EJERCICIOS DE CONJUNTOS

MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA
BASICA
Temas:
- CONJUNTOS
- CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y
EXISTENCIAL
- OPERACIONES CON CONJUNTOS
- NUMERO DE ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
Septiembre 2021

Algunos elementos para la resolución de los ejercicios, es:

CONJUNTOS IGUALES Y EQUIVALENTES:

Se debe tener presente cuando se tiene la pertenencia y la
inclusión:
Para el conjunto vació:

Formas para deducir si un elemento es parte de un conjunto:

1)
= { ∈ − − 10 − 8 = 0}
⁄
Factorizando el polinomio, se tiene:
− − 10 − 8 = 0
+ 1 − 4 + 2 = 0
= { −2, −1, 4}
= { ∈ 6 − 31 + 3 + 10 = 0}
⁄
Factorizando el polinomio, se tiene:
6 − 31 + 3 + 10 = 0
− 5 3 − 2 2 + 1 = 0
= 5
=
= − ∉
∉
= {5}
= { ∈ > 0 < 20}
⁄
> 0 < 20
> 0 − √20 < < √20

∈]0, √20 [
= { 1,2,3,4}
2)
a) A= { -2, 1, 4, 7, 10 }
Por diferencias sucesivas, se tiene:
-2 1 4 7 10
3 3 3 3 → = & ' = (' + )
' = 1 ∶ −2 = ( + ) --------------(1)
' = 2 ∶ 1 = 2( + ) -------------(2)
Resolviendo (1) y (2):
+
( + ) = −2
−2( − ) = −1
( = 3 ; ) = −5
P(n) = 3 n -5
Se tiene :
= { ∕ x= 3n-5 , n E N , 1 ≤ ' ≤ 5}
b) B= { -7, -3, 1, 5, 9, ………… }
Por diferencias sucesivas, se tiene:

-7 -3 1 5 9 --------
4 4 4 4
= & ' = (' + )
' = 1 ∶ −7 = ( + ) --------------(1)
' = 2 ∶ −3 = 2( + ) -------------(2)
Resolviendo (1) y (2):
+
( + ) = −7
−2( − ) = 3
( = 4 ; ) = −11
P(n) = 4 n – 11
Se tiene :
= { ∕ x= 4n-11 , n ∈ N }
c) 0 = + 1,
1
,
2
, , 3
1
1 2
1 2 4
3, 4, 7,9, 11 = 2n+1 --------impares
X =P(n) = 3 (
56
0 = { ∕ x=
56
, n ∈ N, 1 ≤ ' ≤ 5}
d) = + 1,
1
,
7
, ,
2
, … … … … . 3
1
1 7 2
− − − −
1 : 7
… … … … ..

2 , 5, 8, 11, 14 , ……. = 3n-1
= & ' = 2 ; 5<
=
= { ∕ x=
5<
, n ∈ N }
e) > = + −1, , 2,
2
, 5, … … … . . 3
−1 2
2
5 … … … …
… … … … …
Note que : ½ +1 = 3/2
X= P(n) = an +b
' = 1 ∶ −1 = ( + ) ---------(1)
' = 2 ∶ = 2 a +b ------------(2)
Resolviendo las ecuaciones, se tiene:
?
( = 3/2
) = −5/2
= & ' = ' −
1
= [3' − 5]
> = { ∕ x= [3' − 5] , n ∈ N }
3)

Utilizando el método de las diferencias sucesivas:
= { 0, 3, 10, 21 . 36 , … … . }
0 3 10 21 36 … … ….
3 7 11 15 … … … … ..
4 4 4 -----------
= & ' = (' + )' + A
BC:
' = 1 ∶ 0 = ( + ) + A -----------------(1)
' = 2 ∶ 3 = 4( + 2) + A -------------(2)
' = 3 ∶ 10 = 9( + 3) + A ----------(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1(, (2), (3):
F
( = 2
) = −3
A = 1
= & ' = 2' − 3' + 1
> = { ∕ x= 2' − 3' + 1 , n ∈ N }
b) C= { -2, 7, 22, 43, 70, …………………….}
−2 7 22 43 70 … … ….
9 15 21 27 …………
6 6 6 ……………..
= & ' = (' + )' + A
BC:

' = 1 ∶ −2 = ( + ) + A -----------------(1)
' = 2 ∶ 7 = 4( + 2) + A -------------(2)
' = 3 ∶ 22 = 9( + 3) + A ----------(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1(, (2), (3):
F
( = 3
) = 0
A = −5
= & ' = 3' − 5
0 = { ∕ x= 3' − 5 , n ∈ N }
c) D= { 10, 15, 22, 31, 42, 55}
10 15 22 31 42 55
5 7 9 11 13
2 2 2 2
= & ' = (' + )' + A
BC:
' = 1 ∶ 10 = ( + ) + A -----------------(1)
' = 2 ∶ 15 = 4( + 2) + A -------------(2)
' = 3 ∶ 22 = 9( + 3) + A ----------(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3):
F
( = 1
) = 2
A = 7
= & ' = ' + 2' + 7
= { ∕ x= ' + 2' + 7, n ∈ N , 1 ≤ ' ≤ 6}

4)
A= { 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67}
= { 7, 19, 39, 67}
Por diferencias sucesivas:
7 19 39 67
12 20 28
8 8
= & ' = (' + )' + A
BC:
' = 1 ∶ 7 = ( + ) + A -----------------(1)
' = 2 ∶ 19 = 4( + 2) + A -------------(2)
' = 3 ∶ 39 = 9( + 3) + A ----------(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3):
F
( = 4
) = 0
A = 3
= & ' = 4' + 3
= { ∕ x= 4' + 3, n ∈ N , 1 ≤ ' ≤ 4}

5)
G = + H , √3 , 6 , − , −
1
3
a) A = { ∈ G ∕ + 5 < 1 ∧ x-2 >0}
De:
+ 5 < 1 ∧ x-2 >0
< −4 ∧ > 2
∈ ∅ K(AíM
= ∅
b ) B = { ∈ G ∕ > 0 ∨ = 4}
> 0 ∨ = 4
= + H , √3 , 6 , − , −
1
3
A C = { ∈ G ∕ x+1=5 → − 1 = 2}
x=4 → = 3
~ x=4 ) ∨ = 3
≠ 4 ∨ = 3
0 = + H , √3 , 6 , − , −
1
3

d) D = { ∈ G ∕ x-1=0 ↔ + 1 = 0}
x=1 ↔ = −1
= 1 ∧ ≠ 1 ∨ [~ = 1 ∧ ~ = −1 ]
∅ ∨ [ ≠ 1 ∧ ≠ −1]
≠ 1 ∧ ≠ −1
U ∧ G = U
= + H , √3 , 6 , − , −
1
3
6)
G = { −5, −2,
1
, √5 , √−2 , 1 + C, 0. 3
R}
a) = { ∈ G ∕ ∉ S → ∈ T}
∉ S → ∈ T
~ ∉ S ∨ ∈ T
∈ S ∨ ∈ T
= + −5, −2,
1
, √5 , 0. 3
R3
b) = { ∈ G ∕ ∈ T ↔ ∈ U}
∈ T ↔ ∈ U
( ∈ T ∧ ∈ U ∨ ~ ∈ T ∧ ~ ∈ U

( ∈ T ∧ ∈ U ∨ ∉ T ∧ ∉ U
∅ ∨ [ ∈ U ∨ > 0 ∧ ∈ T ∨ ∈ 0 }
[ ∈ U ∨ > 0 ∧ ∈ T ∨ ∈ 0 ]
[ ∈ 0 ∨ [ ∈ U ∧ ∈ T ]
∈ 0 ∨ ∅
∈ 0
= V √−2 , 1 + CW
c.) = { ∈ G ∕ ∉ ∧ ∈ }
∉ ∧ ∈
∉ ∧ ∈
X
= ∅
7)

( = { ∈ U ∕ 10 − 13 − 3 = 0} YZ AM'[']M 'C](^CM
10 − 13 − 3 = 0
=
± √ `46 a
a
=
± 2
a
b
=
= −1/5
= + −
1
, 3
− − − −'M 'C](^CM − − − − − X
b) = { ∈ ∕ 6 < < 7 } YZ AM'[']M K(ACM
>']^Y 6 7 'M Y CZ]Y ' 'cY^M Y']Y^M
= ∅ − − − − − − d
c) 0 = { ∕ YZ ' e']M fY g( ^YA]( h } YZ ' AM'[']M
Finito
Por conceptos geométricos ----una recta tiene
infinito puntos,
0 ≠ iC'C]M
--------------------- F
d) D = { ∕ 6 =
YZ cúg]CegM fY 3}, YZ ' AM'[']M C'iC'C]M
= 3' − − − − − ' = 1,2,3, … … ….
D ={ 3,6,9,12,15, ……………..} ------(V)

d) > = { ∈ ∕ 6 − 11 − 4 +
4 } YZ ' AM'[']M 'C](^CM
6 − 11 − 4 + 4 = − 2 6 + − 2
− 2 6 + − 2 = 0
− 2 3 + 2 2 − 1 = 0
= 2
= −
=
> = { 2} − − − 'C](^CM − − − d
e) X = { ∈ S ∕ √ − 2 + √ − 10 = 2} − − − YZ
unitario
resolviendo: √ − 2 + √ − 10 = 2
4 =[√ − 2 + √ − 10]
x-2+x-10 +2 k − 2 − 10 = 4
2x-12 + 2 k − 2 − 10 = 4
16 − 2 = 2 k − 2 − 10
16 − 2 = 4 − 2 − 10
4 − 64 + 256 = 4 − 48 + 80
−64 + 256 = −48 + 80
176 = 16x

= 11
X = { 11} − − − − d
8)
a) ∅ = {0}
∅ = { }
∅ = {0} ----------------------(F)
b) { ∅} = {0}
{ ∅} = {0} − − − X
A ∅ = { ∅}
{ ∅} − − − − − ]CY'Y ' YgYcY']M
∅ = { ∅} --------------------(F)
d.) ∅ ∈ {{ ∅} }
∅ ∈ {{ ∅} } ------------(F)
9
= { ∈ G ∕ x ≠ G}
∉ G
∈ G ′

A = ∅
b.) B= { x ∈ ∕ = 3}
= √3
m
∉
= ∅
c) 0 = { x ∈ S ∕
n
∈ S}
x ∈ S →
n
∈ S − − − − d
d) = { x ∈ U ∕ − = 2}
− − 2 = 0o
− 1 + 2 = 0
Q ={ -2, 1} ---------------(V)
e) > = { x ∈ ∕ + 1 = 0}
+ 1 = 0
= −1
= ± √−1 ∉
> = ∅
f) X = { x ∈ ∕ 12 + 4 − 3 − 1 = 0}
Factorizando se tiene:
; + = 12 − 2 − 2 = 0
; + = 6 − − 1 = 0
; + = 3 + 1 2 − 1 = 0

= −1/2
= −
=
no son elementos de Z
X = ∅
10)
e = (gp'MZ 'úcY^MZ ZM' Cce(^YZ
q = ]MfMZ gMZ ]^Cá'pgMZ ZM' YqCg(]Y^MZ
{ ∃ ∕ e } → { ∀ ∕ q }
e → q
La negación es:
~ e → q
~ ~e ∨ q
e ∧ ~ q
{ ∃ ∕ e } ∧ { ∃ ∕ q }
“algunos números son impares y algunos triángulos son
equiláteros “
11)

e ∶ | | =
q ∶ + 1 ⊀
V(p) = F
V(q) = V
e ∧ q
F ∧ d = X
b) ~ ∃ ∈ S, ≠ ∨ ~ ∀ ∈ , + 1 ≠ -1}
e ∨ q
∀ x ∈ S, = ------------------(F)
∃ ∈ , + 1 = -1 --------------( F)
V(p) = F
V(q) = F
X ∨ X = X
c) ( ~ ∀ ∈ , | | ≠ 0 → ~ ∃ ∈ U, | | ≠ 0
Se tiene:
( ∃ ∈ , | | = 0 → ∀ ∈ U, | | = 0
e → q
~ e ∨ q
V(p) = F
V(q) = F

d → X = X
12)
a) “para todos los números enteros a y b, si a<b entonces b
⊀ ("
∀ (, ) x , ( < ) → ) ⊀ (
~ ∀ (, ) x , ( < ) → ) ⊀ ( )
∃ (, ) ∈ , ~ ( < ) → ) ⊀ (
~ ( < ) → ) ⊀ (
~[~ ( < ) ∨ ) ⊀ ( ]
( < ) ∧ ~ ) ⊀ (
( < ) ∧ ~ ) ≥ (
( < ) ∧ ) < (
Luego:
∃ (, ) ∈ , a< b ∧ ) < (
b) “Para todo número real a, existe un número natural N, tal
que si ' > 'z Y']M'AYZ ' > ( “
∀ ( ∈ S, ∃ ' ∈ ∕ ' > 'z → ' > (

~ ∀ ( ∈ S, ∃ ' ∈ ∕ ' > 'z → ' > ( )
∃ ( ∈ S , ∀ ' ∈ ∕ ~ ' > 'z → ' > ( )
∃ ( ∈ S , ∀ ' ∈ ∕ ~ ~ ' > 'z ∨ ~ ' > ( )
∃ ( ∈ S , ∀ ' ∈ ∕ ' > 'z ∧ ' ≤ (
C) ∀ ( ∈ S, ∀ ) ∈ S: () = 0 ↔ ( = 0 ∨ ) = 0
~ ∀ ( ∈ S, ∀ ) ∈ S: () = 0 ↔ ( = 0 ∨ ) = 0 )
∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ ~ () = 0 ↔ ( = 0 ∨ ) = 0
De:
e ↔ q = e → q ∧ q → e
~ e ↔ q = ~[ e → q ∧ q → e ]
= ~ e → q ∨ ~ q → e
= ~ ~e ∨ q ∨ ~ ~q ∨ e
= e ∧ ~q ∨ q ∧ ~e
∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ ~ [() = 0 ∧ ( = 0 ∨ ) = 0 ] ∨
~() = 0 ∧ ~ ( = 0 ∨ ) = 0
∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ | () = 0 ∧ ~ ( = 0 ∨ ) = 0 } ∨
( = 0 ∨ ) = 0 ∧ ~ () = 0
∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ | () = 0 ∧ ( ≠ 0 ∧ ) ≠ 0 } ∨
( = 0 ∨ ) = 0 ∧ () ≠ 0
∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ | ( = 0 ∨ ) = 0 ∧ () ≠ 0} ∨
| () = 0 ∧ ( ≠ 0 ∧ ) ≠ 0 }
∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ [() ≠ 0 ∧ ( = 0 ∨ ) = 0 ] ∨
| () = 0 ∧ ( ≠ 0 ∧ ) ≠ 0 }

∃ ( ∈ S, ∃ ) ∈ S ∶ [() ≠ 0 ↔ ( = 0 ∧ ) ≠ 0
e.) “para todo número real x existe un número entero “y” tal que
y ≤ < + 1”
∀ ∈ S, ∃ ∈ ∕ ≤ < + 1
~ ∀ ∈ S, ∃ ∈ ∕ ≤ < + 1 )
∃ ∈ S , ∀ ∈ ∕ ~ ≤ < + 1 )
∃ ∈ S , ∀ ∈ ∕ ~ [ ≤ ∧ < + 1 ]
∃ ∈ S , ∀ ∈ ∕ > ∨ ≥ + 1 ]
13)
a) ∀ ∈ , ∃ ∈ ∶ + < 3
+ < 3
< 3 −
Si x= 2 → = 1 ∉
∀ ∈ , ∃ ∈ ∶ + < 3 --------------(F)
) ∃ ! ∈ , ∀ ∈ : x-y > 1
∃ ¡ ∈ − − − − − Y CZ]Y ú'CAM YgYcY']M fY
x-y > 1
y < x-1
∃ ! ∈ , ∀ ∈ : x-y > 1 --------------(F)
A ∀ ∈ , ∀ ∈ ∶ < → <

