本文介绍了Matlab中的符号计算与数值计算的基本概念与应用。涵盖了符号变量、表达式和方程的生成以及两者之间的转换方法，并包括符号表达式的操作如运算、化简、求导和积分等。最后，文中还提到了一些Matlab提供的函数用于求解方程及常微分方程的符号解。

1. 第二章 符 号 运 算 MATLAB 的数学计算＝数值计算＋符号计算 其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。

2. 1. 符号变量、符号表达式和符号方程的生成 使用 sym 函数定义符号变量和符号表达式 使用 syms 函数定义符号变量和符号表达式

3. 2 、用 syms 创建符号变量 使用 syms 命令创建符号变量和符号表达式 语法： syms(‘arg1’, ‘arg2’, …, 参数 ) % 把字符变量定义为 % 符号变量 syms arg1 arg2 …, 参数 % 把字符变量定义为符号变量的简洁形 % 式 说明： syms 用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。参数设置和前面的 sym 命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。

4. 使用 syms 函数定义符号变量和符号表达式 >> syms a b c x >> f = a*x^2 + b*x + c f = a*x^2 + b*x + c >> g=f^2+4*f-2 g = (a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2 >> ex0201

5. 符号方程的生成 >> % 符号方程的生成 >> % 使用 sym 函数生成符号方程 >> equation1='sin(x)+cos(x)=1' equation1 = sin(x)+cos(x)=1 >>

6. 2.2 符号形式与数值形式的转换 1 、将符号形式转换为数值形式： eval 与 numeric 例： a1='2*sqrt(5)+pi' a1 = 2*sqrt(5)+pi b2=numeric(a2) % 转换为数值变量 b2 = 7.6137 b3=eval(a1) b3 = 7.6137

7. 2.2 符号形式与数值形式的转换 2 、数值形式转换为符号形式 p=3.1416; q=sym(p) 执行后屏幕显示： q=3927/1250 numeric(q) 屏幕显示： ans = 3.1416

8. 2.2 符号形式与数值形式的转换 3 、多项式与系数向量之间的转换 3.1 sym2poly: 将多项式转化为对应的系数向量 例： syms x p; p=x^3-4*x+5; sym2poly(p) 执行后屏幕显示： ans= 1 0 -4 5

9. 2.2 符号形式与数值形式的转换 3 、多项式与系数向量之间的转换 3.2 poly2sym: 将向量转化为对应的多项式 例 a=[1 0 -4 5]; poly2sym(a) 执行后屏幕显示 ans= x^3-4*x+5

10. 3. 符号表达式 ( 符号函数 ) 的操作 (1) 符号表达式的四则运算 syms x f=x^3-6*x^2+11*x-6; g=(x-1)*(x-2)*(x-3); h=x*(x*(x-6)+11)-6; f+g-h 执行后输出： ans = x^3-6*x^2+11*x+(x-1)*(x-2)*(x-3)-x*(x*(x-6)+11)

11. (1) 符号表达式的四则运算 >> syms x y a b >> fun1=sin(x)+cos(y) fun1 = sin(x)+cos(y) >> fun2=a+b fun2 = a+b >> fun1+fun2 ans = sin(x)+cos(y)+a+b >>fun1*fun2 ans = (sin(x)+cos(y))*(a+b)

12. (1) 将表达式中的括号进行展开 : expand (2) 将表达式进行因式分解： factor (3) 将一般的表达式变换为嵌套的形式： horner (4) 将表达式按某一个变量的幂进行集项： collect (5) 化简表达式： simplify (6) 化简表达式，使之成为书写长度最短的 形式： simple

13. 同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例如以下的 f(x) 就可以分别表示为： 多项式形式的表达方式： f(x)=x^3+6x^2+11x-6 因式形式的表达方式 (factor) ： f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 嵌套形式的表达方式 (horner) ： f(x)=x(x(x-6)+11)-6

14. 集项－合并符号表达式的同类项 >> syms x y >> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x) ans = (y-1)*x^2+(y-2)*x >> syms x y >> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x,y) ans = (x^2+x)*y-x^2-2*x

15. 符号多项式的嵌套 (horner ) >> syms x >> fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40 fun1 = 2*x^3+2*x^2-32*x+40 >> horner(fun1) ans = 40+(-32+(2+2*x)*x)*x >> fun2=x^3-6*x^2+11*x-6 fun2 = x^3-6*x^2+11*x-6 >> horner(fun2) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x >>

16. 符号表达式的化简 (simplify) >> syms x >> fun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3) fun1 = (13/x+7/x^2+8)^(1/3) >> sfy1= simplify (fun1) sfy1 = ((13*x+7+8*x^2)/x^2)^(1/3) >> sfy2= simple (sfy1) sfy2 = (13/x+7/x^2+8)^(1/3)

17. subs 函数用于替换求值 >> syms x y f = x^2*y + 5*x*sqrt(y) f = x^2*y+5*x*y^(1/2) >> subs(f, x, 3) ans = 9*y+15*y^(1/2) >> subs(f, y, 3) ans = 3*x^2+5*x*3^(1/2) >>subs(f,{x,y},{1,1}) ex0202 ex0203 ex0204

18. 4 、 反函数的运算 (finverse ) >> syms x y >> f = x^2+y f = x^2+y >> finverse(f,y) ans = -x^2+y 使用格式： 1 、 g=finverse(f):f,g 均为单变量 x 的符号函数； 2 、 g=finverse(f,t) 返回值 g 的自变量取为 t ；

19. 5 复合函数的运算 (compose) >> syms x y z t u >> f = 1/(1 + x^2); >> g = sin(y); >> h = x^t; >> p = exp(-y/u) ; >> compose(f,g) ans = 1/(1+sin(y)^2) >> compose(f,g,t) ans = 1/(1+sin(t)^2) 使用格式： Compose(f,g) % 返回当 f=f(y) 和 g=g(x) 时 的复合函数 f(g(x)) Compose(f,g,t) % 返回的复合函数以 t 为 自变量，即有 f(g(t))

