Μαθηματικά Δ΄ 7. 42. ΄΄Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://xristx.blogspot.gr/
Μαθηματικά Δ΄- Ενότητα 7η - Μάθημα 42ο
:
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Φύλλα εργασιών
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.1

- 123 -
 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ και ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 
Η διαίρεση είναι τέλεια όταν δεν έχει υπόλοιπο ή αλλιώς
Όταν ο διαιρέτης διαιρεί ακριβώς τον διαιρετέο ή αλλιώς
Όταν ο διαιρέτης χωράει ακριβώς στον διαιρετέο . . . . .
Θα μάθουμε λίγα κόλπα με τα οποία θα βρίσκουμε κατευθείαν
αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2 , το 5 , το 3 , το 9 ! ! !
1ο
Κόλπο
Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 2
όταν τελειώνει σε: 0 , 2 , 4 , 6 ή 8
Παραδείγματα: 250 , 22 , 14 , 1996 , 108
2ο
Κόλπο
όταν τελειώνει σε: 0 η 5 Παράδειγμα:
5,10,15,20,25,30,35……………105,155,1115
3ο
Κόλπο
όταν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων
του είναι : 3 , 6 ή 9 ! ∆ηλαδή: 162  1 + 6 + 2 = 9 
Άλλο ένα παράδειγμα: 357  3 + 5 + 7 = 15  1 + 5 = 6 
4ο
Κόλπο
Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 9 όταν το
μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι 9. . . ∆ηλαδή:
324 3 + 2 + 4= 9 999 9 + 9 + 9= 27  7 + 2= 9
   
Λύσε 4
Τέλειες
∆ιαιρέσεις

Προπονητής Μαθηματικών - proponitismathimatikon.blogspot.com

- 124 -
  ∆ιαίρεση με ∆ΙΨΗΦΙΟ ∆ιαιρέτη  
Ας θυμηθούμε ξανά το παιχνίδι μπάσκετ με τις βολές.
1) Υποθέτουμε ότι μάζεψες 156 πόντους από εύστοχες βολές.
Αν τώρα για κάθε άστοχη βολή ,
οι πόντοι σου μειώνονται κατά 12
…
Σε πόσες συνεχόμενες άστοχες
βολές θα μηδενιστούν ; ; ; ; ;

Ένας τρόπος είναι να κάνουμε συνεχόμενες αφαιρέσεις 
1η
βολή 2η
βολή 3η
βολή 4η
βολή …
156 – 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ………  13η
ΒΟΛΗ…
Άρα σε 13 συνεχόμενες βολές οι πόντοι σου θα έφταναν μηδέν!
Αφού το 12 χωράει ακριβώς 13 φορές στο 156 (156 : 12 = 13)

2) Αν αυτή τη φορά ξεκινούσαμε από 125 πόντους θα είχαμε :
125 – 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……4  10η
ΒΟΛΗ . . .και περισσεύουν και 4 πόντοι. . .
Που σημαίνει ότι το 12 δεν χωράει ακριβώς στο 125.
Η διαίρεση 125:12 βγάζει πηλίκο 10 και υπόλοιπο 4…
Όμως για να μην ξημερώσουμε με τις συνεχόμενες αφαιρέσεις,
ας μάθουμε να κάνουμε ευκλείδεια διαίρεση με διψήφιο …  

- 125 -
Ξεκινάμε να λύσουμε βήμα-βήμα τη διαίρεση 252 : 12
Επειδή διαιρούμε με διψήφιο αυτή τη
φορά, δεν θα πάρουμε μόνο το πρώτο
ψηφίο του διαιρετέου , αλλά τα 2 πρώτα.
* Το 12 πόσες φορές χωράει στο 25 ;;;
 2 φορές  Γράφουμε ‘2’ στο πηλίκο !
2 Χ 12 = 24  γράφουμε 24 κάτω από
τον διαιρετέο και κάνουμε αφαίρεση 
25 – 24 = 1  … και μετά κατεβάζουμε
το επόμενο ψηφίο του διαιρετέου , το 2 !
* Το 12 πόσες φορές χωράει στο 12 ;;;
 1 φορά  Γράφουμε το 1 στο πηλίκο!
1 Χ 12=12  γράφουμε από κάτω «12» και αφαιρούμε 12–12=0
Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ‘21’ και το υπόλοιπο ‘0’!
Συνεχίζουμε με τη διαίρεση 1259 : 15
Παίρνουμε τα 2 πρώτα ψηφία  «12»
* Χωράει το 15 στο 12;;; ‘OXI’, άρα
παίρνουμε και το επόμενο ψηφίο το 5 !
* Το 15 πόσες φορές χωράει στο 125;
Φαίνεται δύσκολο αλλά δεν είναι τόσο..
Αν υποθέσουμε ότι χωράει 10 φορές >
10Χ15=150 (βγήκε πολύ παραπάνω…)
9 φορές > 150-15= 135 (πλησιάζουμε!)
 Επομένως μάλλον χωράει 8 φορές !
γράφουμε 8 στο πηλίκο και τα γνωστά:
8 Χ 15 = 120  γράφουμε ‘120’ κάτω από τον ∆ιαιρετέο και
αφαιρούμε 125-120=5 και μετά κατεβάζουμε το επόμενο ψηφίο
το 9 Πόσες φορές χωράει το 15 στο 59; Εκτιμούμε: 4;;;
4X15=60 ‘OXI’  Χωράει 3 φορές  3Χ15=45  59-45=14
Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι 83 και το υπόλοιπο 14!

