Metodos numericos solucion de algunos problemas propuestos por diferentes metodos

1. Alumno: Sergio Abraham González Sainz
Materia: Métodos numéricos II
Profesora: Teresa Carrillo Ramírez
Contenido:
1.Introduccion a las ecuaciones no lineales
1. Método de punto fijo
2. Método de Newton-Raphson
3. Método de Newton modificado
4. Método de Broyden
2. Interpolacion y aproximacion polinomial
1. Método de Lagrange
2. Diferencias divididas
3. Diferencias de Newton
4. Método de Hermite
5. Spline cubico
6. Mínimos cuadrados
3.Diferenciación e integración numérica
1. Métodos de diferencias progresivas y centradas

2. Punto Fijo
Dado un punto X0= (2,0,0)
En cada función se realiza el despeje de una variable sea x, y o z de manera que se formen las funciones
Gi(x) de la siguiente manera que tenga la forma
Ya hechas las derivada pasamos a evaluarlas en el punto X0= (2,0,0) y
hacemos las suma del valor absoluto de cada una de ellas para
comprovar por teorema de Mathews & Fink si exite un convergencia con
un erro de 0.00000003

3. Metodo de Newton-Raphson
Dado el sistema de acuaciones no lineales
𝑑𝑓1
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑓2
𝑑𝑥
= 𝑦𝑧
𝑑𝑓3
𝑑𝑥
= 1
𝑑𝑓1
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑𝑓2
𝑑𝑦
= 𝑥𝑧
𝑑𝑓3
𝑑𝑦
= 1
𝑑𝑓1
𝑑𝑧
= 2𝑧
𝑑𝑓2
𝑑𝑧
= 𝑥𝑦
𝑑𝑓3
𝑑𝑧
= −2𝑧
Con el primer vector X = (2,0,3) y un error aproximado de 0.0001
i Xi F(Xi) F'(Xi) F'(Xi)-1 F(Xi) error
0 2.00000 4.00000 4.00000 0.00000 6.00000 -0.56667
0.00000 -1.00000 0.00000 6.00000 0.00000 -0.16667
3.00000 -7.00000 1.00000 1.00000 -6.00000 1.04444
1 2.56667 1.43975 5.13333 0.33333 3.91111 0.06892 1.19990
0.16667 -0.16346 0.32593 5.01926 0.32593 -0.05538
1.95556 -1.09086 1.00000 1.00000 -3.91111 0.28238
2 2.49774 0.08755 4.99549 0.44409 3.34636 0.00601 0.29590
0.22204 -0.07204 0.37152 4.17917 0.37152 -0.01953
1.67318 -0.07974 1.00000 1.00000 -3.34636 0.01979
3 2.49174 0.00081 4.98347 0.48315 3.30678 0.00036 0.02844
0.24158 -0.00476 0.39942 4.11981 0.39942 -0.00118
1.65339 -0.00039 1.00000 1.00000 -3.30678 -0.00013
4 2.49137 0.00000 4.98275 0.48550 3.30704 0.00000 0.00124
0.24275 0.00003 0.40140 4.11954 0.40140 0.00001
1.65352 0.00000 1.00000 1.00000 -3.30704 0.00000
5 2.49138 0.00000 4.98275 0.48549 3.30704 0.00000 0.00001
0.24275 0.00000 0.40138 4.11953 0.40138 0.00000
1.65352 0.00000 1.00000 1.00000 -3.30704 0.00000

