Dokumen tersebut membahas konsep teori peluang termasuk kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi yang digunakan untuk menyelesaikan masalah peluang. Konsep-konsep tersebut dijelaskan dengan contoh-contoh sederhana.

1. Teori Peluang

2. Kaidah Pencacahan, permutasi
dan kombinasi
 Standar Kompetensi
Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang
 Kompetensi Dasar
Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan
kombinasi
 Indikator
Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi
digunakan dalam menentukan banyaknya cara
menyelesaikan suatu masalah
Hal.: 2 PELUANG Adaptif

3. Kaidah Pencacahan, permutasi
dan kombinasi
 Kaidah pencacahan
1. Aturan pengisian tempat yang tersedia
Contoh:
Pada lomba lari 100 meter, empat anak
lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi),
B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).
Pada perlombaan tersebut disediakan
dua hadiah. Ada berapakah susunan
pemenang yang mungkin muncul pada
akhir pertandingan?
Hal.: 3 PELUANG Adaptif

4. Kaidah Pencacahan, permutasi
dan kombinasi
 Jawab:
Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul,
dapat kita susun yaitu:
AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.
Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara
umum mengikuti aturan sebagai berikut:
Langkah 1:
Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai
juara pertama.
Langkah 2:
Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta
lomba yang bisa menduduki juara kedua.
Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang
mungkin terjadi
Hal.: 4 PELUANG Adaptif

5. Kaidah Pencacahan, permutasi
dan kombinasi
 Contoh 2
Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana
panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat
berpakaian lengkap?
Jawab:
Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana
panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.
Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 12 cara Amalia dapat berpakaian lengkap
Hal.: 5 PELUANG Adaptif

6. Kaidah Pencacahan, permutasi
dan kombinasi
 Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:
n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah
tempat pertama terisi.
n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah
tempat pertama dan kedua terisi, dan
nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah
tempat-tempat sebelumnya terisi.
Maka banyaknya n3 x … x nk. mengisi k tempat yang tersedia
n1 x n2 x cara untuk
adalah
Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat
yang tersedia atau kaidah
perkalian.
Hal.: 6 PELUANG Adaptif

7. Kaidah Pencacahan, permutasi
dan kombinasi
 Definisi dan Notasi faktorial
Definisi:
Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari
satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi
notasi n!.
Jadi n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau
n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
dengan 1! = 1 dan 0! = 1
Hal.: 7 PELUANG Adaptif

8. Masalah Permutasi
Masalah
Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).
Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa
cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.
Jawab: B ... (A,B) = permutasi ke-1 = p
Obyek Cara Eksp. 1
A
Eksp.
C ... (A,C) = permutasi ke-2 = p2
A
Diundi untuk A ... (B,A) = permutasi ke-3 = p3
3
B B S, n(S) = P2
memperebutkan 2 hadiah C ... (B,C) = permutasi ke-4 = p
4
C
A ... (C,A) = permutasi ke-5 = p
5
C
B ... (C,B) = permutasi ke-6 = p
3 cara 6
2 cara
Menurut Prinsip Perkalian
3× 2×1 3! n n!
Banyaknya cara: n(S) = P2 = 3×2 = 6
3
→ P23 = 3×2 = 1 = ( 3 − 2)!
→ Pr =
(n − r )!
Hal.: 8 PELUANG Adaptif

9. Masalah Permutasi
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata
“MAMA”?.
Jawab
Jika salah satu anggota diberi indeks
MMAA
MAMA M1 A 1 M2 A2
AMMA Ada 6 cara
AMAM M2 A2 M1 A1
AAMM M1 A2 M2 A1
MAAM
Selanjutnya perhatikan bahwa
M2 A1 M1 A2
Seluruh permutasi setelah M dan A diberi indekas sesuai banyaknya huruf
6=
Ma sin g − ma sin g dari 6 anggota setelah diberi indeks memuat 4 cabang
4! (banyaknya permutasi 4 huruf dari 4 huruf berlainan)
=
4 (masing - masing anggota dari 6 anggota memuat 4 cabang)
4! 4!
= =
2! (permutasi dari M1 dan M 2 ) × 2! (permutasi dari A 1 dan A 2 ) 2! 2!
Hal.: 9 PELUANG Adaptif

