kansrek les 7 gvalst pps

1. Kansrekening DT 1415
Les 7
Gerard van Alst
Jan 2015
1

2. Doelen
• Benadering van binomiale door normale
verdeling.
• Continuïteitscorrectie: X=18 wordt 17,5 ≤
Y ≤ 18,5
• Gebruik van waarschijnlijkheidspapier.
• Controleren of data normaal verdeeld is
met behulp van waarschijnlijkheidspapier.
2

3. Huiswerk
• Zijn er vragen over het huiswerk?
• Behandel de opgaven waar vragen over
zijn.
3

4. Rule of thumb: if np(1 – p) > 10, then the probability
distribution will be approximately bell-shaped.
Section 7.4 The Normal Approximation to the
Binomial Probability Distribution
𝜇 𝑋 = 𝑛𝑝 and 𝜎 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

5. Benadering van binomiaal door
normaal.
• Dus als np(1-p)≥10 dan kunnen we de
binomiale verdeling benaderen door de
normale verdeling. Hierbij nemen we de
verwachtingswaarde en variantie over:
• 𝜇 = 𝑛𝑝 en 𝜎 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
5

6. 𝑃 𝑋 = 18 ≈ 𝑃(17.5 ≤ 𝑌 ≤ 18.5)
7-6

7. 𝑃 𝑋 ≤ 18 ≈ 𝑃(𝑌 ≤ 18.5)
7-7

8. EXERCISE
According to the Experian Automotive, 35% of all car-owning households
have three or more cars.
Compute the required probabilities in part a) and b) both exact as well as
using a suitable approximation.
a) In a random sample of 400 car-owning households, what is the
probability that fewer than 150 have three or more cars?
b) In a random sample of 400 car-owning households, what is the
probability that at least 160 have three or more cars?
Answers: a) 0.8404 and 0.8403, b) 0.0212 and 0.0205
7-8

9. Testen op normaliteit van data
Belang: veel statistische toetsen gaan uit van normaliteit.
Zijn mijn data normaal verdeeld?
• Bierviltje test: geldt de empirische regel?
• Grafische testen:
• Histogram van data klokvormig?
• Normaal waarschijnlijkheidspapier.
• Hypothese toets met 𝐻0: data is normaal verdeeld (vervolgcursus).

10. Normaal waarschijnlijkheidspapier
normaalkromme
Een normaalkromme zal op normaal
waarschijnlijkheidspapier een rechte
lijn opleveren.

11. Stappenplan
1) Zet de data om naar een
frequentietabel met geschikte
klassen (indien nog niet gedaan)
2) Bepaal de cumulatieve relatieve
frequentie van iedere klasse
3) Geef de punten weer op normaal
waarschijnlijkheidspapier
4) Onderzoek of de punten ongeveer
op een rechte lijn liggen
Merk op: 𝜇 en 𝜎 zijn te berekenen uit
de frequentieverdeling, maar zijn
tevens af te lezen uit de tekening.

12. Opgave
Vogels die hun voedsel in bomen en struiken zoeken doen dat vaak bij
voorkeur op een specifieke hoogte. Gedurende een winter zijn in een
bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In de tabel hieronder staat
de verdeling over verschillende hoogtes van 400 waarnemingen bij
pimpelmezen.
a) Laat met normaal waarschijnlijkheidspapier zien dat de
waargenomen hoogtes bij benadering normaal verdeeld zijn.
b) Lees uit je tekening af hoe groot het gemiddelde en de
standaardafwijking van deze verdeling zijn.
(uit: examen VWO Wiskunde A, 2002)
Hoogte in meters <1,5 1,5 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 10 10 - 15 >15
Aantal waarnemingen 24 26 51 72 122 92 13

13. Homework
• Study § 7.4 and document “normaal
waarschijnlijkheidspapier”
• Exercises (4th ed):
7.4: 15, 21, 25, 27
Review 11
Opgaven “normaal waarschijnlijkheidspapier”