Đề thi Cao Đẳng chính thức môn Toán khối A,A1 năm 2013

1. BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑEÀ THI TUYEÅN SINH CAO ÑAÚNG NAÊM 2013
−−−−−−−−−− Moân: TOAÙN; Khoái A, Khoái A1, Khoái B vaø Khoái D
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm)
Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y =
2x + 1
x − 1
.
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá ñaõ cho.
b) Goïi M laø ñieåm thuoäc (C) coù tung ñoä baèng 5. Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét caùc truïc toïa ñoä
Ox vaø Oy laàn löôït taïi A vaø B. Tính dieän tích tam giaùc OAB.
Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình cos
π
2
− x + sin 2x = 0.
Caâu 3 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình
xy − 3y + 1 = 0
4x − 10y + xy2
= 0
(x, y ∈ R).
Caâu 4 (1,0 ñieåm). Tính tích phaân I =
5
1
dx
1 +
√
2x − 1
.
Caâu 5 (1,0 ñieåm). Cho laêng truï ñeàu ABC.A B C coù AB = a vaø ñöôøng thaúng A B taïo vôùi ñaùy
moät goùc baèng 60◦
. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AC vaø B C . Tính theo a
theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A B C vaø ñoä daøi ñoaïn thaúng MN.
Caâu 6 (1,0 ñieåm). Tìm m ñeå baát phöông trình (x − 2 − m)
√
x − 1 ≤ m − 4 coù nghieäm.
II. PHAÀN RIEÂNG (3,0 ñieåm): Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B)
A. Theo chöông trình Chuaån
Caâu 7.a (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho caùc ñöôøng thaúng d : x + y − 3 = 0,
∆ : x − y + 2 = 0 vaø ñieåm M(−1; 3). Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua M, coù taâm thuoäc d,
caét ∆ taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 3
√
2.
Caâu 8.a (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(4; −1; 3) vaø ñöôøng thaúng
d :
x − 1
2
=
y + 1
−1
=
z − 3
1
. Tìm toïa ñoä ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua d.
Caâu 9.a (1,0 ñieåm). Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän (3 + 2i)z + (2 − i)2
= 4 + i. Tìm phaàn
thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc w = (1 + z) z.
B. Theo chöông trình Naâng cao
Caâu 7.b (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A(−3; 2)
vaø coù troïng taâm laø G
1
3
;
1
3
. Ñöôøng cao keû töø ñænh A cuûa tam giaùc ABC ñi qua ñieåm P(−2; 0).
Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø C.
Caâu 8.b (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(−1; 3; 2) vaø maët phaúng
(P) : 2x − 5y + 4z − 36 = 0. Goïi I laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân maët phaúng (P). Vieát
phöông trình maët caàu taâm I vaø ñi qua ñieåm A.
Caâu 9.b (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình z2
+ (2 − 3i)z − 1 − 3i = 0 treân taäp hôïp C caùc soá phöùc.
−−−−−−Heát−−−−−−
Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm.
Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
Câu Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
• Tập xác định: {1}.D =
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: 2
3
' ; ' 0,
( 1)
y y
x
= − < ∀ ∈
−
.x D
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( ;1)−∞ và (1; ).+∞
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: ; tiệm cận ngang:lim lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= = 2.y =
; tiệm cận đứng:
1 1
lim , lim
x x
y y
− +→ →
= −∞ = +∞ 1.x =
0,25
- Bảng biến thiên:
Trang 1/3
0,25
• Đồ thị:
0,25
b. (1,0 điểm)
2 1
( ;5) ( ) 5 2.
1
m
M m C m
m
+
∈ ⇔ = ⇔ =
−
Do đó (2;5).M 0,25
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là: '(2)( 2) 5,y y x= − + hay : 3 11.d y x= − + 0,25
d cắt Ox tại (11
; 0 ,
3
A ) cắt Oy tại B(0; 11). 0,25
1
(2,0 điểm)
x
'y
y
− ∞ 1 + ∞
− −
+ ∞
− ∞
2
2
2
O
y
1 x
Diện tích tam giác OAB là
1 1 11 121
. . . .11 .
2 2 3
S OAOB= = =
6
0,25

