GEO_3º_1B_SOL (1) (1).pdf

Editorial
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
SEGMENTOS
EVALUACIÓN
1.
Se cumple:
PQ + QS = PS
PQ + 18 = 30
PQ = 12
Además:
PQ + QR = PR
12 + QR = 22
QR = 10
Como M es punto medio de QR, QM es la
mitad de QR.
QM = QR
2
= 5
Piden: PM
PM = PQ + QM
PM = 12 + 5
` PM = 17
Clave D
2.
Como M es punto medio de AC, AM es la
mitad de AC:
AM = AC
2 2
30
= = 15
Como N es punto medio de BD, ND es la
mitad de BD:
ND = BD
2 2
26
= = 13
Del gráfico:
AD = AM + MN + ND
38 = 15 + MN + 13
` MN = 10
Clave E
3.
16
P Q S T
22
R
Como R es punto medio de PT:
PR =
2
38
=19
Como S es punto medio de QT:
ST =
2
22
=11
Del gráfico:
PT = PR + RS + ST
38 = 19 + RS + 11
∴ RS = 8
Clave B
4.
Como Q es punto medio de AB:
AQ = AB
2 2
6
= = 3
Del gráfico:
MQ = MA + AQ
MQ = 2 + 3
& MQ = 5
Piden: (MQ)2
MQ2
= 52
= 25
` MQ2
= 25
Clave D
5.
A B C D
Dato: AC = 4 + CD
AB BC CD AB CD y BC CD
2 3 4 2 4
3
&
= = = =
Del primer dato:
AB + BC = 4 + CD
CD CD
2 4
3
+ = 4 + CD
CD
4
5 = 4 + CD
CD
4
= 4
CD = 16 & AB = 8 y BC = 12
Del gráfico:
AD = AB + BC + CD
AD = 8 + 12 + 16
` AD = 36
Clave B
6.
Dato: BC - AB = 12 & BC 2 AB
Entonces el punto medio M está entre B
y C, además: AM = MC
Del primer dato:
BM + MC - (AM - BM) = 12
2BM + MC - AM = 12
2BM = 12
` BM = 6 m
Clave D
7.
A B M C D
a b c x
Dato:
AB + CD = 10
a + x = 10 ...(I)
BM - MC = 2
b - c = 2 ...(II)
Como M es punto medio de AD:
a + b = c + x
& ab - c = x - a ...(III)
Reemplazando (III) en (II):
x - a = 2
(+)
x + a = 10
2x = 12
` x = 6
Clave B
8.
A B E
C D
a b c d
F
a
3a
Por dato:
AB = EF = BE
3
= a
& AB = a; EF = a; BE = 3a
Además:
AC + BD + CE + DF = 24
(a + b) + (b + c) + (c + d) + (d + a) = 24
2a + 2b + 2c + 2d = 24
2a + 2(b + c + d) = 24
2a + 2(3a) = 24
8a = 24
& a = 3
Piden: BE
BE = 3a = 3(3) = 9
` BE = 9
Clave B
9.
A B C D
5
40
Del gráfico:
AB + BC + CD = AD
AB + 5 + CD = 40
AB + CD = 40 - 5
` AB + CD = 35
Clave B
10.
A B
M C
N
a a b b
Como M es punto medio de AB:
AM = MB = a
Como N es punto medio de BC:
BN = NC = b
Por dato:
MN = 8
a + b = 8
Piden: AC
AC = a + a + b + b
AC = 2(a + b) = 2(8) = 16
` AC = 16
Clave E
1.er
bimestre

6
Editorial
PRACTIQUEMOS
1.
Dato:
7MN = 2NP
7(x - 5) = 2(32 - x)
` x = 11
Clave A
2.
Dato:
AB + AC = 12
b + (b + a + a) = 12
a + b = 6
` x = b + a = 6
Clave E
3.
A B M C
b a a
Dato:
AB2
+ AC2
= 8
b2
+ (b + 2a)2
= 8
b2
+ 2a2
+ 2ab = 4
Nos piden:
AM2
+ BM2
= (b + a)2
+ a2
= b2
+ 2a2
+ 2ab = 4
Clave D
4.
C
Dato:
AC = 2x + 2y = 12
x + y = 6
Nos piden:
MN = x + y = 6
` MN = 6
Clave D
5.
O A B M
4 16
20
Dato:
3AB = 2(AM + BM)
3.16 = 2(AB + BM + BM)
24 = 16 + 2BM & BM = 4
Nos piden:
OM = OB + BM
OM = 20 + 4 = 24
` OM = 24
Clave B
6.
P A B C
2k 5k
D
Dato: 7PC = 2PD + 5PB
7(PB + BC) = 2(PB + BD) + 5PB
7BC = 2BD
7BC = 2(BC + CD)
5BC = 2CD
Sea CD = 5k / BC = 2k
Dato:
2AD + 5AB = 7
2(AB + BD) + 5AB = 7
2(AB + 7k) + 5AB = 7
AB + 2k = 1
Nos piden:
AC = AB + BC
AC = AB + 2k = 1
` AC = 1
Clave A
7.
A B C D
3 x 2
Dato:
4BC + 5AD = 88

