Modul 3 transformasi laplace

MODUL III
TRANSFORMASI
LAPLACE

PENGERTIAN INTEGRAL TAK WAJAR
Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk t ≥ 0. Integral tak wajar yang
didefinisikan oleh,
dikatakan konvergen, bila limit pada ruas kanan ada. Jika limitnya tidak ada
nilainya, maka integral tak wajar dikatakan divergen.
dttfdttf
b
b
)(lim)(
00  


2
1
2
1
2
lim
2
lim
lim
2
0
2
0
2
0
2


























 

b
b
bt
b
b t
b
t
e
e
dtedte
Contoh Contoh :
Fungsi Gamma yang dinyatakan
dengan Γ(n) didefinisikan oleh,
!)1()2(
)()1()1(
)(
0
1
nn
nnn
dtetn tn


 
 

PENGERTIAN TRANSFORMASI LAPLACE
dtetftfLsF st

 
0
)()]([)(
Andaikan fungsi f terdefinisikan
untuk untuk t ≥ 0. Transformasi
Laplace dari dinyatakan dengan
F(s) = L{f} didefinisikan oleh
jika limitnya ada
22
0
)(
0
10
10
22
0
)(
cos
cos]cos[
)1(
][
!
][
cos][cos
:Contoh
bas
as
dtbte
dtebtebteL
s
r
dtettL
s
n
dtettL
bs
s
dtbtebtL
tas
statat
r
strr
n
stnn
st
















 
 

 

 
 
as
eL
dte
dteeeL
at
tas
statat






 
 
1
][
][
:Contoh
0
)(
0

Contoh :






1jika,
10jika,
1
)(
t
tt
tf
2
2
1
1
0
1
)1(1
)]([
nya-LaplacesitransformaMaka
s
e
s
e
s
es
dtedttetfL
s
ss
stst


 





 









2jika,
21jika,
10jika,
1
0)(
:Contoh
t
t
tt
tf
2
2
2
1
0
)1(1
0)]([
nya-LaplacesitransformaMaka
s
sees
dtedttetfL
ss
stst

 


 

Pergeseran Pada Sumbu s
Andaikan F(s) adalah transformasi
Laplace dari fungsi f(t). Menurut
definisi transformasi Laplace dari
eatf(t) didefinisikan oleh,
)(
)(
)()]([
0
)(
0
asF
dtetf
dtetfetfeL
tas
statat





 
 
Jadi, jika diberikan bahwa
L{f(t)} = F(s),
maka
L{eatf(t)} = F(s - a). 22
22
1
1
22
22
)(
)(]sin[
)(][sin
)(
!
)(][
)(
!
][
)(
)(]cos[
)(][cos
:Contoh
bas
b
asFbteL
sF
bs
b
btL
as
n
asFteL
sF
s
n
tL
bas
as
asFbteL
sF
bs
s
btL
at
n
nat
n
n
at

















Contoh
)2(
3)2(4
2
34
2
1
3
!2
2
]3[]2[]32[
3
3
3
12
2222









ss
ss
ss
ss
eLtLetL tt
)9)(2(
)9(3)2(6
2
3
9
6
2
1
3
3
3
2]33sin2[
2
2
2
22
2











ss
ss
ss
ss
etL t
6
13
)3)(2(
)2(2)3(3
)3(
1
2
2
1
3
]2[]3[]23[
2
3232










 
ss
s
ss
ss
ss
eLeLeeL tttt
)4(
3)4(4
4
34
2
3
!2
2]2cos32[
23
42
23
2212
2








ss
ss
s
s
s
s
s
s
ttL

)136()3(
)3(3)3(1248
4)3(
)3(3
)3(
12
2))3((
)3(
3
)]3([
!3
2
]2cos3[]2[])2cos32[(
24
52
24
2213
33333
















sss
ss
s
s
s
s
s
s
teLetLettL ttt
Contoh
)134()3(
)3(9)3(1654
9)2(
9
)3(
6
3)2(
3
3
)3(
!2
3
]3sin3[]3[]3sin33[(
23
32
23
2212
232232













sss
ss
ss
ss
teLetLteetL tttt

INVERS TRANSFORMASI LAPLACE
Andaikan bahwa :
F(s) = L{f}
menyatakan trasformasi Laplace
dari f(t). Fungsi f yakni L–1{F(s)},
disebut invers transformasi
Laplace F(s) sehingga,
f(t) = L–1{F(s)}
Jika diketahui :
L–1{F(s)} = f(t),
Maka
L–1{F(s - a)} = eat f(t)
tt
s
L
s
s
Ltf
ss
s
sF
ee
s
L
s
Ltf
ss
sF
tt
2sin
2
3
3cos4
4
1
3
9
4)(
4
3
9
4
)()2(
43
3
1
4
2
1
3)(
3
4
2
3
)()1(
:Contoh
2
1
2
1
22
32
11














































tt ette
s
L
s
Ltf
ss
s
s
s
s
sF
tt
s
L
s
s
Ltf
ss
s
s
s
sF
222
3
1
2
1
32
33
2
1
2
1
22
2
2
11
4
)2(
1
11
)2(
1
4)(
)2(
11
)2(
4
)2(
38)2(4
)2(
34
)()4(
2sin22cos3
4
1
4
4
3)(
4
4
4
3
4
43
)()3(

























































Contoh :
tete
s
L
s
s
Ltf
ss
s
s
s
s
s
ss
s
sF
tt 3cos
3
5
3cos4
9)2(
1
5
9)2(
)2(
4)(
9)2(
5
9)2(
)2(4
9)2(
138)2(4
9)2(
134
134
134
)()5(
22
2
1
2
1
22
2
22








































KASUS 1 : Faktor Q(s) Linier Tidak Berulang
Misalkan,






 
)(
)(
)(dan,
)(
)(
)( 1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana,
Q(s)=(s –a1)(s – a2) … (s – an)
Tulislah F(s) menjadi ta
n
tata
n
n
as
i
as
i
n
n
n
ii
eAeAeA
as
LA
as
LAtf
sQ
sPas
sQ
sP
A
as
A
as
A
as
A
sQ
sP



