4. Metodo de newton
Metodo simultaneao
𝑑𝑓1
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑓2
𝑑𝑦
= 𝑥𝑧
𝑑𝑓3
𝑑𝑧
= −2𝑥
x y z f1 f2 f3 df1/dx df2/dy df3/dz error
2.00000 0.00000 2.00000 -1.00000 -1.00000 -2.00000 4.00000 4.00000 -4.00000
2.25000 0.25000 1.50000 -1.62500 -0.15625 0.25000 4.50000 3.37500 -3.00000 0.61237
2.61111 0.29630 1.58333 0.41264 0.22497 0.40046 5.22222 4.13426 -3.16667 0.37348
2.53210 0.24188 1.70980 0.39341 0.04719 -0.14942 5.06419 4.32937 -3.41959 0.15874
2.45441 0.23098 1.66610 -0.14663 -0.05545 -0.09050 4.90882 4.08929 -3.33220 0.08980
2.48428 0.24454 1.63894 -0.08242 -0.00433 0.04269 4.96856 4.07159 -3.27788 0.04259
2.50087 0.24560 1.65197 0.04366 0.01468 0.01748 5.00174 4.13135 -3.30393 0.02112
2.49214 0.24205 1.65726 0.01585 -0.00030 -0.01231 4.98428 4.13012 -3.31451 0.01081
2.48896 0.24212 1.65354 -0.01225 -0.00351 -0.00312 4.97792 4.11560 -3.30709 0.00489
2.49142 0.24298 1.65260 -0.00270 0.00042 0.00331 4.98284 4.11732 -3.30520 0.00277
2.49196 0.24288 1.65360 0.00327 0.00082 0.00044 4.98393 4.12071 -3.30720 0.00114
2.49131 0.24268 1.65373 0.00034 -0.00018 -0.00086 4.98261 4.11996 -3.30747 0.00070
2.49124 0.24272 1.65348 -0.00083 -0.00018 -0.00002 4.98248 4.11920 -3.30695 0.00027
2.49141 0.24277 1.65347 0.00000 0.00006 0.00021 4.98281 4.11946 -3.30694 0.00017
2.49141 0.24275 1.65353 0.00020 0.00004 -0.00001 4.98281 4.11962 -3.30707 0.00007
Método sucesivo
x y z f1 f2 f3 df1/dx df2/dy df3/dz error
2.00000 0.00000 2.00000 -1.00000 -1.00000 -1.52778 4.00000 4.50000 -4.00000
2.25000 0.22222 1.61806 -1.27001 -0.08949 0.15819 4.50000 4.09728 -3.23611 0.50770
2.53223 0.24406 1.66694 0.25041 0.01009 -0.05427 5.06445 4.13864 -3.33387 0.28726
2.48278 0.24163 1.65066 -0.05275 -0.00553 0.01170 4.96556 4.11576 -3.30132 0.05211
2.49340 0.24297 1.65420 0.01248 0.00114 -0.00279 4.98681 4.12045 -3.30840 0.01128
2.49090 0.24269 1.65336 -0.00292 -0.00027 0.00065 4.98180 4.11932 -3.30672 0.00266
2.49149 0.24276 1.65356 0.00068 0.00006 -0.00015 4.98297 4.11958 -3.30711 0.00062
2.49135 0.24274 1.65351 -0.00016 -0.00002 0.00004 4.98270 4.11952 -3.30702 0.00015
2.49138 0.24275 1.65352 0.00004 -1.00000 -2.73413 4.98276 0.00000 -3.30704 0.00003