4x + 5(5 + x) = 88
& x = 7
Nos piden:
AC = 3 + x = 3 + 7 = 10
` AC = 10
Clave D
8.
6 a 4 b
A B C D E
Dato: AB . CD = BC . AD
6 # 4 = a # (10 + a) & a = 2
Dato: DE = 2BC
b = 2a = 2(2) & b = 4
Nos piden:
BE = a + b + 4 = 2 + 4 + 4
` BE = 10
Clave B
9.
A B C D E
d
c
b
a
Dato:
BD
AE
b c
a b c d
3
5
3
5
&
=
+
+ + + =
3(a + d) = 2(b + c) … (I)
Dato:
AC + BD + CE = 32
(a + b) + (b + c) + (c + d) = 32
a + 2(b + c) + d = 32 …(II)
Reemplazando (I) en (II):
4(a + d) = 32 & a + d = 8
De (I):
3(8) = 2(b + c)
& b + c = 12
Nos piden: BD = b + c = 12
` BD = 12
Clave A
10.
12
A B C D
Dato:
AC = 3AB
AB + BC = 3AB & BC = 2AB
12 = 2AB & AB = 6
Luego:
AC = AB + BC
AC = 6 + 12 = 18
Dato: 5AC = 3AD
5AC = 3(AC + CD)
2AC = CD & CD = 2 . 18 = 36
` CD = 36
Clave E
11.
15
O
Dato:
2AC = CB
2x = y … (I)
x + y = 9 …(II)
De: (I) y (II):
x = 3 / y = 6
Nos piden:
OC = 6 + x = 6 + 3 = 9
` OC = 9
Clave C
12.
9
Se observa que:
2x = 2y + 9
2(x - y) = 9 & x - y =
2
9
` EF =
2
9
Clave C
13.
P Q R S
6
x
1
P Q R S
1
QR PR RS
1 1 1
+ + =
1
x x
1
1
1
6
1
+ + =
+

( )
x x
x
1
2 1
6
5
+
+ =
12x + 6 = 5x2
+ 5x
5x2
- 7x = 6
x(5x - 7) = 3 # 2

x = 2
` x = 2
Clave A
14.
Dato:
2AC = AB + AD - BC
Reemplazando:
2(a + b) = a + (a + b + c) - b
2a + 2b = 2a + c
c = 2b
Nos piden:
BC
CD
b
c
b
b
2 2
= = =
Clave E
15.
( )
2
PQ
AQ QB
y
x y x y
y
y
2
=
+
= =
- - -
^ h
Clave D
16.
A B D E
x
x
y
C
y
x

7
Editorial
Del gráfico se observa que:
3x = 2y … (I)
Por dato:
AB + AC = 15
x + y = 15 … (II)
De (I) y (II):
x = 6 / y = 9
Nos piden: AE = 2y = 2 . 9 = 18
` AE = 18
Clave A
17.
A B C D
a b c
Dato:
AB AC
1 1
5
1
- =
( )
a a b a a b
b
1 1
5
1
5
1
&
+
=
+
=
- …(I)
Dato:
BC2
= AB + BC
b2
= a + b …(II)
Reemplazando (II) en (I):
5
ab
b ab
5
1
2
&
= =
Nos piden:
2AB . BC = 2ab = 2(5) = 10
Clave D
18.
A B P C D
a m m b
Dato: 2AB = CD
2a = b … (I)
BP = PC = m
AP = a + m = 12 …(a)
Nos piden:
BD = 2m + b …(II)
Reemplazando (I) en (II):
BD = 2m + 2a = 2(m + a)
De (a) tenemos:
BD = 2(12) = 24
` BD = 24
Clave E
19.
A B C
y
x
Dato: AB - BC = 6
x - y = 6 …(I)
Dato: AB + BC = 10
x + y = 10 …(II)
De (I) y (II):
x = 8 / y = 2
Nos piden: AB = x = 8
Clave B
20.
A B C D
x z
8
Dato: AC + BD = 32
(x + 8) + (8 + z) = 32
x + 16 + z = 32
x + z = 16
Piden: AD
AD = x + 8 + z = 16 + 8
` AD = 24
Clave C
21.
A B C D E
3 2 x
Dato: 4AB - AD = 4 + 2CD
4 # 3 - (5 + x) = 4 + 2x
7 - x = 4 + 2x
x = 1
Nos piden:
AD = 3 + 2 + x = 3 + 2 + 1
` AD = 6
Clave D
22.
A B C D
6a 2a 4a
AB BC CD
3 2
= =
Sea: AB = 6a
a BC CD
3
6
2
= =
& BC = 2a / CD = 4a
Además, por dato:
AD = 12 & 12a = 12
a = 1
Nos piden:
BC = 2a = 2
Clave B
23.
A B C D
6 2 x
Dato:
BC
AB
CD
AD
=

