Đề thi HSG Toán 9 Quãng Ngãi năm 2016 - 2017. Đăng ký 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 liên hệ cô Trang: 0948.228.325 (Zalo).

1. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN TOÁN LỚP 9
Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------
Bài 1 (4,0 điểm).
1) Rút gọn biểu thức: A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
 

   
2) Cho
2 2
1 1
x x x x
A
x x x x
 
 
   
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình
1) Giải phương trình :
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

     
2) Giải phương trình: 2 2
2 5 12 2 3 2 5
x x x x x
       .
Bài 3 (3,0 điểm).
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương
của một số nguyên.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2
25 ( 6)
x y y
  
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa
đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên
AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của
DH.
a) Chứng minh · ·
CIJ CBH
=
b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn
nhất.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho , , 0
a b c  . Chứng minh rằng 2
a b c
b c c a a b
  
  
.
-------------------HẾT--------------------
Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..
ĐỀ CHÍNH THỨC

2. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
Bài Câu Nội dung Điểm
Bài 1
(4 đ)
Câu 1
(1,75đ)
1. Rút gọn biểu thức: A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
 

   
A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
 

   
=
2( 5 3) 2(3 5)
2 6 2 5 2 6 2 5
 

   
0,75
A =
2 2
2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5)
5 3 3 5
2 ( 5 1) 2 ( 5 1)
   
  
 
   
0,5
A = 2 2 0,5
Câu 2
(2,25)
2.
2 2
1 1
x x x x
A
x x x x
 
 
   
a) ĐKXĐ: x 0
 0,25
   
3 3
2 2 x x 1 x x 1
x x x x
A
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 
 
   
       
0,5
     
   
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
x x 1 x x 1
x x 1 x x 1 x x x x 2 x
     
 
   
         
0,5
b) B = A + x – 1=  
2
2 x x 1 x 2 x 1 x 1 2 2
           0,5
Dấu “=” xảy ra x 1 0 x 1
     ( TM ĐKXĐ) 0,25
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1 0,25
Bài 2
(4 đ)
1) Giải phương trình :
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

     
Câu 1
(2đ)
ĐKXĐ : x 1
 0,25
3
2 1 2 1
2
3
1 2 1 1 1 2 1 1
2
x
x x x x
x
x x x x

     

          
0,5
   
2 2 3
1 1 1 1
2

      
x
x x
0,25
3
1 1 1 1
2

      
x
x x (*) 0,25
Nếu x 2
 phương trình (*)
3 3
1 1 1 1 2 1 4 1 3
2 2
 
             
x x
x x x x x
0,25
GD-ĐT Quảng Ngãi HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi : Toán 9

3. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
2 2 2
16( 1) 6 9 10 25 0 ( 5) 0 5
             
x x x x x x x
(TM)
Nếu 1 x 2
  phương trình (*)
3 3
1 1 1 1 2 4 3 1
2 2
 
             
x x
x x x x ( TM)
0,25
Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5 0,25
Câu 2
(2đ)
2) Giải phương trình: 2 2
2 5 12 2 3 2 5
x x x x x
       .
Đặt 2 2
2 5 12, 2 3 2
u x x v x x
      ( 0, 0)
u v
  0,25
2 2 2 2 2 2
2 5 12, 2 3 2 2 10 2( 5)
u x x v x x u v x x
             0,25
Từ (1) 2 2
2( ) ( )( 2) 0
) ( v u v u v
u v u
      
  (2) 0,25
Vì 0, 0
u v
  , từ (2) suy ra: 2 0
u v
   . Vì vậy
2 2
2 5 12 2 3 2 2
x x x x
      (3)
0,25
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình
2 2
2 3 2 3
x x x
   
0,25
 
2 2
2
3 0 3 3
7 6 1 0 (7 7) (6 6) 0
2 2 3 2 3
3
( 1)(7 1) 0
3
1
1,
1
7
1,
7
x x x
x x x x
x x x
x
x x
x
x x tm
x x
 
