Documento de la regla de l'Hospital con una introducción histórica y teórica con el conocimiento de los "infinitesimales" y las primeras ideas del cálculo, en este caso infinitesimal; y la exposición teórica de la regla de l'Hospital en la actualidad y sus implicaciones en el cálculo diferencial.

1. 1
La Regla de L’Hospital
I. INTRODUCCIÓN
La regla de l’Hospital fue publicada por primera vez en
1906, en el libro del marqués de l’Hospital (Guillaume
François l’Hospital), Analyse des infiniment petits pour
l’intelligence des lignes courbes (Análisis de cantidades
infinitamente pequeñas para la comprensión de curvas),
“pero la regla fue descubierta en 1694 por el matemático
suizo Johann Bernoulli” [1, ch. 4, p. 319]. Por eso en una
carta del 17 de marzo de 1964 l’Hospital escribe:
I will be happy to give you a retainer of 300 pounds, beginning with
the first of January of this year ... I promise shortly to increase this
retainer, which I know is very modest, as soon as my affairs are
somewhat straightened out ... I am not so unreasonable as to demand
in return all of your time, but I will ask you to give me at intervals
some hours of your time to work on what I request and also to
communicate to me your discoveries, at the same time asking you not
to disclose any of them to others. I ask you even not to send here to
Mr. Varignon or to others any copies of the writings you have left with
me; if they are published, I will not be at all pleased. Answer me
regarding all this ... [2].
Posteriormente, Bernoulli se mostró descontento con la
publicación de libro ya antes mencionado, el cual contenía
pequeños reconocimientos a él, y aun así este permaneció
callado.
Fig. 1 Libro de L’Hospital, Analyse des infiniment petits pour
l’intelligence des lignes courbes
Desde que l’Hospital murió en 1704, Bernoulli publicó
sus conferencias y desarrollo sobre el cálculo integral. Aun
así, la obra de l’Hospital fue un libro muy exitoso,
independiente de su autoría, y ayudó en la popularización de
las ideas del cálculo diferencial de Leibniz [3].
II. DIFERENCIAL Y EL ENUNCIADO DE L’HOSPITAL DE SU
REGLA
L’Hospital en su obra define cantidades variables como
aquellas que aumentan o disminuyen continuamente y
posteriormente nos da su definición de diferencial: “La parte
infinitamente pequeña por la cual una cantidad variable
aumenta o disminuye continuamente se llama diferencial de
esa cantidad”. A su vez, lo presenta mediante dos postulados
[4]:
1. Considere que dos cantidades, cuya diferencia es una
cantidad infinitamente pequeña, puedan tomarse (o
usarse) indistintamente entre sí; o (que es lo mismo)
que una cantidad que aumenta o disminuye solo en
una cantidad infinitamente pequeña puede
considerarse como que permanece igual.
Por ejemplo en la siguiente gráfica, supongamos que
𝑝 − 𝑃 → 0.
Fig. 2 Curva en la que el espacio entre 𝑝 y 𝑃 es infinitamente
pequeño [5]
Entonces, podemos considerar que 𝐴𝑝 puede tomarse por
𝐴𝑃; 𝑝𝑚 por 𝑃𝑀; el área 𝐴𝑝𝑚 por 𝐴𝑃𝑀; el área 𝑀𝑃𝑝𝑚 por
el rectángulo 𝑀𝑃𝑝𝑅; el sector pequeño 𝐴𝑀𝑆 por el triángulo
pequeño 𝐴𝑀𝑚; el ángulo 𝑝𝐴𝑚 por el ángulo 𝑃𝐴𝑀; etc. [5].
2. Considere que una curva puede graficarse como el
ensamblaje de un número infinito de líneas rectas
infinitamente pequeñas; o (que es lo mismo) como un
polígono de un número infinito de lados, cada uno
infinitamente pequeño, que determinan la curvatura
de la curva mediante los ángulos que forman entre sí.
A. Regla de L’Hospital (Proposición Inicial)
Sea 𝐴𝑀𝐷 una curva (𝐴𝑃 = 𝑥, 𝑃𝑀 = 𝑦, 𝐴𝐵 = 𝑎) tal que
el valor de la ordenada 𝑦 se expresa mediante una fracción,
del cual el numerador y denominador se vuelven 0 cuando
𝑥 = 𝑎, es decir, cuando el punto 𝑃 corresponde al punto 𝐵
dado. Se requiere encontrar cual será entonces el valor de la
ordenada 𝐵𝐷.