4
x
x x
2
6 8 &
= + =
Nos piden:
AD = 8 + x = 8 + 4
AD = 12
Clave B
24.
A B C D
a 3a
12
Dato:
AB =
3
1BC
Sea: BC = 3a & AB = a
Del gráfico:
AC = a + 3a = 12 & a = 3
Nos piden:
AB = a = 3
Clave C
25.
A B C D E
x x
2a a
Dato: 2DE = CD
Si: DE = a & CD = 2a
AB + AE = 6
x + 2x + 3a = 6
x + a = 2
Nos piden:
AD = 2x + 2a = 2(x + a)
AD = 2(2) = 4
Clave A
26.
A B C D E
a 2a 3a 4a
AB BC CD DE
2
1
3
1
4
1
= = =
Sea: AB = a
& BC = 2a; CD = 3a; DE = 4a
Dato: AC = 3a = 6 & a = 2
Nos piden:
AE = 10a = 10 # 2 = 20
Clave C
27.
A B C D
a b c
Por dato:
BC
AB
CD
AD
b
a
c
a b c
&
= = + + ...(I)
BC . CD = 63 & b . c = 63 …(II)
CD - BC = 18
c - b = 18 …(III)
Resolviendo (II) y (III):
c = 21 / b = 3
Reemplazando en (I):
4
a a a
3 21
24 &
= + =
Nos piden:
AC = a + b = 4 + 3 = 7
Clave C
28.
A B C D E
2a a 3a 4a
BC AB CD DE
1 2 3 4
= = =
BC AB CD DE
2 3 4
= =
=
Sea BC = a
& AB = 2a; CD = 3a; DE = 4a
Además:
AE = 10a = 20 & a = 2
Nos piden:
BC = a = 2
Clave A
29.
A B C D
4 3 x
BD CD x x
5 3 5
3
3
&
= + =
9 + 3x = 5x & x =
2
9
Nos piden:
CD = x =
2
9 = 4,5
Clave D
30.
M
AC + AB = 18
y + 2x + y = 18 & x + y = 9
Nos piden:
AM = y + x = 9
` AM = 9
Clave A

8
Editorial
PRACTIQUEMOS
1.
4x
8x 30°
-
Del gráfico:
8x - 30° + 4x = 90°
12x = 120°
` x = 10°
Clave A
2.
100°
Del gráfico:
5x + 100 + 3x = 180°
8x = 80°
` x = 10°
Clave B
3.
20°
O
Dato: OB es bisectriz del + AOC:
& m+ AOB = m+ BOC
Luego:
20° + 4x + 4x = 180°
8x = 160°
` x = 20°
Clave C

4.
Dato: m+ POR = 100°
a + b + x = 100°
2a + 2b + 2x = 200°
Se cumple: 2a + 2b + x = 180°
` x = 20°
Clave B
ÁNGULOS
EVALUACIÓN
1.



x

O A
B
C
Del gráfico:
2α + 2β = 90°
α + β = 45°
x = α + β ` x = 45°
Clave E
2.
θ
α
α
θ
x
A
M
B
N
C
O
y
OM ON son bisectrices de los ángulos
AOB y AOC.
Por dato:
m+AOC - m+AOB = 36°
2θ - 2α = 36°
θ - α = 18°
Del gráfico: α + x = θ
x = θ - α ` x = 18°
Clave C
3.
I. 180° - a = x
180° - b = x
180° - a = 180° - b
a = b
Verdadero
II. 0° 1 α 1 180°
0 1 90° 1 180°
Verdadero
III. El ángulo se forma con dos rayos (con
el mismo origen).
Verdadero
Clave B
Sean los ángulos
4. α y θ (α 2 θ).
Por dato: a + q = 180° ...(I)
a - 32° = q + 32°
a - q = 64° ...(II)
De (I) y (II): a = 122° / θ = 58°
Clave A
Sean los ángulos
5. a y b:
a + b = 180° /
k
k
13
5
b
a
=
& 5k + 13k = 180°
k = 10°
Luego:
a = 50° y b = 130°
Piden: 130° - 50° = 80°
Clave B
6. A
B
C
O
X
Como OX es bisectriz del ángulo AOC:
& m+AOX = m+COX
Dato: m+AOB - m+BOC = 60°
m+AOX + m+BOX - (m+COX - m+BOX)
= 60°
2m+BOX = 60°
m+BOX = 30°
Clave B
7.
O
A
C
B
D
62°
58°
x
Del gráfico:
58° + x + 62° = 180°
x + 120° = 180°
` x = 60°
Clave A
8.
X
B
D Y
A
C
β
β
40°
α
α
O
Del gráfico:
2α + 2β + 40° = 90°
α + β = 25°
Piden: m+XOY
m+XOY = α + β + 40° = 25° + 40°
` m+XOY = 65°
Clave D
9.
O
B
C
A
D
E

