Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Mat1 lec4

833 views

Published on

  • Be the first to comment

Mat1 lec4

  1. 1. 1 Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-ÄrdänäX¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän Lekc 4 Xiqääliïn sädäw: ’TS-iïg bodox Gauss, Krameryn teoremuud, urwuu matricyn arga, ’TS-iïg ²injläx 1. ’TS    a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2     ...  (1)   ai1 x1 + ai2 x2 + ... + aij xj + ... + ain xn = bi ...     am1 x1 + am2 x2 + ... + amj xj + ... + amn xn = bm Üünd: aij , bi , (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) duryn togtmol toonuud baaij -g täg²itgäliïn ül mädägdäx xuw´sagqdyn koäfficientuud, bi -g sulgi²üüd gänä. (1) xälbäriïn sistemiïg n ül mädägdägqtäï m täg²it-gäliïn sistem gänä. Änä sistemiïg towqoor n aij xj = bi , (i = 1, 2, ..., m) (2) j=1gäj biqnä. Ül mädägdägqiïn orond orluulan tawixad sistemiïn täg²it-gäl büriïg zöw täncätgäl bolgodog x1 = k1 , x2 = k2 , ..., xn = kn gäsänärämbälägdsän n toonuudyg (1) sistemiïn ²iïd gänä. Xäräw sistemn´ ¶daj näg ²iïdtäï bol niïctäï, ²iïdgüï bol niïcgüï sistem gänä.Niïctäï sistem täg²itgäl n´ coryn ganc ²iïdtäï bol todorxoï, nägääsilüü ²iïdtäï bol todorxoïgüï gänä. (1) sistem täg²itgäliïg matricanxälbärtäï biqwäl A·X =B (3)bolno. Änd       a11 a12 ... a1n x1 b1  a21 a22 ... a2n   x   b A=  ... ; X =  2 ; B= 2  ... ... ...   ...   ...  am1 am2 ... amn xn bm
  2. 2. 2Üünd: A-xuw´sagqdyn koäfficientuudyn matric buµu sistemiïn ma-tric, X xuw´sagqdyn bagana matric, W sul gi²üüdiïn bagana matricbolno. 2. n ül mädägdägqtäï n ²ugaman täg²itgäliïn sistem. Krameryn düräm ba urwuu matricyn arga(1) sistemiïn ül mädägdägqiïn too täg²itgäliïn tootoï täncüü, ö.x.m=n baïg. Tägwäl sistemiïn matric n´ kwadrat matric baïx tüüniïtodorxoïlogqiïg sistemiïn todorxoïlogq gääd = |A| gäj tämdägläe.Urwuu matricyn arga (1) sistmeiïg m=n üed erönxiï xälbärt An×ngäsän sistemiïn matricyg n´ ül böxöx ö.x. tüüniï todorxoïlogq |A| =0 baïx üed ²iïdiïg ol³ë. Änä toxioldold A−1 urwuu matric or²in −1baïna. (3) matrican tägcätgäliïn xoër talyg züün talaas n´ A -äär −1 −1 −1 −1ürjüülbäl A (A · X) = A · B bolox ba A · (A · X) = (A · A) · X =E · X = X bolox tul urwuu matricyn argaar sistemiïn ²iïd n´: X = A−1 · B (4)gäsän bagana matric bolloo.Krameryn teorem Sistemiïn matric A-iïn todorxoïlogq , xarinA matricyn j-r baganyg sul gi²üüniï baganaar solixod garax todorx-oïlogq n´ j baïg. Tägwäl =0 üed sistem n´: j xj = , j = (1, 2, ..., n) (5)tom³ëogoor todorxoïlogdox coryn ganc ²iïdtäï baïna. (5) tom³ëogKrameryn tom³ëo gänä.Ji²ää 1: Täg²itgäliïn sistemiïg a) Urwuu matricyn argaar b) Krameryndürmäär bod.       1 −1 1 x1 3Bodolt: 1) A =  2 1 1  , X =  x2  , B =  11  gäj 1 1 2 x3 8tämdägläwäl ögögdsön sistem A · X = B xälbärtäï bolno. Todorxoïlogq|A| = 5 = 0 uqraas A−1 urwuu matric n´ or²in baïna.Ändääs A ma-  1 3 −2 −1 1 tricyn urwuu matricyg olwol A = 5 −3 1 1  bolox ba (4) 1 −2 3