Fig. 3 El diagrama de l’Hospital que ilustra su regla. Nótese que la
función 𝑔 es dibujada debajo del eje 𝑥, pero la función del cociente,
representada por la curva 𝐴𝑀𝐷, está por encima del eje 𝑥. Piense en
todos los valores de las funciones involucradas como
representaciones de cantidades positivas [4]

2. 2
Sean 𝐴𝑁𝐵, 𝐶𝑂𝐵, dos curvas (teniendo la línea 𝐴𝐵 como
eje común) de tal naturaleza, que la ordenada 𝑃𝑁 expresa el
numerador y la ordenada 𝑃𝑂 el denominador de la fracción
general que representa cualquier ordenada 𝑃𝑀: de modo que
𝑃𝑀 =
𝐴𝐵 × 𝑃𝑁
𝑃𝑂
.
Entonces se nota que estas dos curvas se encontrarán en el
punto 𝐵; ya que por la suposición, 𝑃𝑁, 𝑃𝑂 cada uno se
convierte en 0 cuando el punto 𝑃 cae en 𝐵. Suponiendo esto,
si una ordenada 𝑏𝑑 se imagina infinitamente cerca de 𝐵𝐷,
cortando las curvas 𝐴𝑁𝐵, 𝐶𝑂𝐵, en los puntos 𝑓, 𝑔; entonces
será
𝑏𝑑 =
𝐴𝐵 × 𝑏𝑓
𝑏𝑔
,
que será igual a 𝐵𝐷. Ahora nuestro objetivo es solo encontrar
la relación de 𝑏𝑔 con 𝑏𝑓. Para ello, vemos que cuando la
abscisa 𝐴𝑃 se convierte en 𝐴𝐵, las ordenadas 𝑃𝑁, 𝑃𝑂 serán
0, y cuando 𝐴𝑃 se convierte en 𝐴𝑏, se vuelven 𝑏𝑓, 𝑏𝑔. De
donde se sigue que dichas ordenadas 𝑏𝑓, 𝑏𝑔, en sí mismas,
son las diferenciales de las ordenadas en 𝐵 y 𝑏, con respecto
a las curvas 𝐴𝑁𝐵, 𝐶𝑂𝐵; y en consecuencia, si se encuentra el
diferencial del numerador, y que se divide por el diferencial
del denominador, después de haber hecho 𝑥 = 𝑎 = 𝐴𝑏 o 𝐴𝐵,
tendremos el valor de las ordenadas 𝑏𝑑 o 𝐵𝐷 buscadas. Las
cuales iban a ser encontradas [5].
Una segunda forma de entender la regla de l’Hospital es,
primeramente suponiendo que 𝑦 = 𝑝 𝑞
⁄ . Entonces notemos
que para una abscisa 𝑏 infinitamente cerca de 𝐵, el valor de
la ordenada 𝑦 será dado por
𝑦 + 𝑑𝑦 =
𝑝 + 𝑑𝑝
𝑞 + 𝑑𝑞
.
Pero dado que esta ordenada esta infinitamente cerca de
𝑦, y dado que en 𝐵 tanto 𝑝 como 𝑞 son 0, l’Hospital notó que
𝑦 = 𝑑𝑝 𝑑𝑞
⁄ , dicho de otro modo, si encontramos el
diferencial del numerador, que es dividido por el diferencial
del denominador; y después de haber hecho 𝑥 = 𝑎,
tendremos el valor de la ordenada que buscamos.
B. Ejemplo:
𝑦 =
√2𝑎3𝑥 − 𝑥4 − 𝑎√𝑎2𝑥
3
𝑎 − √𝑎𝑥3
4
Tenemos que cuando 𝑥 = 𝑎, el numerador y denominador
se vuelven 0. Por lo tanto, calculamos el diferencial del
numerador (recordemos que 𝑑𝑦 = 𝑦′
𝑑𝑥)
𝑎3
𝑑𝑥 − 2𝑥3
𝑑𝑥
√2𝑎3𝑥 − 𝑥4
−
𝑎√𝑎2
3
𝑑𝑥
3√𝑥2
3
y lo dividimos por el diferencial del denominador,
−
3√𝑦
4
𝑑𝑥
4√𝑥
4 .
Evaluando en 𝑥 = 𝑎, tenemos
−
4
3
𝑎 𝑑𝑥
−
3
4
𝑑𝑥
=
16
9
𝑎 = 𝐵𝐷.