2
3
4
3a = 30°
a = 10°
Piden: m+AOE
10a = 10(10°) = 100°
` m+AOE = 100°
Clave A
10.
D B
N
A
O
α
α
28°
x
α x
-
x M
C
y
ON OM son bisectrices de los ángulos
AOB y AOC, respectivamente, además
//
DM ON.
Luego:
m+COM = m+MOA
28° + α - x = x + α
28° = 2x
` x = 14°
Clave B

9
Editorial
Sea el ángulo: x
5.
x - 2(90° - x) = 30°
3x - 180° = 30°
3x = 210°
x = 70°
Clave A
6.
x - θ
x + θ
B
C
O
Dato: m+ AOD = 102°
x - q + x + x + q = 102°
3x = 102°
` x = 34°
Clave E
7.
O
Dato: m+AOB = 100°
+AOQ = 56°; +POB = 74°
m+AOQ + m+POB = 130°
m+AOQ + m+POQ + m+QOB = 130°
m+AOB + m+POQ = 130°
100° + m+POQ = 130°
` m+POQ = 30°
Clave A
Sea el ángulo: x
8.
x - (90° - x) = 10°
2x - 90° = 10°
2x = 100°
` x = 50°
Clave E
Sea el ángulo: x
9.
x = 3(180° - x)
x = 540° - 3x
4x = 540°
` x = 135°
Clave D
10.
P
O
 


A B
Q
C
Dato: m+AOC = 160°
2a + 2q = 160°
a + q = 80
` m+POQ = 80°
Clave D
11.
θ
O
Como OQ es bisectriz del +BOD:
& m+DOQ = m DOB
2
+ ...(I)
Como OP es bisectriz del +AOC:
& m+AOP = m AOC
2
+ ...(II)
Sumando (II) y (I):
m+AOP + m+DOQ = m AOD m BOC
2
+ +
+
m+AOD - m+POQ = m AOD m BOC
2
+ +
+
180° - m+POQ = 90° +
2
θ
` m+POQ = 90° -
2
θ
Clave C
12.
5x – 10°
3x 60°
+
O
A
M
B
Como OM es bisectriz del +AOB:
m+AOM = m+MOB
5x - 10° = 3x + 60°
2x = 70°
` x = 35°
Clave C
13.
3x
5x – 70°
Del gráfico:
3x + 5x - 70° = 90°
8x = 160°
` x = 20°
Clave B
14.
2x
3x 2x
Del gráfico:
3x + 2x + 90° = 180°
5x = 90°
` x = 18°
Clave D
.
2
1
3
1
15. (90° - (180° - 102°)) =
6
1(90° - 78°)

6
1 (12°) = 2°
Clave B
16.
C
M
B
A
O
Dato: m+AOB - m+BOC = 42° ...(1)
Como OM es bisectriz del +AOC:
& m+AOM = m+MOC
Reemplaando en (1):
m+AOM + m+MOB - (m+MOC - m+MOB) = 42°
2m+MOB + m+AOM - m+MOC = 42°
` m+MOB = 21°
Clave A
17.
P S
O
Q R
Dato: m+POR + m+QOS = 240°
m+POQ + m+QOR + m+QOS = 240°
m+QOR + 180° = 240°
` m+QOR = 60°
Clave B
18. Q
O
D
B
A
C
P
Como OP y OQ son bisectrices de los
+BOA y +DOC, entonces:
m QOC m DOC y m BOP
A
m BOA
2
+ + + +
= =
Dato: m+POQ = 90°
m+QOC + m+COB + m+BOP = 90°
2m+QOC + 2m+COB + 2m+BOP = 180°
m+DOC + m+COB + m+COB + m+BOA
= 180°
` m+DOB + m+COA = 180°
Clave A
19.
X
Y
Como OX y OY son bisectrices de los án-
gulos AOB y AOC, entonces:
m AOX m AOB m AOY m AOC
2 2
+ + + +
= =
m AOY m AOX m AOC m AOB
2
+ + + +
=
- -
m+XOY m BOC
2
+
=
32° m BOC
2
+
=
` m+BOC = 64°
Clave B
20.
O
A
B
Q
C
Como OQ es la bisectriz del +AOC:
& m+AOQ = m+QOC
m+AOQ + m+QOB - (m+QOC - m+QOB)
= 30°
2m+QOB + m+AOQ - m+QOC = 30°
` m+QOB = 15°
Clave E

