Đề thi HSG Toán 9 Hải Dương năm 2012 - 2013. Đăng ký tài liệu 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 liên hệ cô Trang: 0948.228.325 (Zalo).

1. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 2
a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc .
2) Cho x, y thỏa mãn 2 2
3 3
x y- y +1+ y+ y +1
 . Tính giá trị của biểu thức
4 3 2 2
A x +x y+3x +xy- 2y +1
 .
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình
2 4 2
(x - 4x+11)(x - 8x +21) 35
 .
2) Giải hệ phương trình
  
2 2
2 2
x+ x +2012 y+ y +2012 2012
x + z - 4(y+z)+8 0







.
Câu III (2,0 điểm)
1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2
+ n + 1) không chia hết cho 9.
2)Xét phương trình x2
– m2
x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên
dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O.
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF
tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.
1) Tính BIF.
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ
giác ABHI nội tiếp.
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là
hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để
PQ lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1
    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
1 1 1
B (a+b+c+3) + +
a+1 b+1 c+1
 
 
 
 .
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh…………………………Số báo danh………………...………………
Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC

2. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên)
Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ
điểm.
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội
đồng chấm.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Nội dung Điểm
Câu I
(2,0đ)
1) 1,0 điểm 2 2 2 2 2 2
a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a ) ( )
b ac a b
  0,25
2
( )[2 2 ]
a b c ac ab bc
     0,25
( )[2 ( ) ( )]
a b c c a b a c
     0,25
( )( )( 2 )
a b a c b c
    0,25
2) 1,0 điểm Có 2 2
3 3
x = y- y + 1 y+ y + 1

3 2 2 2 2
3 3 3 3
x = 2y +3 y - y + 1 . y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1
 
 
 
 
0,25
3
x + 3x -2y = 0
 0,25
4 3 2 2 4 2 3 2
A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1
0,25
3 3
x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1
   0,25
Câu II
(1,0đ)
1)1,0 điểm phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
( 2) 7 ( 4) 5 35
x x
   
    
    (1)
0,25
Do
2
2 2 2
2 2
( 2) 7 7
( 2) 7 ( 4) 5 35
( 4) 5 5
x x
x x x
x x

    
   
      
    
    

0,25
2
2 2
( 2) 7 7
(1)
( 4) 5 5
x
x
   

 
  


0,25
<=>x=2 0,25
2)1,0 điểm 2 2
2 2
(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)
x + z - 4(y+z)+8=0 (2)
 




     
2 2 2 2
(1) 2012 2012 2012 2012 2012
x x y y y y y y
         
0,25

3. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
(Do 2
2012 0
y y y
    )
   
  
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012
2012 2012 2012 2012
2012 2012
x x y y x x y y
x y y x
y x y x
x y
y x
           
     
     
  
  
2 2
2 2
2 2 2 2
2012 2012
( ) 0
2012 2012 2012 2012
y y x x
y x
x y x y
y x y x
    

     
     
Do
2
2 2
2
2012 | |
2012 2012 0
2012 | |
y y y y
y y x x y x
x x x x

    
         


     
0,25
Thay y=-x vào(2) 2 2 2 2
4 4 8 0 ( 2) ( 2) 0
x z x z x z
           0,25
2
2
( 2) 0 2
2
2
( 2) 0
x x
y x
z
z
    


     
 

 
 

Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-
2;2;2).
0,25
Câu III
(2,0đ)
1)1,0 điểm Đặt A = n2
+ n + 1 do n  n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k
 )
0,25
* n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3) 0,25
* n = 3k + 1 => A = 9k2
+ 9k + 3 không chia hết cho 9. 0,25
* n = 3k +2 => A = 9k2
+9k+7 không chia hết cho 9
Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2
+ n + 1 không chia hết cho 9.
0,25
2)1,0 điểm Gi¶ sö tån t¹i m *
 ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
x1, x2
Theo vi-et:
2
1 2
1 2 2 2
x x m
x x m
  

 

 (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2
+ 2m + 3
0,25
Với m *
 . Ta cã x1x2 4
 vµ x1 + x2 1
 mà x1hoÆc
x2 nguyªn vµ 2 *
1 2
x x m
   *
1 2 1 2
, ( 1)( 1) 0
x x x x
     
2
m 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 3
m
           m {1;2;3}
 
0,25
Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh
®· cho v« nghiÖm.
0,25
Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x =1; x = 8 tho¶
m·n. VËy m= 3
0,25
Câu IV

4. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
(2,0đ)
1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề
M
H
A C
K
I
E
B
O
D
F
0,25
Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K 0,25
Có 0
1
DFE= DOE=45
2
0,25
0
BIF 45
  0,25
2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => 0
DBH=45 .Có
0
DFH=45
=> Tứ giác BDHF nội tiếp
0,25
=> 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn. 0,25
=> 0
BFO=BHO 90
 => OH BM
 , mà OA BM
 => A, O, H
thẳng hàng
0,25
0
BAH=BIH 45
 => Tứ giác ABHI nội tiếp. 0,25
3) 1,0 điểm
P
Q
N
C
B
A
O
D
E
F
M
Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN.
Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔNEFvà ΔNQPđồng dạng
0,25

5. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ
đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
=>
PQ NQ
= 1 PQ EF
EF NE
  
0,25
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q E => DN là đường kính
của (O) => PQ lớn nhất bằng EF.
0,25
Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại
M thì PQ lớn nhất.
0,25
Câu V
(1,0đ)
Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 a b c 1
    = >1z yx2
Khi đó A= (x+y+z)(
1 1 1
x y z
  )=3+3
x x y y z z
y z x z x y
     
0,25
.
1 1 0 1 0 1
.
.
1 1 0 1 0 1
.
2 2 2
x y x y x y x y x
y z y z y z y z z
z y z y z y z y z
y x y x y x y x x
x y z y x z x x y y z z x z
y z y x z x y z x z x y z x
  
           
  
 
 
  
           
  
 
 
 
               
 
 
0,25
Đặt
x
z
= t =>1 2
t
 
2 2
1 1 2 5 2 5 (2 1)( 2) 5
2 2 2 2
x z t t t t t
t
z x t t t t
    
       
Do 1 2
t
  
(2 1)( 2)
2
t t
t
 
0
 
x z
z x

5
2

A
5
3 2. 2 10
2
   
0,25
Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10 0,25