  3. 3. 3tom³ëogoor        1 3 −2 3 20 4 1 1 X = A−1 · B =  −3 1 1   11  =  10  =  2  5 5 1 −2 3 8 5 1Ööröör xälbäl sistemiïn ²iïd(4,2,1) bolno.2) Sistemiïn todorxoïlogq = |A| = 5 = 0 uqir Krameryn teore-moor sistem coryn ganc ²iïdtäï. A matricyn xargalzan näg, xoër,gurawdugaar baganyg sul gi²üüniï baganaar solixod garax matricuu-dyn 1, 2, 3 todorxoïlogqdyg todorxoïl³ë: 3 −1 1 1 3 1 1 −1 3 1 = 11 1 1 = 20; 2 = 2 11 1 = 10; 3 = 2 1 11 =5 8 1 2 1 8 2 1 1 8Odoo Krameryn düräm (5)-aar: 1 20 2 10 3 5 x1 = = = 4; x2 = = = 2; x3 = =1 5 5 5Ööröör xälbäl sistemiïn ²iïd (4,2,1) bolno. 3. Gaussyn argan xuw´sagq büxiï m ²ugaman täg²itgäliïn sistem (1)-iïn ²iïdiïgerönxiï xälbärt awq üz´e. Gaussyn arga n´ xuw´sagquudyg daraalanzaïluulax arga bögööd älementar xuwirgaltaar sistem täg²itgäliïgtüüntäï täncüü ²atalsan sistemiïn (gurwaljin) xälbärt ²iljüüldägba tüünääs süülqiïn xuw´sagqaas äxlän daraaluulan üldsän büx xuw´sagqiïgolno.(1) sistemd x1 xuw´sagqiïn ömnöx koäfficient a11 = 0 gäj üz´e. Xäräwa11 = 0 bol x1 -iïn koäfficient tägääs ¶lgaataï täg²itgäliïg sis-temiïn äxänd biqij baïryg sol´j a11 = 0 baïxyg xanga¶. 1-r alxam. Nägdäx täg²itgäliïg xargalzax toonuudaar (quxamdaa− a21 , − a31 , ..., − am1 ) ürjüülj garsan täg²itgälüüdiïg 2 dax´, 3 dax´, ... a11 a11 a11, m däx (1) sistemiïn täg²itgälüüdäd nämj, x1 -iïg xoërdax´ täg²it-gälääs äxlän daraagiïn täg²itgälüüdääs zaïluulna. Tägwäl:   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   (I) (I) (I)    a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ... (6) (I) (I) (I) ai2 x2 + ... + ain xn = bi      (I) (I) (I) ... am2 x2 + ... + amn xn = bm 
  4. 4. 4garna. Änd däädäx indeks (I)-n´ äxniï alxmyn daraa garsan ²inä koäf-ficientuudyg tämdägläsän bolno. (I) 2-r alxam. Xäräw a22 = 0 gäj üz´e. Xoërdax´ täg²itgäliïg (I) (I) (I) a a axargalzax toonuudaar (− 32 , − 42 , ..., − m2 ) ürjüülän garsan täg²it- (I) (I) (I) a22 a22 a22gälüüdiïg xargalzan guraw döröw gäx mätqilän m-r sistemiïn täg²it-gälüüd däär nämj, gurawdugaar täg²itgälää äxlän daraagiïn täg²it-gälüüdääs x2 ül mädägdägqiïg zaïluul³¶. x3 , x4 , ..., xr−1 ül mädägdägqiïgdäs daraalan zaïluulax üïldliïg caa²id ürgäljlüülbäl (r-1)-r alxmyndaraa:   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr + a1(r+1) xr+1 + ... + a1n xn = b1  (I) (I) (I) (I) (I) a22 x2 + ... + a2r xr + a2(r+1) xr+1 + ... + a2n xn = b2       ... (r−1) (r−1) (r−1) (7)   arr xr + ar−1 xr+1 + ... + arn xn = br r(r+1)  (r−1) 0 = br+1      (r−1) 0 = bmsistem garna. Sistemiïn süülqiïn m-r täg²itgälüüdiïn tägiïn toon´ züün tald 0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · xn xälbäräär tämdäglägdänä. Xäräw (r−1) (r−1)br+1 , ..., bm toonuudaas ¶daj näg n´ tägääs ¶lgaataï baïwal täncätgälzörqild xüräx uqir (1) sistem niïcgüï bolno. Iïmd niïctäï sistemiïn (r−1) (r−1)xuw´d br+1 , ..., bm toonuud bügd tägtäï täncüü.(1) sistemääs tüüntäï täncüü qanartaï (7) sistemd ²iljix xuwirgal-tyg Gaussyn argyn ²uud alxam gäj närläx ba (7) sistemääs ül mädägdägqiïgoloxyg urwuu alxam gänä. Gaussyn xuwirgaltyg täg²itgälüüdiïn xuw´dbus xarin tädgääriïn koäfficientuudyn matricyn xuw´d güïcätgäx n´ilüü toxiromjtoï. Sistem (1)–iïn örgötgösön matricyg awq üz´e.   a11 a12 ... a1n b1  a21 a22 ... a2n b2  A1 =   ...  (8) ... ... ... ...  am1 am2 ... amn bmÄnd süülqiïn bagana n´ sul gi²üüdiïn bagana orson baïna.   x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6  2x1 + 4x2 − 2x3 − 3x4 = 18 Ji²ää 2: täg²itgäliïn sistemiïg Gaussyn  3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4  2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8 
  5. 5. 5argaar bod.Bodolt: Sistemiïn örgötgösön matricyn biqwäl:   1 2 3 −2 6 10  2 4 −2 −3 18 19     3 2 −1 2 4 10  2 −3 2 1 −8 −6Süülqiïn baganyg x¶naltyn bagana gäj närläx ba änä n´ möriïn älemen-tüüdiïn niïlbärtäï täncüü toonuudaas togtono. Änä baganaar xuwirgaltzöw xiïgdsän äsäxiïg ²algana.     1 2 3 −2 6 10 1 2 3 −2 6 10  0 0 −8 1 6 −1   0 −4 −10 8 −14 −20   0 −4 −10 8 −14 −20  ∼  0 0 −8 1     6 −1  0 −7 −4 5 20 14 0 −7 −4 5 20 142 dax´ möriïg (-7/4)-öör ürjij garsan möriïg döröwdäx mörd nämj x2 -iïg gurawdax´ möröös äxlän büx möröös zaïluulbal:    1 2 3 −2 6 10 1 2 3 −2 6 10 0 −4 −10 8 −14 −20   0 −4 −10 8 −14 −20  ∼  0 0 −8 1 6 −1   0 0 −8 1 6 −1  0 0 13.5 9 4.5 27 0 0 0 − 117 117 16 8 0 (2)a33 = −8 = 0 gädgiïg toocoj gurawdax´ möriïg 13.5 = 27 ürjij, garsan 8 16möriïg döröwdäx mörd nämj, süülqiïnxääs x3 -iïg zaïluul³¶. Tägwäl(süülqiïn matric) daraax sistem garna:   x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6  −4x2 − 10x3 + 8x4 = −14    −8x3 + x4 = 6 − 117 x4 = 117  16 8Ändääs Gaussyn argyn urwuu alxmyg a²iglan sistemiïn ²iïd {1, 2, −1, 2}bolno.’TS-iïg ²injläx Kroneker Kapelliïn teorem. Xäräw ündsänba örgötgösön matricyn ranguud n´ täncüü baïwal (1) sistem n´ niïc-täï ba xäräw ündsän matricyn rang n´ örgötgösön matricyn rangaasbaga baïwal (1) sistem n´ niïcgüï baïna.