- 126 -
 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ∆ΙΑΙΡΕΣΗΣ 
Όταν μία διαίρεση είναι τέλεια, αρκεί να κάνουμε
την αντίστροφη πράξη για επαλήθευση . . .
Βρήκαμε ότι 252:12 βγάζει πηλίκο 21 και υπόλοιπο 0
Επαλήθευση: Αν 12 X 21 = 252 τότε αληθεύει  12
-Κάνε δίπλα τον πολλαπλασιασμό  Χ 21
Όταν μια διαίρεση είναι ατελής,
πρέπει να ισχύει ο εξής τύπος :  ∆ = (δ x π) + υ
(όπου ∆∆ιαιρετέος, δδιαιρέτης, ππηλίκο, υυπόλοιπο)
Βρήκαμε ότι 1259 : 15 βγάζει πηλίκο 83 και υπόλοιπο 14, για
να το επαληθεύσουμε πρέπει να ισχύει : ∆ = (δ x π) + υ
ή αλλιώς 1259 = (15 x 83) + 14 
15
x 83 ΙΣΧΥΕΙ
45  1245 + 14 = 1259  ∆ = (δ x π) + υ
+ 120_
1245
Κάνε επαλήθευση στις παρακάτω διαιρέσεις:
456 : 32  πηλίκο 14 και υπόλοιπο 7 ……………………………………
Σωστό ή Λάθος ………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………
2014 : 77  πηλίκο 26 και υπόλοιπο 12 ………………………………
Σωστό ή Λάθος ………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………

- 127 -
Όταν διαιρούμε με μεγάλους αριθμούς θα
ερχόμαστε αντιμέτωποι με πιο δύσκολα
ερωτήματα όπως «Πόσες φορές χωράει
το 75 στο 325» Εσύ θα παίρνεις το πρώτο
ψηφίου του διαιρέτη (7)
και τα δύο πρώτα ψηφία
του ∆ιαιρετέου (32) και
με την καλή προπαίδεια που γνωρίζεις θα
ψάχνεις να βρεις ποιος είναι αριθμός που αν
πολλαπλασιαστεί με το 7 θα μας φέρει πιο
κοντά στο 32  3x7=21 , 4x7=28 , 5x7=35
( > 32 ) . . . Άρα μάλλον χωράει 4 φορές!
Υπάρχουν και κάποιες περιπτώσεις που ο
παραπάνω κανόνας δεν θα ισχύει και θα σε
μπερδέψει, αλλά σχεδόν πάντα με αυτό το
κόλπο, θα είσαι γρήγορος σαν αστραπή ! ! !
Συνέχισε μόνος σου την παραπάνω διαίρεση-και τις παρακάτω:

- 128 -
Αν παρατήρησες σωστά, το κολπάκι μας δεν ισχύει, όταν το
δεύτερο ψηφίο του διαιρέτη είναι μεγαλύτερο από το πρώτο . . .
(όπως έγινε στις προηγούμενες διαιρέσεις με το 26 και το 68)
Όταν συναντάς διαιρέτες που το 2ο
ψηφίο είναι μεγαλύτερο
από το 1ο
, θα πρέπει να αναζητάς το αποτέλεσμα συνήθως
έναν αριθμό χαμηλότερα από τον υπολογισμό της προπαίδειας !
Κάνε λίγη προπόνηση στις διαιρέσεις με διψήφιο διαιρέτη,
αλλά αυτή τη φορά θα κάνεις δίπλα και την επαλήθευση…:
 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ  ∆ = (δ x π) + υ
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

Ας δούμε τώρα και μια διαίρεση με διψήφιο διαιρέτη. Η λογική είναι ακριβώς η ίδια, το μόνο που
αλλάζουν είναι οι αριθμοί και φυσικά το ότι πρέπει να κάνουμε λίγο πιο σύνθετους
υπολογισμούς στο μυαλό μας.
3/θ Δημοτικό Σχολείο Φολεγάνδρου

• Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης (δ), δύο τονίζουμε και στα αριστερά του Διαιρετέου (Δ) και
λέμε : « Το 52 στο 39 δεν χωράει, άρα τονίζουμε και το τρίτο στη σειρά ψηφίο του Δ και
λέμε, πόσο χωράει το 52 στο 395;» Μπορεί να φαίνεται με μια πρώτη ματιά δύσκολο,
αλλά κάνουμε ένα μικρό κολπάκι αφαιρώντας τα δύο τελευταία ψηφία από Δ και δ και
λέμε: «Πόσο χωράει το 5 στο 39;»
• Γράφουμε το 7 στη θέση του πηλίκου.
• Πολλαπλασιάζουμε το 7 του πηλίκου με τις 2 μονάδες του διαιρέτη: 7 Χ 2 = 14.
• Κάνουμε απευθείας την αφαίρεση ξεκινώντας από τις μονάδες του 395 και λέμε: «Το 14
από το 5 δεν αφαιρείται, δανειζόμαστε μία δεκάδα και λέμε, 14 από 15 = 1».
• Γράφουμε το 1 κάτω από το 5 και το κρατάμε τη μία (1) δεκάδα ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 7 του πηλίκου με τις 5 δεκάδες του δ και στο γινόμενο
προσθέτουμε το κρατούμενο: 7 Χ 5 = 35 + 1 = 36
• Αφαιρούμε το 36 από το 39 και γράφουμε το 3 κάτω από τις 9 εκατοντάδες του Δ.
• Κατεβάζουμε και το τελευταίο ψηφίο του Δ, δηλαδή το 6 και λέμε: «Πόσες φορές χωράει
το 52 στο 315;» Κατά τον ίδιο τρόπο σκεφτόμαστε ότι το 5 στο 31 χωράει 6 φορές, οπότε
γράφουμε στο πηλίκο δίπλα στο 7 το 6.
• Πολλαπλασιάζουμε το 6 με τις 2 μονάδες του δ: 6 Χ 2 = 12 και αφαιρούμε από τις 6
μονάδες του Δ. Επειδή πάλι δεν γίνεται, δανειζόμαστε μία δεκάδα και λέμε: «12 από 16
κάνει 4».
• Γράφουμε το 4 κάτω από το 6 και τη 1 δεκάδα τη γράφουμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 6 με τις 5 δεκάδες του δ και προσθέτουμε το κρατούμενο:
6Χ5=30+1=31
• Αφαιρούμε το 31 από το 31 και γράφουμε το 0 υπό τη μορφή του = κάτω από τις
εκατοντάδες του Δ.
• Η διαίρεση μας τελείωσε. Το αποτέλεσμα είναι: πηλίκο 76 και υπόλοιπο 4.

Διαιρέσεις που το υπόλοιπο δεν είναι 0 λέγονται ατελείς.
Για να κάνουμε τη δοκιμή, πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο (76) με τον διαιρέτη (52) και
προσθέτουμε το υπόλοιπο (4).
(76 Χ 52) + 4
Αν μας δώσει τον Διαιρετέο (3956) τότε έχουμε κάνει σωστά τη διαίρεση. Αλλιώς, ελέγχουμε
που είναι το λάθος.
ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Αν σε κάποια φάση της διαίρεσης το υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με
τον διαιρέτη, αυτό σημαίνει πως ο διαιρέτης χωράει μία ή περισσότερες φορές ακόμη στον
Διαιρετέο...
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΔΙΨΗΦΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΗ
Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης δύο τονίζουμε αριστερά το διαιρετέο και λέμε το 23 στο 34 χωράει 1
φορά . Γράφουμε το 1 στο πηλίκο και κάνουμε πολλαπλασιασμό και γράφουμε το γινόμενο
κάτω από τα τονισμένα ψηφία και κάνουμε αφαίρεση. Τονίζουμε το επόμενο ψηφίο και το
κατεβάζουμε δίπλα στο υπόλοιπο μας. Και λέμε το 23 στο 117 χωράει 5
φορές (όσες το 2 (δεκ) στο 11 (δεκ)) . Γράφουμε το 5 στο πηλίκο και κάνουμε
πολλαπλασιασμό. Το γινόμενο το γράφουμε κάτω από τον αριθμό μας (υπόλοιπο αφαίρεσης)
και κάνουμε αφαίρεση. Συνεχίζουμε έτσι μέχρι να τελειώσουν όλα τα ψηφία του διαιρετέου.
Αν το δεύτερο ψηφίο του διαιρέτη είναι μικρό (1,2,3,4) τότε από τον αριθμό που βρήκαμε ότι
χωράει ο διαιρέτης κατεβάζουμε συνήθως 1 όταν χωράει πάνω από 4 φορές
Αν το δεύτερο ψηφίο του διαιρέτη είναι μεγάλο (5,6,7,8,9) τότε από τον αριθμό που βρήκαμε ότι
χωράει ο διαιρέτης κατεβάζουμε συνήθως 1 ή 2 όταν χωράει ως 4 φορές και αν χωράει πάνω
από 4 φορές κατεβάζουμε 2 ή 3 ή 4 (όσο πιο μεγάλο είναι το δεύτερο ψηφίο τότε κατεβάζουμε
περισσότερο τον αριθμό που βρήκαμε ότι χωράει.)
Η ΔΟΚΙΜΗ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΕΙΝΑΙ: ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ ΤΟ ΔΙΑΙΡΕΤΗ ΜΕ ΤΟ ΠΗΛΙΚΟ
ΚΑΙ ΣΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ ΤΟ ΥΠΟΛΟΙΠΟ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ. ΓΙΑ
ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΗ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΑΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΔΙΑΙΡΕΤΕΟ

Επανάληψη στη Διαίρεση
Διαίρεση Φυσικών και Δεκαδικών
αριθμών.
Θυμάμαι:
στη διαίρεση (Ευκλείδια) ισχύει ότι: Δ =
δ x π + υ
όπου Δ = διαιρετέος
δ = διαιρέτης
π = πηλίκο
υ = υπόλοιπο
1. Για να διαιρέσουμε άθροισμα με αριθμό,
διαιρούμε κάθε προσθετέο με τον αριθμό και
προσθέτουμε τα πηλίκα (επιμεριστική ιδιότητα ως
προς την πρόσθεση).
π.χ: (4 + 8) : 2 = 4 : 2 + 8 : 2 = 2 + 4 = 6
http://point-to.blogspot.gr