III. REGLA DE L’HOSPITAL
Supongamos que 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables y que
𝑔′(𝑥) ≠ 0 en un intervalo abierto 𝐼 que contiene 𝑎 (excepto
posiblemente en 𝑎). Supongamos que
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0
o que
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ±∞
(Que tenga una forma indeterminada del tipo
0
0
o ∞ ∞
⁄ ).
Entonces
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
si el límite en el lado derecho existe (o es ∞ o −∞).
Nótese que:
1. La regla de l’Hospital también es válida para los
límites laterales y los límites en el infinito o en infinito
negativo; en otras palabras, que 𝑥 → 𝑎, entonces se
puede reemplazar 𝑥 → 𝑎+
, 𝑥 → 𝑎−
, 𝑥 → ∞ o 𝑥 →
−∞.
2. Para el caso en el que 𝑓(𝑎) = 𝑔(𝑎) = 0, 𝑓′ y 𝑔′ son
continuas y 𝑔′(𝑎) ≠ 0, es fácil ver que se cumple la
regla de l’Hospital, en efecto tenemos
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
=
𝑓′(𝑎)
𝑔′(𝑎)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
.
EJEMPLO. Encuentre lim
𝑥→0
tan 𝑥−𝑥
𝑥3 .
Fig. 5 Gráfica del EJEMPLO
Al observar que tanto tan 𝑥 − 𝑥 → 0 como 𝑥3
→ 0
cuando 𝑥 → 0, aplicamos la regla de l’Hospital:
lim
𝑥→0
tan 𝑥 − 𝑥
𝑥3
= lim
𝑥→0
(sec 𝑥)2
− 1
3𝑥2
.
Ya que el límite del lado derecho es aún una
indeterminación del tipo
0
0
, volvemos a aplicar la regla de
l’Hospital:
lim
𝑥→0
(sec 𝑥)2
− 1
3𝑥2
= lim
𝑥→0
2(sec 𝑥)2
− 1
6𝑥
.
Puesto que lim
𝑥→0
(sec 𝑥)2
= 1, simplificamos el cálculo
escribiendo
lim
𝑥→0
2(sec 𝑥)2
− 1
6𝑥
=
1
3
lim
𝑥→0
(sec 𝑥)2
lim
𝑥→0
tan 𝑥
𝑥
.
Podemos usar el hecho de que lim
𝑥→0
tan𝑥
𝑥
= 1, y obtener el
resultado o aplicar la regla de l’Hospital por tercera vez
1
3
lim
𝑥→0
tan 𝑥
𝑥
=
1
3
lim
𝑥→0
(sec 𝑥)2
1
=
1
3
.
A. Demostración de la Regla de L’Hospital
1) Teorema del Valor Medio de Cauchy. Suponga que las
funciones 𝑓 y 𝑔 son continuas en [𝑎, 𝑏] y derivables en 〈𝑎, 𝑏〉,

3. 3
y 𝑔′(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉. Entonces hay un número
𝑐 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉 tal que [1, Appendix F, pp. A47-A48]
𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐)
=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
.
DEMOSTRACIÓN. Definamos el número 𝑄 por la igualdad
𝑄 =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
.
Observemos que 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) ≠ 0, ya que de lo
contrario, la igualdad resultante nos aseguraría que (por el
teorema de Rolle) la derivada 𝑔′(𝑥) se volvería 0 dentro del
segmento, contradiciendo el lema.
Formemos una función auxiliar
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑄[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)].
En esta tenemos que 𝐹(𝑎) = 0 y 𝐹(𝑏) = 0. Además la
función 𝐹 es continua en [𝑎, 𝑏], por tanto satisface todas las
condiciones del teorema de Rolle, entonces afirmamos que
existe un valor 𝑐 ∈ 〈a, b〉 tal que 𝐹′(𝑐) = 0. Pero, 𝐹′(𝑥)
=
𝑓′(𝑥) − 𝑄𝑔′(𝑥) y entonces
𝐹′(𝑐) = 𝑓′(𝑐) − 𝑄𝑔′(𝑐) = 0,
de donde:
𝑄 =
𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐)
.
Entonces tenemos que
𝑄 =
𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐)
=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
,
por lo tanto se demuestra el teorema de Cauchy [6].
2) Demostración. Supongamos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 y
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0. Sea
𝐿 = lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
.
Debemos demostrar que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
⁄ = 𝐿. Definimos
𝐹(𝑥) = {
𝑓(𝑥) si 𝑥 ≠ 𝑎
0 si 𝑥 = 𝑎
𝐺(𝑥) = {
𝑔(𝑥) si 𝑥 ≠ 𝑎
0 si 𝑥 = 𝑎
.