< → <
~ < ∨ <
≥ ∨ <
∀ ∈ , ∀ ∈ ∶ ≥ ∨ < − − − X
f ∃ ∈ , ∃ ∈ : − ∈
Si x =4 y y= 0
4-0 = 4 ∈
∃ ∈ , ∃ ∈ : − ∈ − − − − − − d
14
a) ∃ , ∈ ∕ + > €, ∀ € ∈
Si X= 4 ; x=3
4+3 > 8
7 >8 ----------------(F)
∃ , ∈ ∕ + > €, ∀ € ∈ -----(F)
b) ~ ∀ ∈ , ∃ ∈ ∕ > )
∃ ∈ , ∀ ∈ ~
⁄ >
∃ ∈ , ∀ ∈ ∕ ≤

∃ ∈ , ∀ ∈ ∕ ≤ --------(V)
c) ∀ ∈ , ∃ ∈ ∕ − ∈
Si x= 5 ‘ y= 4
(5-4) ∈
X= 1 ; y= 2
(1-2) ∉
∀ ∈ , ∃ ∈ ∕ − ∈ ----------------(F)
d) ∀ ∈ , ∀ ∈ ∕ + < 10
Si x= 3 ; y= 8
(3+8) ⊀ 10
∀ ∈ , ∀ ∈ ∕ + < 10 -----------(F)
15)
e: ∀ ∈ G, ∀ ∈ G ∕ 40 − 3 > 15
G = {2,3,4, … … … , 20}
d e = d
q: ∃ ∈ G, ∀ ∈ G ∕ + = 3
+ = 3
+ 1 = 3

V(q)= F
^: ∀ ∈ G, ∀ ∈ G ∕ 25 + 17 + 9 > 204
V(r) = V
Z: ∃ ∈ G ∕ 311 < + 10 < 335
311 < + 10 < 335
311 − 10 < < 335-10
301 < < 325
d Z = X
[ e ∆ q → ^] ↔ [ ^∆Z → q]
[ d ∆ X → d] ↔ [ d ∆X → X]
(V → d ↔ d → X
d ↔ X
X
16)
U = { ∈ ∕ > 2 → < 2}
= { −2, −1,0, 1 ,2}
De: U = { ∈ ∕ > 2 → < 2}
> 2 → < 2
~ > 2 ∨ < 2
X ≤ 2 ∨ < 2
G = { { −2, −1,0, 1 }

e: ∀ ∈ G ∕ > 3 ∨ < 2
V(p) = V
q: ∃ ∈ G ∕ = 2 → > 1
∃ ∈ G ∕ ~ = 2 ∨ > 1
∃ ∈ G ∕ ≠ 2 ∨ > 1
d q = V
^: ∶ ∀ ∈ G ∕
n‚<7
n6
= − 2
∀ ∈ G ∕
n‚<7
n6
= − 2 ; ≠ −2
d ^ = X
Luego:
[(~e ∨ Z ∧ ] → ^ ] → q ∧ K = X
(V) (F)
De: q ∧ K = X
V ∧ K = X, ZY ]CY'Y:
V(K = X
De: [(~e ∨ Z ∧ ] → ^ = d
(V) (V)
~e ∨ Z = d
F ∨ Z = d, ZY ]CY'Y qY:
V(s) = V
De: ] → ^ = d
~] ∨ ^ = d
~] d X = d
~] = X
d ] = d

17)
G = VH, √2, √−2, 2, −2, 0W
= { ∈ G ∕ ∈ S → ∈ }
∈ S → ∈
~ ∈ S ∨ ∈
∉ S ∨ ∈
= { √−2 , −2, 0,2 }
Y ∶ = { ∈ G ∕ ∈ ′}
o
= V H, √2, W
= { V H, √2, W
Encontrando los valores de verdad de p, q y r:
e: ∃ ∈ ∕ < 0
d e = d
q: ∀ ∈ ∕
n‚<
n6
= − 1
d q = d
^: ∀ ∈ G, ∃ ∈ G ∕ x+y=0
d ^ = X
Z: ∃ ∈ G, ∀ ∈ G ∕ + =
d Z = d
De:
M= ~e → ~q ∨ ^ ↔ ~Z
M= ( ~ d → ~ d ∨ X ↔ ~d

M= ( X → X ∨ X ↔ X
ƒ = d ∨ ∨
V(M) = V
18)
G = V0, √2 , H, −3 , √−1W
e: ∃ ∈ G ∕ = −1
√−1 = −1
d e = d
q: ∀ ∈ G ∕ a
= 1
0a
− − − − − C'fY]Y^cC'(f(
d q = X
^: ∀ ∈ G ∕
n‚<4
n6
= − 3 ; x ≠ −3
d ^ = X
Z: ∃ ∈ G ∕ + H = H
∃ = 0
d Z = d
Luego: = e → q ∧ ~ q ↔ e
De las tablas de verdad se tiene:
V(A) = (d → X ∧ ~ X ↔ d
V(A) = (d → X ∧ d ↔ d
d = X ∧ V
d = X

= q ∧ ~ ^ ∨ ^ → ~ q
d = X ∧ ~X ∨ X → ~X
d = X ∧ d ∨ X → d
d = X ∨ d
d = d
0 = ^ ↔ Z ∧ ^ → ~ e
d 0 = X ↔ d ∧ X → X
d 0 = X ∧ d
d 0 = X
= [ e ∧ q → q ∨ ^ ] ↔ Z ∧ ~e
d = [ d ∧ X → X ∨ X ] ↔ d ∧ ~d
d = X → X ↔ d ∧ X
d = d ↔ X
d = X
19)
e: ∀ ∈ S ∕ > 0

d e = X
q: ∃ ∈ 0 ∕ = −1
√−1 = −1
d q = d
^: ∀ ∈ {2,4,5,6,7} ∕ 3 + 1 > 22
d ^ = X
Z: ∃ ∈ ∕ 4 − 6 = 20
4 − 6 = 20
4 = 26
= ∉
d Z = X
]: ∃ ∈ T ∕ + 1 = H
d ] = d
Luego: P = [ Z ∧ c → ] ∨ c ] ↔ [ e ∧ ~q ↔ ^ ∨ ~Z ]
V( P) = [ X ∧ c → d ∨ c ] ↔ [ X ∧ ~d ↔ X ∨ ~X ]
V( P) = [ X → d ∨ c ] ↔ [ X ∧ X ↔ X ∨ d ]
V( P) = [ X → d] ↔ [ X ↔ d]
V( P) = d ↔ X
d & = X
20)
1) {a} ∈ ∧ V{(}W ⊂
{a} ∈ =V

V{(}W ⊂
Se tiene; {(} ∈
V{(}W ⊂ = d
Entonces; V ∧ d = d
{a} ∈ ∧ V{(}W ⊂ − − − − − − − − − d
2) {a} ⊂ ∧ V{(}W ⊂
Si: {a} ⊂
( ∈
{a} ⊂ = V
De; V{(}W ⊂
{a} ∈
Por tanto: V{(}W ⊂ =V
V ∧ d = d
{a} ⊂ ∧ V{(}W ⊂ -----------------(V)
3) {∅} ⊂ ∧ V{∅}W ∈
De: {∅} ⊂
∅ ∈ = d
{∅} ⊂ = d
V{∅}W ∈ = X
V ∧ X = X
Por tanto:
{∅} ⊂ ∧ V{∅}W ∈ = F

4) ∅ ⊂ ∧ ∅ ∈
∅ ⊂ − − − −ZCYce^Y YZ KY^f(f
∅ ∈ = d
d ∧ d = d
Por tanto:
∅ ⊂ ∧ ∅ ∈ = d
21)
= { 2,3,5,6,8}
= { 0,1,2,4,5,7,9}
c =
'úcY^M fY AM'[']MZ 'M K(AíMZ fY qY ZM' fCZ[']MZ AM'
'
= 'úcY^M fY AM'[']MZ 'M K(AíMZ fY qY ZM' fCZ[']MZ AM'
∈ qY 'M eY^]Y'YAY' ( = { 3,6,8}
c = 2 − 1 = 7
∈ qY 'M eY^]Y'YAY' ( = {0,1,4,7,9}
' = 21
− 1 = 31
Por tanto: m+n=
c + ' = 1 + 37
c + ' = 38

22)
= V{0,1}, {2,4,8}, ∅W
= {0,1,4,8}
0 = V ∅, {∅}, {1}, 2, {4}, {8}W
a) ∅ ⊂ ; ∅ ∈ , 0 ⊂ ; ⊂ ; {1} ∈
∅ ⊂ − − − −ZCYcYe^Y YZ KY^f(f
∅ ⊂ − − − − − − − d
∅ ∈ − − − −?
∅ − − − YZ YgYcY']M fYg AM'[']M
∅ ∈ − − − − − d
0 ⊂ − − − −?
∀ ∈ 0 → ∈
{∅} ∉
0 ⊂ − − − − − − − − − X
⊂ − − − −?

∀ ∈ → ∈
0 ∉
⊂ − − − − − − X
{1} ∈ − − − −−?
= V{0,1}, {2,4,8}, ∅W
{1} ∉
{1} ∈ − − − − − − X
B) {1, 8} ∈ ; V{∅}, {1}W ∈ 0 ; {0,1} ⊂ 0 ; V∅, {∅}, {1}W ⊂ 0
= {0,1,4,8} ; 0 = V ∅, {∅}, {1}, 2, {4}, {8}W
{1, 8} ∈ … … … ?
Se aprecia {1, 8} ∉
{1, 8} ∈ − − − − − − X
V{∅}, {1}W ∈ 0 − −−?
V{∅}, {1}W ∈ 0 − − − − − d
{0,1} ⊂ 0 − − − −?
Se tiene: 0, 1 ∈ 0
0 ∉ 0
1 ∉ 0
{0,1} ⊂ 0 − − − − − − X
V∅, {∅}, {1}W ⊂ 0 − − − −−?
∅, {∅}, {1} ∈ 0
∅ ∈ 0
{∅} ∈ 0

{1} ∈ 0
V∅, {∅}, {1}W ⊂ 0 − − − − − d
c.) {∅} ⊂ ; V∅ ,1, 2, {8}W ⊂ ; ∅ = {∅}; {0,1} ∈ ;
{0,1} ⊂
= V{0,1}, {2,4,8}, ∅W
= {0,1,4,8} ; 0 = V ∅, {∅}, {1}, 2, {4}, {8}W
{∅} ⊂ − − − −?
∅ ∈
{∅} ⊂ − − − − − X
V∅ ,1, 2, {8}W ⊂ -------?
∅ ,1, 2, {8} ∈
∅ ∉
V∅ ,1, 2, {8}W ⊂ ---------(F)
∅ = {∅} − − − −−?
ZY Z()Y qY: ∅ = { }
∅ = {∅} − − − − − − − X
{0,1} ∈ − − − −?
{0,1} ∈ − − − − − − d
{0,1} ⊂ † − − − −−?
0,1 ∈
∅ ∉
{0,1} ⊂ − − − − − X
d.) {0,1} ⊂ ; {0,1} ∈ 0 ; {1} ⊂ {0,1} ; {1} ∈ {{1}}

= {0,1,4,8} ; 0 = V ∅, {∅}, {1}, 2, {4}, {8}W
{0,1} ⊂ − − − −?
0,1 ∈ B
0 ∈
1 ∈
{0,1} ⊂ − − − − − − − d
{0,1} ∈ 0 − − − −−?
0 ∉ 0
1 ∉ 0
{0,1} ∈ 0 − − − − − − X
{1} ⊂ {0,1} − − − −−?
1 ∈ {0,1}
{1} ⊂ {0,1} − − − − − d
{1} ∈ V{1}W − − − −−?
{1} ∈ V{1}W − − − − d
23)
= { 2, {3,4}, {5}, 6}
a) ∃ ‡ ∈ & ∕ 4 ∈ ‡

N[P(A)] = 27
= 16
& = {{2}, V{3,4}W, V{5}W, {6}, V2, {3,4}W, V2, {5}W, {2,6}, − −
-------{{3,4}},{{5),6}} ---}
∃ ‡ ∈ & ∕ 4 ∈ ‡ − − − − − X
b) ∃ ‡ ∈ & ∕ {6} ⊂ ‡
{6} ⊂ ‡
‡ = {6}
{6} ⊂ {6} -----(V)
∃ ‡ ∈ & ∕ {6} ⊂ ‡ ---------------------(V)
c) ∃ ‡ ∈ & ∕ {5} ∈ ‡
‡ = V{5}W
{5} ∈ V{5}W − − − − d
∃ ‡ ∈ & ∕ {5} ∈ ‡ − − − − − − − d
d) ∃ ‡ ∈ & ∕ {3,4} ⊂ ‡
‡ = V{3,4}W
{3,4} ⊄ V{3,4}W
∃ ‡ ∈ & ∕ {3,4} ⊂ ‡ − − − − − − X
24)

G = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
= {2,3,5,7,11,13,17,19,23, − − − − −}
= {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}
0 = {1,3,5,7,9}
a) ( A U B)’-C
( A U B)’-C = (A’ ∩ o
) ∩ 0o
A’ =U-A ={ 1,4,6,8,9,10}
B’ =U-B ={ 2,3,5,6,7,8,10}
0o
= G − 0 = {2,4,6,8,10}
A’ ∩ o
= {6,8,10}
(A’ ∩ o
) ∩ 0o
= { 6,8,10}
b) − 0 ′ ∩
− 0 o
∩ = ∩ 0′ ′ ∩
= o
G0 ∩
o
G0 = { 1,34,5,6,7,8,9,10}
o
G0 ∩ = { 1,4,9}
c) ( A ∆ − ∆0
A ∆ = G − ∩
G = {1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,26, − − −−}
A ∆ = G ∩ ∩ ′
A ∆ = G ∩ o
G o
o
G o
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A ∆ = {1,2,3,4,5,7,9}

A ∆0 = G0 − ∩ 0
G0 = {1,2,3,5,7,9,11,13,17, 19,23,25,26, − − −−}
A ∆0 = G0 ∩ ∩ 0 ′
A ∆ = G ∩ o
G0
o
G0o
= {1,2,4,6,8,9,10}
A ∆0 = {1,2,9}
Luego:
( A ∆ − ∆0 =
= {1,2,3,4,5,7,9}-{1,2,9}
( A ∆ − ∆0 = { 3,4,5,7}
d) (A ∩C)’- (BUC)’
(A∩C)’- (BUC)’ = [(A∩C)’ ∩ [ BUC ’ ]’]
= o
G0o
∩ G0
De:
= {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}
0 = {1,3,5,7,9}
A’ =U-A ={ 1,4,6,8,9,10}
0o
= G − 0 = {2,4,6,8,10}
G0 = { 1,3,4,5,7,9,16,25,36,49,64,81,100}
o
G0o
= { 1,2,4,6,8,910}
o
G0o
∩ G0 = {1,4,9}

25
= { ∈ ∕ ~[ ≤ −2 ∨ > 3}
~[ ≤ −2 ∨ > 3}
> −2 ∧ ≤3
= { ∈ ∕ > −2 ∧ ≤ 3}
= { −1, 0, 1,2, 3}
= { ∈ ∕ ~ −1 < ≤ 3 → = 5}
~ −1 < ≤ 3 → = 5 }
~~ −1 < ≤ 3 ∨ = 5
−1 < ≤ 3 ∨ = 5
−1 < ≤ 3 ∨ = 5
= { ∈ ∕ −1 < ≤ 3 ∨ = 5 }
= { 1,2,3,5}
0 = { ∈ ∕( < −2 ∨ ≥ 2 → > 1 }
< −2 ∨ ≥ 2 → > 1
~ < −2 ∨ ≥ 2 ∨ > 1
≥ −2 ∧ < 2 ∨ > 1
−2 ≤ < 2 ∨ > 1
0 = { ∈ ∕ x ∈ [−2, ∞ [ }

