Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Mat1 lec5

981 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Mat1 lec5

  1. 1. 1 Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-ÄrdänäX¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän Lekc 5 Xiqääliïn sädäw: Xawtgaï bolon ogtorguïn täg² öncögt koordinatyn sistem, tuïlyn koordinatyn sistem, tädgääriïn x¶lbar bodloguud 1. Xawtgaï däärx täg² öncögt koordinatyn sistemXawtgaï däär 0 cäg awq tüüniïg daïruulan xarilcan perpendikul¶r xoërtoon tänxläg baïguulaad nägiïg n´ absciss buµu Ox nögöög n´ ordinatbuµu Ou tänxläg gäj tus tus närläwäl ug xawtgaï täg² öncögt koordi-natyn sistemtäï bolno. 0 cägiïg koordinatyn äx, toon tänxlägüüdiïnnägjüüdiïg koordinatyn nägjüüd gäj tus tus närlänä. Ox-tänxlägiïgxäwtää, Ou-tänxlägiïg bosoo tänxläg gäj närlänä. Koordinatyn tänxlägüüdäärxuwaagdsan xawtgaïn xäsäg büriïg möq gäj närlän Zurag1 y M2 M(x,y) II I -1 1 O x M1 -1 1 2 III IV -2 Zurag 1 däärx baïdlaar dugaarladag. Koordinatyn sistemtäï xawt-gaïn cäg näg bürd todorxoï ärämbätäï xos too onooj bolox ba todor-xoï ärämbätäï xos too bürd xawtgaïn näg cäg onooj bolno. TuxaïlbalM cägiïg daïruulan tänxlägüüdtäï parallel´ ²uluun tataxad abscisstänxläg däär x koordinattaï M1 cäg ordinat tänxläg däär u koordi-nattaï M2 cäg üüsq M cägt (x,y) xos too xargalzana. x toog M cägiïnabsciss u toog M cägiïn ordinat gäx ba xamtad n´ M cägiïn koordinatgänä. M cäg (x,y) koordinattaï gäxiïg M(x,y) gäj towqilno.
  2. 2. 2 I II III IV x + - - + cägiïn koordinatyn tämdäg I, II, III, IV möqid baïxyg y + + - -üzüüläw.Xawtgaïd koordinatyn sistem togtoosnoor xawtgaïn cäg näg büriïg boditxos too mät, todorxoï ärämbätäï bodit toon xos büriïg xawtgaïn cägmät sätgäx bolomj näägdänä. Ingäsnäär geometriïn aliw dürsiïg alge-bryn tom³ëogoor ilärxiïläx ba x, y xuw´sagqtaï algebryn täg²itgäl(täncätgäl bi²) büriïg xawtgaï dax´ dürs bolgon sudlax suur´ tawig-dana. 2. Xawtgaïn geometriïn ündsän x¶lbar bodloguud1. Xoër cägiïn xoorondox zaï: A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) cägüüdiïn xooron-dox zaï d-g ädgääriïn koordinataar ilärxiïl. y B(x2 , y2 ) A(x1 , y1 ) y2 − y1 x2 − x1 O x Zurag 2A, B cägüüdääs Ox tänxlägt perpendikul¶ruud tataad A cägiïg daïruu-lan abscisstäï parallel´ ²uluun tataxad ABC täg² öncögt gurwaljin 2 2 2 2üüsäx uqir d = |AB| = |BC| + |AC| .Gätäl |AC| = |x2 − x1 |, |BC| = |y2 − y1 | tul d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (1)Zaïn utga ¶magt äeräg baïx arifmetikiïn ¶zguuryg awna. Iïnxüü xawt-gaïn xoër cägiïn xoorondox zaï n´ tädgääriïn ijil närtäï koordinatu-udyg ¶lgawryn kµadratuudyn niïlbärääs kwadrat ¶zguur gargasantaïtäncänä. Xäräw A cäg koordinatyn äxtäï dawxcaj baïwal d n´ W cägääskoordinatyn äx xürtläx zaï bolno. d = x2 + y 2 .Ji²ää n´: A(2;-6), B(-1,-2) cägüüdiïn xoorondox zaïg ol. √d = (−1 − 2)2 + (−2 − (−6))2 = 9 + 16 = 5.2. Xärqmiïg ögsön xar´caagaar xuwaax. A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) cägüüdba λ = −1 gäsän bodit too ögqää. AW xärqmiïg λ xar´caagaar xuwaagqM (x, y) cägiïg ol.
