Using graphical methods

1. BBaassiicc SSkkiillllss--LLeessssoonn 44
Mathematical & Graphical Skills
CCuurrvvee SSttrraaiigghhtteenniinngg
MMeetthhoodd ooff MMuullttiipplliieerrss
{{FFiinnddiinngg tthhee pprrooppoorrttiioonnaalliittyy}}
NNeellssoonn RReeffeerreennccee:: 669977--669999

2.  By plotting eexxppeerriimmeennttaall
ddaattaa,, wwee ccaann oofftteenn ddeetteerrmmiinnee
tthhee rreellaattiioonnsshhiipp bbeettwweeeenn ttwwoo
vvaarriiaabblleess
 HHeerree,, wwee sseeee tthhaatt tthheerree iiss aa
lliinneeaarr rreellaattiioonnsshhiipp V = kI
((wwhheerree kk iiss tthhee ccoonnssttaanntt))..
SSiinnccee tthhee voltage intercept is
“0” wwee ccaann aallssoo ssaayy V µ I
 OOfftteenn,, wwee ffiirrsstt ddeetteerrmmiinnee tthhee
pprrooppoorrttiioonnaalliittyy,, tthheenn wwee
ddeetteerrmmiinnee tthhee vvaalluuee ooff tthhee
ccoonnssttaanntt ((kk))..
 IIff wwee rreemmeemmbbeerr OOhhmm’’ss LLaaww,,
oorr VV==IIRR,, wwee wwoouulldd sseeee tthhaatt
tthhee ccoonnssttaanntt iiss aaccttuuaallllyy tthhee
________________
Voltage (V)
V v s I
C u r r e n t ( I)

3.  If we just llooookk aatt tthhee ddaattaa,,
iitt wwoouulldd bbee ddiiffffiiccuulltt ttoo sseeee
tthhee ttyyppee ooff rreellaattiioonnsshhiipp
bbeettwweeeenn ““dd”” && ““tt””.. TThhee
ddaattaa ddooeess iinnddiiccaattee tthhaatt aa
pprrooppoorrttiioonnaalliittyy mmaayy eexxiisstt
bbeeccaauussee ooff ______________________
 HHoowweevveerr,, iiff wwee ggrraapphh tthhee
ddaattaa,, iitt iiss ppoossssiibbllee ttoo sseeee
tthhaatt ssoommee ssoorrtt ooff ppoowweerr
rreellaattiioonnsshhiipp eexxiissttss..
 WWiitthhoouutt ggrraapphhiinngg,, wwee
ccoouulldd uussee tthhee method of
multipliers ttoo ddeetteerrmmiinnee
pprrooppoorrttiioonnaalliittiieess tthhaatt aarree
ffaaiirrllyy ssiimmppllee..
TTiimmee ((ss)) DDiissttaannccee((mm))
00 00
11 55
22 2200
33 4455
Distance (m)
d v s t
1 2 3
T i m e ( s )
4 5
2 0
5

4.  BByy cchhoooossiinngg tthhee ddaattaa ppooiinntt
((11,,55)),, wwee ccaann ddeetteerrmmiinnee
wwhhaatt nnuummbbeerrss wwee mmuusstt
mmuullttiippllyy 11 bbyy ttoo ggeett eeaacchh ooff
tthhee nneexxtt ““tt”” vvaalluueess.. WWee ddoo
tthhee ssaammee ffoorr tthhee ““dd”” vvaalluueess
ssttaarrttiinngg wwiitthh 55..
 NNooww wwee ddeetteerrmmiinnee wwhhaatt
ccoouulldd wwee ddoo ttoo ““tt”” oorr ““dd”” ttoo
mmaakkee tthhee mmuullttiipplliieerrss eeqquuaall ––
fill in rest of chart
 WWhheenn tthhee mmuullttiipplliieerrss aarree
eeqquuaall,, wwee nnooww kknnooww tthhee
pprrooppoorrttiioonnaalliittyy..
 TThhee pprrooppoorrttiioonnaalliittyy iiss::
__________________________
 TThhee eeqquuaalliittyy iiss::________________
 TThhee pprrooppoorrttiioonnaalliittyy ccoonnssttaanntt
iiss::______________________
““tt””
mmuullttii
pplliieerr
tt
((ss))
d
(m)
“d”
multi
plier
00 0
11 5
11 xx22 22 20 5 xx44
11 xx33 33 45 5 xx99