20. 6 函数的极限、导数与积分 （ 1 ）函数极限 － limit 函数的使用 （ 2 ）函数求导 － diff 函数的使用 （ 3 ）符号积分－ int 函数的使用

21. 符号极限 (limit) 假定符号表达式的极限存在， Symbolic Math Toolbox 提供了直接求表达式极限的函数 limit ，函数 limit 的基本用法如下表所示 。 limit 函数的用法 对 x 求右趋近于 a 的极限 limt(f,’x’,a, ‘right’) 对 x 求左趋近于 a 的极限 limt(f,’x’,a, ‘left’) 对 x 求趋近于 a 的极限，当左右极 限不相等时极限不存在。 limt(f,’x’,a) 对 x 求趋近于 0 的极限 limt(f) 说明 函数格式 表达式

22. 符号极限 (limit) >> syms x a t h; >> limit(sin(x)/x) ans = 1 >> limit((x-2)/(x^2-4),2) ans = 1/4 >> limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) ans = exp(6*t) 如果左右极限不相等，则极限不存在， matlab 命令窗口中显示 Nan

23. (2) 符号求导 调用格式 : 一阶导数： yx=diff(f,x) 二阶导数： yxx=diff(f,x,2) 或 yxx=diff(yx,x) 三阶导数： yxxx=diff(f,x,3) 或 yxxx=diff(yxx,x) ex0205 一、一元函数符号求导 求导函数： diff diff(f) % 求 f 对自由变量的一阶微分 diff(f,t) % 求 f 对符号变量 t 的一阶微分 diff(f,n) % 求 f 对自由变量的 n 阶微分 diff(f,t,n) % 求 f 对符号变量 t 的 n 阶微分

24. (2) 符号求导 二、二元函数的符号求导 syms x y z z=x^4+y^4-cos(2*x+3*y); zx=diff(z,x); zy=diff(z,y); zxx=diff(zx,x); zxy=diff(zx,y); zxyx=diff(zxy,x); zx,zy,zxy,zxyx ex0206

25. 3 、符号积分 积分有定积分和不定积分，运用函数 int 可以求得符号表达式的积分。 语法： int(f,t) % 求符号变量 t 的不定积分 int(f,t,a,b) % 求符号变量 t 的积分 int(f,t,’m’,’n’) % 求符号变量 t 的积分 说明： t 为符号变量，当 t 省略则为默认自由变量； a 和 b 为数值， [a,b] 为积分区间； m 和 n 为符号对象， [m,n] 为积分区间；与符号微分相比，符号积分复杂得多。因为函数的积分有时可能不存在，即使存在，也可能限于很多条件， MATLAB 无法顺利得出。当 MATLAB 不能找到积分时，它将给出警告提示并返回该函数的原表达式。 Ex0207-0208

26. 7 、符号求和： 求和函数： symsum(fn,n,n1,n2) 其中 fn 为求和通项， n 为求和的自变量， n1 为起始项， n2 终止项， n2 可为任意有限正整数，也可以取到无穷 ( 即 inf) Ex0209-10

27. 8 、 Taylor 展开 把函数 f(x)Taylor 展开的函数： taylor(f,n,x0) 其中 : f 为被展开的函数表达式 n 为展开时指定的项数 x0 为指定的展开点 ex0211

28. 9 方程求根 MATLAB 可以用 solve 命令给出方程的数值解。 语法： solve(‘eq’,x) % 求方程关于指定变量的解 solve(‘eq1’, ’eq2’,x1,x2,…) % 求方程组关于指 定变量的解 说明： eq 可以是含等号的符号表达式的方程，也可 以是不含等号的符号表达式，但所指的仍是令 eq=0 的方程； 当参数 x 省略时，默认为方程中的自由变量；其输出结果为 结构数组类型。 另外，只能用 solve 求代数方程与超越方程（含方程组） 的解，而不能用来求微分方程和积分方程的解。 ex0213 － 14 ， 02142

29. 方程组的求解 求三元方程组 x 2 +2x+1=0 x+3z=1 yz=-1 的解 f1=sym(‘x^2+2*x+1=0’); f2=sym(‘x+3*z=1’); f3=sym(‘y*z=-1’); [x,y,z]=solve(f1,f2,f3,’x’,’y’,’z’)

30. 10 常微分方程的符号解 MATLAB 提供了 dsolve 命令可以用于对符号常微分方程进行求解。 语法： dsolve(‘eq’,’con’,’v’) % 求解微分方程 dsolve(‘eq1,eq2…’,’con1,con2…’,’v1,v2…’) % 求解微分方程组 说明：’ eq’ 为常微分方程；’ con’ 是常微分初始条件，可省略；’ v’ 为指定自 由变量，省略时则默认为 x 或 t 为自由变量；输出结果为结构数组类型。 当 y 是因变量时，微分方程’ eq’ 的表述规定为： y 的一阶导数或表示为 Dy ； y 的 n 阶导数或表示为 Dny 。 微分初始条件 'con' 应写成 'y(a)=b ， Dy(c)=d' 的格式；当初始条件少于微分方程数时，在所得解中将出现任意常数符 C1 ， C2…… ，解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。 ex0216 － 18

31. 11. 图示化符号函数计算器 单变量符号函数计算器 输入框的功能 控制按钮的功能 泰勒级数逼近计算器

32. （ 1 ）单变量符号函数计算器 使用 funtool 函数来调用图示化单变量符号函数计算器

33. （ 2 ）泰勒级数逼近计算器 使用 taylortool 函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器

34. THE END