5. Método de Broyden
Resolver el siguiente sistema por el método de Broyden
𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
− 4𝑥 + 𝑦2
𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
− 𝑥 − 12𝑦
𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2
− 12𝑥+𝑦2
− 3𝑧2
+ 8
Se realizan las derivadas parciales de cada función para posteriormete utilizarlas en la matriz
jacobiana
𝑑𝑓1
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 4
𝑑𝑓2
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 1
𝑑𝑓3
𝑑𝑥
= 6𝑥 − 12
𝑑𝑓1
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑𝑓2
𝑑𝑦
= −12
𝑑𝑓3
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑𝑓1
𝑑𝑧
= 0
𝑑𝑓2
𝑑𝑧
= 0
𝑑𝑓3
𝑑𝑧
= −6𝑧
Evaluamos las derivadas en la matriz jacobiana en el vector X1(1,1,1)
J=[
−2 2 0
1 −12 0
−6 2 −6
]
i Xi F(Xi) (Ai)-1 Xi+1 F(Xi+1) ∆Xi+1 ∆F(Xi+1) Num Div error
0 1.0000 -2.0000 -0.5455 -0.0909 0.0000 -1.0909 5.5620 2.0909 -7.5620 6.3166 1.2477 -0.7018 16.8951 2.6586
1.0000
-
11.0000 -0.0455 -0.0909 0.0000 -0.0909 4.3719 1.0909 -15.3719 1.1971 0.2365 -0.1330
1.0000 -3.0000 0.5303 0.0606 -0.1667 2.2273 9.7872 -1.2273 -12.7872 -2.9147 -0.5757 0.3239
1 -1.0909 5.5620 -0.1716 -0.0171 -0.0415 0.3446 -1.2268 -1.4355 6.7887 0.1728 0.0229 -0.0130 3.1348 1.6042
-0.0909 4.3719 0.0254 -0.0769 -0.0079 0.1811 -1.3994 -0.2720 5.7713 0.0480 0.0064 -0.0036
2.2273 9.7872 0.3578 0.0265 -0.1475 1.5649 -3.0925 0.6624 12.8797 -0.0095 -0.0013 0.0007
2 0.3446 -1.2268 -0.1614 -0.0157 -0.0423 -0.0062 0.0318 0.3508 -1.2586 0.0017 0.0004 0.0004 0.1420 0.3646
0.1811 -1.3994 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0837 0.0023 0.0975 -1.4017 0.0002 0.0001 0.0000
1.5649 -3.0925 0.3572 0.0265 -0.1475 1.5841 0.5531 -0.0192 -3.6456 0.0043 0.0009 0.0009
3 -0.0062 0.0318 -0.1612 -0.0157 -0.0423 0.0224 -0.0813 -0.0286 0.1131 -0.0007 0.0000 0.0004 0.0094 0.0758
0.0837 0.0023 0.0283 -0.0765 -0.0081 0.0874 -0.0708 -0.0037 0.0731 -0.0001 0.0000 0.0001
1.5841 0.5531 0.3575 0.0265 -0.1474 1.6542 -0.4685 -0.0701 1.0216 -0.0008 0.0000 0.0004
4 0.0224 -0.0813 -0.1613 -0.0157 -0.0423 -0.0117 0.0533 0.0340 -0.1346 -0.0002 0.0000 0.0002 0.0044 0.0516
0.0874 -0.0708 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0805 0.0458 0.0069 -0.1165 0.0000 0.0000 0.0000
1.6542 -0.4685 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6161 0.3115 0.0381 -0.7800 -0.0002 0.0000 0.0002
5 -0.0117 0.0533 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0108 -0.0359 -0.0225 0.0892 -0.0001 0.0000 0.0001 0.0020 0.0344
0.0805 0.0458 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0850 -0.0309 -0.0045 0.0766 0.0000 0.0000 0.0000
1.6161 0.3115 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6418 -0.2082 -0.0256 0.5196 -0.0001 0.0000 0.0001

6. 6 0.0108 -0.0359 -0.1613 -0.0157 -0.0423 -0.0043 0.0238 0.0151 -0.0597 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0229
0.0850 -0.0309 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0820 0.0205 0.0030 -0.0514 0.0000 0.0000 0.0000
1.6418 -0.2082 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6247 0.1387 0.0170 -0.3469 0.0000 0.0000 0.0000
7 -0.0043 0.0238 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0058 -0.0159 -0.0100 0.0397 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0153
0.0820 0.0205 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0840 -0.0137 -0.0020 0.0342 0.0000 0.0000 0.0000
1.6247 0.1387 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6361 -0.0927 -0.0114 0.2314 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0058 -0.0159 -0.1613 -0.0157 -0.0423 -0.0009 0.0106 0.0067 -0.0266 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0102
0.0840 -0.0137 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0827 0.0091 0.0013 -0.0228 0.0000 0.0000 0.0000
1.6361 -0.0927 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6285 0.0618 0.0076 -0.1544 0.0000 0.0000 0.0000
9 -0.0009 0.0106 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0035 -0.0071 -0.0045 0.0177 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0068
0.0827 0.0091 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0835 -0.0061 -0.0009 0.0152 0.0000 0.0000 0.0000
1.6285 0.0618 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6336 -0.0412 -0.0051 0.1030 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.0035 -0.0071 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0005 0.0047 0.0030 -0.0118 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0045
0.0835 -0.0061 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0829 0.0041 0.0006 -0.0102 0.0000 0.0000 0.0000
1.6336 -0.0412 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6302 0.0275 0.0034 -0.0688 0.0000 0.0000 0.0000
11 0.0005 0.0047 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0025 -0.0032 -0.0020 0.0079 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0030
0.0829 0.0041 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0833 -0.0027 -0.0004 0.0068 0.0000 0.0000 0.0000
1.6302 0.0275 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6325 -0.0184 -0.0023 0.0459 0.0000 0.0000 0.0000
12 0.0025 -0.0032 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0012 0.0021 0.0013 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0020
0.0833 -0.0027 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0831 0.0018 0.0003 -0.0045 0.0000 0.0000 0.0000
1.6325 -0.0184 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6310 0.0123 0.0015 -0.0306 0.0000 0.0000 0.0000
13 0.0012 0.0021 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0021 -0.0014 -0.0009 0.0035 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014
0.0831 0.0018 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0833 -0.0012 -0.0002 0.0030 0.0000 0.0000 0.0000
1.6310 0.0123 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6320 -0.0082 -0.0010 0.0204 0.0000 0.0000 0.0000
14 0.0021 -0.0014 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0015 0.0009 0.0006 -0.0023 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009
0.0833 -0.0012 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0831 0.0008 0.0001 -0.0020 0.0000 0.0000 0.0000
1.6320 -0.0082 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6313 0.0055 0.0007 -0.0136 0.0000 0.0000 0.0000
15 0.0015 0.0009 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0019 -0.0006 -0.0004 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006
0.0831 0.0008 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0832 -0.0005 -0.0001 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000
1.6313 0.0055 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6318 -0.0036 -0.0004 0.0091 0.0000 0.0000 0.0000
16 0.0019 -0.0006 -0.1613 -0.0157 -0.0423 0.0016 0.0004 0.0003 -0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004
0.0832 -0.0005 0.0282 -0.0765 -0.0081 0.0832 -0.9996 0.0001 0.9991 0.0000 0.0000 0.0000
1.6318 -0.0036 0.3574 0.0265 -0.1474 1.6315 0.0024 0.0003 -0.0061 0.0000 0.0000 0.0000