  3. 3. 3 y B M A x2 x1 x 0 A1 M1 B1 x Zurag 3M cägiïg AW xärqim däär olson µm gäj sanaad M, A, W cägüüdiïgdaïruulan ordinat tänxlägtäï parallel´ ²uluunuud tatwaas parallel´proekciïn qanar ësoor λ = AM MB = M1 M1 gätäl A1 M1 = x − x1 , M1 B1 = A 1 B1 x−x1x2 − x tul λ = x2 −x üünääs x = 1+λ , x1 +λx2 y = y11+λ 2 baïna. Iïnxüü +λyA(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 2 cägäär todorxoïlogdox AW xärqmiïg λ xar´caagaarxuwaagq cägiïn koordinat n´ x1 + λx2 y1 + λy2 x= , y= (2) 1+λ 1+λtom³ëogoor todorxoïlogdow.Mördlögöö: Xäräw M cäg AW xärqmiïn dundaj axul λ = AM MB = 1 bolj x1 +x2 y1 +y2x = 2 , y = 2 . Ö.x xärqmiïn dundaj cägiïn koordinat n´tüüniï 2 tögsgöliïn xargalzax koordinatuudyn arifmetikiïn dunda-jtaï täncüü baïna.Ji²ää n´: A(0,0); B(4,-3), C(12,5) cägüüdäd oroïtoï gurwaljny Aoroïn dotood öncgiïn bissektris WS taltaï ogtlolcox cägiïg ol. Oloxgäj baïgaa cägääD gäj tämdägläwäl gurwaljny dotood öncgiïn bissek- ACtrisiïn qanar ësoor CD = BD = λ = 13 bolj x = 6 2 ; y = − 7 .3. Gurwaljny talbaï olox: A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) gäsän AB 5 9 9näg ²uluun däär bi² gurwan cäg ögqää. AWS gurwaljny talbaï gurwanoroïnx n´ koordinataar ilärxiïl.
  4. 4. 4 C b B y3 ϕ y2 A c Zurag 3 y1 x1 x2 x3 Gurwaljny xoër talyg |AB| = c |AC| = b gääd xoorondox öncgiïgn´ ϕ gäj tämdägläwäl trigonometrt gurwaljny talbaï oldog tom³ëo 1ësoor S = 2 bc sin ϕ bolox ba ϕ = β − α (üünd α, β n´ [AB), [AC) xoër tal 1 1Ox tänxlägtäï üüsgäsän öncög) tul S = bc sin(β − α) = bc(sin β cos α − 2 2cos β sin α). Zurag 3-aasc · cos α = x2 − x1 · c · sin α = y2 − y1b·cos β = x3 −x1 ·b·sin β = y3 −y1 tul S = 1 ((x2 −x1 )(y3 −y1 )−(x3 −x1 )(y2 − 2y1 )). Gurwaljny talbaïg änä tom³ëogoor bodoxod oroïnuud n´ cagiïnzüüniï xödölgööniï daguu toïroltoor dugaarlagdsan toxioldold sörögutgataï garax uqir uul tom³ëog golduu 1 S = ± ((x2 − x1 )(y3 − y1 ) − (x3 − x1 )(y2 − y1 )) (3) 2gäj biqdäg bögööd bodlogo bodoxod talbaïn utga äeräg baïxaar ömnöxtämdgiïg n´ toxiruulj xäräglänä.Mördlög: Xäräw A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) gurwan cäg näg ²uluundäär or²wol AWS gurwaljny talbaï S = 0 baïx tul (x2 − x1 )(y3 − y1 ) −(x3 − x1 )(y2 − y1 ) = 0 bolj gurwan cäg näg ²uluun däär or²ix nöxcöltodorxoïlogdono.Ji²ää n´: A(-2,0), B(0,-1), C(2,0), D(3,2), E(-1,3) gäj ögsnöör ABCDEtawan öncögtiïn talbaïg ol. AWSDE tawan öncögtiïg ADE, ACD, ABCgäsän gurwan gurwaljin bolgood tus bürd talbaïgiï nt (3) tom³ëogoorolbol
