סיכום זה כולל דברים מרכזיים ועיקרים מתוך הקורס בחישוביות. הסיכום המלא נמצא כאן: https://www.slideshare.net/csnotes/ss-257932922 היות ויש המון מלל בסיכום המלא ומצד שני - יש לא מעט הגדרות חשובות ומשפטים חשובים - החלטתי לכתוב סיכום קצר עם הדברים העיקריים וזה הסיכום הזה... והוא כולל למשל מחלקות של שפות, הכרעה של שפות ועוד....

1. ‫הכרעה‬ ‫בבעיות‬ ‫שקשורים‬ ‫דברים‬
‫החישוביות‬ ‫תורת‬
‫דברים‬ ‫ושאר‬ ‫משפטים‬ ,‫הגדרות‬ ,‫מושגים‬
(‫בחישוביות‬ ‫הקורס‬ ‫מתוך‬ ,‫שפות‬ ‫של‬ ‫הכרעה‬ ‫לבעיות‬ ‫)שקשורים‬
R, RE ‫השפות‬ ‫מחלקות‬ 1
:A ⊆ Σ∗
‫שפה‬ ‫עבור‬
‫יכולה‬ ‫היא‬ ‫)אחרת‬ ‫עוצרת‬ ‫היא‬ w ∈ L ‫כל‬ ‫שעבור‬ ‫מ"ט‬ ‫קיימת‬ ,‫כלומר‬ ,‫לשפה‬ ‫מזהה‬ ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫־‬ A ∈ RE
.‫בשפה‬ ‫המילים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫המונה‬ ‫מנייה‬ ‫מכונת‬ ‫לה‬ ‫קיימת‬ ‫כמו־כן‬ .(‫לעצור‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫לקבל‬ ‫לא‬ ‫או‬
‫על‬ (‫מקבלת‬ ‫בהכרח‬ ‫לא‬ ‫)אבל‬ ‫עוצרת‬ ‫המכונה‬ w ∈ Σ∗
‫שלכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫לשפה‬ ‫מכריעה‬ ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫־‬ A ∈ R
.‫המילה‬
.R ⊂ RE :‫כמובן‬
‫את‬ ‫שמקבלת‬ (‫מכריעה‬ ‫או‬ ‫)מזהה‬ ‫מכונה‬ ‫שישנה‬ ‫היא‬ ‫הכוונה‬ ‫אזי‬ ,‫כלשהי‬ ‫בשפה‬ ‫שהיא‬ w ‫מילה‬ ‫על‬ ‫אומרים‬ ‫כאשר‬
.‫מקבל‬ ‫במצב‬ ‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסיימת‬ ,‫קרי‬ ,w
.A ∈ R ⇐ A ∈ R :‫למשלים‬ ‫סגורה‬ R 1.1 ‫משפט‬
.‫ואיטרציה‬ ‫שירשור‬ ,‫איחוד‬ ,‫לחיתוך‬ ‫סגורות‬ RE ‫וגם‬ R ‫גם‬ 1.2 ‫משפט‬
.A ∈ RE ‫וגם‬ A ∈ RE ⇐⇒ A ∈ R :‫אזי‬ A ∈ Σ∗
‫תהי‬ 1.3 ‫משפט‬
:‫אזי‬ ,‫שפות‬ ‫של‬ ‫מחלקה‬ ‫או‬ ‫משפחה‬ ‫היא‬ E ‫אם‬ 1.4 ‫הגדרה‬
co − E =
n
A ⊆ Σ∗
A ∈ E
o
.E‫ב־‬ ‫נמצאת‬ ‫שלהן‬ ‫שהמשלימה‬ ‫השפות‬ ‫כל‬ ‫משפחת‬ ‫זאת‬ co − E ,‫כלומר‬
.R = RE ∩ co − RE‫ו־‬ co − R = R :‫לזכור‬ ‫כדאי‬
:‫הבא‬ ‫לדבר‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדי‬ ‫כמו־כן‬
‫ע"פ‬ ,‫להראות‬ ‫מספיק‬ ‫אזי‬ ,(‫)למשל‬ A /
∈ co − RE :‫מקיימת‬ ,A ‫מסוימת‬ ‫ששפה‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬
.A /
∈ co − RE ‫בהכרח‬ ‫ואז‬ A /
∈ RE‫ש־‬ ,‫ההגדרה‬
:‫אזי‬ B = A ∪ L :‫נגדיר‬ .L‫ל־‬ ‫זרה‬ ‫שפה‬ A ⊆ Σ∗
‫ו־‬ L ∈ R ‫תהי‬ 1.5 ‫משפט‬
A ∈ R ⇐⇒ B ∈ R
A ∈ RE ⇐⇒ B ∈ RE
1