10
Editorial
Sea el ángulo: x
21.
(180° - x) - 4(90° - x) = 2(90° - x)
180° - x - 360° + 4x = 180° - 2x
3x - 180° = 180° - 2x
5x = 360°
` x = 72°
Clave D
22.
Dato:
m A m B m C
4 6 5
+ + +
= =
m A m B y m C m B
3
2
6
5
+ + + +
= =
& m+B 2 m+C 2 m+A
Dato:
90° - (m+A + m+B + m+C) = 15°
90 15
° m B m B m B °
3
2
6
5
+ + +
+ + =
- c m
90 -
6
15 m+B = 15°
75
m B °
6
15 +
=
` m+B = 30°
Clave B
23.
(180°-x)-(2(90° - x) - 30°) =
11
3 (180° - x)
180° - x - (150° - 2x)=
11
3 (180° - x)
30° + x =
11
3 (180° - x)
330° + 11x = 540° - 3x
14x = 210°
` x = 15°
Clave A
24.
O
A
C
D
B
M
N
Como OM y ON son bisectrices de los
+AOC y +BOD, entonces:
m+AOM = m+MOC / m+BON = m+NOD
Dato: m+AOB + m+COD = 152°
m+AOM - m+BOM + m+NOD - m+NOC
= 152°
m+MOC - m+NOC + m+BON - m+BOM
= 152°
m+MON + m+MON = 152°
2m+MON = 152°
` m+MON = 76°
Clave A
25.
Como OM y ON son bisectrices de los
+AOC y +BOD:
m+AOM = m+MOC y m+BON = m+NOD
Dato: m+AOB = 98°
m+COD = 98°
m+AOB + m+COD = 196°
m+AOM - m+BOM + m+NOD - m+NOC
= 196°
m+MOC - m+NOC + m+BON - m+BOM
= 196°
m+MON + m+MON = 196°
2m+MON = 196°
` m+MON = 98°
Clave E
26.
X
Y
Z
C
Como OX, OY y OZ son bisectrices de los
+AOB, +BOC, +XOY, entonces:
m+AOX = m+BOX = m AOB
2
+
m+BOY = m+COY =
m BOC
2
+
m+XOZ = m+YOZ = m XOY
2
+
2m+BOX - 2m+BOY = 26°
m+BOX + m+BOY = 13°
m+XOZ + m+BOZ - (m+YOZ - m+BOZ)
= 13°
2m+BOZ + m+XOZ - m+YOZ = 13°
` m+BOZ = 6°30’
Clave C
27.
O
Dato: OA ⊥ OD:
m+AOD = 90°
m+AOC + m+BOD = 140°
m+AOC + m+COD + m+BOC = 140°
m+AOD + m+BOC = 140°
90° + m+BOC = 140°
` m+BOC = 50°
Clave A
28.
X
O
Como OX es bisectriz del +AOC
& m+AOX = m+COX
m+AOX + m+BOX - (m+COX - m+BOx)
= 32°
2m+BOX + m+AOX - m+COX = 32°
` m+BOX = 16°
Clave C
29.
X Y
O
Dato: m+AOX = 60°
m+BOY = 180° - 3m+BOA
Y se cumple:
m+AOX + m+BOA + m+BOY = 180°
60° + m+AOB + 180° - 3m+AOB = 180°
60° - 2m+AOB = 0°
2m+AOB = 60°
` m+AOB = 30°
Clave B
30.
Y
X
Z
O
Como OX, OY y OZ son bisectrices de
los ángulos AOB, COD y XOY, entonces:
m+AOX = m+BOX
m+COY = m+DOY
m+XOZ = m+YOZ
Dato: m+BOY - m+AOX = 36°
m+BOZ + m+YOZ -(m+BOX) = 36°
m+BOZ + m+YOZ - (m+XOZ - m+BOZ)
= 36°
2m+BOZ + m+YOZ - m+XOZ = 36°
` m+BOZ = 18°
Clave C

11
Editorial
PARALELISMO y perpendicularidad
EVALUACIÓN
1.
L1
L2
2x
x
Del gráfico:
2x + x = 180°
3x = 180°
` x = 60°
Clave C
2.
x
L1
L2
x
x
180° x
-
Por propiedad:
x + x = 180° - x
3x = 180°
` x = 60°
Clave A
3.
L1
L2
4x
100°
Del gráfico:
4x + 100° = 180°
4x = 80°
` x = 20°
Clave B
4.
2x