...
1
...
1
)(
)(
)()(
)('
)(
...
)(
)(
21
21
1
1
1
1
2
2
1
1
Contoh
)4)(3(
)3()4(
43
)4)(3(
34
127
34
)(
2













ss
sBsA
s
B
s
A
ss
s
ss
s
sF
tt
ee
s
L
s
L
ss
s
Ltf
34
11
2
1
1519
3
1
15
4
1
19
127
34
)(





























Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
P(s) = s2 – 4s + 13
Q(s) = s3 – 2s2 – s +2
=(s + 1)(s – 1)(s – 2)
Tulis F(s) menjadi :
22
134
)(
23
2



sss
ss
sF
211
)2)(1)(1(
134
22
134
)(
321
2
23
2












s
A
s
A
s
A
sss
ss
sss
ss
sF
ttt
s
s
s
eee
s
L
s
L
s
Ltf
sss
sF
sss
sss
A
sss
sss
A
sss
sss
A
2
111
2
2
3
1
2
2
1
2
1
353
2
3
1
5
1
3
)(
dan,
2
3
1
5
1
3
)(
maka
3
)2)(1)(1(
)134)(2(
5
)2)(1)(1(
)134)(1(
3
)2)(1)(1(
)134)(1(
Mengingat,

















































KASUS 2 : Faktor Q(s) Linier Berulang
Misalkan,









)(
)(
)(
dan,
)(
)(
)(
1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana,
Q(s)=(s –a)m, m < n
Tulislah F(s) menjadi as
m
km
km
k
as
m
m
m
m
m
m
m
sQ
sPas
ds
d
km
A
sQ
sPas
A
as
A
as
A
as
A
as
sP
sQ
sP



















)(
)()(
)!(
1
)(
)()(
...
)()(
)(
)(
)(
)(
1
1
1

















































12
2
1
1
1
11
1
1
1
...
)!2()!1(
1
...
)(
1
)(
1
)(
AtA
m
t
A
m
t
Ae
as
LA
as
LA
as
LAtf
m
m
m
m
at
mmmm

Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
P(s) = 4s + 3
Q(s) = (s – 1)(s – 2)2
2
)2)(1(
34
)(



ss
s
sF
7
)2)(1(
)34)(1(
Karena,
2)2(1
)2)(1(
34
)(
1
2
1
2
2
2













sss
ss
A
s
B
s
B
s
A
ss
s
sF
ttt
s
s
ss
etee
s
L
s
L
s
Ltf
sss
sF
s
ss
ss
ds
d
B
s
s
ss
ss
B
22
1
2
11
2
2
2
2
2
2
1
22
2
2
2
7117
2
7
)2(
11
1
7
)(
Jadi,
2
7
)2(
11
1
7
)(
sehingga,
7
)1(
7
)2)(1(
)34()2(
)!12(
1
11
1
34
)2)(1(
)34()2(





















































Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
32
)2()3(
64
)(



ss
s
sF
14
)2(
)64(
6
)2()3(
)64()3(
Karena,
2)2()2(
3)3(
)(
3
31
3
32
2
2
1
2
2
3
3
1
2
2




















s
s
s
s
ds
d
A
ss
ss
A
s
B
s
B
s
B
s
A
s
A
sF
ttttt
ss
ss
ss
eteetete
s
L
s
L
s
L
s
L
s
Ltf
sssss
sF
s
s
s
s
ds
d
B
s
s
s
s
ds
d
B
s
s
ss
ss
B
222233
1
2
1
3
1
1
2
1
232
2
4
2
31
2
3
2
22
2
2
2
32
3
3
148146
2
14
)2(
8
)2(
2
3
14
)3(
6
)(
Jadi,
2
14
)2(
8
)2(
2
3
14
)3(
6
)(
sehingga,
14
)3(2
128
)3(
4
)!13(
1
8
)3(
4
)3(
64
)!23(
1
2
)3(
64
)2()3(
)64()2(






















































































KASUS 3 : Faktor Q(s) Kompleks Konjugate
Misalkan,









)(
)(
)(
dan,
)(
)(
)(
1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana Q(s) memuat akar
kompleks konjugate tidak
berulang,
Q(s)=(s – a)2 + b2
Tulislah F(s) menjadi
2222
2222
)()(
)(
)(
)(
)(
bas
BaA
bas
asA
bas
BaAasA
bas
BAs











bias
a
aa
a
atat
sQ
sPbas
b
Q
QbBaAQ
b
BaA
QA
bte
b
BaA
btAe
bas
BaA
L
bas
asA
L
bas
BAs
Ltf











































)(
)(])[(1
)Re(),Re(
dan),Im(
dimana,
sincos
)()(
)(
)(
)(
22
22
1
22
1
22
1

Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
)84)(3(
155
)(
2



sss
s
sF
6
)84)(3(
)155)(3(
Karena,
4)2(
2)2(
3
4)2(3
)(
3
2
2
2














ssss
ss
A
s
CBsB
s
A
s
CBs
s
A
sF
tetee
s
L
s
s
L
s
Ltf
ss
s
s
sF
iCB
iA
i
i
i
sss
sss
Q
ttt
is
a
2sin
2
1
2cos66
4)2(
1
4)2(
)2(6
3
6
)(
4)2(
1
4)2(
)2(6
3
6
)(
16
2
1
Re22
,66
2
1
Im
sehingga,
6
2
1
)21(2
1025
)84)(3(
)155)(84(
2
1
223
2
1
2
11
22
22
2
2






























































Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
)136()2(
305
)(
22
2



sss
s
sF
8
)136(
)1807030
136
305
10
)136()2(
)305()2(
Karena,
4)3(2)2(
)(
2
22
2
2
2
2
1
2
22
22
2
2
1
2
2





















s
s
s
ss
ss
ss
s
ds
d
A
sss
ss
A
s
CBs
s
A
s
A
sF






































































4)3(
3
4)3(
)3(8
2
8
)2(
10
)(
4)3(
3
4)3(
)2(8
2
8
)2(
10
)(
38
2
3
Re23
88
2
3
Im
8
2
3
)43(2
6055
)136()2(
)305)(136(
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
22
23
22
22
s
L
s
s
L
s
L
s
Ltf
s
s
s
ss
sF
iCB
iA
i
i
i
sss
sss
Q
is
a