2. Η διαίρεση που δεν αφήνει υπόλοιπο λέγεται
τέλεια διαίρεση.
3. Η διαίρεση που αφήνει υπόλοιπο λέγεται ατελής
διαίρεση.
4. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι
αντίστροφες πράξεις.
5. Για να διαιρέσουμε ένα φυσικό αριθμό με 10, 100
ή 1000, χωρίζουμε από το τέλος του αριθμού με
υποδιαστολή ένα, δύο ή τρία ψηφία, ανάλογα με τα
μηδενικά που έχει ο αριθμός.
π.χ 350:1000=0,350
6. Για να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό αριθμό με 10,
100 ή 1000, μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά
τόσα ψηφία, όσα μηδενικά έχει ο αριθμός. Αν δε
φτάνουν τα ψηφία, συμπληρώνουμε μηδενικά.
π.χ:
3,5: 10 = 0,35
3,5 : 100 = 0,035
3,5 : 1000 = 0,0035
7. Για να διαιρέσουμε έναν ακέραιο αριθμό με 0,1 ή
0,01 ή 0,001 , γράφουμε τον αριθμό και
προσθέτουμε στο τέλος τόσα μηδενικά όσα έχει το
10, 100, 1000 .
π.χ: 345 : 0,01 = 34500 γιατί;
8. Για να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό αριθμό με 0,1 ή
0,01 ή 0,001 , μετακινούμε την υποδιαστολή μία,
δύο, τρεις θέσεις δεξιά.
π.χ: 0,35 : 0,1 = 3,5
9. Ένας αριθμός όταν διαιρείται με το 1 δίνει πηλίκο
τον ίδιο τον αριθμό και όταν διαιρείται με τον εαυτό
του δίνει πηλίκο 1.
350:1=350

10. Σε μια διαίρεση αν πολλαπλασιάσουμε ή
διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό
το πηλίκο μένει ίδιο.
π.χ: 30:10 = 3
30x100=3000
10x100=1000
3000:1000=3
Η διαίρεση κάθετα...
1. Πως κάνουμε τη διαίρεση αν ο διαιρετέος είναι
δεκαδικός αριθμός και ο διαιρέτης φυσικός; Πώς
κάνουμε
σε αυτή την περίπτωση διαίρεση;
Σε αυτή την περίπτωση ξεκινάμε τη
διαίρεση κανονικά, σαν να πρόκειται για
φυσικούς αριθμούς.
Μόλις όμως φτάσουμε στο σημείο να κατεβάσουμε
το πρώτο δεκαδικό ψηφίο τότε βάζουμε
υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε κανονικά
τη διαίρεση.

Αν σε μια διαίρεση θα πρέπει από την αρχή
να χωρίσεις το πρώτο
δεκαδικό ψηφίο, τότε θα πρέπει και να βάλεις
από την αρχή στο πηλίκο υποδιαστολή (μαζί με
το μηδέν φυσικά για ακέραιο
μέρος).
Δες παραπάνω το παράδειγμα με τη διαίρεση 8,4 :
42
2. Τι κάνουμε όμως αν έχουμε για διαιρέτη,
δεκαδικό αριθμό;
Σε αυτή την περίπτωση η διαδικασία διαφέρει λίγο
στην αρχή, πριν ξεκινήσουμε τη διαίρεση.

Αρχικά θα πρέπει να έχεις υπόψη σου ότι όταν
έχουμε δεκαδικό διαιρέτη δε διαιρούμε αμέσως.
Πριν ξεκινήσουμε, λοιπόν τη
διαίρεση, παρατηρούμε το διαιρέτη και
μετράμε πόσα δεκαδικά ψηφία έχει.
πολλαπλασιάζουμε με τον αντίστοιχο αριθμό (10 ή
100 ή 1000 κ.τ.λ) και το διαιρέτη και το διαιρετέο
έτσι ώστε να μετατραπεί ο δεκαδικός αριθμός
του διαιρέτη σε φυσικό (δε μας απασχολεί
καθόλου αν ο διαιρετέος που θα προκύψει είναι
φυσικός ή δεκαδικός).
Από κει κι έπειτα προχωράμε κανονικά τη διαίρεση,
όπως ξέρουμε.
'Οπως βλέπετε παραπάνω πριν ξεκινήσουμε
παρατηρούμε το διαιρέτη (3,5) και δια-πιστώνουμε
πως έχει ένα δεκαδικό ψηφίο. Άρα
πολλαπλασιάζουμε και το διαιρετέο και το διαιρέτη
με το 10 και έχουμε:
54,25 • 10 = 542,5

3,5 • 10 = 35
Η διαίρεσή μας λοιπόν γίνεται 542,5 : 35 μας
ενδιαφέρει να
μετατρέψουμε το διαιρέτη από δεκαδικό σε φυσικό.
Όσον αφορά το διαιρετέο δε μας απασχολεί το
είδος του αριθμού που θα προκύψει έπειτα από
τον πολλαπλασιασμό με το 10 ή το 100 ή το 1000
κ.τ.λ.