  5. 5. 5 1S ADE = 2 [(3 + 2)(3 − 0) − (−1 + 2)(2 − 0)] = 6.5 (kw.nägj)S ACD = 4, S ABC = 2. Iïmd SABCDE = 6.5 + 4 + 2 = 12.5 (kw.nägj). Tuïlyn koordinatDekartyn koordinatyn argataï tanilclaa. Odoo tuïlyn koordinatynargataï tanidc³¶. Xawtgaïd näg cäg awq tuïl gäj närlääd tüünääsäänäg cacrag tataad tuïlyn tänxläg gäj närläe. Cacrag däär xämjixnägj oruulbal xawtgaïd näg züïliïn koordinat togtox bögööd tüüniïgtuïlyn koordinat gänä. Xawtgaïn aliwaa M cägiïg tuïltaï xolboxodüüsäx OM xärqmiïn urtyg M cägiïn nägdügäär koordinat tuïlyn ra-dius buµu modul´ gäj närlänä. Moduliïg ρ üsgäär tämdägläwäl änän´ ¶magt 0 ≤ ρ∞ baïna. Tuïlyn radius, tuïlyn tänxlägtäï üüsgäsän∠xOM = ϕ öncgiïn xämjääg M cägiïn xoërdugaar koordinat gäj när-länä. ϕ argumentyn utgyg Ox tänxlägääs cagiïn züüniï xödölgööniïäsräg toolbol äeräg baïx ba daguu toolbol sörög baïna. (ρ, ϕ) gäsän xostoog M cägiïn tuïlyn koordinatuud gänä. Zurag 4 M ρ ϕ 0M cäg (ρ, ϕ) gäsän koordinattaï gäxiïg M (ρ, ϕ) gäj towqilno. Cägiïntäg² öncögt ba tuïlyn koordinatyn xolboo y Zurag 5 ρ y ϕ 0 x xZurag 5 däär üzüülsän ²ig 0 cägt koordinatyn äx, tuïl 2 dawxcaad basabsciss tänxlägtäï, tuïlyn tänxläg dawxcaj baïwaas sin ϕ = y , cos = ρxρ . Ändääs M cägiïfn (x,u) koordinatyg (ρ, ϕ) koordinataar ilärxiïl-bäl x = ρ cos ϕ (4) y = ρ sin ϕ
  6. 6. 6bolox ba xäräw (ρ, ϕ) koordinatyg (x,y)-äär ilärxiïlbäl x y ρ= x2 + y 2 ; cos ϕ = ; sin ϕ = (5) x2 + y 2 x2 + y 2 yM cäg Ou däär äs or²woos tan ϕ = x baïna. √ Ji²ää n´: 1. M ( 2, 3π ) cägiïn dekartyn koordinatyg ol. √ √ 4 √ √x = 2 cos 3π = − 2 · √2 = −1; y = 2 sin 3π = 2 · √2 = 1 bolj M(-1;1) 4 1 4 1bolno.2. M(3,-3) cägiïn tuïlyn koordinatyg ol. √ρ = (3)2 + (−3)2 = 3 2; tgϕ = −3 = −1; ϕ1 = 3π ; ϕ2 = − π . M cäg 3 4 √ 4IV möqid ögögdsön tul argument n´ ϕ2 = − π w. Iïmd M (3 2, − π ). 4 4 4. Ogtorguï dax´ täg² öncögt koordinatyn sistemXarilcan perpendikul¶r 3 xawtgaï (Oxy, Oxz, Oyz) awq tädgääriïn ogt-lolclyn gurwan ²uluunyg Ox, Oy, Oz gäsän toon tänxläg bolgood ab-sciss , ordinat, aplikat tänxläg gäj xargalzuulan närläwäl ogtorguïdtäg² öncögt koordinat togtono. z Mz 0 My y Mx x0 cägiïg koordinatyn äx gäx ba Ox, Ou, Oz tänxlägüüd däärx gurwannägjiïg koordinatyn nägjüüd gänä. Koordinattaï ogtorguïn aliwaacägt todorxoï ärämbätäï bodit toon gurawt xargalzana. M cäg x, u, z3koordinattaï gäxiïg towqoor M(x,y,z) gäj biqnä. Todorxoï ärämbätäïbodit toon gurawt büxänd näg cäg xargalzana. Koordinatyn gurwanxawtgaï n´ ogtorguïg 8 möq bolgono. Durdsan 8 möqid aliwaa cägiïn(x,y,z) koordinatyn tämdäg xärxän xargalzaxyg üzüülbäl I II III IV V VI VII VIII x + - - + + - - + y + + - - + + - - z + + + + - - - -