Soal-soal Latihan,Tentukanlah invers Laplace, f(t), jika :
3
4
23
23
23
2
23
2
23
2
2
)3)(1(
124
)(.7
)3(
124
)(.6
15239
124
)(.5
12158
62
)(.4
8147
82
)(.3
1644
62
)(.2
86
32
)(.1





















ss
s
sF
s
ss
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
ss
sF
ss
s
sF
)52()2(
1210
)(.13
)106()2(
128
)(.12
)84)(3(
2010
)(.11
)136)(2(
128
)(.10
)4()2(
128
)(.9
)4)(2(
128
)(.8
23
2
22
2
2
2
42
2
4
2


















sss
s
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
ss
s
sF
ss
s
sF

LAPLACE TURUNAN FUNGSI
Andaikan fungsi f(t) kontinu untuk semua t ≥ 0, dan mempunyai turunan-
turunan f′(t), f′′(t), f′′′ (t), …, fn–1(t) yang kontinu untuk semua t ≥ 0, dan jika
f(n)(t) kontinu sepotong-sepotong untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari
turunan fungsi fn(t) diberikan oleh :
)0()0()0()()0()0()0(][)]([(3)
)0()0()()0()0(][)]([(2)
)0()()0(][)]([(1)
:khususKasus
)0()0(...)0()0()(
)0()0(...)0()0(][)]([
2323
22
)1()2(2)1(
)1()2(2)1()(
ffsfssFsffsfsfLstfL
fsfsFsfsffLstfL
fssFffsLtfL
fsffsfssFs
fsffsfsfLstfL
nnnnn
nnnnnn








Contoh
Hitung, F(s) dari :
f(t) = cos2bt
Jawab :
Mengingat,
f(t) = –2 cosbt sinbt
= – sin2bt
f(0) = cos 0 = 1
Maka.
)4(
42
][cos
4
2
1)(
4
2
)0()(
]2sin[)]([
22
22
2
22
22
bss
bbs
btL
bs
b
ssF
bs
b
fssF
btLtfL








Contoh
Hitung, F(s) dari :
f(t) = t cos bt. f(0) = 0
Jawab :
Mengingat,
f(t) = cos bt – b t sinbt, dan f(0) = 1
f(t) = –2b sin bt – b2t cos bt
Maka.
222
22
22
2
22
2
22
2
2
2
)(
]cos[
2
1)()(
)(
2
)0()0()(
]cos[][sin2)]([
bs
bs
bttL
bs
b
sFbs
sFb
bs
b
fsfsFs
bttLbbtbLtfL










Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
Tulislah F(s) menjadi,
22
2
)4(
8
)(



s
s
sF
ttt
tttttt
s
L
s
s
Ltf
ss
s
sF
2cos
2
3
2sin
4
1
)2cos22(sin
)2(2
1
8)2cos22(sin
)2(2
1
)4(
8
)4(
)(
Jadi,
)4(
8
)4(
)(
3
22
1
22
2
1
2222
2




























Contoh
Hitung, F(s) dari :
Jawab :
22
2
)84(
82
)(



ss
s
sF
16)2(8)2(2
8168)2(8)44(282
4)2(84
Mengingat,
2
22
22



ss
ssss
sss

















































ttttte
ttt
e
tt
e
ttt
e
s
L
s
s
L
s
s
Ltf
ss
s
s
s
sF
t
ttt
2cos2sin22sin
2
3
)2cos22(sin
)2(2
16
2sin
)2(2
8
)2cos22(sin
)2(2
2
]4)2[(
18
]4)2[(
)2(8
]4)2[(
)2(2
)(
Jadi,
]4)2[(
16
]4)2[(
)2(8
]4)2[(
)2(2
)(
2
3
222
22
1
22
1
22
2
1
222222
2

KASUS 4 : Faktor Q(s) Kompleks Berulang
Misalkan,









)(
)(
)(
dan,
)(
)(
)(
1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana Q(s) memuat
akar kompleks konjugate
berulang,
Q(s)=[(s – a)2 + b2]2
Tulislah F(s) menjadi
)(
)(
)(])[(
)Im(
2
1
)],Re([
2
1
)Re(),Im(
1
)(
)(
])[(
)(
])[(
)(
222
2
22
222222
biaRSa
sQ
sPbas
Ra
Sa
b
DaCSaA
b
C
RaBaARa
b
A
bas
DaCaSC
bas
BaAasA
bas
sP
bias


















 






















 
b
DaC
btcebtbtbt
b
e
baAbtt
b
Ae
bas
DaCasC
L
bas
BaAasA
Ltf
at
atat
cos)cos(sin
2
)(sin
2
)(
)(
])[(
)(
)(
3
22
1
222
1

Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
22
2
)]4)[(2(
162
)(



ss
s
sF
i
ss
ss
Ra
ss
ss
E
s
E
s
DCs
s
BAs
sF
is
s
22
)4)(2(
)162()4(
8
3
)4)(2(
)162)(2(
Mengingat,
24
)]4[(
)(
2
22
222
2
22
2
2
22












































































2
1
8
3
4
1
4
3
48
3
)4(
2
)4(
)(
Jadi,
4
3
)32Im(
)2(2
1
,
8
3
))32Re(1(
)2(2
1
2)22Re(,1)22Im(
2
1
Sehingga,
32
)2(
1682
2
162
1
2
1
2
1
22
1
22
1
2
2
2
2
2
2
s
L
s
L
s
s
L
s
L
s
s
Ltf
iD
iC
iBiA
i
s
ss
s
s
ds
d
Sa
isis

Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
22
3
)]84)[(2(
162
)(



sss
s
sF
i
sss
sss
Ra
sss
ss
E
s
E
s
DCsC
s
BAsA
sF
is
s
816
)84)(2(
)162()84(
2
)84)(2(
)162)(2(
Mengingat,
24)2(
2)2(
)]4)2[(
2)2(
)(
22
22
322
2
22
3
2
22
















































