BY M)]CY'Y: ∩ 0 ∆ ∩
∩ 0 ∆ ∩ = [ ∩ 0 G ∩ ] − [ ∩ 0 ∩
∩ ]
= [ ∩ G0 ] −[ ∩ ∩ 0 ]
= { −1, 0, 1,2, 3}
= { 1,2,3,5}
C ={ -2,-1,0,1,2,3,4,5,-------}
G0 = {−2, −1,0,1,2,3,4,5, − − − − −}
∩ G0 = { 1,2,3,5}
∩ 0 = { −1,0,1,2,3}
∩ ∩ 0 = {1,2,3}
Luego:
∩ 0 ∆ ∩ = { 1,2,3,5} − {1,2,3}
∩ 0 ∆ ∩ = {5}
26)
> = V∅, (, {(}, {(, ∅}W
= { ∈ > ∕ x≠ ∅ ∧ ≠ {(, ∅}}
= V (, {(}W
0 = { ∈ > ∕ x≠ ( ∧ ≠ {(, ∅}}
0 = { {(}, ∅}
= { ∈ > ∕ x YZ '( gY]^( fYg (gi()Y]M}

= { (}
a) P(B-C)
− 0 = ∩ 0o
0o
= > − 0 = {{(}, {(, ∅}}
− 0 = {(}
P(B-C) = { ∅, {(}}
b) 0 ∩ − o
0 ∩ = ∅
0 ∩ − o
= 0 ∩ ∩
0 ∩ − o
= ∅ ∩
0 ∩ − o
= ∅
c) 0 − o
∪ ∩ o
0 − = 0 ∩ o
o
= {∅, {∅, (}}
0 − = {∅}
0 − o
= >
BY ]CY'Y qY o
:
o
= V∅, {(}, {(, ∅}W
∩ o
= {{(}}
d) Luego: 0 − o
∪ ∩ o
0 − o
∪ ∩ o
= > G ∩ o
0 − o
∪ ∩ o
= >

27)
= { ∈ ∕ 7-x=3 ∨ < 3 }
7-x=3 ∨ < 3
= 4 < 3
= { ∈ ∕ x =4 ∨ < 3 }
= { 1,2,4}
= { ∈ ∕ 5-x>2 ∧
1
6 − 2 ≥ 2 }
5-x>2 ∧
1
6 − 2 ≥ 2
< 3 ∧ 6x-2 ≥ 10
< 3 ∧ x ≥ 2
= { ∈ ∕ < 3 ∧ x ≥ 2}
= {2}
0 = { ∈ ∕ x es un cuadrado perfecto, x ≤ 10 }
0 = { 1,2,3}
( G ∩ 0 −
0 − = ∈ 0 ∉
0 − = {3}
G = {1,2,4}
G ∩ 0 − = ∅

b) (A-B) U(B∩ 0
− = {1,4}
B ∩ 0 = {2}
(A-B) U(B∩ 0 = { 1,2,4}
c ∩ − − 0
∩ = {2}
− 0 = { 4}
∩ − − 0 = ∅
d.) ∆ ∩ ∩ 0
∆ = G − ∩ 0
G = {1,2,4}
∩ 0 = {1,2}
∆ = {4}
B ∩ 0 = {2}
∆ ∩ ∩ 0 = ∅
28)
= { ∈ ∕ 3<x ≤ 4 }
= { 4}
= {€ ∕ z = ' , ' ∈ , ' ≤ 5 }
= { 1,4,9,16,25]

0 = { ∈ ∕ x divisor de 30}
0 = { 1,2,3,5,6,10,15,30}
a) Suma de elementos de (A ∩ G G0
A ∩ = {4
N (A ∩ = 1
G0 = { 1,2,3,4,5,6,9,10,15,25,30}
n( G0 = 11
'[ A ∩ G G0 ] = 1 + 11 = 12
29)
a) ∩ G o
=
∈ [ ∩ G o
] =
= ∈ ∧ ∈ G o
= ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ′
Sea: p = ∈
q = ∈ o
= e ∧ e ∨ q --------Morgan
= e
= ∈
∩ G o
= -----------------(V)
b) ∩ 0 − = ∩ 0 −

[∈ ∩ 0 − ] =
= ∈ ∩ 0 ∧ ∉
= ∈ ∧ ∈ 0 ∧ ∉
= ∈ ∧ [ ∈ 0 ∧ ∉ ] ---agrupación
= ∈ ∧ ∈ 0 −
= ∩ 0 −
∩ 0 − = ∩ 0 − -----------(V)
c) ∩ G0G = ∩ G ∩ 0 G ∩
∈ [ ∩ G0G ] =
= ∈ ∧ ∈ [ G0G ]
= ∈ ∧ [ ∈ ∨ ∈ 0 ∨ ∈ ]
= ( ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ 0 G
∈ ∧ ∈
= ∩ G ∩ 0 G ∩
Por tanto:
∩ G0G = ∩ G ∩ 0 G ∩ -----(V)
30)

0 ∩ = ∅ → 0 − = 0
[ G − 0 ] ∩ [ G 0 − ] =
[ G − 0 ] ∩ [ G 0]
= [ G ∩ 0o
] ∩ [ G 0]
= { G ∩ G0o
] ∩ G0 ; G =
= [ ∩ G0o
] ∩ G0
= [ ∩ G0 ] ∩ G0o
= ∩ G0o
Pero: 0 ∩ = ∅ → 0o
=
G0o
= 0o
[ G − 0 ] ∩ [ G 0 − ] = ∩ G0o
= ∩ 0o
= − 0
31)
a) ∩ o
G =
∩ o
= ∅
∩ o
G = ∅ G
∩ o
G = ------------(V)
b) G o
= o
∩ o

Pd) i) G o
⊂ o
∩ o
ii) o
∩ o
⊂ G o
i) ∈ G o
→ ∈ o
∩ o
∈ ′ ∧ ∈ ′
∈ o
∩ o
Luego: G o
⊂ o
∩ o
-------(1)
ii) ∈ o
∩ o
→ ∈ ′ ∧ ∈ ′
∉ ∧ ∉
∉ ∨
∈ ∨ o
∈ G o
o
∩ o
⊂ G o
-------(2)
a) De (1) y (2): G o
= o
∩ o
---------(V)
c.) − = ∩ o
∈ − =
= ∈ ∉
= ∈ ∧ ∈ ′
= ∈ ∧ o
= ∈ ∩ o
− = ∩ o
− − − − − − − − − d
d.) ⊂ ↔ o
⊂ o
i) ⊂ → o
⊂ o

ii) o
⊂ o
→ ⊂
i) ⊂ → o
⊂ o
⊂
∈ → ∈
e → q = ~ q → ~e
∉ → ∉
∈ o
→ ∈ ′
′ ⊂ ′
No hace falta demostrar ii)
⊂ → o
⊂ o
--------------------(F)
e.) ∩ G0 = G0 ∩ G0
∈ [ ∩ G0 ] =
= ∈ ∧ ∈ G0
= ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ 0
= ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ 0
= ∈ ∧ ∨ ∈ ∧ 0
= ∈ ∩ ∨ ∈ ∩ 0
∩ G0 = G0 ∩ G0 − − − − − X
f.) G − ∩ = − G −
∈ [ G − ∩ ] =
= ∈ G ∧ ∉ ∩
= ∈ G ∧ ∈ ∩ o
= ∈ [ G ∩ o
G o ]

= ∈ [ o
∩ G G ′ ∩ G ]
= ∈ [ o
∩ G o
∩ ]
= ∈ [ ∩ ′ G ∩ ′ ]
= ∈ [ − G − ]
Por tanto:
G − ∩ = − G − -------(V)
32)
= { 1,2,3,4,5}
G = { ∈ ∕ 0 <x < 11 }
G = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
= { ∈ G ∕ x= 2k, k ∈ G}
= { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
a) o
∩ o
≠ G − {9}
Se tiene:
o
= G − = {6,7,8,9,10}
o
= G − = {1,3,5,7,9}
o
∩ o
= {7, 9}
G − = { 6,7,8,9,10}
o
∩ o
≠ G − {9} − − − − − − − − d
b) G o
= { ∈ G ∕ − 16 + 63 = 0}

− 16 + 63 = 0 , i(A]M^C€('fM:
− 9 − 7 = 0
G o
= {7,9}
Además: G o
= o
∩ o
o
∩ o
= {7,9}
G o
= { ∈ G ∕ − 16 + 63 = 0} ---------(V)
c) ( − ′ ≠ ′G ∩
( − ′ = ∩ ′ ′
= o
G
o
G = { 2,4,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20}
o
G ∩ = o
G
o
G = { 2,4,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20}
( − ′ ≠ ′G ∩ − − − − − − − X
d) (B-A) ≠ {8,10
− = ∩ o
∩ o
= { 6,8,10}
(B-A) ≠ {8,10 --------------------(V)
33)

= { ∈ ∕ x= ‘ − 1 , k ∈ }
= {4, 5, 7, 9, 11, 13, − − − − −}
= { ∈ ∕ = 8 }
= { 8}
0 = { ∈ ∕ − 32 + 192 = 0}
− 32 + 192 = 0
− 8 − 24 = 0
0 = { 8, 24}
− ∩ 0 = ?
Y gMZ f(]MZ (']Y^CM^YZ:
− = {8}
− ∩ 0 = { 8}
34)
= V(, ∅, {∅}W
= + {∅}, V{∅}W3
a) G − ∩ = +(, ∅, V{∅}W3
G = { (, ∅, {∅}, V{∅}W}
∩ = V {∅}W
De: A-B= ∈ ∉

G − ∩ = +(, ∅, V{∅}W3 ----------(V)
) El número de elementos de P(A) =8
n(A)= 3
n[P(A)] = 25 ’
= 2 = 8
El número de elementos de P(A) =8 -----------(V)
c.) & ∩ & = {{{∅}}, ∅}
& = { , ∅, {(}, {∅}. {(, ∅}, V{∅}W, {a,{∅}}, {∅, {∅}}
& = { , ∅, V{∅}W, {{∅}, V{∅}W}
gYpM:
& ∩ & = {∅, V{∅}W}
& ∩ & = {{{∅}}, ∅} − − − − − − − − d
35
a) − − 0 = − G0
− − 0 = − ∩ 0o
= ∩ o
∩ 0o
= ∩ o
∩ 0o
= A ∩ G0 o
= − G0 − − − − − eM^ fYiC'CACó'
− − 0 = − G0 − − − − − − d
b) o o o
= G −

o o o
→ ∈ ′ o o
(( ∉ ′ ′
∉ ′ o
∈ o
∈ o
∉
∈ ′
∈ G − eM^ fYiC'CACó'
o o o
= G − -------------------(V)
A ∩ o
G =
∈ ∩ o
G =
= ∈ G ∩ o
= ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ o
= ∈ ∨ ∈ ∧ ∉
Si: ∈ = e ∉ = q
e ∨ e ∧ q = e − − − − − ƒM^p('
= e
= ∈
∩ o
G = − − − − − − − d
d.) o
G o
∩ =
∈ ′G o
∩ =
= ∈ ∩ ′G o
= ∈ ∧ ∈ o
∨ ∈ o
= ∈ ∧ ∉ ∨ ∉
Si: ∈ = e ∉ = q

e ∧ ~ e ∨ q = e ∧ q − − − − − ƒM^p('
= ∈ ∧ ∉
= ∩ o
o
G o
∩ = − − − − − − − − X
e) [ o
G ] − 0 = G0 o
G − 0
{∈ [ o
G ] − 0} =
= ∈ o
G ∧ ∉ 0
= ∈ ′ ∨ ∈ ∧ ∉ 0
= ∈ o
∨ ∈ ∧ ∈ 0′
= ∈ 0o
∧ ∈ o
∨ ∈
= ( ∈ 0o
∧ ∈ o
∨ ∈ 0o
∧ ∈ ------distributiva
= ( ∈ o
∧ ∈ 0o
∨ ∈ ∧ ∈ 0′
= ∈ o
∧ 0′ ∨ ∈ ∧ 0′
= ∈ G 0 ′ ∨ ∈ − 0
= G0 o
G − 0
[ o
G ] − 0 = G0 o
G − 0 − − − − − d
36)
e: ∉ ∧ ∈ ∨ ∈ 0
La negación es:
~[ ∉ ∧ ∈ ∨ ∈ 0]
~ ∉ ∧ ∈ ∧ ~ ∈ 0

( ~ ∉ ∨ ~ ∈ ∧ ∉ 0
∈ ∨ ∉ ∧ ∉ 0
∈ ∨ ∈ o
∧ ∈ 0o
∈ G o
∧ ∈ 0o
G o
∩ 0o
( ∈ [ G o
∩ 0o
]
∈ [ G o
∩ 0o] − − − − − − d
b.) ∈ [ − 0 G G0 o
DE: G o
∩ 0o
G o
∩ 0o
=
= ∩ 0o
G o
∩ 0o
= − 0 G B U C)’
∈ [ − 0 G G0 o
− − − − − − d
A ∈ [ G ∩ 0o]
De (a) se tiene que la negación de p es:
G o
∩ 0o
∈ [ G ∩ 0o] ≠ ∈ [ G ∩ 0o]
∈ [ G ∩ 0o] − − − − − − − X
37)

1) ∩ 0 − o
YZ gM cCZcM qY ∩ G0 o
De: ∩ 0 − o
∩ 0 − o
= ∩ 0 ∩ o o
= ∩ 0o
G
∩ 0 − o
≠ ∩ G0 o
2)
= { ∈ U ∕ 10
= 13 + 3} YZ AM'[']M 'C](^CM M
= { ∈ S − {0} −x
⁄ = < } es un conjunto vacío
− = <
= −1
De: 10 = 13 + 3
10 − 13 − 3 = 0
=
±√ `46 a
a
=
± 2
a
?
= 3/2
= −1/5
= + , −
1
3 'M YZ 'C](^CM
V(A) = F
d = d
X ∨ d = d
Literal 2) -----------------(V)

3.) Si ∈ S y = {( ∈ S ∕ 4 − 2( + ( + 3,
YZ ' ]^C'McCM A(f^(fM eY^iYA]M, Y']M'AYZ ⊂ ( ∈ ∕
( + 24 = 6( + 4(}
( + 24 = 6( + 4(
( − 6( + 24 − 4( = 0
( ( − 6 + 4 6 − ( = 0
( ( − 6 − 4 ( − 6 = 0
( − 4 ( − 6 = 0
F
( = 2
( = −2
( = 6
Si ( = 2 → 4 − 4 + 5 − − −
−'M YZ A(f^(fM eY^iYA]M
Si ( = −2 → 4 + 4 + 1 = 2 + 1 − − − −
Es cuadrado perfecto
Si ( = 6 → 4 − 12 + 9 = 2 − 3 − − − −
Es cuadrado perfecto
= { −2,6}
( ∈ = { −2,2,6}
→ ⊂ ( ∈ − − − − − − − d
Son verdaderas-------2) y 3)
38)

a) ⊂ 0 → G ∩ 0 = G ∩ 0
(hipótesis) (por demostrarse)
(AUC) = C
A ∩ 0 =
∈ G ∩ 0 =
= ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ 0
= ∈ G ∧ ∈ G0
= ∈ G ∧ ∈ 0
= ∈ 0 ∧ ∈ G
= 0 ∩ G
⊂ 0 → G ∩ 0 = G ∩ 0 − − − − − − d
b) AU ∩ = ∩ G =
De: AU ∩ =
= G ∩ G