7. Evaluamos las derivadas en la matriz jacobiana en el vector X1(3,1,1)
J=[
−2 2 0
1 −12 0
−6 2 −6
]
i Xi F(Xi) (Ai)-1 Xi+1 F(Xi+1) ∆Xi+1 ∆F(Xi+1) Num Div error
0 3.0000 -2.0000 0.3529 0.0588 0.0000 4.0000 1.0000 -1.0000 -3.0000
-
0.2281
-
0.0323 0.0343 1.6949 1.1180
1.0000 -5.0000 0.1471 -0.0588 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 -6.0000
-
0.0489
-
0.0069 0.0074
1.0000 -3.0000 0.4020 0.0392 -0.1667 1.5000 2.2500 -0.5000 -5.2500
-
0.0367
-
0.0052 0.0055
1 4.0000 1.0000 0.3394 0.0569 0.0020 3.5991 -0.6074 0.4009 1.6074
-
0.0426
-
0.0049 0.0024 0.2740 0.4151
1.0000 1.0000 0.1442 -0.0592 0.0004 0.9141 -0.6148 0.0859 1.6148
-
0.0090
-
0.0010 0.0005
1.5000 2.2500 0.3998 0.0389 -0.1663 1.4356 -1.6758 0.0644 3.9258 0.0021 0.0002
-
0.0001
2 3.5991 -0.6074 0.3369 0.0566 0.0022 3.8422 0.3261 -0.2431 -0.9335
-
0.0111
-
0.0013
-
0.0003 0.0955 0.2488
0.9141 -0.6148 0.1436 -0.0593 0.0005 0.9657 0.3322 -0.0516 -0.9470
-
0.0023
-
0.0003
-
0.0001
1.4356 -1.6758 0.3999 0.0389 -0.1663 1.4236 1.0331 0.0119 -2.7090 0.0024 0.0003 0.0001
3 3.8422 0.3261 0.3363 0.0565 0.0022 3.7115 -0.1907 0.1307 0.5168
-
0.0028
-
0.0004
-
0.0004 0.0298 0.1365
0.9657 0.3322 0.1435 -0.0593 0.0005 0.9381 -0.1933 0.0276 0.5256
-
0.0006
-
0.0001
-
0.0001
1.4236 1.0331 0.4001 0.0389 -0.1663 1.4521 -0.6579 -0.0285 1.6910 0.0009 0.0001 0.0001
4 3.7115 -0.1907 0.3361 0.0565 0.0021 3.7879 0.1074 -0.0764 -0.2981
-
0.0008
-
0.0001
-
0.0002 0.0107 0.0822
0.9381 -0.1933 0.1435 -0.0593 0.0005 0.9543 0.1091 -0.0162 -0.3024
-
0.0002 0.0000 0.0000
1.4521 -0.6579 0.4001 0.0389 -0.1663 1.4265 0.3961 0.0256 -1.0540 0.0003 0.0000 0.0001
5 3.7879 0.1074 0.3361 0.0565 0.0021 3.7448 -0.0622 0.0431 0.1695
-
0.0002 0.0000
-
0.0001 0.0036 0.0478
0.9543 0.1091 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9452 -0.0631 0.0091 0.1722 0.0000 0.0000 0.0000
1.4265 0.3961 0.4001 0.0389 -0.1663 1.4452 -0.2387 -0.0187 0.6349 0.0001 0.0000 0.0000
6 3.7448 -0.0622 0.3360 0.0565 0.0021 3.7698 0.0356 -0.0250 -0.0977
-
0.0001 0.0000 0.0000 0.0013 0.0284
0.9452 -0.0631 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9505 0.0361 -0.0053 -0.0992 0.0000 0.0000 0.0000
1.4452 -0.2387 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4328 0.1413 0.0124 -0.3800 0.0000 0.0000 0.0000
7 3.7698 0.0356 0.3360 0.0565 0.0021 3.7555 -0.0206 0.0143 0.0561 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0166
0.9505 0.0361 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9474 -0.0209 0.0030 0.0570 0.0000 0.0000 0.0000
1.4328 0.1413 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4407 -0.0834 -0.0079 0.2247 0.0000 0.0000 0.0000
8 3.7555 -0.0206 0.3360 0.0565 0.0021 3.7638 0.0118 -0.0083 -0.0324 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0097
0.9474 -0.0209 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9492 0.0120 -0.0017 -0.0329 0.0000 0.0000 0.0000
1.4407 -0.0834 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4358 0.0489 0.0048 -0.1322 0.0000 0.0000 0.0000
9 3.7638 0.0118 0.3360 0.0565 0.0021 3.7590 -0.0068 0.0048 0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0057
0.9492 0.0120 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9482 -0.0069 0.0010 0.0190 0.0000 0.0000 0.0000
1.4358 0.0489 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4387 -0.0286 -0.0029 0.0774 0.0000 0.0000 0.0000
10 3.7590 -0.0068 0.3360 0.0565 0.0021 3.7618 0.0040 -0.0028 -0.0108 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0033
0.9482 -0.0069 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9488 0.0040 -0.0006 -0.0110 0.0000 0.0000 0.0000
1.4387 -0.0286 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4370 0.0166 0.0017 -0.0452 0.0000 0.0000 0.0000
11 3.7618 0.0040 0.3360 0.0565 0.0021 3.7602 -0.0023 0.0016 0.0062 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0019