40°
L2
L3
L1
Del gráfico:
α = 40°
2x = α
2x = 40°
` x = 20°
Clave C
5.
L1
L2
60°
x
50°
50°
Del gráfico:
x + 50° + 60° = 180°
x + 110° = 180°
` x = 70°
Clave B
6. L1
L2

3

90° - 
Del gráfico:
a + 3α = 90° + 90° - a
5a = 180°
` a = 36°
Clave B
7.
M
N
θ
2θ
2θ
3θ
L
Trazamos //
L M .
Del gráfico:
3q + 3q = 90°
6q = 90°
` q = 15°
Clave A
8. L1
L2
x α
3α
Del gráfico:

3a + a = 180°
4a = 180°
a = 45°
x + 90° + a = 180°
x + 45° = 90°
` x = 45°
Clave C
9.
5x 30°
-
5x 30°
-
β
Del gráfico:
5x - 30° + β = 180°
β = 210° - 5x
Por dato:
90° 1 β 1 180°
90° 1 210° - 5x 1 180°
30° 1 5x 1 120°
6° 1 x 1 24°
x = {7°; 8°; ...; 23°}
n.° valores = 23 - 6 = 17
Clave B
10.
L1
L2
x
155°
15°
25°
180° x
-
Por propiedad:
15° + 25° = 180° - x
x = 180° - 40°
` x = 140°
Clave D
PRACTIQUEMOS
1. L1
L2
Del gráfico:
3a + 3q = 120° / x = a + q
a + q = 40°
` x = 40°
Clave B
2.
L1
L2
Dato: a + b + c + d = 140°
Del gráfico:
x = a + d = b + c
Entonces:
x + x = 140°
` x = 70°
Clave E
3.
90° - θ
θ
θ
180° 2x
-
Por propiedad:
90° - q + q + 180° - 2x = x + 90°
180° = 3x
60° = x
Clave E
4.
L1
L2
20° x
+
10° x
+
w
180° b
-
180° a
-
w + 180° - b + 180° - a = 180°
w = a + b - 180°
w = 220° - 180°
w = 40°
Luego:
w = 10° + x + 20° + x
40° = 30° + 2x
x = 5°
Clave D
5.
x
ω
ω
θ
α
a
a
L1
L2
Dato: 45
x °
2
= +
θ a
-

12
Editorial
Del gráfico:
w + a = x + a ...(I)
2w + 2a = q + a ...(II)
Luego:
2x + 2a = 2w + 2a
2x + 2a = q + a
2x = q - a
2x = x °
2
45
+
45
x °
2
3
=
` x = 30°
Clave C
6.
°
180° 5x
-
L1
L2
° 2x
Del gráfico:
180° - 5x + 180° - 6x = 180° - 2x
180° = 9x
` x = 20°
Clave C
7.
40°
180° x
-
20°
40° L1
L2
L3
Trazamos L1
// L2
Luego:
40° + 180° - x = 90°
` x = 130°
Clave C
8.
x
2θ θ
θ
α
2α
α
L1
L2
90° 2
- α
90° 2
- θ
180° - α θ
-
4a + 4q = 180°
a + q = 45°
x+90°-2q+180°-a-q+90°-2a = 360°
& x = 3α + 3q
` x = 135°
Clave A
9.
2x
14°
40°
L1
L2
Del gráfico:
40° = 2x + 14°
` x = 13°
Clave C
10.
x
20°
y
30°
x
40°
L1
L2
x = 30° + 40° = 70°
y = x + 20° = 70° + 20° = 90°
` x + y = 160°
Clave D
11.
20°
30°
L1
L2
Por propiedad:
x + b + a = 20° + 30° + a + b
` x = 50°
Clave B
12.
L1
L2
Del gráfico:
x = 30° + 50°
` x = 80°
Clave D
13.
x
170º
10º
40º
140º
L1
L2
Por propiedad:
x = 10° + 40°
` x = 50°
Clave C
14.
90°
L1
L2
Del gráfico:
70° + 90° - x = 80°
` x = 80°
Clave D
15.
x
10°
α
Del gráfico:
α + 10° = 180°
α = 170°
Por propiedad:
x = α
` x = 170°
Clave D
16.
θ
x
α
α
x
θ
L1
L2
Dato: a + q = 142° ...(I)
Del gráfico:
x + q = 90°
180° - a + q = 90°
90° = a - q ...(II)
De (I) y (II):
232° = 2a
116° = a
Luego:
x = 180° - α
x = 180° - 116°
` x = 64°
Clave A
17.
x
3α
3ω
α
ω
L1
L2
Del gráfico:
x = 3a + 3w x
3
& a w
= +
Además:
x + a + w = 180°
x + x
3
= 180°
` x = 135°
Clave C
18.
180° – x
x
180° – a
a
b
50°
ω 10°
+
ω
L1
L2
Dato: a + b = 160°
Del gráfico:
180° - x + b + w + 10° = 180° - a + 50° + w
a + b - 40° = x
160° - 40° = x
` x = 120°
Clave E
19.
120°
40°
x
60º
L1
L2
Del gráfico:
x = 40° + 60°
` x = 100°
Clave B
20.
170°
110°
x
70º
10º
L1
L2
Del gráfico:
x = 70° + 10°
` x = 80°
Clave C

