n
строк.
Две формулы булевой алгебры A и B называются равносильными
( BA  ), если они принимают одинаковые логические значения на любом
наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.
Формула A называется тождественно истинной (или тавтологией),
если она принимает значение «истина» при всех значениях входящих в нее
переменных.

33
Формула A называется тождественно ложной, если она принимает
значение «ложь» при всех значениях входящих в нее переменных.
Важнейшие равносильности булевой алгебры можно разбить на три
группы.
1. Основные равносильности:
xxx
xxx


.2.1
.1.1 – законы идемпотентности.
1.3. xx 1
1.4. 11x
1.5. 00 x
1.6. xx  0
1.7. 1 xx – закон противоречия.
1.8. 1 xx – закон исключенного третьего.
1.9. xx  – закон снятия двойного отрицания.
 
  xxyx
xxyx


.11.1
.10.1 – законы поглощения.
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через
другие:
2.1    xyyxyx 
2.2. yxyx 
2.3. yxyx 
2.4. yxyx 
2.5. yxyx 
2.6. yxyx 
3. Равносильности, выражающие основные законы булевой алгебры:
3.1. xyyx  – коммутативность конъюнкции.
3.2. xyyx  – коммутативность дизъюнкции.
3.3.     zyxzyx  – ассоциативность конъюнкции.
3.4.     zyxzyx  – ассоциативность дизъюнкции.
3.5.      zxyxzyx  – дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции.
3.6.      zxyxzyx  – дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции.

341.математические методы исследования учебно методический комплекс

341.математические методы исследования учебно методический комплекс

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 341.математические методы исследования учебно методический комплекс

Similar to 341.математические методы исследования учебно методический комплекс (20)

More from ivanov15666688

More from ivanov15666688 (20)

341.математические методы исследования учебно методический комплекс