Entonces 𝐹 es continua en 𝐼 porque 𝑓 es continua en
{𝑥 ∈ 𝐼: 𝑥 ≠ 𝑎} y
lim
𝑥→𝑎
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 = 𝐹(𝑎).
Del mismo modo, G es continua en 𝐼. Sea 𝑦 ∈ 𝐼 y 𝑦 > 𝑎.
Entonces 𝐹 y 𝐺 son continuas en [𝑎, 𝑦] y derivables en 〈𝑎, 𝑦〉
y 𝐺′
≠ 0 ahí (porque 𝐹′
= 𝑓′ y 𝐺′
= 𝑔′
). Por lo tanto, por el
teorema del valor medio de Cauchy, hay un número 𝑧 tal que
𝑎 < 𝑧 < 𝑦 y
𝐹′(𝑧)
𝐺′(𝑧)
=
𝐹(𝑦) − 𝐹(𝑎)
𝐺(𝑦) − 𝐺(𝑎)
=
𝐹(𝑦)
𝐺(𝑦)
.
Aquí se ha usado el hecho de que, por definición, 𝐹(𝑎) =
0 y 𝐺(𝑎) = 0. Ahora, si se hace 𝑥 → 𝑎+
, entonces 𝑦 → 𝑎+
(porque 𝑎 < 𝑦 < 𝑥), de modo que
Lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= Lim
𝑥→𝑎+
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
= Lim
𝑥→𝑎+
𝐹′(𝑥)
𝐺′(𝑥)
= Lim
𝑥→𝑎+
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿
Análogamente para 𝑎 < 𝑥 llegamos a la misma
conclusión con un proceso similar cuando 𝑥 → 𝑎−
. Por lo
tanto
Lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿.
Esto demuestra el teorema en el caso donde 𝑎 es finita.
Si 𝑎 es infinita, sea 𝑡 = 1 𝑥
⁄ . Entonces 𝑡 → 0+
cuando
𝑥 → ∞, de modo que [1, Appendix F, pp. A47-A48]
Lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= Lim
𝑥→0+
f(1 𝑡
⁄ )
𝑔(1 𝑡
⁄ )
= Lim
𝑥→0+
f′(1 𝑡
⁄ )(−1 𝑡2
⁄ )
𝑔′(1 𝑡
⁄ )(−1 𝑡2
⁄ )
= Lim
𝑥→0+
𝑓′(1 𝑡
⁄ )
𝑔′(1 𝑡
⁄ )
= Lim
𝑥→0+
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
.
B. Productos Indeterminados
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 y lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ (o bien −∞), por lo
tanto no sabemos si existe o no el valor de lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).
Aquí podemos ver una forma indeterminada del tipo 0 ⋅ ∞ y
podemos abordarlo expresando el producto 𝑓𝑔 como un
cociente:
𝑓𝑔 =
𝑓
1 𝑔
⁄
𝑜 𝑓𝑔 =
𝑔
1 𝑓
⁄
.
1) Ejemplo 1. Evalúe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑥 𝑙𝑛 𝑥.
Fig. 5 Gráfica del Ejemplo 1
SOLUCIÓN. El límite dado es indeterminado porque vemos
que cuando 𝑥 → 0+
, el primer factor (𝑥) tiende a 0, mientras
el segundo factor (ln 𝑥) tiende a −∞. Escribiendo 𝑥 =
1 (1/𝑥)
⁄ , tenemos que 1/𝑥 → 0 si 𝑥 → 0, por lo que por la
regla de l’Hospital da
lim
𝑥→0+
𝑥 ln 𝑥 = lim
𝑥→0+
ln 𝑥
1/𝑥
= lim
𝑥→0+
1/𝑥
−1/𝑥2
= lim
𝑥→0+
(−𝑥) = 0.
C. Diferencias Indeterminadas
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ y lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ (o bien −∞), enonces
el límite
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
se llama forma indeterminada de tipo ∞ − ∞, y para
encontrar intentaremos convertir la diferencia en un cociente
(racionalizando, utilizando un denominador común o
factorizando un factor común), de manera que obtengamos
una forma indeterminada de tipo
0
0
o ∞ ∞
⁄ .
1) Ejemplo 2. Obtenga 𝑙𝑖𝑚
𝑥→(𝜋 2
⁄ )−
(𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥).