13
Editorial
21.
θ
θ
°
°
° θ
θ
180° 3x
-
L1
L2
Del gráfico:
a + q = 180° - x
180° - a - q + 180° - a - q = 180° - 3x
180° - 2(180° - x) + 3x = 0
5x = 180°
` x = 36°
Clave E
22.
3x
α
α
β
β
θ
θ
x
ω
ω
L1
L2
Del gráfico:
2α + 2ω = 180° / 2θ + 2β = 180°
α + ω = 90° θ + β = 90°
Luego:
x = α + β
3x = θ + ω
Entonces:
4x = α + β + θ + ω
4x = 90° + 90° = 180°
` x = 45°
Clave C
23.
x
θ
2ω
L2
ω
ω
L
L1
α
β
α
β
θ
L3
L4
Trazamos //
L L1
Del gráfico:
x + α + β = 180°
x = 180° - (α + β) ...(I)
Luego:
2ω + α = 180°
2θ + β = 180°
& 2(ω + θ) + (α + β) = 360°
2(100°) + (α + β) = 360°
α + β = 160°
Reemplazamos en (I):
x = 180° - (160°)
` x = 20°
Clave B
24.
30°
40°
x
L1
L2
40°
30°
Del gráfico:
x = 40° + 30°
` x = 70°
Clave C
25.
160°
130°
x
50º
20º
L1
L2
Del gráfico:
x = 50° + 20°
` x = 70°
Clave D
26.
40º
50º
x
30º
150º
40º
L1
L2
Del gráfico:
x = 50° + 30°
` x = 80°
Clave B
27.
160°
x
180° x
−
Por propiedad:
180° - x = 160°
` x = 20°
Clave C
28.
L1
L2
Del gráfico:
x + q = 90°
180° - α + θ = 90°
90° = a - q
Dato: 140° = a + q
Entonces: 2a = 230°
a = 115°
Luego:
x = 180° - a = 180° - 115°
` x = 65°
Clave D
29.
x
25°
48°
L1
L2
Del gráfico:
x + 25° = 48°
` x = 23°
Clave C
30.
3x
L1
L2
a
b
Trazamos a y b paralelas a y
L L
1 2 .
Luego:
4x = 180°
` x = 45°
Clave E

14
Editorial
TRIÁNGULOS
PRACTIQUEMOS
1.
2x 60°
+
105°
37°
Por ángulo exterior:
2x + 60° = 105° + 37°
2x = 82°
x = 41°
Clave A
2.
150°

126°
Por suma de ángulos exteriores:
q + 126° + 150° = 360°
q + 276° = 360°
` q = 84°
Clave D
3.
70°
x
2x 20°
+
EVALUACIÓN
1.
60°
70°
20°
x
θ
B
A C
D
P
Por propiedad:
q = 60° + 70°
q = 130°
Luego:
x + q + 20° = 180°
x = 180° - 20° - 130°
` x = 30°
Clave C
2.
70°
50°
α
β
D
A
B
C
Dato: AB // CD
& b = 50° y a = 70°
Piden: a - b
a - b = 70° - 50° = 20°
` a - b = 20°
Clave C
3.
60° 30°
40°
x
y α
θ
Por propiedad:
θ = 60° + 40° = 100°
α = x + y
Luego:
α + θ + 30° = 180°
α + 100 + 30° = 150°
α = 50°
` x + y = 50°
Clave B
4.


3 3
40°
x
P
B
A C
Por suma de ángulos internos:
4a + 4b + 40° = 180°
a + b = 35°
Luego:
3a + 3b + x = 180°
3(a + b) + x = 180°
3(35°) + x = 180° - 105°
` x = 75°
Clave E
5.