2
2
4)2(
2
4)2(
)2(2
)4)2(
16
)4)2(
)2(4
)(
Jadi,
2)820Im(
)2(2
1
2
,2))820Re(4(
)2(2
1
16)816Re(2
,4)816Im(
2
1
820
2
162
1
2
1
2
1
22
1
22
1
2
22
3
s
L
s
L
s
s
L
s
L
s
s
Ltf
iDC
iC
iBA
iA
i
s
s
ds
d
Sa
is

SOAL-SOAL LATIHAN
Hitung transformasi Laplace dari :
.cos)(.6
sin)(.5
cos)(.4
sin)(.3
cos)(.2
sin)(.1
2
2
2
2
2
btetf
btttf
btttf
bttf
btttf
btttf
at






Hitung invers Laplace dari :
222
2
222
2
22
2
22
2
22
2
22
2
)136)(4(
84s
F(s).12
)136)(4(
84s
F(s).11
)134)(2(
84s
F(s).10
)2)(2(
84s
F(s).9
)64(
188s
F(s).8
)2(
84s
F(s).7


















sss
sss
sss
s
ss
ss
s

LAPLACE INTEGRAL FUNGSI
Andaikan fungsi f(t) kontinu
untuk t ≥ 0 dan L{f(t)} = F(s)
adalah transformasi Laplace
dari f(t). Transformasi
Laplace integral fungsi f(t)
kontinu diberikan oleh
duufsF
s
L
sF
s
duufL
t
t
)()(
1
akibatnya,Sebagai
)(
1
)(
0
1
0

















Rumus diatas berguna untuk
menghitung invers Laplace :








)(
11
)(
1
1
sF
ss
sF
s nn
Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
Mengingat,
)4(
1
)(
22


ss
sF
tt
uuduu
sss
L
ss
L
tudu
ss
L
t
s
L
t
t
2sin
8
1
4
1
2sin
2
1
4
1
)2cos1(
4
1
)4(
11
)4(
1
)2cos1(
4
1
2sin
2
1
4
11
maka,
2sin
2
1
4
1
0
0
2
1
22
1
2
02
1
2
1





























































Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
te
ss
L
sss
sF t
sin
54
1
dan,
)54(
1
)( 2
2
1
22








 
)45(
25
1
)cos4sin3(
25
1
)cos2(sin
5
)cossin2(
5
2
5
1
5
1
)cos2sin2(
5
)54(
11
)54(
1
5
1
)cossin2(
5
)cossin2(
5
sin
54
11
2
0
22
0
2
2
1
22
1
2
0
2
2
0
2
2
1









































































ttte
uuu
e
uu
e
duuu
e
ssss
L
sss
L
tt
e
uu
e
udue
sss
L
t
tuu
t
t
t
tu
t

Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
t
te
s
L
ss
sF 2
2
1
23 )2(
1
dan,
)2(
1
)( 









 











































































































































4
3
2
1
4
3
2
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
1(
4
1
)2(
11
)2(
1
)1(
4
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
)2(
11
)2(
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2)2(
11
222
0
2222
0
22
22
1
23
1
22
0
222
0
22
2
1
22
1
22
0
2
0
2
2
1
tteteuueeue
duueue
sss
L
ss
L
teteueeue
dueue
sss
L
ss
L
eteu
e
duue
ss
L
tt
t
uuu
t uu
tt
t
uuu
t uu
tt
tu
t u

DIFERENSIAL TRANSFORMASI LAPLACE
,)()1(
)(
dan,,
)(
)1()]([)3(
,)()]([
dan,),()]([)2(
,)()]([
dan,),()]([)1(
,umumRumus
)]([)()(
:maka,terhadapditurunkanJika
)()(
,0untukkontinu)(Andaikan
1
2
21
2
1
0
0
tft
ds
sFd
L
ds
sFd
tftL
tftsFL
sFtftL
ttfsFL
sFttfL
ttfLdtttfesF
s
dttfesF
ttf
nn
n
n
n
n
n
t st
t st
























Contoh
Hitung, L[t cos bt ] dan L[t sin bt]
Jawab :
222
22
22
222
22
22
22
)(
2
]sin[
)(][sin
)(
]cos[
)(][cos
bs
bs
bs
b
ds
d
bttL
sF
bs
b
btL
bs
bs
bs
s
ds
d
bttL
sF
bs
s
btL




























Contoh
Hitung, L[t2cos bt ] dan L[t2sin bt]
Jawab :
222
32
22
2
222
322
22
222
22
2
222
22
2
)(
6
2
]sin[
)(
)(
2
]sin[
)(
)3(2
)(
]cos[
)(
)(
]cos[
bs
bbs
bs
bs
ds
d
bttL
sF
bs
bs
bttL
bs
bs
bs
bs
ds
d
bttL
sF
bs
bs
bttL
































Contoh
Hitung, L[t4eat ]
Jawab :
54
4
43
3
32
2
2
)(
!4
)(
!3
][
)(
!3
)(
2
][
)(
2
)(
1
][
)(
11
][
1
][
asasds
d
etL
asasds
d
etL
asasds
d
etL
asasds
d
teL
as
eL
at
at
at
at
at
















































INTEGRASI TRANSFORMASI LAPLACE
t
tf
dzzFL
tfsFL
dzzF
dzzF
t
tf
L
t
tf
dttfesF
ttf
s
sb
s
t
st
)(
)(
:maka
),()}({,bilaAkibatnya
)(lim
)(
)(
:makaada
)(
limJika,
)()(
,0untukkontinu)(Andaikan
1
1
0
0




























 
Contoh
Hitung, F(s) dari
Jawab :
t
e
tf
at 1
)(




















 

















 









as
s
z
az
dz
zazt
e
L
sas
eL
a
ae
t
e
b
sb
s
at
at
at
t
at
t
lnlnlim
111
maka,
11
]1[
1
lim
1
lim
Mengingat,
00

Contoh
Hitung, F(s) dari
Jawab :
t
bte
tf
at cos
)(


2
22
22
2
22
2
22
2
22
22
22
00
)(
ln
2
1)(
ln
2
1)(
lnlim
2
1
)(
lnlim
2
1
)ln(
2
1
)ln(lim
1cos
maka,
1
]cos[
1
sin
lim
cos
lim
Mengingat,
as
bs
bs
as
bt
at
bz
az
bzaz
dz
bz
z
azt
bte
L
bs
s
as
bteL
a
btbae
t
bte
t
t
s
t
t
st
s
at
at
at
t
at
t

















