Κεθάιαην 42
Γηαηξεηένο δηαηξέηεο
1 9 7 13
-
πειίθν
-
ππόινηπν
1) Ο δηαηξέηεο είλαη ν αξηζκόο 13 θαη έρεη 2 ςεθία 1 3
΢ηνλ δηαηξεηέν ηα 2 πξώηα ςεθία εηλαη ην 19 1 9
2) Ψάρλσ λα βξώ πόζεο θνξέο κπνξώ λα βάισ ηνλ αξηζκό 13 γηα λα θηάζσ ζηνλ
αξηζκό 19.
3) Γνθηκάδσ λα πνιιαπιαζηάζσ ηνλ αξηζκό 13 κε πνιινύο αξηζκνύο γηα λα
θξάζσ πην θνληά ζηνλ αξηζκό 19.
13 Χ 1 = 13 Χ 2 =
4) Βξήθα όηη ην 13 ζα ην πνιιαπιαζηάζσ κόλν κε ην 1. 13 Χ 1 = 13.
Θα γξάςσ ην 13 θάησ από ην 19 θαη ζα θάλσ αθαίξεζε.
5) Σν 6 έρεη 1 ςεθίν. Σν 13>6. Ση ζα θάλσ;; Θα θαηεβάζσ ην ηειεπηαίν ςεθίν
από ηνλ Γηαηξεηέν θαη ζα γίλεη 67.
6) Γνθηκάδσ λα πνιιαπιαζηάζσ ηνλ αξηζκό 13 κε πνιινύο αξηζκνύο γηα λα
θξάζσ πην θνληά ζηνλ αξηζκό 67
13 Χ 1 = 13 Χ 2 = 13 Χ 3 = 13 Χ 4 = 13 Χ 5 =
7) Βξήθα όηη ην 13 ζα ην πνιιαπιαζηάζσ κόλν κε ην 5. 13 Χ5 = 65. Θα γξάςσ
ην 65 θάησ από ην 67 θαη ζα θάλσ αθαίξεζε.
8) Από ηελ αθαίξεζε έρσ ππόινηπν ηνλ αξηζκό 2

-48
50
8
6
2
διαιρετέος διαιρέτης
πηλίκο
υπόλοιπο
Η πράξη της διαίρεσης
ΤΕΤΟΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
3 6 0 3
1
3
0 6 2
6
0 0
0

9 8 4 4
2
8
1 8 4
1 6
2 4
6
2 4
0

1 2 6 7
1
7
0 5 8
5 6
0 0
6

2 0 8 2
1
2
0 0 4
8
0
8 0

10—100—1000. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ
Όνοµα:……………………………………………………………………
Α) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Ακέραιου αριθµού
*10= 50
5 *100= 500
*1000= 5.000
∆εκαδικού αριθµού
*10= 25,0
2,5 *100= 250,0
*1000= 2500,0
Β) ∆ΙΑΙΡΕΣΗ
Ακέραιου αριθµού
: 10= 0,5
5 :100= 0,05
:1000= 0,005
∆εκαδικού αριθµού
:10= 0,25
2,5 : 100= 0,025
: 1000= 0,0025
ΑΣΚΗΣΗ
Α) Να πολλαπλασιάσεις τους αριθµούς 12, 50, 0,4 15,05 µε το
10,100,1000,10.000 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ.
Β)Να διαιρέσεις τους αριθµούς 14, 25, 1,5 12,002 µε το
10,100,1000,10.000 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ.
Κώστας ΜεσάζοςΚώστας ΜεσάζοςΚώστας ΜεσάζοςΚώστας Μεσάζος ---- ∆άσκαλος∆άσκαλος∆άσκαλος∆άσκαλος
Γράφουµε τον αριθµό
όπως είναι και βάζουµε
δεξιά του όσα µηδενικά
έχει το 10,100,1000….
Μεταφέρουµε την υποδιαστολή προς
τα δεξιά, τόσες θέσεις όσα τα
µηδενικά του 10,100,1000…..Αν δεν
υπάρχουν ψηφία συµπληρώνουµε
τις θέσεις µε µηδενικά.
Γράφουµε τον αριθµό όπως είναι
και µεταφέρουµε την
υποδιαστολή αριστερά, τόσες
θέσεις όσα τα µηδενικά του
10,100,1000…Αν δεν υπάρχουν
ψηφία συµπληρώνουµε µε
µηδενικά.

Οι πράξεις στα μαθηματικά.
 Ο πολλαπλασιασμός μονοψήφιο με διψήφιο.
 Ο πολλαπλασιασμός διψήφιου με διψήφιο.
 Γνωριμία με τη διαίρεση.
 Η διαίρεση διψήφιου με μονοψήφιο.
 Η διαίρεση τριψήφιου με διψήφιο.
 Πηγή: 12dim-volou.mag.sch.gr

• Πολλαπλασιάζουμε πρώτα το 3 με τις 6 μονάδες ( Μ ).
• Γράφουμε το 8 κάτω από τις μονάδες ( Μ ) και το 1 το
κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 3 με τις 4 δεκάδες ( Δ ).
• Προσθέτουμε στο 12 το 1 κρατούμενο και λέμε :
12 + 1 = 13
• Γράφουμε το 13 μπροστά από τις 8 μονάδες ( Μ ).
κρατούμενο

• Πολλαπλασιάζουμε πρώτα το 7 με τις 8 μονάδες ( Μ ).
• Γράφουμε το 6 κάτω από τις μονάδες ( Μ ) και το 5 το κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 7 με τις 5 δεκάδες ( Δ ) και στο γινόμενο προσθέτουμε τα 5 κρατούμενα.
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 με τις 8 μονάδες ( Μ ).
• Γράφουμε το 2 κάτω από τις 0 δεκάδες ( Δ ) και το 3 το κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 με τις 5 δεκάδες ( Δ ) και στο γινόμενο προσθέτουμε τα 3 κρατούμενα.
• Προσθέτουμε τα δύο γινόμενα.

Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η

Διαιρείται ακριβώς με το 2
όταν ο αριθμός τελειώνει σε
( π.χ. 280 – 982 – 344 – 56 – 908 )
Κριτήρια διαιρετότητας.
Για να ξέρεις αν ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 5 και το 9
πριν κάνεις τη διαίρεση πρόσεξε τι έχουν να σου πουν οι παρακάτω φίλοι
μας.
όταν ο αριθμός τελειώνει σε
( π.χ. 240 – 485 )
όταν το μονοψήφιο
άθροισμα των ψηφίων του είναι :
(π.χ. 702 = 7+0+2=7+2= 9 )
όταν το μονοψήφιο
άθροισμα των ψηφίων του είναι :
(π.χ. 453 = 4+5+3=12=1+2= 3 )
(π.χ. 357 = 3+5+7=15=1+5= 6 )
(π.χ. 990 = 9+9+0=18=1+8= 9 )

• Ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα τονίζουμε αριστερά του διαιρετέου και λέμε : « Το 3 στο 8 χωράει
… φορές ».
• Πολλαπλασιάζουμε το 2 με το 3.
• Γράφουμε το 6 κάτω από το 8.
• Αφαιρούμε από το 8 το 6 .
• Κατεβάζουμε δίπλα στο 2 και το 1 και λέμε : « Το 3 στο 21 χωράει … φορές ».
• Πολλαπλασιάζουμε το 3 με το 7 και αφαιρούμε το γινόμενο από το 21 .

• Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης, δύο τονίζουμε και στα αριστερά του Διαιρετέου και λέμε : « Το 24 στο 98 χωράει όσο
το 2 στο 9 ».
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 του πηλίκου με τις 4 μονάδες του διαιρέτη.
• Γράφουμε το 6 κάτω από το 8 και το 1 το κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 του πηλίκου με τις 2 δεκάδες του διαιρέτη και στο γινόμενο προσθέτουμε το
κρατούμενο.
• Γράφουμε το 9 κάτω από τις 9 εκατοντάδες του Διαιρετέου.
• Αφαιρούμε από το 98 το 96.
• Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες του 96.
• Τονίζουμε και κατεβάζουμε δίπλα στο 2 και τις 6 μονάδες του Διαιρετέου και λέμε : « Το 24 στο 26 χωράει τόσες
φορές όσες το 2 στο 2.
• Γράφουμε το 1 στο πηλίκο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 1 του πηλίκου με τις 4 μονάδες του διαιρέτη.
• Πολλαπλασιάζουμε το 1 του πηλίκου με τις 2 δεκάδες του διαιρέτη.
• Αφαιρούμε από το 26 το 24.
• Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες του 24.

ΒΑΝΕΣΑ ΚΑΡΟΥΜΠΑ
1
ΕΝΟΤΗΤΑ 42
∆ΙΑΙΡΩ ΜΕ ∆ΙΨΗΦΙΟ ∆ΙΑΙΡΕΤΗ
1. Κάνω κάθετα τις ̟ράξεις:
α. 250:25 β. 198:12 γ. 356:11
δ. 200:16 ε. 5.208:14 στ. 9.255:15
ό̟ου υ̟άρχει υ̟όλοι̟ο το κυκλώνω.
2. Οι εισ̟ράξεις στο ταµείο ενός θεάτρου ήταν 9.576 Ε. Αν το
εισιτήριο κόστιζε 18 Ε, ̟όσοι θεατές ̟αρακολούθησαν την ̟αράσταση;
ΛΥΣΗ:
∆Ε∆ΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
ΑΠ.:

2
3. Σε ένα υαλο̟ωλείο ο ιδιοκτήτης ̟ούλησε 21 ίδια σερβίτσια και
εισέ̟ραξε 7.537 Ε. Ποια ήταν η τιµή του κάθε σερβίτσιου;
ΛΥΣΗ:
ΑΠ.:
4. Ένας αγρότης αγόρασε 1.008 κλήµατα. Αν σε κάθε σειρά φύτεψε
24 κλήµατα, ̟όσες σειρές έχει ο αµ̟ελώνας;
ΛΥΣΗ:
ΑΠ.:

3
5. Αν ένας γιατρός παίρνει σε κάθε επίσκεψη 46 Ε , πόσες επισκέψεις
πρέπει να δεχτεί ώστε να συγκεντρώσει 6.900 Ε;
ΛΥΣΗ:
ΑΠ.:
6. Κάνω κάθετα τις ̟ράξεις και ε̟αληθεύω:
α. 5.670:42 γ. 9.840:48
β. 3.876:38 δ. 2.065:59

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ - ΔΙΑΙΡΕΣΗ
ΟΝΟΜΑ: .............................................................. ΤΑΞΗ: Δ΄..... ΗΜΕΡ.: ...................
Κάνω τις πιο κάτω πράξεις.
9 3 2 4 6 7 5 7 3 2 9 2 4 9 2 5
6 2 0 8 1 0 4 3 9 1 7 7 8 7 6 4
3 4
2 1 Χ
................
................
...................
2 6
1 4 Χ
................
................
...................
5 0
3 2 Χ
................
................
...................
1 9
1 8 Χ
................
................
...................
2 8
2 2 Χ
................
................
...................
4 5
1 3 Χ
................
................
...................
3 0
1 7 Χ
................
................
...................
2 7
1 6 Χ
................
................
...................