= ∩ G = ∩ G
A= p y B-q
∩ G = e ∧ e ∨ q
= e − − − − − cM^p('
∩ G =
Por tanto: AU ∩ = ∩ G = − − − d
d.) G [ ∩ G0 ] = G ∩ 0
G [ ∩ G0 ] =
= G ∩ [ G G0 ]
= G ∩ [ G G0]
= G ∩ (AUC)
= G ∩ 0
Por tanto:
G [ ∩ G0 ] = G ∩ 0 − − − − d
39)
a)
∅ ⊂ − − − − − d
∅ ∈ − − − − − d
{a} ∈ − − − − − d
Luego:
d ∧ [d ∧ d]

d ∧ d
→ d
V(p) = V
b.) q: [ {∅} ⊂ ∧ V{∅}W ⊂ ∧ {(} ⊂ ]
{∅} ⊂
∅ ∈
{∅} ⊂ − − − d
V{∅}W ⊂ − −−?
{∅} ∈
V{∅}W ⊂ − − − − d
{(} ⊂ − − − −?
( ∈
{(} ⊂ − − − − − d
Luego:
q: d ∧ d ∧ d
→ d
d q = d
c) r: {{a}} ⊂ ∧ [ ( ∈ {(} ∧ {(} ∈ {{(}}
De: {{a}} ⊂
{(} ∈
{{a}} ⊂ − − − − d
( ∈ {(} ?
( ∈ {(} − − − − d
{(} ∈ V{(}W ?
{(} ∈ V{(}W − − − − d

Luego: d ∧ [ d ∧ d]
d ∧ d
→ d
d ^ = d
40)
a) ⊂ ↔ G =
Pd) i) ⊂ → G =
ii) G = → ⊂
i) ∈ G
De: ⊂
∀ ∈ → ∈
De (1):
→ ∈ ∨ ∈
→ ∈ ∨ ∈
∈
⊂ → G =
ii) G = → ⊂
∈
De: G =

∈ ∨ ∈
→ ∈ G
∈
A ⊂
G = → ⊂
Luego: ⊂ ↔ G = ----------(V)
b) A ⊂ o
↔ ⊂ o
Pd) i) A ⊂ o
→ ⊂ o
ii). ⊂ o
→ A ⊂ o
i) A ⊂ o
→ ⊂ o
Y: A ⊂ o
∀ ∈ → ∈ ′
e → q = ~ q → ~e
∉ ′ → ∉
∈ → ∉
SI ; ⊂ o
∈
→ ∉
↓ ∈ ′
⊂ o
ii) ⊂ o
→ A ⊂ o
Y: B ⊂ o
∀ ∈ → ∈ ′
e → q = ~ q → ~e

~ ∈ o
→ ∉
~ ∉ → ∈ ′
∈ → ∈ ′
SI: ∈
∈ o
A ⊂ o
Por tanto: A ⊂ o
↔ ⊂ o
− − − − − − d
c) ∩ = ∅ → ⊂ o
∩ = ∅ → = ′
De: ⊂ o
→ ∈
→ ∉ o
→ ∉
→ ∈ o
⊂ o
∩ = ∅ → ⊂ o
----------(V)
d) G o o
= −
G o o
= o
∩ o
′
= o
∩
= ∩ o
= −
G o o
= − − − − − − d
41)

Realizando el diagrama de Venn:
El gráficas ya se puede determinar lo solicitado, sin
embargo determinamos Ay B por medio de los conceptos de
conjuntos.
− = − ∩ 0
= − G ∩
= {) G {(, A}
= {(, ), A}
G = − +
= G − −
= {(, ), A, f} − {)}
= {(, A, f}
42)

e: ∈ [ − 0 − ]o
q: ∉ [ ∩ 0o
G ]
ef e ≡ q
∈ [ − 0 − ]o
=
= ∉ [ − 0 − ]
= ∉ [ ∩ 0 − o
]
= ∉ [ ∩ 0 ∩ ′ o]
= ∉ [ ∩ 0o
G ]
→ e ≡ q
43)
ƒ = +−3, − , 0, , 2, √2 , 3 + √2 , 2C3
= { ∈ ƒ ∕ ∉ ƒ → ∉ }
∉ ƒ → ∉
~ ∉ ƒ ∨ ∉
→ ∈ ƒ ∨ ∉

= +−3, − , 0, , 2, √2 , 3 + √2 , 2C3
= { ∈ ƒ ∕ ∈ S ↔ ∈ T}
∈ S ↔ ∈ T = e ∧ q ∨ (~ e ∧ ~q
= ∈ S ∧ ∈ T ∨ (~ ∈ S ∧ ~ ∈ T
= ∈ S ∧ ∈ T ∨ ( ∉ S ∧ ∉ T
∈ S ∧ ∈ T = ∈ T
= V√2 , 3 + √2W
∉ S ∧ ∉ T = ∉ S ∨ T
= ∉ R
= {2C}
B= ∈ S ↔ ∈ T = V √2 , 3 + √2, 2CW

= { ∈ ƒ ∕ ∈ 0 ∧ ∉ U}
∈ 0 ∧ ∉ U = {2C} ∧ {√2 , 3 + √2, 2C}
= {2C}
Luego: ∩ G −
∩ G − = {2C} G −
= {2C}
44)
G = +−6, −3, 0, 0.4, 0. 3
R,
1
, √6, 4, 1 − C3
= { ∈ G ∕ ∈ 0 ∧ ∈ T}
= ∅
= { ∈ G ∕ ∈ ′ ∧ ∈ U}
o
= G − = { −6, −3, 0, 0.4, 0. 3
R,
1
, √6, 1 − C}
U = { −6, −3, 0, 0.4,
1
, 4}
= { −6, −3, 0, 0.4,
1
}
= { ∈ G ∕ ∈ ∨ ∈ } = ∈
= { −6, −3, 0, 4}
Se de obtener: ƒ ∩ &
ƒ = { ∈ G ∕ ∈ → ∈ }
∈ → ∈ = ~ ∈ ∨ ∈

= ∉ ∨ ∈
= ∈ o
∨ ∈
= ∈ G ∨ ∈
= ∈ G
ƒ = +−6, −3, 0, 0.4, 0. 3
R,
1
, √6, 4, 1 − C3
& = { ∈ G ∕ ∈ ↔ ∈ }
∈ ↔ ∈ = ∧ ∨ ~ ∧ ~
∈ ↔ ∈ = ∧ ∨ ~ ∨
∧ = { −6, −3, 0}
∨ = {−6, −3, 0, 0.4,4,
1
}
~ ∨ = ~ ;−6, −3, 0, 0.4,4,
1
=
G = +−6, −3, 0, 0.4, 0. 3
R,
1
, √6, 4, 1 − C3
~ ∨ = V 0. 3
R, √6, 1 − CW
P= ∈ ↔ ∈ =
& = V −6, −3, 0, 0. 3
R, √6, 1 − CW
ƒ ∩ & = V−6, −3, 0, 0. 3
R, √6, 1 − CW

45)
‡ = {eMgCpM'MZ ^Ypg(^YZ}
= {A(f^Cg(]Y^MZ}
= {]^Cá'pgMZ YqCg(]Y^MZ}

1 ------solo polígonos -------no vacía
3------ solo cuadriláteros ------no vacío
7 ------- solo triángulos equiláteros ---no vacío
2 -----solo polígonos y cuadriláteros ---no vacío
4 ------ solo polígonos y triángulos ---no vacío
5 ------ Polígonos, cuadriláteros y triángulos----vacío
Cuadrilátero no puede ser un triángulo
6 ------ cuadriláteros y triángulos----vacío
Cuadrilátero no puede ser un triángulo
Las zonas vacías son: 5 y 6
46)
Se aprecia que la zona rayada es: C-{ x U y}

Para incluir a (XUy) se debe sumar las zonas
(A-B) U (B-A)
La zona sombrada se obtiene restando a C : (A-B) U (B-A)
La zona sombreada es: 0 − [(A-B) U (B-A)]
Rpta --------------( c)
47)
Se puede apreciar que la zona x = ∩ ∩ 0
= −

La zona rayada es la unión de x, y
∩ ∩ 0 G − =
= ∩ ∩ 0 G ∩ o
= G[ ∩ ∩ 0 ] ∩ [ ′G ∩ ∩ 0 ]
= ∩ [ ′G ∩ ∩ 0 ]
= ∩ [ ∩ 0 G ′]
= ∩ ∩ 0 G ∩ ′]
= ∩ 0 G ∩ ′]
= ∩ 0G o
= ∩ 0′ ∩ ′
= ∩ ∩ 0′ ′
= ∩ − 0 ′
Rpta ----------------------( d)
48)
De:
e ∶ ~ ∈ [0 G − ]
~ ∈ 0 ∨ ∈ − ]
~ ∈ 0 ∨ ∈ ∩ ′ ]
∉ 0 ∧ ∉ ∩ ′

∈ 0o
∧ ∈ ∩ o o
∈ 0o
∧ ∈ ∧ o o
∈ 0o
∧ ∈ o
∨ o
′)
∈ 0o
∧ ∈ o
∨ )
∈ ∨ o
) ∧ ∈ 0o
∈ ′ ∧ )’ ∧ ∈ 0o
--------(f)
→ − ′ ∩ 0′
→ − ′ − 0
A) ∈ [ − o
− 0
∈ [ − o
− 0] ---------(V)
) ∈ [ − 0 G G0 o
]
∈ [ − 0 G G0 o] = ∈ − 0 ∨ ∈ G0 o
= ∈ ∩ 0o
∨ ∈ G0 o
= ∈ ∧ ∈ 0o
∨ [ ∈ o
∩ 0o ]
= ∈ ∧ ∈ 0o
∨ [ ∈ o
∧ ∈ 0′]
= ∈ 0o
∧ ∈ ∨ ∈ o
= ∈ 0o
∧ ∈ o
∧ ∈ ′ ------(g)
Se tiene que: f= g
∈ [ − 0 G G0 o
] ------------------------ V
A ∈ [ G G0 o
]
∈ [ G G0 o] = ∈ ∨ ∈ G0 ′]
= ∈ ∨ [ ∈ o
∧ ∈ 0′]

∈ [ G G0 o] − − − − − − − − X
49
= {1,2,3}
= { ∈ ∕ − − 6 = 0}
− − 6 = 0
− 3 + 2 = 0
Se tiene:
= { −2,3}
0 = { ∈ ∕ 2 < < 6}
0 = {3,4,5}
= 0 − ∩
∩ = {3}
= {4,5}
Calculando: n[P[P D ]]
P D = 22 = 4
n[P[P D ]] = 24 =16
50

0 ⊂ o
→ ⊂ 0′
0′G = 0′
{[ 0G ∩ ]G0o} ∩ = ∩ 0o
{[ 0G ∩ ]G0o
} ∩ = {0o
G [ ∩ 0G ]} ∩
= { 0o
G ∩ [ 0o
G 0G ]}∩
= { 0o
G ∩ [ 0o
G0 G ]}∩
= { 0o
G ∩ [ d G ]} ∩
= { 0o
G ∩ d} ∩
= C’UA } ∩
= 0o
∩
= ∩ 0′
51
a G = ∆ ∆ ∩
∆ ∆ ∩ = ∆ G ∩ − [ ∆ ∩ ∩ ]
= [{[ G − ∩ ]}G ∩ ] −
[[ G − ∩ ] ∩ ∩ ]]
= {[ G ∩ ∩ o] G ∩ } −
{[ G ∩ ∩ o]] ∩ ∩ ]}
= {[ ∨ ∧ o
∨ o ] ∨ ∧ } −
{[ ∨ ∧ o
∨ o ]] ∧ ∧ ]}

={ o
∨ o
′ ∨ [ o
∨ o
∧ ∨ ] −
{[ ∨ ∧ ∧ ′]] ∧ ∧ ]}
Utilizando proposiciones:
=[ ~p ∨ p ∧ q ]- [ p ∧ ~e ∧ q ]
=[ ~p ∨ p ∧ q ]- [ p ∧ ~e ∧ q ]
=[ ~p ∨ q ]- [ p ∧ ~e ∧ q ]
=[ ~p ∨ q ]- [ F ∧ q ]
=[ ~p ∨ q ]- F
=[ ~p ∨ q ] ∩ d
= ~p ∨ q
= o
∨ o
′ ∨ ∨
= ∧ ∨ ∨
= [ ∨ ∧ ] ∨
= ∨ -------morgan
G = ∆ ∆ ∩ − − − − − − d
b ∩ = ∆ G
∆ G =
= [ G G ] − [ ∩ G ]
= [ G G ] −
= [ G ] −
= G ∩ o
= o
∧ ∨
= o
∧
= ′ ∩

A ∩ = ∆ G − − − − − − − X
c A ∩B= G − ∆
G − ∆ =
= G − [ G − ∩ ]
= G ∩ [ G − ∩ ]′
= G ∩ [ G ∩ ∩ ′]′
= G ∩ [ G ′ G ∩ ]
= G ∩ ∩ − − − −cM^p('
= [ ∩ G ] ∩ -------morgan
= ∩
A ∩B= G − ∆ − − − − − − − d
52
a [ A∩ G0′]′G G0
[ A∩ G0′]′G G0 =
= [ ∩ o
∩ 0o o]G G0
= [ ∩ o
∩ 0]G G0
= [ o
G ′ ∩ 0]G G0
= [0G[0 ∩ o
G o ]G − −AM'c](]CK(
= 0G − − − − − cM^p('
= G0

[ A∩ G0′]′G G0 = BUC
b {[CU B-A’ ] ∩ [ − 0G o
]′}G
{[CU B-A’ ] ∩ [ − 0G o
]′}G =
= {[0G ∩ o o] ∩ [ ∩ 0G ]′}G
= {[0G ∩ o o] ∩ [ o
G 0G ′]}G
= {[0G ∩ o o] ∩ [ o
G 0G ′]}G
= {[0G ∩ ] ∩ [ o
G 0G ′]}G
= {[0G ∩ ] ∩ [ o
G o
∩ 0o
]}G
= [ G[0G ∩ ]] ∩ [ G[ o
G o
∩ 0o
]]
= [ G[0G ∩ ]] ∩ [ G o
G o
∩ 0o
]]
= [ G[0G ∩ ]] ∩ [dG o
∩ 0o
]]
= [ G[0G ∩ ]] ∩ d
= G[0G ∩ ]
= [ G ∩ ]G0
= G0 − − − − − cM^p('
{[CU B-A’ ] ∩ [ − 0G o
]′}G = BUC
53
⊂ → ∩ = ; AU B=B
De: ∩ {[ G ∩ 0 ∩ o ]G o
G o} =
= ∩ {[{ ∩ ′ ∩ 0]G o
G o}
= ∩ {[ ∩ o
∩ 0]G ∩ ′}
= ∩ {[ X ∩ 0 ]G ∩ ′}

= ∩ [XG ∩ o
]
= A ∩ ∩ ′
= ∩ o
− − − − − −Z('fM g( ℎCeé]YZCZ
= ∅
54
= V{3}, ∅, {3, ∅}}W
= {3, ∅}
0 = V{∅}, {3}W
& − [ ∩ & 0 ] = ?
Obteniendo P C :
& 0 = {{3}, V{∅}W, {{{∅}, {3}}, ∅}
∩ & 0 = {{3}, ∅}
P A es: & = V{3}, {∅}, {3, ∅}, ∅W
& − [ ∩ & 0 ] = {{∅}, {3, ∅}}
55
[ AUB - C-A ] ∩ [ ∩ − ∩ 0 ] =
= [ G ∩ 0 − o] ∩ [ ∩ ∩ ∩ 0 o]
= [ G ∩ 0 ∩ ′ o] ∩ [ ∩ ∩ o
G0o ]
= [ G ∩ 0o
G ] ∩ [ ∩ ∩ o
G0o ]
= [ G ∩ 0o ] ∩ [ o
∩ ∩ G[ ∩ ∩ 0o
] ]

= [ G ∩ 0o ] ∩ [[ o
∩ ∩ ]G[ ∩ ∩ 0o
] ]
= [ G ∩ 0o ] ∩ [[X ∩ ]G[ ∩ ∩ 0o
] ]
= [ G ∩ 0o ] ∩ [[X ∩ ]G[ ∩ ∩ 0o
] ]
= [ G ∩ 0o ] ∩ [[XG[ ∩ ∩ 0o
] ]
= [ G ∩ 0o ] ∩ [ ∩ ∩ 0o ]
= { ∩ [ G ∩ 0o ]} ∩ ∩ 0′
= ∩ ∩ 0′
56)
⊂ 0 ∩ = ∅
⊂ → ∩ =
0 = o
; C’= A
{[ G − 0 ] ∩ [ G 0 − ]}G{ − ∆ 0}=
= {[ G ∩ 0′ ] ∩ [ G ′ ∩ ′ ]}G{ ∩ ′ ∆ 0}
= {[ G ∩ ] ∩ [ G ′ ]}G{ ∩ ′ ∆ 0}
= {[ G ] ∩ [ G ′]}G{ ∩ ′ ∆ 0}
= {[ ∩ o
G ]}G{ ∩ ′ ∆ 0}
= {[ ∩ ]}G{ ∩ ′ ∆ 0}-------morgan
= ∩ G { ∩ o
∆ ′} ; A’= C
= ∩ G {[ ∩ o
G o] − [ ∩ o
∩ o
}
= ∩ G {[ ∩ o
G o] − [ ∩ o
∩ o
]}