2
2

x
Del gráfico:
3q + 3a = 90°
a + q = 30°
Luego:
2(a + q) + x = 180°
x = 180° - 60°
x = 120°
Clave C
6.
β
β
α
α
θ
θ
3
4
A
B
C
E
Por propiedad:
a + b = q +
4
3θ
a + b =
4
7θ
Luego:
a + b +
4
3θ = 180°

4
7
4
3
θ θ
+ = 180°
°
2
5 180
θ
=
q = 72°
Clave C
7.
α
α
θ
θ
θ
α
x
y
20°
A
B
C
3(a + q) + 20° = 180°
a + q = °
3
160
Luego:
180° - 2(a + q) = x
180° - °
3
320 = x
° x
3
220
=
Además:
180° - (α + q) = y
°
3
380 = y
Piden:
x + y = °
3
380
3
220
+
` x + y = 200°
Clave C
8.
30°
 
2q + 30° = 180°
2q = 150°
q = 75°
Clave A
9.
85°
40°
30° x
Por propiedad:
x = 85° + 30° + 40°
` x = 155°
Clave A
10.
60°
70°
72°

Por propiedad:
60° + 70° = 72° + a
130° = 72° + a
` α = 58°
Clave D

15
Editorial
Por suma de ángulos interiores:
2x + 20° + x + 70° = 180°
3x = 90°
` x = 30°
Clave D
4.
θ
70°
x
100°
50°
180° − θ
x + 70° = 100° + 50° = 180° - θ
x + 70° = 150°
` x = 80°
Clave E
5.
70°
x
50°
30°
80°
Del gráfico:
x + 70° + 80° = 180°
` x = 30°
Clave A
6.
5 


Del gráfico:
q + a = 5a / 2q + a = 180°
q = 4a 2q +
4
θ = 180°

4
a θ
= °
4
9 180
θ
=
` q = 80°
Clave E
7.
x
50°
60° 65°
60°
60°
65°
Del gráfico:
60° + x + 65° = 180°
x + 125° = 180°
` x = 55°
Clave A
8.
40°
θ
θ
2
θ
2
Del gráfico:
2
θ + 40° = 90°
θ + 80° = 180°
` θ = 100°
Clave A
9.
40°

3x
4x
3x
3x + 4x + 3x = 180°
10x = 180°
x = 18°
3x = 40° + α
54º = 40° + α
` α = 14°
Clave B
10.
104°
2θ
2θ
α
α
2θ + 2θ + 104° = 360°
4θ = 256°
` θ = 64°
Clave A
11.
13 5
x
Por existencia de un triángulo:
13 - 5 1 x 1 13 + 5
8 1 x 1 18
x = {9; 10; 11; 12; …; 17}
` Σ valores enteros de x es: 117
Clave D
12.
75°
10x
5x
10x + 5x + 75° = 180°
15x = 105°
` x = 7°
Clave C
13.
6x +15°
5x 10°
+
4x 35°
+
B
A C
4x + 35° + 5x + 10° + 6x + 15° = 360°
15x + 60° = 360°
15x = 300°
` x = 20°
Nota: Considerar el ángulo externo C, igual a:
6x + 15°
Clave A
14.
3

x x
Del gráfico:
x + q = 3q / 2x + q = 180°
x = 2q 2x + x
2
= 180°
x
2
θ =
x °
2
5 180
=
` x = 72°
Clave B
15.
7 3
9x
Del gráfico:
7a + 3a = 90° / 3a + 9x = 180°
10a = 90° 27° + 9x = 180°
a = 9° 9x = 153°
` x = 17°
Clave D
16.
2x
4x
3x


Del gráfico:
4x + 2x + 3x = 180° / 2q = 3x
9x = 180° 2q = 60°
x = 20° ` q = 30°
Clave C
17.
150°
180°– x 180° – x
x
(180° - x) + (180° - x) = 150°
360° - 2x = 150°
2x = 210°
` x = 105°
Clave E
18.
x 20
12
Por existencia de un triángulo:
x 1 20 + 12
x 1 32
El máximo valor entero de x es 31.
Clave D

16
Editorial
19.
105° 115°
2x
75° 65°
2x + 75° + 65° = 180°
2x = 40°
` x = 20°
Clave D
20.
50°
80°

60°
Por propiedad:
60° + 50° = 80° + q
` q = 30°
Clave A
21.
 3
20° x 40°
11
20° + a + 40° + 3a + 11a = 180°
15a = 120°
a = 8°
Luego:
x = 180° - 4a
x = 180° - 4(8°) = 148°
` x = 148°
Clave B
22.
4x
9θ
x
Del gráfico:
4x + x = 90° / 9q + x = 180°
5x = 90° 9q = 162°
` x = 18° ` q = 18°
Clave A
23.
80°
 


x
2a + 2a + 80° = 180°
4a = 100°
a = 25°
Por propiedad:
x = 80° + α + α
x = 80° + 2α = 80° + 2(25°)
x = 80° + 50°
` x = 130°
Clave E
24.


 
120°
x
θ + θ + 120° = 180°
2θ = 60°
θ = 30°
Luego:
2θ + x + 2θ = 180°
x + 4θ = 180°
x + 4(30°) = 180°
` x = 60°
Clave E

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