5. Creating a Straight Line Graph
(From a Proportionality)
BByy uussiinngg tthhee iinnffoorrmmaattiioonn
ffoorr tthhee pprrooppoorrttiioonnaalliittyy,,
wwee ccaann nnooww ccrreeaattee aa
ssttrraaiigghhtt lliinnee ggrraapphh..
TThhiiss aalllloowwss uuss ttoo vveerryy
eeaassiillyy iinntteerrppoollaattee oorr
eexxttrraappoollaattee vvaalluueess..
Distance (m)
d v s t 2
1 4 9
T i m e 2 ( s 2 )
4 5
2 0
5

6. y
O t h e r T y p e s o f P r o p o r t i o n a l i t i e s
y v s x
x
y
y v s x y v s x
x
y
x
P o w e r
y = k x n
n > 1
R o o t
y = k x ( 1 / n )
n > 1
I n v e r s e
y = k / x ( n )
n > 1 , o r n = 1
For the inverse, there wwiillll nneevveerr bbee aa ((00,,00)) ddaattaa
ppooiinntt iinnddiiccaattiinngg tthhaatt aa pprrooppoorrttiioonnaalliittyy mmaayy eexxiisstt..
TThhee qquueessttiioonn wwiillll hhaavvee ttoo tteellll yyoouu tthhaatt tthhee
pprrooppoorrttiioonnaalliittyy eexxiissttss bbeeffoorree yyoouu ttrryy ttoo ddeetteerrmmiinnee
tthhee pprrooppoorrttiioonnaalliittyy..

7. Creating Linear Graphs
from Non-Linear Graphs
 To do this, we must rreemmeemmbbeerr tthhee bbaassiicc ffoorrmm oorr
aa lliinneeaarr eeqquuaattiioonn::________________________
AAllll mmaanniippuullaatteedd eeqquuaattiioonnss wwiillll bbee ppuutt iinnttoo tthhiiss
ffoorrmm..
 Example 1: DDeetteerrmmiinnee hhooww ((11//yy)) == kk ((xx+aa)) ½ ccaann
bbee mmaanniippuullaatteedd ttoo pprroodduuccee aa lliinneeaarr eeqquuaattiioonn aanndd
lliinneeaarr ggrraapphh.. NNoottee:: ””k”” aanndd ““a”” aarree nnuummeerriiccaall
ccoonnssttaannttss.. {{ EExxaammppllee ddoonnee oonn bbooaarrdd}}

8. Example 2: EExxppeerriimmeennttaall ddaattaa
hhaass bbeeeenn ffoouunndd ttoo oobbeeyy tthhee
rreellaattiioonn y = k(x-b)1/2 wwhheerree kk
aanndd bb aarree ccoonnssttaannttss..
 UUssiinngg tthhee ttaabbllee ooff
eexxppeerriimmeennttaall ddaattaa,, ccrreeaattee aa
lliinneeaarr pplloott aanndd ddeetteerrmmiinnee
tthhee vvaalluueess ooff tthhee ccoonnssttaannttss
k aanndd b.
 On the board,, ddeetteerrmmiinnee
hhooww tthhee eeqquuaattiioonn ccaann bbee
mmaanniippuullaatteedd.. YYoouu mmaayy
iinnttrroodduuccee aannyy nneeww vvaarriiaabblleess
tthhaatt aarree rreeqquuiirreedd ttoo ddoo tthhiiss..
xx yy
33 --11
66 --22
1111 --33

9. Our lliinneeaarr eeqquuaattiioonn iiss::
y2 = k2x-k2b,, wwhheerree k2 iiss
tthhee ssllooppee,, aanndd -k2b iiss
tthhee yy22 iinntteerrcceepptt..
SSoo k2 = (4-1)/(6-3) = 1
aanndd k = ± 1
BBuutt -k2b = -2, ssoo b = 2
AAnndd b iiss tthhee ________________))
HHooww ddoo wwee ffiinndd tthhee ccoorrrreecctt
vvaalluuee ooff k?
GGoo bbaacckk ttoo tthhee oorriiggiinnaall
eeqquuaattiioonn ttoo ffiinndd k = ________
..
y 2 v s x
1 0
8
4 6
2
- 2 2 4 6 8 1 0
x
y 2

10. Practice Questions ( a lot!)
 WWoorrkkbbooookk ppaaggee ##88aa –– ttrryy aallll
qquueessttiioonnss
 UUssiinngg tthhee ddaattaa ffoouunndd iinn tthhee
ttaabbllee,, ddeetteerrmmiinnee tthhee vvaalluueess ooff
tthhee ccoonnssttaannttss kk aanndd a bbyy
ccrreeaattiinngg aa ssttrraaiigghhtt lliinnee ggrraapphh..
GGiivveenn tthhaatt tthhee rreellaattiioonnsshhiipp
bbeettwweeeenn xx && yy iiss::
 (1/y) = kx2 + a
 Ans: k = -2, a = +3
xx yy
11 ++11
22 --11//55
33 --11//1155