= ∩ G {[ ′G ′] − [ X ∩ o
]}
= ∩ G {[ o
G o] − X}
= ∩ G {[ o
G o] ∩ X′}
= ∩ G {[ o
G o] ∩ d}
= ∩ G o
G o
= ∩ G A∩ ′
= A’ U A∩
= A’ U B
= 0G
= G0
57
S = { − − ]o
∩ [ o
∆ − ]
B = [ − G − ]G[ G ∆ ]
De: S = { − − ]o
∩ [ o
∆ − ]
S = [A∩ − ′]′ ∩ [ o
∆ ∩ o ]
S = [A∩ ∩ ′ ′]′ ∩ [ o
∆ ∩ o ]
S = [A∩ o
G ]′ ∩ [ o
∆ ∩ o ]
S = [A′G o
G ′] ∩ [ o
∆ ∩ o ]
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ [ o
∆ ∩ o ]
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {[ o
G ∩ o ] − [ o
∩ ∩ o ]}

S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {[ o
G ∩ o ] ∩ [ o
∩ ∩ o ]′}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {[ o
G ∩ o ] ∩ [ G ∩ o
′]}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {[ o
G ∩ o ] ∩ [ G ∩ o
′]}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {´ ∩ [ o
G ∩ o ]µG[ ∩ o o
∩
[ ∩ o
G ′ ]}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {[ ∩ ∩ o ]G[ ∩ o o
∩
[ ∩ o
G ′]}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ {[ ∩ ∩ o ]G[ ∩ o o
G ]}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ { ∩ o o
G[ ∩ o
∩ ]G ′}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ { ∩ o o
G G ′}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ { ∩ o o
G d}
S = [A′G ∩ ′ ] ∩ d
R= A′G ∩ o
B = [ − G − ]G[ G ∆ ]
B = [ ∩ o
G ∩ o ] G [ G ∆ ]
B = [ ′ ∩ G ]G [ G [ G − ∩ ]
B = [ ′ ∩ G ]G [ G [ G ∩ ∩ ′]
B = [ G o
∩ [ G ]G ´[ o
∩ G ]G [ G
∩ o
G o
µ
B = [ G G ]G [ G ∩ [ o
G o
G o
]
B = G [ [ G ]G [ G ∩ [ o
G o
G o
]
B = G G
De: S G B =

= [A′G ∩ o
] U [ G G ]
= [ G[ o
G ∩ o ]G G
= G ∩ o
G G ------morgan
= A U [ G ∩ o ]G ------morgan
= G G
58) Demostrar que:
⊂ → ∩ =
Se debe demostrar:
i) ∩ ⊂
ii) A ⊂ ∩
i) ∩ ⊂
Sea; ∈ ∩
∈ ∧ ∈
De la hipótesis: ⊂ ZY ]CY'Y: ∀ ∈ → ∈
De: ∈ ∧ ∈
e ∧ q → e − −](]MgMpí(
P
∈
→ ∩ ⊂ -------*
ii) ⊂ ∩
Sea; ∈
De la hipótesis: ⊂ ZY ]CY'Y: ∀ ∈ → ∈
∈ ∧ ∈
→ ∈ ∩

⊂ ∩ − − − −– ∗
Por tanto: ⊂ → ∩ =
59) Simplificar:
(A-B)’-B’=?
(A-B)’-B’ = ∩ o
′ − o
= ′G o
′ ∩ o o
= o
G ∩
= ∩ ∪ o
De: p ∧ e ∨ q = e
=
60) Demostrar:
− 0 = ∅ ∧ ⊂ G0 → ⊂ 0
Si: − 0 = ∅ → ∩ 0o
= ∅
⊂ G0 ∶ ∀ ∈ → ∈ G0
De: ⊂ 0
∈
→ ∈ G0
→ ∈ ∨ ∈ 0 ∧ d
→ ∈ ∨ ∈ 0 ∧ ∈ 0 ∨ ∉ 0
→ ∈ 0 ∨ ∈ ∧ ∉ 0
→ ∈ 0 ∨ ∈ − 0
→ ∈ 0 ∨ ∅ − − − − − eM^ g( ℎCeó]YZCZ

→ ∈ 0
Por tanto: − 0 = ∅ ∧ ⊂ G0 → ⊂ 0
61) Demostrar:
A U(A’∩ = G
Por propiedades de conjuntos:
A U(A’∩ = G ′ ∩ G
G o
= G
A U(A’∩ = G ∩ G
= G
62)
61) Demostrar:
A ∩(A’G = ∩
Por propiedades de conjuntos:
A ∩(A’G = ∩ ′ G ∩
∩ ′ = ∅
A ∩(A’G = ∅ G ∩
= ∩
63)
Sea: ∈ o
∆ o
=
∈ [ o
G o
− o
∩ o ]

→ ∈ [ o
G o
∩ o
∩ o
′]
→ ∈ [ o
G o
∧ o
∩ o
′]
→ ∈ o
G o
∧ ∈ o
∩ o o
→ ∈ o
G o
∧ ∈ G
→ ∈ ∩ ′ ∧ ∈ G
→ ∉ ∩ ∧ ∈ G
→ ∈ G ∧ ∉ ∩
→ G − ∩
→ ∆
(A’∆ ′ = ∆
64)
a) Por elementos que: si B= 0 ∩ → ⊂ 0
B= 0 ∩ → ⊂ 0
De: ⊂ 0
→ ∈
→ ∈ 0 ∩ − − − −eM^ ℎCeó]YZCZ
→ ∈ 0 ∧ ∈
Como: e ∧ q → e − − − ](]MgMpí(
→ e

→ ∈ 0
Luego: B= 0 ∩ → ⊂ 0
b)Por elementos que: Si (A ⊂ 0 ∧ ⊂ → G ⊂ 0G
A ⊂ 0 ∧ ⊂ → G ⊂ 0G
→ G ⊂ 0G
→ G
→ ∈ ∨ ∈
De la hipótesis se tiene:
A ⊂ 0 ∶ ∀ ∈ → ∈ 0
B ⊂ ∶ ∀ ∈ → ∈
→ ∈ ∨ ∈
→ ∈ 0 ∨ ∈
→ ∈ 0
→ ∈ 0 G
Finalmente: A ⊂ 0 ∧ ⊂ → G ⊂ 0G
65) Demostrar que:
A ⊂ → − = ∅
Por demostrarse: i) − ⊂ ∅
ii.) ∅ ⊂ −
De: − ⊂ ∅

→ ∈ −
→ ∈ ∧ ∉
De la hipótesis: A ⊂ ; ∀ ∈ → ∈
→ ∈ ∧ ∉
→ ∧ ∉
→ ∅
Se tiene : − ⊂ ∅
ii.) ∅ ⊂ −
∅ ⊂ P ------siempre verdad
→ ∅ ⊂ −
∅ ⊂ −
Luego: A ⊂ → − = ∅
66) Demostar que:
& ∩ = & ∩ &
Por demostrar que:
i) & ∩ ⊂ & ∩ &
ii) & ∩ & ⊂ & ∩
De: & ∩ ⊂ & ∩ &
‡ ∈ & ∩
→ X ⊂ ∩
→ X ⊂ ∧ X ⊂
→ ‡ ∈ & ∧ ‡ ∈ &

→ ‡ ∈ [ & ∧ & ]
→ ‡ ∈ [ & ∩ & ]
Luego: & ∩ ⊂ & ∩ &
ii.) & ∩ & ⊂ & ∩
→ ‡ ∈ [ & ∩ & ]
→ ‡ ∈ & ∧ ‡ ∈ &
→ X ⊂ ∧ X ⊂
→ X ⊂ [ ∧ B]
→ X ⊂ [ ∩ B]
→ X ∈ & ∩
Finalmente: & ∩ & ⊂ & ∩
Por tanto: & ∩ = & ∩ &
66)
∈ & ∩ G0 ] =
= ‡ ⊂ [ ∩ G0]
= ‡ ⊂ ∩ ∨ ‡ ⊂ 0
= ‡ ⊂ 0 ∨ ‡ ⊂ ∧
= ‡ ⊂ [ 0 ∨ ∧ ]
= ‡ ⊂ [ 0 ∨ ∧ 0 ∨ ]
= ‡ ⊂ 0 ∨ ∧ ‡ ⊂ 0 ∨

= ‡ ∈ & G0 ∧ ‡ ∈ & G0
= & G0 ∩ & G0
67)
b.) {[ − o
G o
− ] − } G { − [ ∩ G G o
]} = ′
{[ − o
G o
− ] − } G { − [ ∩ G G o
]} =
= {[ ∩ o o
G o
∩ o ] − } G{ ∩ [ ∩ G G o]′}
= {[ ∩ o o
G o
∩ o ] ∩ ′} G{ ∩ [ ∩ G G o]′}
= {[ ∩ o o
G o
∩ o ] ∩ ′} G{ ∩ [ ∩ o
∩ G ]}
= {[ o
G G o
∩ o ] ∩ ′} G{ ∩ [ o
G o
∩ G ]}
= {[ o
G [ G o
∩ o
] ∩ ′} G{ ∩ [ o
G o
∩ G ]}
= {[ o
G [ G o
]] ∩ ′} G{ ∩ [ o
G o
∩ G ]}
= {[ o
G ] ∩ ′} G{ ∩ [ o
G o
∩ G ]}
= {[ o
G ] ∩ ′} G{ ∩ [ G ∩ o
G o ]}
= {[ o
G ] ∩ o}G{[ ∩ G ] ∩ o
G o
}
= {[ o
G ] ∩ o}G [ ∩ o
G o
}
= {[ o
G ] ∩ o}G { ∩ ′}
= [ o
∩ o
G ∩ o
]G { ∩ ′}
= [ o
∩ o
G X]G { ∩ ′}

= o
∩ o
G o
∩ }
= ′ ∩ G o
= o
∩ d
= o
68)
a) ⊂ ↔ ∩ =
Por demostrar:
i) ⊂ → ∩ =
ii) ∩ = → ⊂
C ⊂ → ∩ =
C1 ∩ ⊂
C2 ⊂ ∩
De: ∩ ⊂
→ ∈ ∩
→ ∈ ∧ ∈
Si: ⊂ ∶
∀ ∈ → ∈
→ e ∧ q → e − − − ](]MgMpí(
→ e
→ ∈

Por tanto: ∩ ⊂
De: ⊂ ∩
→ ∈
De hipótesis:
⊂ ∶
∀ ∈ → ∈
→ ∈ ∧ ∈
→ ∈ ∧ ∈
→ ∈ ∧
→ ∈ ∩
Luego: ⊂ ∩
Se concluye que: ⊂ → ∩ = --------(1)
ii.) ∩ = → ⊂
De: ⊂
→ ∈
∩ =
→ ∈ ∩
→ ∈ ∧ ∈
De: e ∧ q → e − − − ](]MgMpí(
→ e
∈
por tanto: ⊂ ---------(2)
de (1) y (2) Se concluye que: ⊂ ↔ ∩ =

b) ⊂ ↔ G =
Por demostrar que:
i) ⊂ → G =
ii) G = → ⊂
C ⊂ → G =
C1 G ⊂
C2 ⊂ G
De: G ⊂
→ ∈ G
→ ∈ ∨ ∈
Si: ⊂ ∶
∀ ∈ → ∈
→ ∈ ∨ ∈
→ ∈
Por tanto: G ⊂
ii.) G = → ⊂
De: ⊂
→ ∈
→ ∈ ∨ ∈
G =
→ ∈ G
∈
Se tiene entonces: G = → ⊂

Se concluye que: ⊂ ↔ G =
69)
a) ∩ G =
Por demostrar:
i) ∩ G ⊂
ii) ⊂ ∩ G
i) Sea ∈ ∩ G
→ ∈ ∧ ∈ G
→ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈
→ ∈
Luego: ∩ G ⊂
ii) Sea ∈
→ ∈ ∧ ∈
→ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈
→ ∈ [ ∩ G ]
⊂ ∩ G
Por tanto: ∩ G =
b) G ∩ =
Por demostrar:

iii) G ∩ ⊂
iv) ⊂ G ∩
iii) Sea ∈ G ∩
→ ∈ ∨ ∈ ∩
→ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
→ ∈ ∨ ∈
→ ∈
Luego: G ∩ ⊂
iv) Sea ∈
→ ∈ ∨ ∈
→ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
→ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
→ ∈ (A U(A∩
⊂ G ∩
Por tanto: G ∩ =
70)
' G = 24: ' − = 10
' − = 6

− = ; − =
+ + ' ∩ = 24
' ∩ = 24 − 10 + 6
' ∩ = 8
' = + ' ∩ = 10 + 8
' = 18
' = + ' ∩ = 6 + 8
' = 14
De: 5' − 4'
5' − 4' = 5 18 − 4 14
5' − 4' = 90 − 56
5' − 4' = 34
71)
= 4 ; ' = 3 ; ' ∩ = 2

= ' − ' ∩ = 4 − 2 = 2
= ' − ' ∩ = 3 − 2 = 1
De: n[P(A) U P(B) ]+n[(P(AUB)]
' G = + ' ∩ + = 2 + 2 + 1
' G = 5
& = 27
= 16
& = 2 = 8
P(AUB) = 21
= 32
n[P(A) U P(B) ]+n[(P(AUB)]= 16+8+32
n[P(A) U P(B) ]+n[(P(AUB)] = 56
72)
' G = 44 ; ' = 21 ; ' = 17
' ∩ 0 = 14 ; ' ∩ 0 = 12 ; ' ∩ ∩ 0o
= 3
' ∩ ∩ 0 = 5 ; ' G G0 o
= 6

Representando en un diagrama de Venn:
' ∩ 0 = 14
C+5=14 → A = 9
' ∩ 0 = 12
5+b=12 → ) = 7
' ∩ ∩ 0o
= (
( = 3
Se tiene que C = 5+b+z+c
0 = 5 + 7 + € + 9
= 21 − ( + 5 + A = 21 − 3 + 5 + 9
= 4
= 17 − ( + 5 + ) = 17 − 3 + 5 + 7
= 2
De: U= (x+y+z) +5+(a+b+c)+6
44 = 4 + 2 + € + 5 + 3 + 7 + 9 +6

44 = 6 + € + 5 + 19 + 6=36+z
€ = 8
' 0 = 5 + 7 + € + 9
' 0 = 21 + 8
' 0 = 21 + 8
' 0 = 29
73)
‘ = ' G0 = ' + ' 0
‘ = 8 + 5 = 13
ℎ = ' ∩ ; ⊂
∩ =
ℎ = ' = 5
Se tiene que: h. k=
ℎ. ‘ = 13*5
ℎ. ‘ = 65
74)
⊂ 0 ; ⊂ 0 ; ' 0 = 120 ; ' G = 90