3. Trang 2/3
Câu Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với sin2 sinx x= − 0,25
sin2 sin( )x x⇔ = − 0,25
2 2π
( )
2 π 2π
x x k
k
x x k
=− +⎡⇔ ∈
⎢ = + +⎣
0,25
2
(1,0 điểm)
2π
( )3
π 2π
x k
k
x k
⎡ =
⇔ ∈⎢
⎢ = +⎣
.
0,25
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2π
,
3
x k= π 2π ( )x k k .= + ∈
{ 2
3 1 0 (1)
4 10 0 (2)
xy y
x y xy
− + =
− + =
Nhận xét: không thỏa mãn (1). Từ (1) ta được0y =
3 1
(3).
y
x
y
−
=
0,25
Thay vào (2) ta được 3 2
3 11 12 4y y y− + − =0 0,25
1y⇔ = hoặc hoặc2y =
2
.
3
y = 0,25
3
(1,0 điểm)
Thay vào (3) ta được nghiệm (x; y) của hệ là ( )5
(2;1), ; 2
2
và ( )3 2
; .
2 3
0,25
Đặt 2 1.t Suy rax= − ;d dx t t= khi x = 1 thì t =1, khi x = 5 thì t = 3. 0,25
Khi đó ( )
3 3
1 1
1
d 1 d
1 1
t
I t
t t
= = −
+ +∫ ∫ t 0,25
( )
3
1
ln| 1|t t= − + 0,25
4
(1,0 điểm)
2 ln2.= − 0,25
' ( )AA ABC⊥ 'A BA⇒ là góc giữa 'A B với đáy o
' 60A BA⇒ = . 0,25
5
(1,0 điểm)
' .tan 'AA AB A BA a⇒ = = 3.
Do đó
3
. ' ' '
3
'. .
4ABC A B C ABC
a
V AA SΔ= =
0,25
Gọi K là trung điểm của cạnh BC.
Suy ra ΔMNK vuông tại K, có , '
2 2
AB a
MK NK AA a= = = = 3.
0,25
Do đó 2 2 13
.
2
a
MN MK NK= + = 0,25
Điều kiện: Đặt1.x ≥ 1,t x= − suy ra 0.t ≥
Bất phương trình đã cho trở thành
3
4
.
1
t t
m
t
− +
≥
+
0,25
Xét
3
4
( ) ,
1
t t
f t
t
− +
=
+
với Ta có0.t ≥
2
2
( 1)(2 5 5)
'( ) ;
( 1)
t t t
f t
t
− + +
=
+
'( ) 0 1.f t t= ⇔ = 0,25
Bảng biến thiên:
0,25
6
(1,0 điểm)
Dựa vào bảng biến thiên ta được bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2.m ≥ 0,25
t
( )f t
0 +∞
+−'( )f t 0
4
1
2
+∞
A
B
C
A′
K
M
N
B′
C′

4. Trang 3/3
Câu Đáp án Điểm
Gọi (C) là đường tròn cần viết phương trình và I là tâm của (C).
Do suy ra,I d∈ ( ;3 ).I t t− 0,25
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra
3 2
2 2
AB
AH = = và
|2 1|
( ; ) .
2
t
IH d I
−
= Δ = Do đó 2 2 2
2 2 5IA IH AH t t .= + = − +
0,25
Từ IM IA= ta được 2 2
2 2 1 2 2 5t t t t ,+ + = − + suy ra t 1.=
Do đó (1;2).I
0,25
7.a
(1,0 điểm)
Bán kính của (C) là 5.R IM= =
Phương trình của (C) là ( 1 2 2
) ( 2) 5.x y− + − =
0,25
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Phương trình của (P) là 2 12x y z− + − =0. 0,25
Gọi H là giao điểm của d và (P). Suy ra (1 2 ; 1 ; 3 ).H t t t+ − − + 0,25
Do nên 2( Suy ra t( )H P∈ 1 2 ) ( 1 ) (3 ) 12 0.t t t+ − − − + + − = 1.= Do đó (3; 2;4).H − 0,25
8.a
(1,0 điểm)
Gọi 'A là điểm đối xứng của A qua d, suy ra H là trung điểm của đoạn '.AA Do đó '(2; 3;5).A − 0,25
2
(3 2 ) (2 ) 4 (3 2 ) 1 5i z i i i z i+ + − = + ⇔ + = + 0,25
1 .z i⇔ = + 0,25
Suy ra w i(2 )(1 ) 3 .i i= + − = − 0,25
9.a
(1,0 điểm)
Vậy w có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −1. 0,25
Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Suy ra
3
.
2
AM AG= Do đó ( )1
2; .
2
M − 0,25
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AP, nên có phương
trình 2 3 0x y .− − = 0,25
Tam giác ABC vuông tại A nên B và C thuộc đường tròn tâm M,
bán kính
5 5
. Tọa độ các điểm B và C là nghiệm của hệ
2
MA=
( )
2
2
2 3 0
1 12
( 2)
2 4
x y
x y
− − =⎧
⎪
⎨
− + + =⎪⎩
5
0,25
7.b
(1,0 điểm)
7, 2
3, 3.
x y
x y
= =⎡⇔
⎢ = − = −⎣
Vậy (7;2), ( 3; 3)B C − − hoặc .( 3; 3), (7;2)B C− −
0,25
Do nên( )IA P⊥ ( 1 2 ;3 5 ;2 4 ).I t t− + − + t 0,25
Do nên( )I P∈ 2( 1 2 ) 5(3 5 ) 4(2 4 ) 36 0,t t t− + − − + + − = suy ra 1.t = Do đó (1; 2;6).I − 0,25
Ta có 3 5.IA= 0,25
8.b
(1,0 điểm)
Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A là 2 2 2
( 1) ( 2) ( 6) 45x y z− + + + − = . 0,25
Phương trình có biệt thức2
(2 3 ) 1 3 0z i z i+ − − − = 1.Δ = − 0,25
Suy ra Δ = 2
.i 0,25
Nghiệm của phương trình đã cho là 1 2z i= − + 0,25
9.b
(1,0 điểm)
hoặc 1 .z i= − + 0,25
------------- Hết -------------
A
B
P
M
G
C
M
A BH
I