Vlakke meetkunde 2 les 1

1. VLAKKE MEETKUNDE 2
studiejaar 1, periode 2, week 1

2. Modulewijzer en overige
belangrijke informatie
84 sbu = 3 ECTS. Dat betekent ongeveer 5 uur huiswerk per week.
Reader: Nummer 103 (€ 27,50).
Zie "extra" materiaal op de website voor aanstaande donderdag!
Werkwijze: Iedere week behandelen we hier wat opdrachten en de
nieuwe theorie. Daarna kun je zelf of in groepjes aan de slag met het
huiswerk.
We behandelen 2 of 3 paragrafen per les en in totaal 3
hoofdstukken. Kijk in de modulewijzer voor de opdrachten.

3. Modulewijzer en overige
belangrijke informatie
Het is noodzakelijk dat je een geodriehoek en eenvoudige passer
hebt voor deze module en iedere les meeneemt.
De module sluiten we af met een schriftelijk tentamen van twee
lesuren waarbij de grafische rekenmachine, een passer en geodriehoek
zijn toegestaan.
De herkansing is één periode later dan de eerste gelegenheid.
Voor al je vragen, mail naar: b.habraken@fontys.nl
Deze presentaties staan op mijn slideshare:
www.slideshare.net/barthabraken

4. ”VOORKENNIS”
cirkels

5. Vlakke figuren

6. Definitie van een cirkel
Definitie van de cirkel:
Alle punten die op gelijke afstand liggen van een punt liggen op een cirkel.
Dit betekent dat als we praten over een punt OP de cirkel, dat dit punt niet
IN de cirkel ligt.
in de cirkel
op de cirkel
buiten de cirkel

7. Definities in een cirkel
Een cirkel heeft een middelste punt,
dit punt noemen we het middelpunt.
Ieder willekeurig lijnstuk vanuit het middelpunt
naar de cirkel, noemen we de straal.
Ieder lijnstuk met zijn begin- en eindpunt
op de cirkel noemen we een koorde.
Elke koorde die door het middelpunt
gaan noemen we een diameter of
middellijn.
koorde

8. HOEKEN IN EEN CIRKEL
3-1 Bogen, koorden en hoeken & 3-2 De constante hoek

9. koorden en cirkelbogen
Een recht verbindingsstuk tussen twee
punten op een cirkel noemen we een
koorde van de cirkel.
Een verbindingsstuk tussen twee
punten op een cirkel over de cirkel
noemen we een cirkelboog.
Koorde AC
Cirkelboog
AC

10. Middelpuntshoek
Een volle hoek is 360∘.
Een hele middelpuntshoek is een volle hoek en dus 360∘.
Ook ∠AMB = 90∘ is een middelpuntshoek.
Bij de hoek hoort één boog. Daarom kunnen we
bogen ook uitdrukken in graden.
∠AMB = bg AB (links) = 90∘.
We zeggen ook wel dat ∠AMB op boog AB staat
of op koorde AB.
M M
360∘
A
B

11. Voorbeeld 1
In de cirkel (M, MA) is een onregelmatige vijfhoek ABCDE getekend,
zodanig dat ∠AMB = 70∘. Daarnaast geldt ∠A1 = ∠E1 = ∠D1. AC is
een middellijn van de cirkel.
Bereken alle hoeken (A t/m E) in deze vijfhoek en leg uit hoe je er aan
komt!
|AM| = |BM| (straal cirkel) dus ∠A2 = ∠B1.
∠A2 + ∠B1 = 180∘ - ∠M1 = 180 - 70 = 110∘.
55
Dus ∠A2 = ∠B1 = 55∘.
55

12. Voorbeeld 1
|BM| = |CM| (straal cirkel) dus ∠B2 = ∠C1.
∠B2 + ∠C1 = ∠M1. (stelling van de buitenhoek)
∠B2 = ∠C1 = 35∘.
55
55
35
35

13. Voorbeeld 1
|AM| = |EM| (straal cirkel) dus ∠A1 = ∠E2. [1]
|EM| = |DM|(straal cirkel) dus ∠E1 = ∠D2. [2]
|DM| = |CM| (straal cirkel) dus ∠D1 = ∠C2. [3]
∠A1 = ∠E1 = ∠D1 (gegeven). [4]
Uit [1], [2], [3] en [4] volgt dat:
∠A1 = ∠E2 = ∠E1 = ∠D2 = ∠D1 = ∠C2. 55
55
35
35
*
* *
* *
*

14. Voorbeeld 1
De hoekensom van een vijfhoek is 540∘.
De zes onbekende delen van de hoeken zijn samen 540∘ - 180∘ = 360∘.
En dus: ∠A1 = ∠E2 = ∠E1 = ∠D2 = ∠D1 = ∠C2 = 60∘.
Dus:
∠A = 115∘.
∠B = 90∘.
55
∠C = 95∘.
55
∠D = E 35
∠= 120∘.
35
60
60 60
60
60
60