ΧΧΧιιιοοονννοοούύύλλλλλλααα ΤΤΤρρριιιααανννττταααφφφυυυλλλλλλήήή

ΟΝΟΜΑ: ............................................................ ΤΑΞΗ: Δ΄..... ΗΜΕΡ.: ...………………
Κάνω τις πιο κάτω πράξεις.
5 7 8 4 6 2 5 6 3 3 3 4 7 5 4 8
4 0 6 7 8 4 9 9 6 5 6 5 8 7 6 2
4 6
1 3 Χ
................
................
...................
6 4
1 8 Χ
................
................
...................
5 0
2 7 Χ
................
................
...................
9 1
1 4 Χ
................
................
...................
5 2
1 6 Χ
................
................
...................
2 8
2 6 Χ
................
................
...................
7 9
1 5 Χ
................
................
...................
8 3
1 2 Χ
................
................
...................
ΧΧΧιιιοοονννοοούύύλλλλλλααα ΤΤΤρρριιιααανννττταααφφφυυυλλλλλλήήή

Μιχάλης Καλλίτσης ∆ηµοτικό σχολείο Παλουκίων Σαλαµίνας Τάξη ∆2΄ 2012-13
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
1. Πολλαπλασιάζω και διαιρώ µε 10, 100, 1.000
• Για να πολλαπλασιάσω έναν αριθµό µε 10, 100 ή 1.000, γράφω τον
αριθµό και στο τέλος βάζω τόσα µηδενικά όσα έχει το 10, το 100 ή το
1.000
Πχ. 45 Χ 100 = 4.500 2 Χ 1.000= 2.000
• Για να διαιρέσω έναν αριθµό που έχει στο τέλος του µηδενικά, µε το
10, 100, 1.000, απλά βγάζω (σβήνω) από τον αριθµό τόσα µηδενικά
όσα έχει το 10, 100 ή 1.000
Πχ. 4.500 : 10 = 450 4.500 : 100 = 45 3.000 : 1.000 = 3
ΑΣΚΗΣΗ
Κάνω τις παρακάτω πράξεις µε το σύντοµο τρόπο
23Χ10= 12Χ100= 6Χ1.000= 146Χ10=
7.500:10= 3000:100= 6500:100= 6.000:1.000=
2. Πολλαπλασιάζω και διαιρώ αριθµούς που έχουν στο τέλος τους ένα ή
περισσότερα µηδενικά.
• Για να πολλαπλασιάσω γρήγορα αριθµούς που έχουν στο τέλος τους ένα
ή περισσότερα µηδενικά, κρύβω τα µηδενικά, κάνω τον
πολλαπλασιασµό και βάζω στο τέλος του αριθµού που βρήκα, τα
µηδενικά που έκρυψα.
Πχ. 400Χ30= 12.000 22Χ 60=1.320 120Χ50=6.000
ΑΣΚΗΣΗ
Κάνω γρήγορα του πολλαπλασιασµούς
16Χ100= 450Χ20= 50Χ120= 360Χ40=
200Χ20= 40Χ40= 42Χ400= 200Χ40=

Μιχάλης Καλλίτσης ∆ηµοτικό σχολείο Παλουκίων Σαλαµίνας Τάξη ∆2΄ 2012-13
• Για να διαιρέσω γρήγορα αριθµούς που έχουν στο τέλος τους ένα ή
περισσότερα µηδενικά, σβήνω τελείως τόσα µηδενικά από τον ένα
αριθµό, όσα σβήνω και από τον άλλο και έπειτα κάνω τη διαίρεση.
Πχ. 4.000:200= 20 3200:320=10 6.000:2000=3 8.000:40=20
ΑΣΚΗΣΗ
Κάνω γρήγορα τις διαιρέσεις
2.200:110= 4000:400= 10.000:500= 300:150=
4.500:900= 6.30:90= 12.000:600= 120:60=
3. Η κάθετη διαίρεση
∆ιαιρετέος διαιρέτης ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!
68 5 Το υπόλοιπο (και το µερικό υπόλοιπο)
5 13 πρέπει να είναι πάντα µικρότερο από
18 το διαιρέτη υ<δ
15 πηλίκο
3 ∆= (δ Χ π) + υ
υπόλοιπο
Αν το υπόλοιπο είναι 0 τότε η διαίρεση είναι τέλεια. Αν το υπόλοιπο δεν είναι 0
τότε είναι ατελής.
Ένα ψηφ3ο έχει ο 456ιρέτης, ένα χωρίζω στ΄ αριστερά του διαιρετέου. Το 5 στο 6
χωράει 1 φορά. 1χ5 κάνει πέντε. Έξι βγάζω πέντε κάνει 1 (µερικό υπόλοιπο).
Κάτω και το 8. Το 5 στο 18 χωράει 3 φορές. 3χ5 κάνει δεκαπέντε. ∆εκαοχτώ
βγάζω δεκαπέντε κάνει 3 (υπόλοιπο)

