1. TUGAS ANALISIS REAL
SECTION 3.1
No 11-15
oleh
AS ELLY S
NIM. A2C011101
Disusun untuk melengkapi Tugas Mata KuliahAnalisis Real
DosenPengampu : Prof. Dr. H. WahyuWidada, M. Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS
BENGKULU
2013

2. 1
11). Tunjukan bahwa lim ( ) 0
3n
Bukti:
Perhatikan bahwa ;
1 1
0
3n 3n
1 1
Misalkan dimana a=2>0
3 1 0
1 1
3n (1 a) n
Berdasarkan bernoullis inequalily maka;
1 1 1 1 1 1
0 ( )
3n 3n (1 a) n 1 na na a
1
Kemudian dari teorema 3.1.10 dapat disimpulkan bahwa lim( ) 0.
3n
12). Misalkan b R berlaku 0<b<1. tunjukan bahwa lim(nbn)=0.[ Petunjuk teorema
binomial seperti di contoh 3.1.11(d)].
Bukti:
Perhatikan bahwa nbn 0 nbn
1 1
Misalkan b dimana kn 1 , kn>0
1 kn b
1
bn
(1 kn) n
Dengan menggunakan teorema binomial maka;

3. n(n 1) 2
(1 kn) n 1 nkn kn ...
2
1 2 1 2
1 n(n 1)kn n(n 1)kn
2 2
sehingga
n n 2 2 1
nb n 0 nb n ( )
(1 kn ) n 1 2
n(n 1)kn
2
(n 1)kn 2
kn n
2
Berdasarkan teorema 3.1.10 dapat disimpulkan bahwa lim (nbn)=0.
1
13). Tunjukan bahwa lim((2n) n ) 1
Bukti :
1 1
n n
Perhatikan bahwa (2n) 1 (2n) 1 2n 1
Misalkan (2n)1/n=1+d d>0, n>1
2n= (1+d)n
Dendan menggunakan teorema binomial maka
1
2n (1 d ) n 1 nd n(n 1)d 2 ...
2
1
2n 1 n(n 1)d 2
2
1 2
2n 1 n(n 1)d 2 d2
2 n
2
d2 ,n 1
Karena n
Ambil sebarang 0
2
Misalkan K ( ) 2
sehingga diperoleh

4. 1 1
2 1 2 1 2 1
(2n) n 1 (2n) 2 1 d ( )2 ( )2 ( )2
n K( ) 2 2
Jadi terbukti bahwa lim ((2n)1/n-1)=1.
n2
14). Tunjukan bahwa lim( ) 0
n!
Bukti :
Perhatikan bahwa
n2 n2
0
n! n!
Jika n>3 maka ;
n2 n2 n2 n
0 n 3
n! n! n(n 1)(n 2)(n 3)! (n 1)(n 2)(n 3)!
Ambil sebarang 0
1
K( ) 3
Misalkan sehingga n K ( )diperoleh;
2
n 1 1 1
0
n! n 3 K( ) 3 (1 3) 3
n2
Jadi terbukti bahwa lim 0.
n!
n 2
2n 2n 2
15). Tunjukan bahwa lim lim 0 .(petunjuk jika n 3, maka0 2 ).
n! n! 3
Bukti:
Jika n 3, maka perhatikan bahwa

5. n
2n 2n 2n 2n 9 2
0 .
n! n! 1.2.3... 2.3n 2
2 3
2 1 1
,n 0
3 1 a 2
n
2 1
sehingga
3 (1 a ) n
n
2n 9 2 9 1
Misalkan 0
n! 2 3 2 (1 a) n
9 1
2 1 na
9 1 9 1
2 na 2a n
2n
Jadi menurut teorema 3.1.10 terbukti bahwa lim 0.
n!