    
 

  
  
      
   
  

 

 
  

 


    

  


0,5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x=
1
7
0,25
Bài 3
(3 đ)
Câu 1
(1,5đ)
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải
là lập phương của một số nguyên.
Giả sử 2016k + 3 = a3
với k và a là số nguyên.
Suy ra: 2016k = a3
- 3
Ta chứng minh a3
– 3 không chia hết cho 7.
0,5
Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r  
0;1; 1;2; 2;3; 3
    . 0,25
Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3
– 3 không chia hết
cho 7
0,5
Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3
– 3  2016k. ĐPCM 0,25
Câu 2
(1,5đ)
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2
25 ( 6)
x y y
  
Từ 2
25 ( 6)
x y y
  
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
0,25

4. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do
đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x  y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích
của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn.
0,5
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong ®ã
thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ (y+3+x).
0,25
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta cã x= 5 , y=
0.
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -
3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -
6.
V× thÕ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm :
( x,y)       
 
5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 .
    
0,5
Bài 4
(7 đ)
H O
E
I
J
D
C
B
A
Câu a
(1,5 đ)
+ Vì ABC
 nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC BC

Suy ra BC CD
 (1)
0,5
+ Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2) 0,5
+ Từ (1) và (2) suy ra IJ BC
^
+ Suy ra · ·
CIJ CBH
= (cùng phụ với HCB) (3)
0,5
Câu b
(2 đ)
+) Trong  vuông CBH ta có: ·
tan
CH
CBH
BH
= (4) 0,5
+ Lập luận chứng minh được CJ // AB
+ Mà CH  AB (gt)
+ Suy ra CJ  CH
0,5

5. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
+) Trong tam giác vuông CIJ ta có · ( )
tan
CJ CJ
CIJ CI HI
CI HI
= = = (5)
+ Từ (3), (4), (5)
CH CJ
HB HI
 
0,5
+ Xét D CJH vàD HIB có 0
90
HCJ BHI
  và
CH CJ
HB HI
 (cmt)
+ Nên D CJH đồng dạng với D HIB
0,5
Câu c
(1,5 đ)
+ Lập luận để chứng minh được 0
90
HEI 
0,5
+ Chứng minh được HEI
 đồng dạng với HCJ

+ Suy ra
HE HI
HC HJ

0,5
+ Suy ra HE.HJ = HI.HC
+ Mà
1 1
;
2 2
HJ HD HI HC
 
+ Suy ra HE.HD = HC2
0,5
Câu d
(2 đ)
K
450
N
M
H O
C
B
A
+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho · 0
45
BOM =
+ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N. Ta có
M và N cố định.
0,5
+ Kẻ MK  AB tại K
+ Chứng minh được MON
D vuông cân tại M và KM = KN
Suy ra 0
45
ANC 
Xét C º M
Ta có C º M nên H º K
Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi)
0,5
+ Xét C khác M.
Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM
Do đó · · 0
45
ANC ANM
< =
+ D HNC có · 0
90
NHC =
nên · · 0
90
HNC HCN
+ =
Mà · 0
45
HNC < nên · 0
45
HCN >
Suy ra · ·
HNC HCN
<
Suy ra HC < HN
0,5

6. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
+ Do đó AH + CH < AH + HN = AN
+ Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho · 0
45
BOC = thì
AH + CH đạt giá trị lớn nhất
0,5
Bài 5
(2 đ)
Chứng minh rằng 2
a b c
b c c a a b
  
  
.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
 
2
2
a a
a b c a b c
b c a b c
     
  
0,5
Chứng minh tương tự ta được
2 2
;
b b c c
c a a b c a b a b c
 
     
0,5
Suy ra
 
2
2
a b c
a b c
b c c a a b a b c
 
   
    
0,5
Dấu bằng xảy ra 0
a b c
b c a a b c
c a b
 


      

  

(Trái với giả thiết)
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
0,5