 














Contoh
Hitung, f(t) dari
Jawab :









2
2
1ln)(
s
b
sF
)cos1(
22cos222
1ln
Sehingga,
1lnlnlnlim
22
2cos2
2222
dan,
22
ln)ln(ln1ln
Mengingat,
222
2
1
2
2
2
22
2
22
22
1
22
1
22
1
22
222
2
22
2
2
bt
tt
tbt
dz
zbz
z
L
s
b
L
s
b
s
bs
t
bt
dz
zbz
z
bt
s
L
bs
s
L
sbs
s
L
sbs
s
s
ds
d
bs
ds
d
s
bs
ds
d
s
b
ds
d
s
t
s
ts



















































 








 










































 

















Contoh
Hitung, f(t) dari
Jawab :





















2
22
2
2
)(
)(
ln
)(
1ln)(
as
bas
as
b
sF
)cos1(
22cos2
2
)(
)(2
)(
1ln
Sehingga,
)(
)(
ln
)(
)(
lnlim
2
)(
)(2
2cos2
2
)(
)(2
dan,
2
)(
)(2
)ln()])ln[(
)(
)(
ln
Mengingat,
222
2
1
2
22
2
22
22
22
1
22
222
2
22
bt
t
e
t
ebte
dz
azbaz
az
L
as
b
L
as
bas
at
bat
dz
azbaz
az
ebte
asbas
as
L
asbas
as
as
ds
d
bas
ds
d
as
bas
ds
d
atatat
s
t
s
ts
atat















































































































SOAL-SOAL LATIHAN
Hitunglah F(s), jika diberikan f(t)
berikut ini
t
1atsinatcose
)t(f).6(
t
btcosbeb
)t(f).5(
t
atcosbtcose
)t(f).4(
t
btcos1t
)t(f).3(
t
1tbtcose
)t(f).2(
t
t2sinet
)t(f).1(
bt
at
at
at
at












Hitunglah f(t), jika diberikan F(s)
berikut ini


















 








 



























22
22
2
22
2
22
2
22
2
2
ba)(s
bs
lnF(s)).6(
b)-(s
ba)-(s
lnF(s)(5).
a)-(s
bs
lnF(s)).4(
a)-(s
2bs
-1lnF(s)).3(
b2s
2bs
1lnF(s)).2(
a)-(s
b
1lnF(s)).1(

PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
)0();0(
batasnya,syarat
)(
l,diferensiaPersamaan
yy
trcyybya


cbsas
yaybas
cbsas
sR
sY
yaybassRsYcbsas
trLycLybLyaL







22
2
)0()0()()(
)(
)0()0()()()()(
)}({}{}{}{
Laplace,siTransforma
)(
)(
)(
)(
)(
)0()0()()(
)(
)}({)(
Y(S),pembantuPersamaan
2
sQ
sG
sQ
sR
sY
yaybassG
cbsassQ
trLsR





















)(
)(
)(
)(
)(
adalah,
)0();0(
)(
l,diferensiapersamaanSolusi
11
sQ
sG
L
sQ
sR
Lty
yy
trcyybya

Kasus PD Orde 3
)0(),0();0(
batasnyasyarat
)(
l,diferensiaPersamaan
123
yyy
tryayayaya o

 
)(
)(
)(
)(
)(
)0()0()()0()()(
)(
)}({)(
Y(S),pembantuPersamaan
32312
2
3
01
2
2
3
3
sQ
sG
sQ
sR
sY
yayasayasasasG
asasasasQ
trLsR

















 
)(
)(
)(
)(
)(
l,diferensiapersamaanSolusi
11
sQ
sG
L
sQ
sR
LsY

Contoh, Kasus 1
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
5)0(,2)0(
465


yy
eyyy t
)3)(2)(1(
972
)65)(1(
)1)(52(4
65
52
)651)(s-(s
4
Y(s)
Jadi,
525)5(2
)0()0()5()(
)3)(2(65)(
1
4
]4[)(
Y(s)pembantuPersamaan
2
2
22
2
















sss
ss
sss
ss
ss
s
s
ss
yyssG
sssssQ
s
eLsR t
ttt
s
eee
sss
sss
32
1-1-1-
32
1
2
1
321
332
3-s
3
L
2-s
3
L-
1-s
2
Ly(t)
PDSolusi
3-s
2
2-s
3
1-s
2
Y(s)
.3Adan,3A
2
)3)(2)(1(
)972)(1(
A
dengan,
3-s
A
2-s
A
1-s
A
Y(s)
parsialpecahanJumlahan






























Contoh, Kasus 1
Jawab :
6)0(,12)0(,6)0(
0652


yyy
yyyy
)3)(1)(2(
12-24s-6s
Y(s)
Jadi,
12-24s-s6
6)2(12-5)2(s6G(s)
3))(s1(s)2(
65s-2s-s)(
0]0[)(
2
2
2
23







sss
ss
s
sQ
LsR
ttt
s
s
s
eee
sss
ss
sss
ss
sss
ss
32
1-1-1-
3
2
3
1
2
2
2
2
1
321
354
3-s
3
L
1-s
5
L
2s
4
Ly(t)
PDSolusi
3-s
3
1-s
5
2s
4
Y(s)
3
)3)(1)(2(
)12-24s-6)(3(
A
5
)3)(1)(2(
)12-24s-6)(1(
A
4
)3)(1)(2(
)12-24s-6)(2(
A
dengan,
3-s
A
1-s
A
2s
A
Y(s)














































Contoh, Kasus 2
Jawab :
8)0(,2)0(
4644 23


yy
eeyyy tt
)3()2(
14102
)2(
2
2)-(s
1
)3)(2(
2
Y(s)
28)4(2)(
)2(44)(
)3)(2(
2
2
4
3
6
]46[)(
3
23
22
22
23















ss
sss
s
s
ss
s
sssG
ssssQ
ss
s
ss
eeLsR tt
tt
s
s
s
s
ette
s
sss
ds
d
s
sss
ds
d
ss
ssss
ss
ssss
s
A
2231-
2
1-
3
1-1-
2
23
2
2
1
2
23
2
2
3
233
3
3
3
23
1
2
2
3
3
)422(6
2-s
4
L
2)-(s
2
L-
2)-(s
4
L-
3-s
6
Ly(t)
PDSolusi
4
3
14102
2
1
B
2
3
14102
B
4
)3()2(
)14102()2(
B
6
)3()2(
)14102)(3(
A
2-s
B
2)-(s
B
2)-(s
B
3
Y(s)























