2. ‫הכרעה‬ ‫בבעיות‬ ‫שקשורים‬ ‫דברים‬
‫החישוביות‬ ‫תורת‬
‫בשפות‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיות‬ 2
.‫הכרעה‬ ‫בעיות‬ ‫שמייצגות‬ (Σ∗
‫)מעל‬ ‫שפות‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬
:‫סימון‬
A =
n
hOi P ‫מסויימת‬ ‫תכונה‬ ‫שמקיים‬ ‫מסויים‬ ‫אובייקט‬ ‫הוא‬ O
o
.hOi ∈ A ‫אזי‬ P ‫תכונה‬ ‫את‬ ‫מקיים‬ O ‫אם‬ .‫האובייקט‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ ‫־‬ hOi .‫המתמטי‬ ‫האובייקט‬ ‫־‬ O
:A ‫שפה‬ ‫אותה‬ ‫עבור‬
1
A =
n
hOi P ‫תכונה‬ ‫את‬ ‫מקיים‬ ‫שאינו‬ ‫מסויים‬ ‫אובייקט‬ ‫הוא‬ O
o
:‫לדוגמא‬ ‫בעיות‬ ‫כמה‬
.AT M =
n
hM, wi w ∈ L (M) ,‫מילה‬ w ,‫מ"ט‬ M
o
:‫הקבלה‬ ‫בעיית‬
.HALTT M =
n
hM, wi ‫על‬ ‫עוצרת‬ M ,‫מילה‬ w ,‫מ"ט‬ M
o
:‫העצירה‬ ‫בעיית‬
.ET M =
n
hMi L (M) = ∅ ,‫מ"ט‬ M
o
:‫הריקה‬ ‫השפה‬ ‫בעיית‬
.EQT M =
n
hM1, M2i L (M1) = L (M2) ,‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ ‫הן‬ M1, M2
o
:‫השיוויון‬ ‫בעיית‬
:‫לזכור‬ ‫כדאי‬
AT M ∈ RE AT M /
∈ R AT M /
∈ RE
HALTT M ∈ RE HALTT M /
∈ R HALTT M /
∈ RE
ET M /
∈ RE ET M /
∈ R ET M ∈ RE
EQT M /
∈ RE EQT M /
∈ R EQT M /
∈ co − RE
(≤m) ‫מיפוי‬ ‫רדוקצית‬ 3
‫)זהו‬ w ∈ A ⇐⇒ f (w) ∈ B ‫ש־‬ ‫כך‬ f ‫חשיבה‬ ‫פונקציה‬ ‫שקיימת‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ A ≤m B ‫־‬ ‫אזי‬ A, B ⊆ Σ∗
‫יהיו‬
.(2Σ∗
‫על‬ ‫יחס‬
.B‫ל־‬ A‫מ־‬ ‫מיפוי‬ ‫רדוקציית‬ ‫שקיימת‬ ‫פירושו‬ A ≤m B ,‫כלומר‬
:‫אזי‬ ,A ≤m B ‫כי‬ ‫ונניח‬ A, B ⊆ Σ∗
‫תהיינה‬ 3.1 ‫משפט‬
.B /
∈ R ⇐ A /
∈ R :‫וכמו־כן‬ ,A ∈ R ⇐ B ∈ R .1
.B /
∈ RE ⇐ A /
∈ RE :‫וכמו־כן‬ ,A ∈ RE ⇐ B ∈ RE .2
.(Σ∗
‫)על‬ ‫טרנזיטיבי‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ≤m 3.2 ‫משפט‬
.A ≤m B ⇐⇒ A ≤m B 3.3 ‫משפט‬
.A ‫של‬ ‫למשלים‬ ‫נתייחס‬ ‫אנחנו‬ ‫ככה‬ ,‫המדויקת‬ ‫ההגדרה‬ ‫לא‬ ‫שזאת‬ ‫אפילו‬1
2

3. ‫הכרעה‬ ‫בבעיות‬ ‫שקשורים‬ ‫דברים‬
‫החישוביות‬ ‫תורת‬
‫רייס‬ ‫משפט‬ 4
:‫נסמן‬ .C 6= RE‫ו־‬ C 6= ∅ ‫כי‬ ‫ונניח‬ ‫שפות‬ ‫של‬ ‫משפחה‬ C ⊂ RE ‫תהי‬ 4.1 ‫משפט‬
AC =
n
hMi L (M) ∈ C, ‫מ"ט‬ M
o
.‫כריעה‬ ‫אינה‬ AC ‫אזי‬
:‫למשפט‬ ‫נוסף‬ ‫ניסוח‬
‫וקיימת‬ P ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫שלה‬ ‫שהשפה‬ ‫מ"ט‬ ‫קיימת‬ ‫כי‬ ‫ונניח‬ ,‫טיורניג‬ ‫מכונות‬ ‫של‬ ‫שפות‬ ‫של‬ ‫תכונה‬ P ‫תהי‬
‫לא‬ ‫וגם‬ ‫אותה‬ ‫מקיימות‬ ‫השפות‬ ‫שכל‬ ‫תכונה‬ ‫לא‬ ‫היא‬ P ,‫)כלומר‬ P ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫אינה‬ ‫שלה‬ ‫שהשפה‬ ‫מ"ט‬
:‫נסמן‬ .(‫אותה‬ ‫מקיימת‬ ‫אינה‬ ‫שפה‬ ‫שאף‬ ‫תכונה‬
AP =
n
hMi P ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ L (M) ,‫מ"ט‬ M
o
.‫כריעה‬ ‫אינה‬ AP ‫אזי‬
‫־שלמה‬RE ‫שפה‬ 5
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ A ‫אם‬ ‫־שלמה‬RE ‫נקראת‬ A ‫שפה‬ 5.1 ‫הגדרה‬
.A ∈ RE .1
.(‫אליה‬ ‫רדוקציה‬ RE‫ב־‬ ‫אחרת‬ ‫שפה‬ ‫מכל‬ ‫לעשות‬ ‫אפשר‬ ,‫)כלומר‬ B ≤m A :‫מתקיים‬ B ∈ RE ‫שפה‬ ‫לכל‬ .2
.(≤m ‫היחס‬ ‫מטרנזיטיביות‬ ‫נובע‬ ‫)זה‬ ‫־שלמה‬RE ‫היא‬ A ‫אזי‬ AT M ≤m A‫ו־‬ A ∈ RE ‫אם‬ 5.2 ‫הערה‬
3