SOLUCIÓN. Observemos que sec 𝑥 → ∞ y tan 𝑥 → ∞
conforme 𝑥 → (π 2
⁄ )−
, por lo que el límite es indeterminado.
Aquí usamos un común denominador:
lim
x→(π 2
⁄ )−
(𝑠𝑒𝑐 x − 𝑡𝑎𝑛 x) = lim
x→(π 2
⁄ )−
(
1
cos 𝑥
−
sin 𝑥
cos 𝑥
)
= lim
x→(π 2
⁄ )−
1 − sin 𝑥
cos 𝑥
= lim
x→(π 2
⁄ )−
− cos 𝑥
− sin 𝑥
= 0.
D. Potencias Indeterminadas
Existen varias formas indeterminadas que surgen del
límite
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥)
.
1. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) → 0 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) → 0, entonces es de tipo
00
.

4. 4
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) → ∞ y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) → 0, entonces es de tipo
∞0
.
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) → 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) → ±0, entonces es de tipo
1∞
.
Cada uno de estos casos puede tratarse ya sea usando el
logaritmo natural:
sea 𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥)
, entonces ln 𝑦 = 𝑔(𝑥)ln 𝑓(𝑥)
o expresando la función como un exponencial:
[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑔(𝑥)ln 𝑓(𝑥)
,
cualquiera de estos métodos nos lleva al producto
indeterminado del tipo 0 ⋅ ∞.
1) Ejemplo 3. Obtenga 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
(1 + 𝑠𝑖𝑛 4𝑥)𝑐𝑜𝑡 𝑥
.
SOLUCIÓN. Primero observemos que cuando 𝑥 → 0+
,
tenemos 1 + 𝑠𝑖𝑛 4x → 1 y 𝑐𝑜𝑡 x → ∞, por lo que es
indeterminado. Sea
𝑦 = (1 + 𝑠𝑖𝑛 4x)𝑐𝑜𝑡 x
entonces
ln𝑦 = cot 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑖𝑛 4x).
Así, la regla de l’Hospital da
lim
x→0+
ln 𝑦 = lim
x→0+
ln(1 + 𝑠𝑖𝑛 4x)
tan 𝑥
= lim
x→0+
4 cos 4𝑥
1 + sin 𝑥
(sec 𝑥)2
= 4.
Ahora hallemos el límite para 𝑦
lim
x→0+
(1 + 𝑠𝑖𝑛 4x)𝑐𝑜𝑡 x
= lim
x→0+
𝑦 = lim
x→0+
𝑒ln 𝑦
= 𝑒4
.
2) Ejemplo 4. Encuentre 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑥𝑥
.
Fig. 6 Gráfica de 𝑥𝑥
que ilustra al Ejemplo 4
SOLUCIÓN. Notemos que este límite es indeterminado ya
que 0𝑥
= 0 para cualquier 𝑥 > 0, pero 𝑥0
= 1 para cualquier
𝑥 ≠ 0. Entonces podemos proceder como en el Ejemplo 3 o
expresando la función como un exponencial
𝑥𝑥
= (𝑒ln 𝑥)
𝑥
= 𝑒𝑥 ln 𝑥
,
y como vimos en el Ejemplo 1, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑥 ln 𝑥 = 0. Por tanto
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑒𝑥 ln 𝑥
= 𝑒0
= 1.
REFERENCIAS
[1] J. Stewart, D. Clegg and S. Watson, Calculus: Early Transcendentals,
9th ed. Boston, MA, USA: Cengage, 2020.
[2] C. Truesdell, “The New Bernoulli Edition,” Isis, vol. 49, no. 1, pp. 54–
62, 1958.
[3] “Guillaume de l'Hôpital”, Wikipedia, 2021. [Online]. Available:
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Guillaume_de_l%27H%C
3%B4pital&oldid=1002018537. Accessed: January 24, 2021
[4] V. Katz, “Newton and Leibniz”, in A History of Mathematics: An
Introduction, 3rd ed. Boston, MA, USA: Pearson Ed., 2009, ch. 16, pp.
575-577.
[5] D. Struik, “NEWTON, LEIBNIZ, AND THEIR SCHOOL”, in A
Source Book in Mathematics, 1200-1800. New Jersey, NJ, USA:
Princeton University Press, 1986, ch. 5, pp. 312-315.
[6] N. Piskunov, “TEOREMAS SOBRE LAS FUNCIONES
DERIVABLES”, in Cálculo diferencial e integral (Tomo I), 3th ed.
Moscu, URSS: Mir Publishers (in Spanish), 1977, ch. 4, sec. 4, pp.
145-146.