8. 0.9488 0.0040 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9484 -0.0023 0.0003 0.0063 0.0000 0.0000 0.0000
1.4370 0.0166 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4380 -0.0097 -0.0010 0.0263 0.0000 0.0000 0.0000
12 3.7602 -0.0023 0.3360 0.0565 0.0021 3.7611 0.0013 -0.0009 -0.0036 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011
0.9484 -0.0023 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9486 0.0013 -0.0002 -0.0037 0.0000 0.0000 0.0000
1.4380 -0.0097 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4374 0.0056 0.0006 -0.0153 0.0000 0.0000 0.0000
13 3.7611 0.0013 0.3360 0.0565 0.0021 3.7606 -0.0008 0.0005 0.0021 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006
0.9486 0.0013 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9485 -0.0008 0.0001 0.0021 0.0000 0.0000 0.0000
1.4374 0.0056 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4378 -0.0033 -0.0004 0.0089 0.0000 0.0000 0.0000
14 3.7606 -0.0008 0.3360 0.0565 0.0021 3.7609 0.0004 -0.0003 -0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004
0.9485 -0.0008 0.1434 -0.0593 0.0005 0.9486 0.0004 -0.0001 -0.0012 0.0000 0.0000 0.0000
1.4378 -0.0033 0.4001 0.0390 -0.1663 1.4376 0.0019 0.0002 -0.0052 0.0000 0.0000 0.0000

9. Método de Lagrange
Obtener una estimación para presión en el soplete
con un espesor de 12mm por el método de
Lagrange
Se dará paso a la obtención de los polinomios de 1er, 2do, 3ro y 4to grado:
Comenzando con el primero realizado en Excel
10 15
12 2 -3 Num div Coef.Llagran.
10 1.5 1 -5 -3 -5 0.6 res
15 2 5 1 2 5 0.4 1.7
Donde la diagonal principal siempre será 1(celdas en amarillo), la celda de color azul
representa el número a interpolar y las celdas de color naranja es el valor del
espesor, así como su correspondiente verde el valor de la presión, las celdas en rosa
es la diferencia del valor a interpolar, 12, y el valor del espesor y la celda de color
rojo es el polinomio del grado calculado evaluado en 12.
Los valores en gris es la multiplicación de los elementos a los que no les
corresponda un ‘1’ como se ven señalado en la siguiente imagen:
Valores recomendados para
unicorte
Espesor Presión Velocidad
5 1.5 20
8 1.5 17
10 1.5 15
15 2 12
20 2.5 11.5
25 2.5 10
30 2.5 9.5
40 3 8.5
50 3.5 7
75 4 5.5
100 4 4.5