' ∩ = 30 ; ' = ' + 30
a) n[(C-B) ∩ ]
' G = 90
+ + 30 = 90
+ = 60
' = ' + 30 → ' = 90 − + 30
+ 30 = 90 − + 30
2 = 90
= 45
' = 45 + 30 = 75
+ = 60
= 60 − = 60 − 45
= 15
' = 15 + 30 = 45
De: n[(C-B) ∩ ]
Del gráfico se puede apreciar: n[(C-B) ∩ ] = x
n[(C-B) ∩ ] = 45

b) '[ G − ' ∩ ]
G =
= '[ − 30]
= ' − 30 = ' G − 30
= 90 − 30 = 60
A '[ 0 − G ∩ ]
= ' 0 − + ' ∩ − '[ 0 − ∩ ∩ ]
= ' 0 − ' ∩ 0 + ' ∩ − '[ 0 − ∩ ∩ ]
= ' 0 − ' + ' ∩ − '[ 0 − ∩ ∩ ]
= 120 − 75 + 30 − '[ 0 − ∩ ∩ ]
= 120 − 75 + 30 − '[ 0 − ∩ ∩ ]
= 75 − '[ o
∩ ∩ ]
= 75 − '[ X ∩ ] = 75- n(∅
= 75 − 0
= 75
d.) '[ G − − ]
= ' G − '[ G ∩ − ]
= 90 − '[ G ∩ ∩ o ]
= 90 − '[ | ∩ G } ∩ o
]
= 90 − '[ ∩ o
]
= 90 − '[ ]
= 90 − 45
'[ G − − ] = 45

75)
Realizar el diagrama de Venn con 3 conjuntos: F, B y V
N(U)= 78; n(F)=50 ; n(B)= 32 ; n(V) = 23
' X ∩ ∩ d = 6 ; ' XG Gd o
= 10
= eY^ZM'(Z qY e^(A]CA(' Y (A](cY']Y ' fYeM^]Y
= eY^ZM'(Z qY e^Y(A]CA(' Y (A](cY(']Y fMZ fYeM^]YZ
− = ?
= + K + ¸ ; = ( + ) + A
− = + K + ¸ − ( + ) + A
X + + d = 50 + 32 + 23 = 105

G − 10 = 78 − 10 = 68
68 = + K + ¸ + ( + ) + A +6
62 = + K + ¸ + ( + ) + A
De: 105-68 = 37 ------exceso de elementos, debido a: que se
cuentan demás, 2 veces el elemento “6”, una vez a, b y c
37 = 2 6 + ( + ) + A
( + ) + A = 25
62 = + K + ¸ + 25
+ K + ¸ = 37
Se tiene que:
− = 37 − 25
− = 12
76)

La incógnita es: 18-x= como solamente huevos
U= 25-x+x+18-x
31 = 43 −
= 12 = AMcM ℎYKMZ ]MAC'M
De: 18-x= como solamente huevos
18-x= 18-12
6 mañanas como solamente huevos
77)
' = 72 ; ' = 64 ; ' 0 = 36 ; ' ∩ ∩ 0 = 12
' € = ZMg(cY']Y fMZ A^ZMZ

A+B+C= 72+64+36 = 172
172 − G = 172 − 120 = 52 → Y AYZM (gc'MZ
exceso de elementos, debido a: que se cuentan demás, 2 veces
el elemento “12”, una vez x, y, u
luego:
52 = 2 12 + + +
+ + = 28
' € = + +
' € = 28
78)
n(F) = futbol ; n(B) = basket ; n(V) = vóley
' X ∩ ∩ do
= 15 ; ' Xo
∩ o
∩ d = 16 ; n(AUB) =63

= e^áA]CA(' gMZ 3 fYeM^]YZ
15+y+z+x= por lo menos dos de los 3 deportes
n(A ∪ = ' + ' − ' ∩
63 = 52+36- ' ∩
' ∩ = 88 −63
' ∩ = 25
Se tiene que: = 25 − 15
= 10 ------a
F+B+V= 137
137 − G = 58 − − − −Y YAYZM fY [p(fM^YZ
58 = 2 10 + 15 + + €
+ € = 23
De:
15+y+z+x= por lo menos dos de los 3 deportes
= 15 + 23 + 10 = 48 ------b)

79)
' U = 55% ; ' ƒ = 30% ; ' h = 50%
' UGƒGh o
= 14%
( = 0,4 55 = 22% ; b =0.2(55) = 11%

Se determina: U-14 = 86 %
QUMUL = 135%
135% − 86 % = 49 % − − − −Y AYZM
49 = 2 + + + €
+ + € = 29%
10 + € = 256 YZ]fC(']YZ
86 % = 22+11+10+(u+y+z)+c
A = 86 − 43 − 29
A = 14%
De: 50 = 10+y+z+c
40 = y+z+c ; 40 -14 = y+z
+ € = 26 %
+ + € = 29%
= 29 − 26
= 3 %
Como: 55= 22+10+3+y

= 20 %
+ + € = 29%
23+z = 29
€ = 6 %
De: 10+z = 16%
16 % ---------------256 alumnos
100 % --------- U
G = 1600 YZ]fC(']YZ
a) X = 10% (1600)
X= 160 estudiantes
b) Matemática básica o lengua pero no química—
) + € + A =
= 11 + 6 + 14
= 31%
= 0.31 1600
= 496 YZ]fC(']YZ
80)

' ƒ = 72% ; ' X = 52% ; ' U = 37%
' ƒ ∩ X = 32% ; ' X ∩ U = 32%
' X ∩ U = 12% ; ' ƒ ∩ U = 22%
' X ∩ ƒ ∩ U = 2%
Realizando el diagrama de Venn:
' X ∩ U = 12% = 2 +
= 10 %
' X ∩ U = 32%= 2+y
= 30
; ' ƒ ∩ U = 22%=2+z
€ = 20%
M= a+20+2+30 = a+52
72=a+52
a= 20
F= b+30+2+10 = b+42

52=b+42
b= 10
C= c+20+2+10 = c+32
37=c+32
c= 5
a) Una sola carrera….
( + ) + A =
( + ) + A = 20 + 10 + 5
= 35 %
b) otras carreras = w
¸ = XGƒGU o
XGƒGU = ( + ) + A + 62%
= 35 + 62 = 97%
XGƒGU o
= 100 − 97 = 3%
81)
' = 155 ; ' = 170 ; ' 0 = 110
' ∩ = 85 ; ' ∩ 0 = 70; ' ∩ 0 = 50

' ∩ ∩ 0 = 35
' ∩ = 85 = + 35
= 50
' ∩ 0 = 70 = 35 + €
€ = 35
' ∩ 0 = 50 = + 35
= 15
( = 155 − 15 + 35 + 50
( = 155-100=55
) = 170 − 50 + 35 + 35
) = 50

A = 110 − 35 + 35 + 15
A = 25
a) inscritos en curso A pero no en C
a+50 = 55+50
= 105
b) ninguno de los 3 cursos
W = U- (a+b+c)-(50+35+35+15)
» = 300 − 55 + 50 + 25 − 135
» = 300 − 130 − 135
» = 35
82)
n(U)= 150 ; n(F)= 82 ; n(B)= 54

' X ∩ o
∩ ¼o
= 50 ; ' ∩ Xo
∩ ¼o
= 30
' X ∩ ∩ ¼ =
F= 50+4x+2y
82= 50+4x+2y ; 32 = 4x+2y
16 = 2 + -------(1)
B= 30+4x+y
54= 30+4x+y ; 24 = 4x+y
24 = 4 + -------(2)
?
2 + = 16
4 + = 24
2 = 8 ; = 4
= 8
De: 150- a = 80-(4x+3y+a)
150 − ( = 80 + 16 + 24 + (
2( = 150 − 120
a= 15

a) Personas que practican solo dos deportes
3x+y+2y=
= 3 +
= 3 4 + 8
= 36 eY^ZM'(Z
b) Personas que no practican ninguno de los 3 deportes:
a = 15
83)
' G = 400 ; ' G 0 o
= 40
' ∩ ∩ 0 = ' ∩ ; ' ∩ ∩ 0 = ' ∩ 0
' ∩ ∩ 0 = ' ∩ 0

' ∩ ∩ 0 =
Del gráfico se obtiene:
400-40= 4x+2x+x+x+5x+2x+3x
360 = 18x
x= 20
a) Amas de casa que consumen un solo producto:
4x+5x+3x=
= 12
= 12 20
= 240 (c(Z fY A(Z(
b) Y =Amas de casa que consumen al menos 2 productos:
= + 2 + 2 +
= 6
= 120 (c(Z fY A(Z(

84)
I= inglés ; A= alemán ; F= francés
' T = 60 ; ' = 48 ; ' X = 28
’
Del diagrama de Venn, se obtiene:
I= 3x+3y+3z → 60 = 3 + + €
+ + € = 20
A= 2x+y+4z → 48 = 2 + + 4€

F= x+3y+z → 28 = + 3 + €
Resolviendo las tres ecuaciones, se obtiene:
F
+ + € = 20
2 + + 4€ = 48
+ 3 + € = 28
x= 10 ; y= 4 ; z =6
a) Cuántas personas estudian un solo idioma
= 3 + 2 +
= 6 = 6 10
= 60 eY^ZM'(Z
b) Cuantas personas estudian solo dos idiomas
¸ = 3€ + € + 2 = 4€ + 2
¸ = 4 6 + 2 4
¸ = 32 eY^ZM'(Z
85)
El diagrama de Venn, es el siguiente:

x = % de familias que tienen refrigerador
= 40 %
a) Entre las familias que tienen refrigerador que porcentaje
vive en el segundo piso:
=
a
7a
∗ 100 = 50 %
86)
= {', ', ' + 2, ' + 2} ; = {c, c, 10,10}
Como : A=B , deben tener los mismos elementos
= {', ' + 2} ; {c, 10} ; m≠ '
' = 10 ; ' + 2 = c
c = 10 + 2
c = 12

Se tiene que: m+n=
c + ' = 10 + 12
c + ' = 22
87)
A= unitario
= {5 + 3 + 5, 2 + 7 + 12}
5 + 3 + 5 = 2 + 7 + 12
3 − 4 = 7 --------(1)
Multiplicando (1) por 3:
3 3 − 4 = 21
9 − 12 = 21
88)
= {4,5,7,9,11,16} ; = {7,8,9,10}
0 = {7,9,16}
a) ∅ ⊂ A
∅ ⊂ A ---------(F)

b) B ⊂ A
∀ ∈ → ∈
10 ∉
B ⊂ A ------------------(F)
c) C ⊂ A
∀ ∈ 0 → ∈
7,9, 16 ∈
C ⊂ A ------------------(V)
d) ' ∩ 0 = 2
∩ 0 = { 7,9}
' ∩ 0 = 2 = 4
' ∩ 0 = 2 − − − − − − X
Sola la afirmación II es correcta
89)
a) {2,5,3} = {3,5,2}
La afirmación es verdadera------Ay B tienen los
mismos elementos
b) {4} ∈ {{4},5}
Se tiene que: {4} ∈ {{4},5}
{4} ∈ {{4},5} -------------------(V)

c) {3} ⊂ {3, {4}, 2}
como: 3 ∈ → {3} ⊂ {3, {4}, 2}
{3} ⊂ {3, {4}, 2} − − − − − − − d
d) ∅ ∈ {3, {4}, 2}
se aprecia que:
∅ ∉ {3, {4}, 2}
∅ ∈ {3, {4}, 2} − − − − − − X
e) ∅ ⊂ {3, {4}, 2}
El conjunto potencia de {3,{4},2}----contiene al
conjunto vacio.
∅ ⊂ {3, {4}, 2} − − − − − − − d
f − − − −YZ i(gZ(
90)
A={( + 1, 3( − 1} ; = {3 + , − + 8}
− − − 'C](^CMZ
De:
( + 1 = 3( − 1
( − 3( + 2 = 0
( − 2 ( − 1 = 0
( = 2 ó ( = 1
3 + = − + 8
2 + 2 = 8
+ = 4

Nos piden: x+y+a =?
Si a= 2
x+y+a =
= 4 + 2
= 6
a= 1
x+y+a =
= 4 + 1
= 5
La respuesta es c)
91)
= {1,1, {1}, ∅}
Los elementos de A son:
= {1, {1}, ∅}
'[& ] = 2 = 8
I) P(A) tiene cuatro elementos -------------(F)
II) {∅} ∈ &
P(A) incluye al conjunto {∅}
{∅} ∈ & -------------------(V)
III.) {∅} ∈ & &
P(A) = {∅ , , {1}, V{1}W, {∅}, V1, {1}W, V{1}, ∅W, {1, ∅}}

{∅} ∈ &|& } − − − − − − d
Rpta) --------( b)
92)
= V{(}, {(, )}, {(, ), A}, {2}, 4W ; = ∅
0 = V{), (}, {(, )}, ∅W
I) & ∈ & 0
& = V∅, {∅}W
P(C) contiene a V∅, {∅}W
& ∈ & 0 − − − − − d
II) '|& ∩ 0 } ∈
'|& ∩ 0 } − − − − − YZ ' 'úcY^M
∩ 0 = { {(, )}}
'|& ∩ 0 } ∈ − − − − X
III) (C-A) ⊂ &
0 − = { ∅}
∅ ∈ &
(C-A) ⊂ & − − − − − − d
Rpta) (C)

93)
' G = ' + ' − ' ∩
7 = ' + ' − 2
' + ' = 9
' − = ' − ' ∩
2= n(A) -2
' = 4
Se tiene que: ' = 9 − '
' = 9 − 4 = 5
Calcular: ' + ' + ' − =
' − = ' − ' ∩
' − = 5-2 = 3
' + ' + ' − = 4 + 5+3
' + ' + ' − = 12

94)
= V(, {(}, ), {)}W ; = V{(, )}, {)}W
I) n(A) = n(A-B)
− = {(, {(}, )} ; ' − = 3
' = 4
n(A) = n(A-B) -----------------(F)
II) {a,b} ⊂
(, ) ∈ -----------; a ∈
B ∈
{a,b} ⊂ − − − − − − − d
III) {a} ⊂ {(, )}
a ∈ {(, )}
{a} ⊂ {(, )} − − − − − − d
IV) ' ∩ + 1 = '
∩ = V{)}W
' ∩ = 1

' = 2
Por tanto:
' ∩ + 1 = ' − − − − − d
V) A ⊂
∀ ∈ → ∈
( ∉
A ⊂ − − − − − − − X
Rpta) ( c )
95)
= { / x∈ ; 2 < < 9}
B = {2 / x∈ ; 1 < < 6}
Se tiene que:
= {3,4,5,6,7,8} ; = {4,6,8,10}
∩ = { 4,6,8 ; ' ∩ = 3
G = { 3,4,5,6,7,8,10}
' G = 7
BY A(gAg(: ' ∩ + ' G
' ∩ + ' G = 3+7

' ∩ + ' G = 10
96
= { / x ZM' fCKCZM^YZ e(^YZ fY 6}
= {' / n YZ cúg]CegM fY 2, ' ∈ 6
}
0 = {c / m c ∈ ∩ c < 4}
Se tiene:
6 = 2.3
2.3 = 2 (3 ) --------N. Divisores pares= (1+1) =2
= {2,6}
= { 2, 4,6,8,10, − − − − −−}
0 = { 2}
' = 2 ; ' ∩ = 2 ; ' 0 = 1
Se calcula: ' ∗ ' ∩ + ' 0
' ∗ ' ∩ + ' 0 = 2 ∗ 2 + 1
' ∗ ' ∩ + ' 0 = 5

97)
G = {2,4,5,6,9} ; = {2,5,9} ; = {4,5,6}
0 = {5,6,9}
[(B∆0 ′ − ∆ ′] = ?
[(B∆0 ′ − ∆ ′] = [ ∆0 ′ ∩ ∆ ′ ′]
= [ ∆0 ′ ∩ ∆ ]
De: ∆0 =
= B-C U C-B
[(B∆0 ′ − ∆ ′] = [ B-C U C-B ]’ ∩ [ − G − ]
= [ ½ − ¾ o
∩ ¾ − ½ o] ∩ [ − G − ]
= [ ½ ∩ ¾′ o
∩ ¾ ∩ ½′ o] ∩ [ ∩ ′ G ∩ ′ ]
= [ o
G0 ∩ 0o
G ] ∩ [ ∩ ′ G ∩ ′ ]
Obteniendo B’, C’, A’:
o
= {2,9} ; 0o
= {2,4} ; ′ = {4,6}
o
G0 = { 2,5,6,9} ; 0o
G = {2,4,5,6}
∩ o
= {2,9} ; ∩ o
= {4,6}
[(B∆0 ′ − ∆ ′] = [ o
G0 ∩ 0o
G ] ∩ [ ∩ ′ G ∩
′ ]
= {2,5,6} ∩ {2,4,6,9}