10. Masalah Permutasi
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?
Jawab
P(7 , 2,1) 7!
Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara = 4 = = 105 cara
4!.2!.1!
Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada
C7 C7 − 4
4 . Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada 2 ,
C1 − 4 − 2
7
dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada .
Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf
dari kata KAKAKKU ada:
(7 . 6 . 5 . 4) . (3 . 2).(1) 7!
P(7 ,2,1)
4 = C7
4 × C7 − 4
2 × C1 − 4 − 2
7 =
4! 2! 1!
=
4! 2! 1!
n n!
Secara umum, P(n1 , n 2 , ... , n k ) = dengan n = n1 + n2 + + nk
n1 ! . n 2 ! ... nk !
Hal.: 10 PELUANG Adaptif

11. Masalah Permutasi
Permutasi Siklis
Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar
A C B Secara umum banyaknya
permutasi siklis dari n obyek =
C B B A A C
Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk
melihat kesamaannya perhatikan bahwa:
CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).
Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2
saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2
permutasi siklis.
n
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = Psiklis = (n – 1)!
Hal.: 11 PELUANG Adaptif

12. Masalah Permutasi
 Permutasi berulang
 Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf,
yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang
terbentuk boleh mengandung huruf yang sama,
maka kita akan mendapatkan kata:
AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.
Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil
dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang
ada 9 cara.
Hal.: 12 PELUANG Adaptif

13. Masalah Permutasi
 Secara umum:
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n
unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang
tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai
berikut:
P (berulang) =nr dengan r ≤ n
Hal.: 13 PELUANG Adaptif

14. Masalah Kombinasi
No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat
hadir
1 O= Diundang 2 AB = c1
{A,B,C,D} orang wakilnya AC = c2
untuk rapat
keluarga AD = c3
BC = c4
BD = c5
CD = c6
2 O= Diundang 3 ABC = c1
{A,B,C,D} orang wakilnya ABD = c2
untuk rapat
keluarga ACD = c3
BCD = c4
Hal.: 14 PELUANG Adaptif

15. Masalah Kombinasi
Macam Jika elemen-elemen Banyaknya
Kombinasi kombinasi itu Permutasi
dipermutasikan
c1 = AB AB dan BA 2!
c2 = AC AC dan CA 2!
AD dan DA 2!
c3 = AD
BC dan CB 2!
c4 = BC
BD dan DB 2!
c5 = BD
CD dan DC 2!
c6 = CD 6 × 2!
C4 = 6
2 Total = P2 = 12 = 6 × 2
4
Perhatikan bahwa
12 = 6 x 2!
P2 = C4
4
2 x 2!
Hal.: 15 PELUANG Adaptif

16. Masalah Kombinasi
Macam Jika elemen-elemen kombinasi itu Banyaknya
Kombinasi dipermutasikan Permutasi
(Bayangkan hasilnya dari diagram
pohon ybs)
c1 = ABC ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA 3!
c2 = ABD ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA 3!
c3 = ACD ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCA 3!
c4 = BCD ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA 3!
= 4 = 4 × 6 = 24 4 × 3!
Perhatikan bahwa Dari : 4
P2 Maka Secara Umum :
4 4 C4
2 =
24 = 4 × 3! (1) P2 = C2 × 2! 2! n
Pr n!
4
P3 C4
4
P3 Cn
r = =
= × 3! (2) = 3 × 3! C4 =
3 r! (n – r)! r!
3!
Hal.: 16 PELUANG Adaptif

17. Masalah Kombinasi
Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa
unsur sama
Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola
merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus
terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.
Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n
unsur dengan beberapa unsur yang sama.
Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah
4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.
Hal.: 17 PELUANG Adaptif

18. Masalah Kombinasi
 Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn
Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur
q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1
+ n2 + n3 + …+ ne = n.
Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari
k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1
+ k2 + k3 + … + ke = k.
Banyak cara pengambilan adalah:
n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke
Hal.: 18 PELUANG Adaptif