  6. 6. 6 4. Nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem. ’iïdiïn tulguur sistemBüx sul gi²üüd n´ tägtäï täncüü n xuw´sagqtaï m ²ugaman täg²it-gäliïn sistemiïg nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem gänä.Änä n´ daraax xälbärtäï baïna.   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = 0  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = 0  (9)   ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amj xj + ... + amn xn = 0 (9) sistem n´ ürgälj niïctäï tul tär n´ ¶magt ¶daj täg (0 0 ... 0)²iïdtäï baïdag. Xäräw (9) sistemiïn xuw´d m=n bögööd tüüniï todor-xoïlogq n´ tägääs ¶lgaataï baïwal ug sistem n´ zöwxön täg ²iïdtäï baïxn´ Krameryn teoremoos ilärxiï. Täg bi² ²iïd n´ nägän törliïn sis-tem täg²itgäliïn xuw´d xuw´sagqiïn toonoos täg²itgäliïn too bagabaïxad bolomjtoï buµu tädgääriïn too adil baïxad sistemiïn todor-xoïlogq tägtäï täncüü baïna. (9) sistemiïn x1 = k1 , x2 = k2 , x3 =k3 , ..., xn = kn ²iïdiïg e1 = (k1 , k2 , ..., kn ) mör xälbäräär tämdägläe.Nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistemiïn ²iïd n´ daraax qa-naruudtaï baïna.1. e1 = (k1 , k2 , ..., kn ) n´ (9) sistemiïn ²iïd bol λe1 = (λk1 , λk2 , ..., λkn ) Xäräwn´ mön sistemiïn ²iïd bolno.2. Xäräw e1 = (k1 , k2 , ..., kn ) ba e2 = (l1 , l2 , ..., ln ) sistemiïn ²iïdüüd bolädgääriïn ²ugaman xoslol C1 e1 + C2 e2 = (C1 k1 + C2 l1 ; C1 k2 + C2 l2 ; ...; C1 kn + C2 ln ), ∀C1 , C2 ∈ RTodorxoïlolt: Xäräw (9) sistemiïn ²iïd bür n´ e1, e2, ..., ek ²iïdüüdiïn²ugaman xoslol bolj baïwal ²ugaman xamaaralgüï e1 , e2 , ..., ek ²iïdiïnsistemiïg tulguur gänä.Teorem. Xäräw nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistemiïn ünd-sän matricyn rang n´ xuw´sagqiïn too n-ääs (9) sistemiïn baga baïwal²iïdiïn tulguur sistem n´ n-r sistemääs togtono. Iïmd (9) ²ugamannägän törliïn täg²itgäliïn sistemiïn erönxiï ²iïd n´: c1 e1 + c2 e2 + ... + ck ek (10)Änd: e1 , e2 , ..., ek n´ ²iïdiïn duryn tulguur sistem, c1 , c2 , ..., ck duryntoo ba k = n − r.
  7. 7. 7n xuw´sagqtaï m täg²itgäliïn sistem (1)-iïn erönxiï ²iïd tüünd xar-galzax nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem (9)-iïn erönxiï²iïd ba ug sistem (9)-iïn tuxaïn ²iïdiïn niïlbärtäï täncüü.Ji²ää 3: Sistemiïg ²injlääd Gaussyn argaar bod. Daraa n´ büx suur´²iïdiïg ol.   2x1 − x2 + x3 − x4 = 5 x1 + 2x2 − 2x3 + 3x4 = −6 3x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1      2 −1 1 −1 2 −1 1 −1 5Bodolt: A =  1 2 −2 3  , A1 =  1 2 −2 3 −6  3 1 −1 2 3 1 −1 2 −1A-ündsän matric, A1 -örgötgösön matric. Sistemiïn örgötgösön matri- xuwirga¶. Üüniï tuld 1 2-r mörniï baïryg  cyg  ba sol³ë:  2 −1 1 −1 5 1 2 −2 3 −6 1 2 −2 3 −6 1 2 −2 3 −6  ∼  0 −5 5 −7 17  ∼  0 −5 5 −7 17  ∼ 3 1 −1 2 −1 0 −5 5 −7 17 0 0 0 0 0 1 2 −2 3 −6 uqir rangA = rangA1 = 2 baïna. 0 −5 5 −7 17 1 2 = −5 = 0 uqir x1 , x2 -yg suur´ xuw´sagqaar songon awq bolno. 0 −5Üldsän x3 , x4 n´ qölööt xuw´sagq bolno. Tägwäl suur´ xuw´sagqdygbaruun gar tald gargaj biqwäl: x1 + 2x2 = −6 + 2x3 − 3x4 −5x2 = 17 − 5x3 + 7x4 x2 = − 17 + x3 − 5 x4 , 5 7ändääs x1 = −6 + 2x3 − 3x4 − 2 − 17 + x3 − 5 x4 = 4 − 1 x4 , 5 7 5 5qölööt xuw´sagqid duryn utga ögwöl x3 = C1 , x4 = C2 sistemiïn x¶z-gaargüï olon ²iïd oldono.x1 = 4 − 1 C2 , x2 = − 17 + C1 − 7 C2 , x3 = C1 , x4 = C2 tul sistemiïn 5 5 5 5 4²iïdiïg 5 − 1 C2 ; − 17 + C1 − 5 C2 ; C1 ; C2 gäj biqij bolno. 5 5 7Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² ................................... L.Ariunaa

×