= {2,6}
98
'[& ∆ ] = 1024 ; '[& ∩ ] = 8
'[& G ] = ?
De:
'[& ∆ ] = 1024
1024 = 2# ’∆À
2 a
= 2# ’∆À
# ∆ = 10
# ∆ = ' G − ' ∩
10 = ' G − 8
' G = 18
' G = 18

Calculando: '[& G ] = 2# ’ÁÀ
'[& G ] = 2 :
99
⊂ ; ' − 0 = ' 0 − = 3
' Â
∩ = 15 ; ' G G0 = 25
⊂ → G =
' G G0 = ' G0 = 25
25 = 15 − + + 3 + + 3
10 = + 6
= 4
' ∩ ∩ 0 = ' ∩ 0 =
' ∩ ∩ 0 = 4

100
ƒ = { ∈ / − 5 + 6 = 0}
= { ∈ / + − 6 = 0}
'[ ƒG G ƒ ∩ ] = ?
De: − 5 + 6 = 0
− 3 − 2 = 0
ƒ = { 2,3}
+ − 6 = 0
+ 3 − 2 = 0
= {−3, 2}
Se tiene que: ƒG = {−3,2,3}
ƒ ∩ = {2}
ƒG G ƒ ∩ = {−3,2,3}
'[ ƒG G ƒ ∩ ] = 3
101
= {
n6
7
/ 20 ≤ < 100, ∈ }

= {
n6
∈ 6
/ 5 < ≤ 10}
'[& ∩ ] =?
De: 20 ≤ < 100
Resolviendo la desigualdad:
20 ≤ ∧ < 100
20 − ≤ 0 ∧ − 100 < 0
|√20 − }|√20 + } ∧ − 10 + 10
]-10 , −√20 ] G [ √20 , 10[
] − 10, −9. −8, −7, −6, −5]G[ 5,6,7,8,9,10[
{-9,-8,-7,-6,-5, 5,6,7,8,9}
A = {-13/2, -23/4, -5, -17/4, -7/2, 4, 19/4, 11/2, 25/4, 7}
Para el calculo de B;
{ 6,7,8,9,10}
= {3, 4}
∩ = {4}
'[& ∩ ] = 2
'[& ∩ ] = 2
102
[ Â
∩ Â
∩ − Â]G ∆ =?
Â
= o

[ Â
∩ Â
∩ − Â ]G ∆ =
= [ A’ ’U A’ ∩ ∩ o
′ ]G ∆
= [ G o
∩ ∩ ]G[ − G − ]
= d ∩ ∩ ]G[ ∩ o
G ∩ o ]
= ∩ U [ ∩ o
G ∩ o ]
= [ ∩ G G o
] G ∩ o
= [ ∩ G o ]G o
∩
= ∩ d G o
∩
= G o
∩ − − − − − −cM^p('
= G
103
{[ A∆ ∩ − ] ∩ } − ′ ∩ ′
= {[[ − G − ] ∩ ∩ o
] ∩ } − ′ ∩ ′
= {[ ∩ o
G ∩ o ] ∩ ∩ o
] ∩ } − ′ ∩ ′
= {[ ∩ o
∩ [ ∩ o
∪ ∩ o
]] ∩ } − ′ ∩ ′
= { ∩ o
∩ } − ′ ∩ ′
= { ∩ ∩ ′} − ′ ∩ ′
= ∩ o
− ′ ∩ ′
= ∩ o
∩ ′ ∩ ′ ′
= ∩ o
∩ G

= ∩ [ o
∩ G ]
= ∩ B’∩A
= ∩A ∩ B’
= ∩ ′
= −
104
[ ′ ∩ ′G ∩ ′ ′]′∆ =
= [ AUB’ U A’UB ]’∆
= [ G ′ o
∩ o
G o]∆
= [ o
∩ ∩ ∩ ′ ]∆
= [ ∩ o
∩ ∩ o ]∆
= [ X ∩ X ]∆
= X∆
= X − G − X
= X ∩ o
G ∩ Xo
= |X G ∩ d }
= X G
= A

105
' G = 50 ; ' 0 = 19 ; ' = 28
' ∩ = 14 ; ' ∩ ∩ 0 = 6
' ∩ 0o
= 12 ; ' o
∩ ∩ 0 = 5=z
' ∩ o
∩ 0 = 1 =
' [ G0 ∩ o
] =?
= 8 + 6 + 5 + )
28 = 19 + ) ; ) = 9
0 = 1 + 6 + 5 + A
19 = 12 + A ; A = 7

De: ' ∩ 0o
= 12
12 = 8 + (
( = 4
' [ G0 ∩ o] = ( + + A
' [ G0 ∩ o] = 4 + 1 + 7
' [ G0 ∩ o] = 12

106
[ B’UA UB]’U { ∩ [ o
− 0o o
∩ ]} =
=[ B’UA ’∩ o
] G{ ∩ [ o
∩ 0′ ′]′ ∩ ]}
= [ ∩ o
∩ o]G { ∩ [ o
∩ 0 ′] ∩ ]}
= [ ∩ o
∩ o]G { ∩ [ G 0o
∩ ]}
= [ ∩ o
∩ o]G { ∩ }
= [ ∩ o
∩ o]G
=[A’∩ ∩ o
]G
=[A’∩ X ]G
=FG
=
107
= { ∈ / ~[ ≤ −2 ∨ > 3]}
~[ ≤ −2 ∨ > 3]
~ ≤ −2 ∧ ~ > 3
> −2 ∧ ≤ 3
∈ ] − 2, 3]

= { −1,0,1,2,3}
= { ∈ / ~ −1 < ≤ 3 → = 5}
~ −1 < ≤ 3 → = 5
~ ~ −1 < ≤ 3 ∨ = 5
−1 < ≤ 3 ∨ = 5
∈ ] − 1, 3, ] ∨ = 5
= { 1,2,3,5}
0 = { ∈ / < −2 ∨ ≥ 2 → > 1}
< −2 ∨ ≥ 2 → > 1
~ < −2 ∨ ≥ 2 ∨ > 1
~ < −2 ∧ ~ ≥ 2 ∨ > 1
x ≥ −2 ∧ < 2 ∨ > 1
∈ [−2,2[ ∨ > 1
∈ [−2, ∞ [
0 = {−2, −1, 0,1,2, − − − − −}
Se calcula: ∩ 0 ∆ ∩
∩ 0 = {1,2,3,5}
∩ = { 1,2,3}
∩ 0 ∆ ∩ = [ ∩ 0 − ∩ ]G[ ∩ −
∩ 0 ]
∩ 0 ∆ ∩ = {5} G ∅
∩ 0 ∆ ∩ = {5}

108
= { ∈ / 3 < ≤ 4}
= {4}
= { €/ € = ' , ' ∈ , ' ≤ 5}
= {1,4,9,16,25}
0 = { ∈ / YZ fCKCZM^ fY 30}
0 = {1,2,3,5,6,10,15,30}
De: A∩ G ∩ 0 =
A∩ = {4}
∩ 0 = {1}
A∩ G ∩ 0 = {1,4}
S = 1+4=5
109
' G = 30 ; ' − = 12
' − = 10

' + ' = ?
' − = ' − ' ∩
12 = ' − ' ∩ ----- 1
' − = ' − ' ∩
10 = ' − ' ∩ -------- 2
De 1 + 2 : 22 = ' + ' − 2' ∩
' G = 30
' G = ' + ' − ' ∩
30 = 22+2n A∩ − ' ∩
n A∩ = 8 = x
' = 12 + 8 = 20
' = 10 + 8 = 18
' + ' = 38
110
0 = {2,3}

= − G0
= { ∈ / − 2 − 5 + 6 = 0}
Factorizando: − 2 − 5 + 6 = 0
+ 2 − 4 + 3 = 0
+ 2 − 3 − 1 = 0
= { 1, 3}
= { ∈ / 2 − 7 + 3 = 0}
2 − 7 + 3 = 0
=
2± √74< 7
7
=
2±1
+
= 6
= 1
= {1,6}
De; = − G0
− = { 3}
= − G0 = {3}G {1,6}
= = {1,3,6}
P(D) = 23 = 8

111)
= V(, ∅, {∅}W, = +{∅}, V{∅}W3
a) (AUB) –(A∩ = {(, ∅, {{∅}}}
De: G = +(, ∅, {∅}, V{∅}W3
∩ = V{∅}W
(AUB) –(A∩ = {(, ∅, {{∅}}}
(AUB) –(A∩ = {(, ∅, {{∅}}} − − − d
II.) el número de elementos de P(A) es 8
' = 3
n[P(A)] = 25 ’
= 2 = 8
n[P(A)] = 8 ------------(V)
iii) P(A) ∩ & = +∅, V{∅}W3
& = { , ∅, {(}, {∅}, V{∅}W, {(, ∅}, V(, {∅}W, {∅, {∅}}
& = { , ∅, {{∅}}, {{{∅}}}}
P(A) ∩ & = {∅, V{∅}W}
P(A) ∩ & = +∅, V{∅}W3 − − − − − − d
Rpta) (a )

112)
Suma de: ∩ ∩ − G ∩ −
Se aprecia en el diagrama de Venn:
∩ ∩ − = ∅
G ∩ − = 6' + 1

Suma = 6' + 1
113)
' − − ' − = 12
' − − ' − = 6' + 1 − 3' + 1
3' = 12
3' = 12 ; ' = 4
' ∩ = 8 − 1 = 7
Subconjuntos propios = 22
− 1
= 127
114)

ƒ = { ∈ / ∈ ]8,17]}
ƒ = { 9,10,11,12,13,14,15,16,17}
= { ∈ / ∈ [12,21[}
= {12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Del diagrama de Venn, se aprecia que:
ƒ − = {9,10,11}
n ƒ − = 3
115
{[ BUA ∩ o
∩ 0 ] U A′} U B′ = ?
⊂ → G = G =
⊂ → o
⊂ ′
o
⊂ o
→ o
G o
= ′------ 1
{[ BUA ∩ o
∩ 0o
] U A′} U B′ =
= { o
G{[ BUA ∩ o
∩ 0 ]} U B′

= [A’U{[ B ∩ o
∩ 0 ]}G ′
= [A’U{[ B ∩ o
∩ 0 ]}G ′
= [A’U{[ F ∩ 0 ]}G ′
= [A’U ∅]}G ′
= o
G ′
De 1 : = ′
116
= { ∈ / 3 < 25}
Se tiene:
ƒ = { 1,2,3,4,5,6,7,8}
De: = { ∈ / 5 > 20}
= { 5,6,7,8, − − − −}
∩ = {5,6,7,8}
S= 5+6+7+8
B = 11 + 15
B = 26
117)

= { /
n
∈ ; 4 < < 11}
n
∈ ; 4 < < 11
= {3, 4, 5}
' = 3
Subconjuntos propios de A = 25 ’
− 1
Subconjuntos propios de A = 2 − 1
Subconjuntos propios de A = 7
118)
= V{2,1}, 3W ; = V{(, )}, 3, {2,1}W
− = ∈ ∧ ∉
Se tiene: − = {{a,b}}
119)
' = 6 ; ' = 3 ; ' ∩ = 2
∆ = − G −
∆ = G − ∩
' ∆ = '[ G − ∩ ]

= ' G − '[ G ∩ ∩ ]
G ∩ ∩ = [ ∩ G ] ∩
= ∩
' ∆ = ' G − ' ∩
' G = ' + ' − ' ∩
= 6+3-2
' G = 7
Se tiene que:
' ∆ = ' G − ' ∩
' ∆ = 7 − 2 = 5
' & ∆ = ?
Se obtiene lo solicitado:
' & ∆ = 25[Ä ’∆À ]
'|& ∆ } = 21
= 32
120)
' = 18 ; ' = 20 ; ' ∩ = 4
'[ G ∩ − ] =?

G ∩ − =
' G = ' + ' − ' ∩
= 18 + 20 − 4
= 34
G ∩ − = G −
= 34 − 20
= 14
121)
' G = 14 ; ' ∩ = 6
' + ' = ?
De: ' G = ' + ' − ' ∩
' + ' = ' G + ' ∩
' + ' = 14 + 6
' + ' = 20

122)
= { ∈ / YZ Cce(^, < 25}
= {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23}
= { / ∈ ; < 20}
= {1,2,3,4,5, − − − − −,17,18,19}
De: ∆ = G − ∩
G = { 1,2,3,4,5,6,7,8, − − − − −,19,21,23}
∩ = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
∆ = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,21,23}
' ∆ = 11
'[& ∆ ] = 25 ’∆À
'[& ∆ ] = 2
123)
= {2,3,4,5, − − − − −,50}
= { 2'/ ' ∈ , 1 < ' < 30}
= {4,6,8,10,12,14,16,18,20, − − −, 58}

Calcular: '[ G − ∩ ]
G = {2,3,4,5, − − − − −,50, 52,54,56,58}
∩ = { 4,6,8,10,12,14,16,18,20, − − −,50}
G − ∩ =
?
2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,52
, 54, 56, 58}
Å
'[ G − ∩ ] = 29
124)
# ƒ = 16 ; # = 64
Si: M= P(R)
16= 25 Æ
24 = 25 Æ
→ ' S = 4
N= P(T)
64= 25 Ç
26 = 25 Ç
→ ' ¼ = 6
Entonces: ' S + ' ¼ = 4+6
' S + ' ¼ = 10
125)

[ ƒG ′G ƒ ∩ ’]’∩ ƒ =
= [ ƒo
∩ o
G ƒo
G o ]o
∩ ƒ
= [ ƒo
∩ o o
∩ ƒo
G o o] ∩ ƒ
= [ ƒG ∩ ƒ ∩ ] ∩ ƒ
= [ƒ ∩ ƒG ] ∩ ] ∩ ƒ
= ƒ ∩ ∩ ƒ − − − − − cM^p('
= ƒ ∩ ƒ ∩
= ƒ ∩
126)
ƒ ⊂ ⊂ & → ƒ ∩ & = ƒ
ƒG G& = &
[ ƒ ∩ & G − & ]G [ ƒG G& ∩ − ƒ ] =?