19. Peluang Kejadian
 Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu
kejadian
Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu
peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan
tak terhingga.
lim fr ( A )
P(A)= n→∞
Kombinatorik
Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel
dengan :
1.Cara mendatar
2.Membuat tabel
3.Membuat diagram pohon
Hal.: 19 PELUANG Adaptif

20. Peluang Kejadian
Eksperimen (Percobaan Acak)
 Ada Obyek Eksperimen
 Ada Cara Eksperimen
 Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)
Obyek Hasil-hasil
Eksp. Yang Mungkin
s1
S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }
Cara Eksp. s2
s3 S = Himpunan semua hasil yang mungkin
s4
dalam eksperimen itu
s5
S s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing
s1 s2
disebut titik sampel
s3 s4 s5
Hal.: 20 PELUANG Adaptif

21. Peluang Kejadian
S
s2 s3
s1 A
S = Ruang Sampel
sm
= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi
sn dalam eksperimen itu
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}
A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}
Prinsip Penjumlahan
P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})
= jumlah peluang masing-masing titik sampel
yang ada di dalamnya
Hal.: 21 PELUANG Adaptif

22. Contoh soal
 1. sebuah dadu di lempar, tentukan
peluang muncul mata dadu:
 a. bil genap
 B. bil. Prima ganjil
 2. dua buah dadu dilempar secara
bersamaan. Tentukan peluang:
 A. jumlah mata dadu yang muncul
kurang dari 4
 Jumlah mata dadu yang lebih 10
Hal.: 22 PELUANG Adaptif

23. Peluang Kejadian
Peluang Berdasar Pengambilan Sampel
 Pengambilan Sekaligus → Kombinasi
Pengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan
urutan tak
diperhatikan (tak punya makna)
 Pengambilan Satu Demi Satu
1. Tanpa Pengembalian → Permutasi
Pengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan
diperhatikan (punya makna)
2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan
Bukan Kombinasi
Hal.: 23 PELUANG Adaptif

24. Cntoh soal
 Di dalam kantong terdapat 4 bola
merah dan 3 bola putih. Akan di ambil
3 bola sekaligus. Tentukan peluang:
 A. 2 bola pertama merah dan kedua
putih tanpa pengembalian
 B. 3 bola warna merah
Hal.: 24 PELUANG Adaptif

25. Peluang Kejadian
1. Pengambilan Sekaligus
Ambil acak 2 bola
sekaligus. Hasil-hasil yang Banyaknya Frek.
mungkin? Eksp. Munculnya
s2 s3
s1 =
Cara Ekp.
300 kali 92 105 93
Hasil-hasil yang
3.000 kali 1.012 991 997
Obyek Eksp mungkin A 15.000 kali 4.989 5.007 5.004
1 2 … s1 30.000 kali 10.012 9.984 10.004
Eksp1: ambil acak
1 3 … s2 S 1 1 1
1 2 3 banyak kali Fr (s1) ≈ Fr (s2) ≈ Fr (s3) ≈
2 bola sekaligus
3 3 3
2 3 … s3
S S = {s 1 , s 2 , s 3 } = Ruang sampel hasil eksperimen
s2
A n(S) = C3 =
2 3.
s1 s3
A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
1 = {s1, s3 } , n(A) = 2.
P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = 3
n( A ) 2
P(A) =
Maka S berdistribusi seragam n( S ) 3
Hal.: 25 PELUANG Adaptif

26. Contoh:
 1. di dalam kotak terdapat 8 kelereng
merah dan 4 kelereng putih. Jika 3
kelereng diambil sekaligus, tentukan:
 A. ketiganya adalah merah
 B. dua merah dan satu putih
Hal.: 26 PELUANG Adaptif