Contoh, Kasus 3
Jawab :
5)0(,5)0(
1084 3


yy
eyyy t
)3](4)2[(
10)3(5
4)2(
155
]42)-[(s
1
)3(
10
Y(s)
1555)4(5)(
4)2(84)(
3
10
]10[)(
2
2
2
2
22
3












ss
s
s
s
s
sssG
ssssQ
s
eLsR t






























































ttee
e
ss
ss
Q
ss
ss
tt
is
a
s
2sin
2
7
2cos22
42)-(s
7
L
42)-(s
3
L
3-s
2
Ly(t)
7-3i
2
7-
2RB2C
,33i
2
7-
ImA.3i
2
7
-
]4)2)[(3(
)116s-(5]4)2[(
2
1
2
]4)2)[(3(
)116s-(5)3(
A
42)-(s
C2B
42)-(s
2)-B(s
3-s
A
Y(s)
23
2
1-
2
1-1-
22
2
22
3
2
2
22

Contoh, Kasus 3
Jawab :
50)0(,0)0(
2cos5044 3


yy
teyyy t
22
2
2
22
22
2
3
)2](4)3[(
)105(50
)2(
50
2)-(s
1
]4)3[(
)3(50
Y(s)
5050)4(0)(
)2(44)(
4)3(
)3(50
]2cos50[)(













ss
ss
s
s
s
ssG
ssssQ
s
s
teLsR t
43)-(s
32
L-
43)-(s
3)-12(s
L
2-s
6
L
2)-(s
40
Ly(t)
-32_1216(2RBC3
,1212i)Im(-16A,12i16-.
]4)3[()2(2
)105(50]4)3[(
6
4)3(
]105(10
A
40
]4)3[()2(
)10s5(50)2(
A
43)-(s
CB33)-B(s
2-s
A
2)-(s
A
Y(s)
2
1-
2
1-
1-
2
1-
23
22
22
2
2
2
1
2
22
22
2
2
1
2
2





















































ie
ss
sss
Q
s
ss
ds
d
ss
ss
is
a
s
s

Contoh, Kasus 4
Jawab :
4)0(,4)0(
2sin82cos44


yy
ttyy
22
23
222
22
2
)4(
2044
4
44
)4(s
1
)4(
164
Y(s)
444)0(4)(
440)(
4
164
]2sin82cos4[)(















s
sss
s
s
s
s
sssG
ssssQ
s
s
ttLsR

















































4s
4
L
4s
4s
L
4)(s
16
L-
4)(s
4s
Ly(t)
PDSolusi
4)1828Im(
)2(2
1
,4)1628Re(4[
)2(2
1
16)816Re(,4)816Im(
2
1
A
16282044S
816
)4(
)5(4)4(
R
4s
DCs
4)(s
BAs
Y(s)
2
1-
2
1-
22
1-
22
1-
2
2
23
a
2
22
2322
a
222
iD
C
iBi
isss
ds
d
i
s
ssss
i
is

Contoh, Kasus 4
Jawab : Persamaan pembantu Y(s)
8)0(,2)0(
)2sin82cos4(84 2


yy
tteyyy t
428)2(2)(
4)2(84)(
4)2(
16)2(4
)]2sin82cos4([)(
22
2
2






sssG
ssssQ
s
s
tteLsR t
)2sin32cos22cos22sin(
4)2(
4
L
4)2(
)2(2
L
]4)2[(
16
L
]4)2[(
)2(4
Ly(t)
PDSolusi
4)2(
2)2(
]4)2[(
2)2(
Y(s)
]4)2[(
82082
4)2(
42
4)2(
1
4)2(
84
)(
2
2
1-
2
1-
22
1-
22
1-
222
22
23
222
tttttte
s
s
s
ss
s
s
BCsC
s
BAsA
s
sss
s
s
ss
s
sY
t 




























































Contoh, Kasus 4
Jawab : Persamaan pembantu Y(s)
50)0(,10)0(,0)0(
2cos5016167 2


yyy
teyyyy t
)2(1050)7(100)(
]4)2)[(3(
16207)(
4)2(
)2(20
]2cos[16)(
2
23
2
2






sssG
ss
ssssQ
s
s
teLsR t











































































ttttttee
s
s
s
ss
s
s
iSiR
s
E
s
BCsC
s
BAsA
ss
sss
ss
s
ss
s
sY
tt
aa
2cos42sin
2
11
2cos52sin
2
5
10
4)2(
6
L
4)2(
)2(4
L
]4)2[(
40
L
]4)2[(
)2(10
L
3
10
Ly(t)
PDSolusi
2422,2040,
34)2(
2)2(
]4)2[(
2)2(
Y(s)
]4)2)[(3(
)26216(10
]4)2)[(3(
)2(10
]4)2)[(3(
)2(50
)(
23
2
1-
2
1-
22
1-
22
1-1-
222
22
23
222

SOAL-SOAL LATIHAN
Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini
4(0)y2,(0)y,0y(0)
e41)y-(aa-yay1)-(a-y(6)
b(0)y,y(0)
e1)y1)(ba(y2)b(a-y(5)
b(0)y2,y(0)
2sine4yay2a-y(4)
b(0)y2,y(0)
2cose41)y-a(ay1)-(2a-y(3).
b(0)ya,(0)y0,y(0)
10e15y-y23y9-y(2).
b(0)y2,y(0)
4ey3y4-y).1(
1)t-(a22
bt
1)t-(a2
at
at
at












t
a
a
t
t
(7). y+(a+b+1)y + a(b+1)y = be–at,
y(0)=a, y(0)=a+b
(8) y+(a+b+1)y+b(a+1)y = be–atcos 2t,
y(0)=0, y(0)=0
(9). y - (2a–1)y + a(a-1)y = teat
y(0)=b, y’(0)=b(a – 1)
(10). y + 2ay+(a2+b2)y = ab2te–at
y(0)=0, dan y(0)=a
,