  7. 7. 7 5. Ogtorguïn geometriïn ündsän x¶lbar bodloguud1. Xoër cägiïn xoorondox zaï olox: M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) 2 cägiïnxoorondox d zaïg ädgäär cägiïn koordinataar ilärxiïl. z M2 M1 B A 0 y xM1 , M2 cägüüdiïg daïruulan koordinatyn xawtgaïnuudtaï parallel´xawtgaïnuud tatwal täg² öncögt parallelopiped üüsq [M1 , M2 ] diago- 2 2 2 2nal´ n´ |M1 M2 | = |M1 A| + |M1 B| + |M1 C| .Gätäl |M1 M2 | = d, M1 A = x2 − x1 , M1 B = y2 − y1 , M1 C = z2 − z1 tul d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 (6)2. Xärqmiïg ögsön xar´caagaar xuwaax: M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), λ =−1 too ögögdsönöör [M1 , M2 ] xärqmiïg λ xar´caagaar xuwaagq M cägiïgol. M1 , M2 , M gurwan cäg näg ²uluun däär or²ix tul ädgääriïg daïru-ulan koordinatyn xawtgaïtaï parallel´ gurwan xawtgaï tatwal paral-lel´ proekciïn qanar ësoor M1 M x − x1 x1 + λx2 y1 + λy2 z1 + λz2 λ= = ; x= ; y= ; z= (7) M M2 x2 − x 1+λ 1+λ 1+λ Täg² öncögt koordinatyn sistemiïg xuwirgax 6.1. Koordinatyn tänxlägiïg paralleliar ²iljüüläx. Koordi-natyn tänxlägiïn qigläliïg öörqlöxgüïgäär zöwxön äxiïg n´ ²iljüüljxuwirgax xuwirgaltyg koordinatyn parallel´ ²iljüüläg gänä. Par-allel´ ²iljüülgäär Oxu sistemiïn äx O cäg O(x0 , y0 ) cägt ²iljwälaliwaa M cägiïn xuuqin koordinat (x,y) n´ tüüniï ²inä koordinat(x’,y’)-täï daraax tom³ëogoor xolbogdono. x = x0 + x ; x = x − x0 (8) y = y0 + y ; y = y − y0
  8. 8. 82. Koordinatyn tänxlägiïg ärgüüläx. Koordinatyn äxiïg ²iljüüläl-güïgäär 2 tänxlägiïg n´ näg qigläld ijil öncgöör ärgüülj xuwirgaxxuwirgaltyg koordinatyn ärgält gänä. x = x cos α − y sin α; x = x cos α + y sin α (9) y = x sin α + y cos α; y = −x sin α + y cos αSanamj: Täg² öncögt koordinatyn sistemiïg parallel´ ²iljüüläg,ärgält xoër xuwirgaltaar zäräg xuwirgawal koordinatyn erönxiï xuwirgaltn´ daraax tom³ëotoï baïna. x = x0 + x cos α − y sin α; x = (x − x0 ) cos α + (y − y0 ) sin α (10) y = y0 + x sin α + y cos α; y = −(x − x0 ) sin α + (y − y0 ) cos α Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² .............................. L.Ariunaa

×