= [ ƒ ∩ & G ∩ &′ ]G [ ƒG G& ∩ ∩ ƒ′ ]
= [ ƒG ∩ &o ]G[& ∩ ∩ ƒo ]
= [ ƒG ∩ ƒG&o ]G[ & ∩ ∩ ƒ′]
= [ ∩ ƒG&o ]G[ ∩ ƒ′]
= [ N ∩{ ƒG&o
Gƒ′ }
= ∩ { ƒGƒo
G &o
}
= ∩ {dG &o
}
= ∩ d
=
127)
U ⊂ ƒ
# ƒ’∩ = 7 ; # U = 11 ; # = 15
#[& ∩ U ] = 32
#[& ƒ − U ∩ ] =?
Se conoce que: ƒ’∩ = − ƒ
# ƒ − = 7
De: #[& ∩ U ] = 32
32 = 25 È∩É
21
= 25 È∩É

' ∩ U = 5
Además: ' GU = ' + ' U − ' ∩ U
' GU = 15 + 11 − 5
' GU = 21
= 21 −15
= 6
Del diagrama de Venn: n[(M-Q)∩ ] = 3
#[& ƒ − U ∩ ] =?
#[& ƒ − U ∩ ] = 2
#[& ƒ − U ∩ ] = 8
128)
# ƒ − = # & − = 12
# ƒG G& = 25 ; #[& ƒ ∩ & & ] = 16

De: & ƒ ∩ & = & ƒ ∩ & & , ZY ]CY'Y qY:
#[& ƒ ∩ & ] = #[& ƒ ∩ & & ] = 16
27
= 25 Ê∩Ä
' ƒ ∩ & = 4
Como:
# ƒG G& = ' + ' ƒ + ' & − ' ƒ ∩ −
' ƒ ∩ & − ' & ∩ + ' & ∩ ƒ ∩
25 = 12 + 12 + ' 0 − 0 − 4 − 0 − 0
25 = 20 + ' 0
' 0 = 5
129)]

' ƒ = 7 ; ' S = 9 ; ' ƒ ∩ S = 5 + 3 ; ' ƒGS = 63
'[ ƒGS ∩ S ∩ ƒo
] =?
63 = n(M) + ' S − ' S ∩ ƒ
63 = 7 + 9 − 5 − 3
66 =11x
= 6
De: S ∩ ƒo
= R-M
S ∩ ƒo
= 4 − 3
ƒGS ∩ S ∩ ƒo
] =
= ƒGS ∩ S − ƒ = S − ƒ
ƒGS ∩ S ∩ ƒo
] = 4 − 3
ƒGS ∩ S ∩ ƒo
] = 4(6)-3
ƒGS ∩ S ∩ ƒo
] = 21

130)
' G = 15 ; #& ƒo
∩ o
= 8
#& ƒ∆ = 128
#& ƒ ∩ = ?
#& ƒo
∩ o
= 25 ÊË∩ÈË
=8
2 = 25|ÊË∩ÈË}
' ƒo
∩ o
= 3
#& ƒ∆ = 25 Ê∆È
= 128
22
= 25 Ê∆È
' ƒ∆ = 7 = x+y
De: ƒo
∩ o
= ƒG o
= u= 3
Se tiene que: 15-3 = (x+y+z)
+ + € = 12
7+z= 12

€ = 5 = ' ƒ ∩
Por tanto : #& ƒ ∩ = 25 Ê∩È
#& ƒ ∩ = 21
#& ƒ ∩ = 32
131)
# ƒG = 16 ; # ƒ ∩ = 7
# ƒ + 3 = #
# ƒG = # ƒ + # − # ƒ ∩
16 = # ƒ + # ƒ + 3 − 7
2# ƒ = 20
# ƒ = 10
# = # ƒ + 3 = 13
Se calcula (N-M) =
' − ƒ = ' − ' ƒ ∩ = 13 − 7

' − ƒ = 6
Subconjuntos propios de N = 25
− 1
Subconjuntos propios de N = 2`
− 1
Subconjuntos propios de N = 63
132)
#& ƒ ∩ = 1 ; # & − ƒ = 2# ƒ ∩ & = 12
#[&o
G ƒ ∩ &o ] = 40 ; ' G =?
G = ƒG G&
#& ƒ ∩ = 1 → #& ƒ ∩ = 25 Ê∩È
= 1
2a
= 25 Ê∩È
' ƒ ∩ = 0 → ƒ ∩ = ∅
# & − ƒ = = 2# ƒ ∩ & =12

# ƒ ∩ & = 6
Se conoce que: #[&o
G ƒ ∩ &o ] = 40
&o
G ƒ ∩ &o
= &o
G &o
∩ ƒ = &o
&o
=40
&o
= G − &
40 = U-P
40 = G − 18
' G = 58
133)
ƒ ∩ & = & ; # &o
= 150 ; # ƒo
∩ o
= 90
#[ ƒG& − &] = 6# & ; # G =?
# ƒo
∩ o
= # ƒG ′=90

ƒG& − & = ƒ − &
# ƒ − & = 6# &
# ƒ − # ƒ ∩ & = 6# &
# ƒ − # & = 6# &
# ƒ = 7# &
# &o
= 150 → 150 = U-P
# ƒG ′=90 → 90 = G − ƒG
90 = G − [ + ƒ − ƒ ∩ ]
90 = G − [ + 7& − ]
90= U – 7P
Y: 150 = 90 + 7# & − # &
6# & = 60
# & = 10
' G = 150 + ' &
' G = 160
134)

La zona (1) es: h − ƒ
La zona (2) es: − ƒ
La zona no rayada es la unión de: LUN
La zona 3 y 4 será: ∈ ƒ ∉ hG
∈ [ƒ − hG ]
Luego la zona rayada es:
: h − ƒ G − ƒ G [ƒ − hG ]

135)
+ + € + 5 = 45
+ + € = 40 = G
'M e^(A]CA(' ([Yf^Y€ = ’
o
= G − ; = 45 − 15 = 30
'M e^(A]CA(' f(c(Z = ’
o
= G − ; = 45 − 25 = 20
' G = ' + ' − ' ∩
40 = 30 + 20 − ' ∩
' ∩ = 50 − 40
' ∩ = € = 10

136)
' ∩ 0 = 20
€ = (e^Y)(' ' ZMgM A^ZM
€ = + +
U-10 = x+y+20+n(A)
120-10 = x+y+n(A)+20
+ + ' = 110 − 20
Z= + + ' = 90

137)
Realizando el diagrama de Carroll:
De los datos se trata de llenar el cuadro,
= 60 − 15 = 45
= 40 − 12 = 28
Los hombres que no estudian historia = 15

138)
U > 50
−
n
7
< 60 →
7
< 60
< 80
∈ G = ]50, 80[
El número de personas en el aula está entre:
∈ ]50,80[
El único divisor de 9 es: 72 y además es divisor de
4
→ ZY ^Y]C^(' 18 eY^ZM'(Z
y= mujeres
=
2
4
= 8 c[Y^YZ
varones = 72-8 = 64
139)

Se tiene que”
135= 30+15+25+35+z+y
50 = z+x+y+15
+ + € = 35
135= 30+15+25+35+35-x
= 140 − 135
= 5
140)

Se tiene:
( = 36 − + + 1
) = 34 − 1 + + €
A = 25 − 1 + + €
( + ) + A = 93 − 2 + + €
Además:
( + ) + A + 1 + + + € = 72
+ + € = 71 − ( + ) + A
De:
( + ) + A = 93 − 2 + + €
( + ) + A = 93 − 2|71 − ( + ) + A }
(a+b+c) = 49
2 + + € = 93 − ( + ) + A
2 + + € = 93 − 49

+ + € = 22 → 2 ]^'MZ
141)
El diagrama de Venn es:
+
n
+ + 3 ; +
n
= + 100 + 10 = 180
+ +
4
= 70
2 + 3 + 9 = 140
14 = 140
= 10
Solo cantantes =x

= 10
142)
Del diagrama de Venn, se aprecia que:
G = 6 + 4 + 0 + 20 + 24 + 17 + €
100 = 71 + €
€ = 29
€ = fCZYñ(fM^YZ qY ℎ()g(' YZe(ñMg M C'pgéZ
€ = 29

143)
' &0 ∩ B0 ∩ ¼0 = 10; ' &0 = 40
' B0 = 39 ; ' ¼0 = 48 ; ' &0 ∩ B0 ∩ ¼0o
= 9
' &0o
∩ B0o
∩ ¼0 = 19 ; ' &0 ∩ B0 ∩ ¼0 o
= 21
' &0GB0G¼0 = 40 + 39 + 48
' &0GB0G¼0 = 127
U-21= 100-21 = 79
Se tiene un exceso: 127-79 = 48, debido a que se repiten: 2
veces 10, una vez 9, x e y
48 = 2(10)+x+y+9
x+y = 19

€ = eY^ZM'(Z qY eM^ gM cY'MZ (eg(fY' ( fMZ A('](']YZ
€ = + + 9 + 10
€ = 19 + 9 + 10
€ = 38 eY^ZM'(Z
144)
U= a+b+c+x+7-x+8-x+9-x
42 = ( + ) + A + 24 − 2
18 = ( + ) + A − 2
n(HUMUL)= 19+21+23
n(HUMUL)= 63

63-U = 63-42 = 21 ; exceso de alumnos, por tanto se
tiene:
21 = 2x+7-x+8-x+9-x
21 = 24 −
= 3
Z – solo una de los cursos=a+b+c
18 = ( + ) + A − 2
( + ) + A = 18 + 3 = 18 + 2 3
Z=a+b+c = 24
145)

' G Xd ∩ G0 = ; n(NFV-UC)=3x
' G Xd = 5' G0
' G Xd G G0 =n(UNFV)+n(UC)-n(G Xd ∩ G0
' G Xd = 4 ; n(UC)=
7
1
G = 3 + +
7
1
72= 4x+
7
1
; 72 =
7
1
= 15
= (gc'MZ qY eMZ]g(' ( '( ZMg( G
= 3 +
7
1
=
4
1
=
4
1
15 = 57
146)

Hombres que tienen celular o reloj = 100- (70)
= 30
€ = eY^ZM'(Z qY ]CY'Y' AYgg(^ M ^YgM[ AMcM cá CcM
€ = 30 + 20 + 25
€ = 75
147)

' G = 29; ' ^C] ∩ ∩ Í = 2
( + ) + + + 2 + € = 9 + 2
( + + 2 + + € + A = 11 + 2
) + A + + 2 + € + = 7 € + 2
( + ) + A + 2 + + + € = 29 ------(4)
De (4): ( + ) + A + 2 + + + € = 29
( + ) + A + + + € = 27
+ + € = 27 − ( + ) + A
( + ) + + + 2 + € = 9 + 2
( + ) + 29 − ( − ) − A = 9 + 2
29 − A = 9 + 2 -------(a)
( + + 2 + + € + A = 11 + 2
( + A + 2 + 27 − ( − ) − A = 11 + 2
29 − ) = 11 + 2 ---------(b)
) + A + + 2 + € + = 7 € + 2
29 − ( = 7 € + 2 ----------( c)

Sumando (a), (b) y (c ):
87 –(a+b+c) = 9x+18+11y+22+7z+14
87 –27+x+y+z = 9x+18+11y+22+7z+14
60+x+y+z = 9x+18+11y+22+7z+14
46 = 8 + 10 + 6€ + 40
6 = 2 4 + 5 + 3€
4 + 5 + 3€ = 3
Como x,y,z ∈ 6
, se puede apreciar que se cumple para z=1 ,
y=0, x=0
De:
29 − A = 9 + 2 -------(a)
29 − A = 18
A = 11
De: 29 − ( = 7 € + 2 ; 29 − ( = 7 1 + 2
( = 8 − − − ZMgM (^C]cé]CA(

148)
Se construye con los datos el diagrama de Venn:
' ¼ = 29 ; ' > − ¼ = 12
' = # hombres que estudian y no trabajan
' = 36 − 21 = 15
Numero de mujeres que trabajan = 19-17=12
€ = 56 − 24
€ = 32 = c[Y^YZ qY 'M YZ]fC(' 'C ]^()([('
149)

∩ 0 = 0 → 0 ⊂
' 0o
= 150 ; ' o
∩ o
= 90
'| G − 0µ = 6' 0
o
∩ o
= G o
' o
∩ o
= '[ G o] = 90
( + ) + A = 6' 0
0o
= 150 = 90 + ( + ) + A
( + ) + A = 60
60 = 6' 0 ; ' 0 = 10
U= 10+a+b+c+90 = 10+60+90
' G = 160

150)
U =120
El diagrama de Venn es:
28 = 3 +
= 7
Casaca =40
40 = + + 9 + 12
40 = 7 + + 21
= 12
= K(^M'YZ AM' A(Z(A( qY 'M ggYK(^M' ^YgM[
= 12

151)
' Í = 73
' G = ' Í + 12 +
100 = 73 + 12 +
= 100 − 85
= 15 = hombres que no estudian geografía
152)

' ƒ = 40% ; ' = 55% ; ' & = 35%
' ƒ ∩ = 12% ; ' ∩ & = 19%
' ƒ ∩ & = 15% ; ' ƒ ∩ ∩ & = 7%
' ƒ ∩ ∩ & o
= 135
= ' ƒ ∩ − 7 = 5
= ' ∩ & − 7 = 12
€ = ' ƒ ∩ & − 7 = 8
( = ' ƒ − + € + 7 = 40 − 20
( = 20%
) = ' − + + 7 = 55 − 24
( = 31%
A = ' & − € + + 7 = 35 − 27
( = 8%
' ƒG G& = ( + ) + A + 7 + + + €
' ƒG G& = 20 + 31 + 8 + 5 + 7 + 8 + 12 %
' ƒG G& = 59 + 32 = 91%

De: U- u =91
= 100 − 91 = 9%
Por tanto: 135 e − − − − − 9%
U ------------------ 100%
G =
aa∗ 1
4
= 1500
' G = 1500 eY^ZM'(Z
153)
' h = 18 ; ' ƒ = 25 ; n(L∩ ƒ ′ = 7
G − 7 = ( + ) +
( + ) + = 33
L+M= 18+25= 43
43-33 = 10 , exceso debido a que se
considera demás, una vez a x:

por tanto: 10 = x
= 10
154)
Realizando el respectivo diagrama de Carrol, en el que se coloca
los que no cumplen con las condiciones, se tiene:
&o
= 120 − 0.8 120 = 24
>o
= 120 − 0.75 120 = 30
0o
= 120 − 0.9 120 = 12
To
= 120 − 0.7 120 = 36
X+Y+Z+C+I= cumplen con los requisitos
X+Y+Z+C+I = 120-(24+30+12+36)
X+Y+Z+C+I = 18

155)
' = 22 ; ' = 24 ; ' 0 = 20
( + ) + A + + + € + ¸ = 35
( + ) + A = e^YiCY^Y' ' e^MfA]M
( + ) + A = 5
De: ( + ) + A + + + € + ¸ = 35
+ + € + ¸ = 35 − 5
+ + € + ¸ = 30
Además : 22+24+20 = a+y+x+z+b+y+x+w+c+x+z+w
66 = ( + ) + A + 3 + 2 + 2€ + 2¸
66 = 5 + 3 + 2 + 2€ + 2¸
3 + 2 + 2€ + 2¸ = 61
3 + 2 + € + ¸ = 61

3 + 2 30 − = 61
3x +60-2x =61
= 1 ------prefieren 3 productos
156)
El Diagrama de Carrol con la información dada es:
= 20 − 12 = 8 ; ¸ = 24 − 8 = 16
14 + = 29
= 15
X= no bailan y no tienen ojos negros ni pardos, ni son
Mujeres

22 = ‡ + = ‡ + 15
‡ = 7
157)
n(A∩ X ∩ = 15; ' = 52 ; ' = 55
n(A∩ ′ ∩ X′ = 12 ; X ⊂ ; n(A∩ ∩ X ′ = 15
= 12 = n(A∩ ′ ∩ X′

52 = 12+y+15+z
55 = 15 + € +
80 = 12 + + 15 + € +
F
25 = + €
40 = € +
53 = + € +
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene”
= 13 ; € = 12; = 28
= e^(A]CA(' ZMgM i])Mg (]gYY]CZcM
= 13
158)
El diagrama de Carrol es:
n(H) = 30+21 = 51

z= hombres que estudian
€ = 51 − 36 = 15
Como x+z= 30 ; x =15
De: x+y = 29 ; y = 29-15= 14
Como se tiene 56 mujeres: 56-(y+12)
= 56 − 26
= 30
… … c[Y^YZ qY 'M YZ]fC(' 'C ]^()([('
159)
' XGÍ = 30; ' X − Í = 12 ; ' Í − X = 10
' XGÍ = ' X + ' Í − ' X ∩ Í
' X − Í = ' X − ' X ∩ Í
12 = ' X − ' X ∩ Í --------(1)

' Í − X = ' Í − ' X ∩ Í
10 = ' Í − ' X ∩ Í --------(2)
De (1)+(2):
22= ' X + ' Í − 2' X ∩ Í
2' X ∩ Í = ' X + ' Í − 22
De: ' XGÍ = ' X + ' Í − ' X ∩ Í
30 = ' X + ' Í − ' X ∩ Í
60 = 2 ' X + 2' Í − 2' X ∩ Í
60 = 2 ' X + 2' Í − ' X − ' Í + 22
' X + ' Í = 60 − 22
' X + ' Í = 38

EJERCICIOS DE CONJUNTOS

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

More from Widmar Aguilar Gonzalez

More from Widmar Aguilar Gonzalez (20)

EJERCICIOS DE CONJUNTOS