FUNGSI TANGGA SATUAN






at
at
atu
jika,
jika,
1
0
)(
Gambar fungsi tangga satuan
Secara umum fungsi tangga yang
bernilai 0 bila t < a dan f(t – a) bila t
> a, diberikan oleh :
Fungsi tangga satuan yang disebut
juga dengan fungsi Heaviside
satuan didefinisikan oleh :







at
at
atf
tg
jika,
jika,
)(
0
)(
Dalam bentuk fungsi tangga
satuan, u(t – a), fungsi g(t)
dinyatakan oleh f(t – a)u(t – a),
dengan demikian fungsi diatas
ditulis menjadi







at
at
atf
atuatf
jika,
jika,
)(
0
)()(

Contoh
Nyatakan fungsi berikut dalam
tangga satuan
Jawab :
Dengan memperhatiikan sketsa
pada gambar,









1jika,
10jika,
0jika,
0
1
0
)(
t
t
t
tf
)1()(
1jika,
10jika,
0jika,
0
1
0
)(










tutu
t
t
t
tf

LAPLACE FUNGSI TANGGA
Jika F(s) = L{f(t)}, f(t) = L–1{F(s)}
maka transformasi Laplace dari
fungsi tangga
adalah,







at
at
atf
atuatf
,
,
)(
0
)()(
)()()}({
,Laplacenyainversdan
)()}()({
1 atuatfsFeL
sFeatuatfL
as
as




)(L
dan,
)}({
khusus,Kasus
1-
atu
s
e
s
e
atuL
as
as












Contoh
Tentukanlah transformasi Laplace dari
f(t) = u(t) – u(t-1)
Jawab :
Karena, f(t) = u(t) – u(t-1), maka :
s
e
s
e
s
e
tuLtuLtfL
s
ss






1
)}1({)}({)}({
10

Contoh
Tentukanlah transformasi Laplace
dari
f(t) = tu(t)–u(t -1) - (t-1)u(t-1)
Jawab :
Karena, maka :
2
1
}{
s
tL 
2
22
0
1
)}1()1{(
)}1({)}({)}({
s
ese
s
e
s
e
s
e
tutL
tuLttuLtfL
ss
sss







2
1
}{
s
tL 
2
22
2
22
2
)}2()2{(
)}2({)}1()1{()}({
s
esee
s
e
s
e
s
e
tutL
tuLtutLtfL
sss
sss







Contoh
Tentukanlah transformasi Laplace
dari
f(t)=(t–1)u(t–1)–u(t–2)–(t–2)u(t – 2)
Jawab :
Karena, maka :

Contoh
Tentukanlah y(t) dari :
Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,
23
1
)(
2 



ss
e
sY
s











































1,
1,
)1()(
)(
1
1
2
1
)(
1
1
2
1
)2)(1(
1
)(
)()(
)2)(1(
1
)(
2
2
1
2
)1()1(2
2
211
t
t
ekek
ee
tuee
eety
ee
s
L
s
Ltf
ssss
sF
esFsF
ss
e
sY
tt
tt
tt
tt
tt
s
s
e
e
k
e
e
k




1
,
1
2
2
2
1
Contoh
Tentukanlah y(t) dari :
Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,
4
)(
2 



s
ses
sY
s

























,
0,
0
2cos
)()(2cos2cos)(
2cos
4
)(
,
4
)(
)()(
4
)(
2
1
2
2





t
tt
tuttty
t
s
s
Ltf
s
s
sF
esFsF
s
ses
sY s
s

Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ – 4y′ + 4y = r(t)
y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana
r(t) = u(t) – u(t – 1)
Jawab :
Persamaan pembantu Y(s),
2
2
22
)2(
1
)(
dengan,
)()(
)2(
1
)(
00)0)(4()(
)2(44)(
1
)}1({)}({)(













ss
sF
esFsF
ss
e
sY
ssG
ssssQ
s
e
tuLtuLsR
s
s
s
Solusi PD
Mengingat,
)1(}1)1(2{
4
1
)12(
4
1
)()()()(
adalah,PDSolusi
)12(
4
1
)2(
1
)}({)(
maka,
)2(
1
)1(2)1(2
22
22
0
2
2
11
2
2
1




























tueet
ete
atuatftfty
eteduue
ss
LsFLtf
te
s
L
tt
tt
ttt u
t

Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ + 4y = r(t)
y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana
r(t) =sin 2t u(t) – sin2(t–π)u(t–π)
Jawab : Persamaan Y(s),
22
22
2
2
)4(
2
)(
dengan,,)()(
)4(
22
)(
00)0)(0()(
4)(
4
22
)}()(2{sin
}2{sin)(
















s
sF
esFsF
s
e
sY
ssG
ssQ
s
e
tutL
tLsR
s
s
s




Solusi PD
Mengingat,




























 





t
t
t
ttt
tuttt
ttt
tutftfty
ttt
s
LsFLtf
,
,
2cos
4
1
2cos
4
1
2sin
8
1
)()(2cos)(
4
1
)(2sin
8
1
2cos
4
1
2sin
8
1
)()()()(
adalah,PDsolusimaka
2cos
4
1
2sin
8
1
)4(
2
)}({)(
22
11

Selesaikanlah persamaan diferensial
berikut ini
(1). y + b2y = cos b(t - ) u(t - ), dengan
syarat y(0) = a, dan y’(0) = b
(2).y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 18,
y′(0) = 0, dan r(t) = sin3(t - π)u(t – π)
(3). y′′ – 5y′ + 6y = r(t), dengan syarat
y(0) = 8, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 2)
(4). y′′ + 4y = r(t), syarat y(0) = 8, y′ (0) =
0, dan r(t) = cos 2t – cos 2(t – 2π) u(t –
2π)
(5). y′′ – 3y′ + 2y = r(t), dengan syarat y(0) =
10, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 1)
(6). y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) =
4, y′(0) = 6, dan
r(t) = cos 3t – cos 3(t – 3π) u(t – 3π)2222
s22
222
s2
2
s
2
s
2
s
2
s
)b)as((
)ses(
)s(F).6(
)as(
)e1(s
)s(F).5(
8s4s
)e1(4
)s(F).4(
9s
)e4s2
)s(F).3(
4s
)se4
)s(F).2(
2s3s
)e1(s
)s(F).1(





