15. Omtrekshoek
Een hoek waarvan het hoekpunt
niet het middelpunt van de
cirkel is, maar ook op de cirkel
ligt noemen we een
omtrekshoek.
Welke vermoeden krijg je:
P
A
B

16. Omtrekshoek
Stelling van de omtrekshoek:
Een omtrekshoek is half zo groot als de
bijbehorende middelpuntshoek.
Gegeven: middelpuntshoek AMB en
omtrekshoek APB.
Te bewijzen: ∠AMB = 2∠APB
Bewijs:
P
A
D 4
B
1
M 2
2
3
1

17. Voorbeeld 2
Bewijs dat in de gegeven situatie geldt: ∠AMB = 2∠APB.
Bewijs:
|AM| = |PM| (straal cirkel) en dus ∠P1 = ∠A2 [1]
∠M4 = ∠P1 + ∠A2 (stelling van de buitenhoek) [2]
Uit [1] en [2] volgt: ∠M4 = 2∠P1 [3]
Analoog valt te bewijzen dat: ∠M3 = 2∠P2 [4]
Uit [3] en [4] volgt: ∠AMB = 2∠APB ☐
P
A
D 4
B
1
M 2
2
3
1

18. Een speciale omgeschreven
cirkel...
Gegeven is ΔABC met de omgeschreven cirkel.
Het middelpunt M van deze cirkel ligt op zijde AB van de driehoek.
Bewijs dat ΔABC rechthoekig is.
Gegeven: ΔABC met de omgeschreven cirkel waarvan het
middelpunt M op zijde AB ligt.
Te bewijzen: ∠C = 90∘
Bewijs:

20. Een speciale omgeschreven
cirkel (alternatief op opdracht 9)
Bewijs:
|AM| = |CM| (straal cirkel) en dus ∠CAM = ∠ACM [1]
|BM| = |CM| (straal cirkel) en dus ∠CBM = ∠BCM [2]
∠BAC + ∠ACB + CBA = 180∘ (hoekensom Δ) en dus:
∠BAC + ∠ACM + ∠BCM + ∠CBA = 180∘ [3]
Uit [1], [2] en [3] volgt:
∠BAC + ∠BAC + ∠CBA + ∠CBA = 180∘
Dus: ∠BAC + ∠CBA = 90∘ [4]
Uit [3] en [4] volgt dat ∠ACB = 90∘ en dus
is ΔABC rechthoekig. ☐

21. De stelling van Thales
Als in driehoek ABC ∠C rechthoekig is, dan ligt C op een cirkel met
middellijn AB.

22. Voorbeeld 3
Gegeven is een cirkel met daarin de koorden AB en CD met gelijke
lengte.
Bewijs dat geldt: ∠AMB = ∠CMD.
(Gegeven, te bewijzen)
Bewijs:
|AM| = |CM| (straal cirkel)
|BM| = |DM| (straal cirkel)
}⇒
|AB| = |CD| (gegeven)
⇒ ΔABM ≅ ΔCDM (ZZZ) dus ∠AMB = ∠CMD ☐

23. BOOG EN KOORDE
Je hebt dus zojuist zelf bewezen dat bij twee gelijke koorden gelijke
middelpuntshoeken horen.
In het begin van deze les hebben we gezien dat we de bogen (bij een
koorde) uitdrukten in graden (de boog was gelijk aan de bijbehorende
middelpuntshoek).
We kunnen daarom ook zeggen dat bij twee gelijke koorden gelijke
bogen horen.
Dus in de figuur bij voorbeeld 3 (zie je werkblad) geldt ook
bg AB (links) = bg CD (rechts).

24. De constante hoek
Wat is de omgekeerde stelling van Thales?
Als punt C op een cirkel ligt met
middellijn AB, dan is driehoek ABC
rechthoekig.
Maakt het uit waar op de cirkel punt C ligt?
NEE!
Maar wat als de hoek nu niet 90∘,
maar 50∘?
De stelling van de constante hoek:
Verschillende hoeken op dezelfde
boog hebben dezelfde grootte.

25. hoek tussen koorde en raaklijn
Ook de hoek tussen een koorde en een raaklijn is gelijk aan de bij die
koorde horende omtrekshoek.
Ofwel alle punten M die aan dezelfde kant
van PQ liggen, zodat de hoek constant blijft,
liggen op een cirkelboog die door P, M en Q
gaat.
De meetkundige plaats van de constante
hoek is dus een cirkelboog. (Let op:
dit moet twee kanten op bewezen worden.)

26. Huiswerk
Maken:
§3-1 opdrachten 1 t/m 8,
§3-2 opdrachten 9 t/m 16.