ΟΝΟΜΑ:…………………………………………………….
ΚΕΦ: 42 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Να κάνετε τις διαιρέσεις και κατόπιν τις επαληθεύσεις τους
7696 52
3250 46
2. Να εκτελέσετε τις πράξεις και να βρείτε το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης:
• (5824 + 3264) : 32 =
• (5040 + 4320) : 45 =
• (8938 – 3526 ) : 82 =
9633 39 6935 72
7696 52 696 52

3. Το μεικτό βάρος 5 όμοιων βαρελιών κρασιού είναι 1500 κιλά .Το απόβαρο κάθε βαρελιού είναι 75 κιλά
.Πόσα κιλά κρασί χωράει το κάθε βαρέλι;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ………………………………………………………..
4. Ένας παραγωγός μάζεψε το πρωί από ένα περιβόλι 2575 κιλά ντομάτες και το απόγευμα από ένα άλλο
περιβόλι του 1950 κιλά . Όλη αυτή την ποσότητα τη συσκεύασε σε τελάρα 25 κιλών. Πόσα τελάρα
γέμισε;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ………………………………………………………..
5. Ο ταξιδιωτικός πράκτορας εισέπραξε από τα εισιτήρια 26 ταξιδιωτών εννιά χιλιάδες εφτακόσια
πενήντα ευρώ . Ποια ήταν η τιμή του ενός εισιτηρίου;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ………………………………………………………..
Γ
Α
Γ
Α
Γ
Α

1
ΕΝΟΤΗΤΑ 42
ΔΙΑΙΡΩ ΜΕ ΔΙΨΗΦΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΗ
1. Κάνω κάθετα τις πράξεις:
α. 250:25 β. 198:12 γ. 356:11
δ. 200:16 ε. 5.208:14 στ. 9.255:15
όπου υπάρχει υπόλοιπο το κυκλώνω.
2. Οι εισπράξεις στο ταμείο ενός θεάτρου ήταν 9.576 Ε. Αν το
εισιτήριο κόστιζε 18 Ε, πόσοι θεατές παρακολούθησαν την παράσταση;
ΛΥΣΗ:
ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
ΑΠ.:

2
3. Σε ένα υαλοπωλείο ο ιδιοκτήτης πούλησε 21 ίδια σερβίτσια και
εισέπραξε 7.537 Ε. Ποια ήταν η τιμή του κάθε σερβίτσιου;
ΛΥΣΗ:
ΑΠ.:
4. Ένας αγρότης αγόρασε 1.008 κλήματα. Αν σε κάθε σειρά φύτεψε
24 κλήματα, πόσες σειρές έχει ο αμπελώνας;
ΛΥΣΗ:
ΑΠ.:

3
5. Αν ένας γιατρός παίρνει σε κάθε επίσκεψη 46 Ε , πόσες επισκέψεις
πρέπει να δεχτεί ώστε να συγκεντρώσει 6.900 Ε;
ΛΥΣΗ:
ΑΠ.:
6. Κάνω κάθετα τις πράξεις και επαληθεύω:
α. 5.670:42 γ. 9.840:48
β. 3.876:38 δ. 2.065:59

Ενότητα 42
Ευνίκη Τοκατλή

http://taniamanesi.blogspot.gr/

266
266
42. Äéáéñþ ìå äéøÞöéï äéáéñÝôç
ÁðÜíôçóç óôçí
Üóêçóç 1
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 8
Åêôéìþ: 20 ÷ 50 = 1000 < 8.551
Åîçãþ: ¼÷é, äéüôé óôï ðçëßêï îÝ÷áóå íá âÜëåé ìçäÝí.
Üóêçóç 2
Üóêçóç 3
Åðéëýù:
39.280 = 36 ÷ 1.091 + 4
Åðáëçèåýù:

267
267
Äéáéñþ ìå äéøÞöéï äéáéñÝôç
¢óêçóç 1
Óõìðëçñþíù ôá êåíÜ óôçí ðáñáêÜôù äéáßñåóç:
4 1 8 3 25
- 2 5 1
6 8
- 1 5 0
1 8
1 5
8
Ëýóç
4 1 8 3 25
- 2 5 1
6 8
- 1 50
1 8
1 5
8
1
6 7
3
– 7
Üóêçóç 4

268
268
¢óêçóç 2
¸÷ù Ýíáí áñéèìü óôï ìõáëü ìïõ. Áí ôïí äéáéñÝóù
ìå ôï 12, èá âñù 10 êáé èá ðåñéóóÝøïõí 3.
Ðïéïò åßíáé áõôüò ï áñéèìüò;
Ëýóç
12 ÷ 10 = 120
120 + 3 = 123
Üóêçóç 5
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 9 15 x 17 + 4 = 255 + 4 = 259
Üóêçóç 6
• Åîçãïýìå: Ç Äéáßñåóç ôçò ÓôÝëëáò åßíáé ëÜèïò, ãéáôß ôï õðüëïéðï
åßíáé ìåãáëýôåñï ôïõ äéáéñÝôç.
Üóêçóç 7
Äéáéñþ ìå äéøÞöéï äéáéñÝôç

Μαθηματικά Δ΄ 7. 42. ΄΄Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 7. 42. ΄΄Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη΄΄

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 7. 42. ΄΄Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά Δ΄ 7. 42. ΄΄Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη΄΄