SOAL-SOAL LATIHAN
Tentukanlah f(t), jika :

TEOREMA KONVOLUSI
Andaikan f(t) dan g(t) terdefinisi
untuk t ≥ a, memenuhi konsistensi
transformasi transformasi Laplace
sedemikian sehingga L{f(t)} =
F(s), dan L{g(t)} =
G(s), transformasi Laplace fungsi
yang didefinisikan oleh, h(t) =
(fοg)(t) diberikan oleh :
H(s) = L(fοg)(t) = L(f) L(g)
= F(s)G(s)
Akibatnya bila, h(t) = L–1[H(s)]
dengan H(s)= F(s)G(s), maka
fungsi h(t) diberikan oleh,
dzztgzf
thtfsGsFL
sHLth
t
)()(
)()()}()({
)}({)(
0
1
1
 





Contoh
Carilah h(t) jika
Jawab :
Mengingat,
22
)(
1
)(
ass
sH


)2()2(
1
22
1
)(zeh(t)
)(
1
,
1
33
0
32
2
0
2
t
0
az
2
1
2
1



















































at
a
e
at
a
e
aa
z
a
z
e
aa
z
t
dzzt
te
as
Lt
s
L
at
t
az
t
az
at

Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ + b2y = bt
y(0)=0, dan y′(0)=0
Jawab :
Persamaan Y(s),
22
2
222
22
2
)(
1
)(
Konvolusi,Teorema
)(
)(
00)0)(0()(
)(
}{)(
bs
b
sG
s
sF
bss
b
sY
ssP
bssQ
s
b
btLsR








)sin(
1
sin
1
coscos
dzsin)(
sin)}()({y(t)
adalah,PDMakasolusi
sin,
1
Mengingat
2
0
2
0
1
22
1
2
1
btbt
b
bz
b
bz
b
z
bt
b
t
btzt
bttsGsFL
bt
bs
b
Lt
s
L
t
t



































Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ + 4y = 8 cos 2t
y(0)=3, dan y′(0)=6
Jawab :
Persamaan Y(s),
4
8
)(,
4
)(
Konvolusi,Teorema
4
4
4
3
)4(
8
4
43
)4(
8
)(
43)(
4)(
4
8
}2{cos8)(
22
2222
222
2
2



















s
sG
s
s
sF
ss
s
s
s
s
s
s
s
sY
ssP
ssQ
s
s
tLsR
tttt
z
zzt
ttstt
ttztz
tttt
s
L
s
s
LsGsFL
t
s
Lt
s
s
L
t
t
t
2sin22cos32sin
4
1
2
2cos2sin
4
1
2sin
2
4
2sin
4
1
2cos
2
4
sin22cos3
2sin22cos3dz)(2cos2sin4
2sin22cos32sin2cos4
4
4
4
3
)}()({y(t)
adalah,PDsolusiMaka
2sin
2
1
4
1
,2cos
4
Mengingat
0
0
2
0
2
1
2
11
2
1
2
1















































Persamaan integral biasanya
diberikan oleh persamaaan,
PERSAMAAN INTEGRAL
duuyutktfty
duuytuktfty
t
b
a
)()()()(
integral,persamaankhususKasus
)(),()()(
0



Fungsi, k(u,t)=k(t – u) disebut
Kernel. Dalam bentuk konvolusi
ditulis
y(t) = f(t) + k(t)*y(t)
Dengan transformasi Laplace
solusi persaman integral diberikan
oleh,
L{y(t)} =L{f(t)} + L{k(t)*y(t)}
Y(s) = F(s) + K(s)Y(s)
(1 – K(s))Y(s) = F(s)
Jadi persamaan pembantunya
adalah,










)(1
)(
Ly(t)
adalah
integralpersamaanSolusi
)(1
)(
)(
1-
sK
sF
sK
sF
sY

Contoh
Carilah solusi persaman integral,
Jawab :
Persamaan pembantu Y(s),
duuttety
tt )(2cosy(u)2)(
0
2
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)2(
4
)(1
1
4
)2(
4
44
4
4
1)(1
4
4
}2cos4{)(
)2(
1
}{)(
















s
s
sK
s
s
s
ss
s
s
sK
s
s
tLsK
t
teLsF t
t
s
s
ettt
AAs
ds
d
A
s
s
s
s
s
s
s
s
sY
223
2
1-
3
1-
4
1-
12
2
2
3
2
4
2
4
4
1
2
2
3
3
4
4
4
2
2
2
2
2
4
6
8
2)-(s
1
L
2)-(s
4
L
2)-(s
8
Ly(t)
PDSolusi
0,1,4)4(
8
)2(
4
)2(A
2-s
A
2)-(s
A
2)-(s
A
2)-(s
A
Y(s)
parsial,Jumlahan
)2(
4
)2(
4
)2(
1
)(
pembantu,Persamaan



















































SOAL-SOAL LATIHAN
Dengan Teorema Konvolusi,
hitunglah f(t)
)b(s
bs
F(s)(6).
)b(s
s
F(s)(5).
)1s)(a(s
s
(4).F(s)
)as(s
2a
(3).F(s)
)as(s
1
F(s)(2).
)as(s
1
F(s)).1(
222
22
222
2
222
2
222
3
3













Selesaikanlah persamaan integral
berikut ini
dre)r(ye2tey(t)).6(
dre)rt()r(ye2e1y(t)).5(
dr)rt(sin)r(y2tcosey(t)).4(
dr)rt(2cos)r(yt2sin2ey(t)).3(
dr)rt(2acos)r(ya2
)t(u)t(asiney(t)).2(
dr)rt(2acos)r(ya2tey(t)).1(
rt
0
t
t
rt
0
tt
t
0
2t
t
0
t
t
0
)-a(t
t
0
1)t(b-


















Modul 3 transformasi laplace

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Achmad Sukmawijaya

More from Achmad Sukmawijaya (8)

Modul 3 transformasi laplace