27. Peluang Kejadian
2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian
Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa
pengemb. Hasil-hasil yang mungkin?
Hasil-hasil
A
Cara Ekp. yang mungkin
2 … 1 2 … s1
Obyek Eksp 1
3 … 1 3 … s2
Eksp 2 : ambil acak 1 … 2 1 … s3
2 S
1 2 3 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian 3 … 2 3 … s4
1 … 3 1 … s5
3
2 … 3 2 … s6
3 cara
2 cara
S = {s 1 , s 2 , s 3 , . . . ,s 6 } = Ruang sampel hasil eksperimen
s2 S
s5 dari 3 obyek eksp.
n(S) = P 2 obyek = 3 × 2 = 6.
s3
s1 s4 A
s6 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola
ganjil
1 = {s1, s3, s4 (,A 6 }
n s) 4 2
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =
6 n(S ) 6 3
P(A) = = = .
Maka S berdistribusi seragam.
Hal.: 27 PELUANG Adaptif

28. Peluang Kejadian
3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian
Ambil acak 2 bola 1-1 dengan
pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang
II mungkin A
I 1 … 1 1 … s1
1 2 … 1 2 … s2
3 … 1 3 … s3
Eksp2:ambil acak 2 S
1 2 bola 1-1 dengan pengemb.
2 3 1 … 3 1 … s7
3 2 … 3 2 … s8
3 … 3 3 … s9
3 cara
3 cara
s3 s5 s7 S
S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.
s1 s9
s4
s2 s6 A n(S) = 3 × 3 = 9
s8
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil.
1
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) = 9
= {s2, s4, s6 , s8 }
n (A) 4
Maka S berdistribusi seragam. P(A) = n (S) = 9 .
Hal.: 28 PELUANG Adaptif

29. Peluang Kejadian
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang
kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.
Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A
P (A) = peluang kejadian A
n = banyaknya percobaan
Contoh:
Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000
anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?
Jawab:
P(kenapolio) = 0,01, n= 8000
Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80
Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit
polio
Hal.: 29 PELUANG Adaptif

30. Kejadian Majemuk
1. Komplemen
Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis S
A
dengan simbol A’ (atau A c) disebut A’
komplemen dari A.
n −a
Jika A mempunyai a elemen, dan S P ( A' ) =
n
mempunyai n elemen maka A’ n a
= −
mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah n n
a
peluang tidak terjadinya A. = 1−
n
P ( A' ) = 1 − P ( A)
Hal.: 30 PELUANG Adaptif

31. Kejadian Majemuk
2.Dua Kejadian Saling Lepas
S
A B S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
.2 . .6 A={kejadian mendapatkan bilangan
5 .
prima}
.8
.1
7 .9 B={kejadian mendapatkan sedikitnya
.3 . .10 .
11 12 .4 bilangan 5}
Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
10 5
Sehingga P (A ∪ B) = =
12 6
Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat
irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh
Hal.: 31 PELUANG Adaptif

32. Kejadian Majemuk
3 10 5 +8 −3 5 8 3
P ( A ∩B ) = dan P ( A ∪B ) =
12
=
12
=
12
+
12
−
12
12
↓ ↓ ↓
P ( A ∪B ) =P ( A) + P ( B ) −P ( A ∩B )
Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini
( A ∩ B ) =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk
kejadian saling lepas (saling asing)
P( A ∩ B)
Maka = P(Ø) = 0
Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka
P ( A ∪ ) =P ( A) +P ( B )
B
Hal.: 32 PELUANG Adaptif

33. Kejadian Majemuk
Contoh Soal :
1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali,
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan
P(A’) ?
Jawab :
Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya
adalah:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}
Maka P(A) = 4/6 = 2/3
P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3
2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge,
berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?
Hal.: 33 PELUANG Adaptif

34. Dua Kejadian Saling Bebas
Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian
munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata
3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:
P (A ∩ B) = P (A) . P(B)
Contoh :
Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama,
maka :
n( A) 1
n(A) = 1, sehingga P(A) = =
n( S ) 6
Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua,
maka: n( B ) 1
n(B) = 1, sehingga P(B) = =
n( S ) 6
1 1 1
Peluang A dan B: P( A ∩ B) = P(A) . P(B) = . =
6 6 36
Hal.: 34 PELUANG Adaptif

35. Rangkuman
1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)
2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka
P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B )
3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka
P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B )
Hal.: 35 PELUANG Adaptif

36. SEKIAN
TERIMA KASIH
SAMPAI JUMPA LAGI
Hal.: 36 PELUANG Adaptif