10. Con eso dado se presentará las cuatro polonomios en sus respectivos grados
1er
10 15
12 2 -3 Num div Coef.Llagran.
10 1.5 1 -5 -3 -5 0.6 res
15 2 5 1 2 5 0.4 1.7
2do
8 10 15
12 4 2 -3 Num div Coef.Llagran.
8 1.5 1 -2 -7 -6 14 -0.4286
10 1.5 2 1 -5 -12 -10 1.2000 Res
15 2 7 5 1 8 35 0.2286 1.61429
3er
8 10 15 20
12 4 2 -3 -8 Num div Coef.Llagran.
8 1.5 1 -2 -7 -12 48 -168 -0.28571
10 1.5 2 1 -5 -10 96 100 0.96000
15 2 7 5 1 -5 -64 -175 0.36571 res
20 2.5 12 10 5 1 -24 600 -0.04000 1.64286
4to
5 8 10 15 20
12 7 4 2 -3 -8 Num div Coef.Llagran.
5 1.5 1 -3 -5 -10 -15 192 2250 0.08533
8 1.5 3 1 -2 -7 -12 336 -504 -0.66667
10 1.5 5 2 1 -5 -10 672 500 1.34400
15 2 10 7 5 1 -5 -448 -1750 0.25600 res
20 2.5 15 12 10 5 1 -168 9000 -0.01867 1.60933

11. Diferencias Divididas
Obtener una estimación para presión en el soplete con
un espesor de 28mm por el método de diferencias
divididas
Se realiza el método de diferencias divididas y se puede observar que 15 el que mejor aproxima al
polinomio de 4to grado por estar más centrado con 3 arriba y 3 abajo .
𝑓[ 𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑖+𝑘]=
𝑓[𝑥 𝑖+1]− 𝑓[𝑥 𝑖]
𝑥 𝑖+1−𝑥 𝑖
3{
3{
valores recomendados para
unicorte
Espesor presión velocidad
5 1.5 20
8 1.5 17
10 1.5 15
15 2 12
20 2.5 11.5
25 2.5 10
30 2.5 9.5
40 3 8.5
50 3.5 7
75 4 5.5
100 4 4.5
x f[0] f[1] f[2] f[3] f[4]
5 20 -1.00000 0.00000 0.00571 -0.00042
8 17 -1.00000 0.05714 -0.00060 -0.00024
10 15 -0.60000 0.05000 -0.00467 0.00037
15 12 -0.10000 -0.02000 0.00267 -0.00015
20 11.5 -0.30000 0.02000 -0.00100 0.00003
25 10 -0.10000 0.00000 -0.00010 0.00000
30 9.5 -0.10000 -0.00250 0.00011 0.00000
40 8.5 -0.15000 0.00257 -0.00004
50 7 -0.06000 0.00040
75 5.5 -0.04000
100 4.5

12. P1 = [(28-15)*(-0.1)]*12
P2 = [(28-11.5)*(−.02)2
] + P1
P3 = [(28-25)*(28-15)∗ (28 − 11.5)2
]+[ (28-11.5)*(−.02)2
]
Evaluando en cada polinomio quedaría de la siguiente forma:
p1 p2 p3 p4
x-x0 13 8 3 -2
Error -1.3 -2.08 0.832 0.09152
P(28) 10.7 8.62 9.452 9.54352
Diferencias de Newton
La siguiente tabla relaciona los datos observados de voltaje y
temperatura (F°) para termopares formados por platino y
platino -10% Rodio con juntas refrigeradas a 32°. Estimar la
temperatura para microvoltios de 300, 1700, 3300, 5300 y
5900
MVT T(F°)
0 32.0
500 176.0
1000 296.4
1500 405.7
2000 509.0
2500 608.4
3000 704.7
3500 799.0
4000 891.9
4500 983.0
5000 1072.6
5500 1160.8
6000 1247.5

13. mvt T(F) Xn+1-Xn Xn+1-Xn Xn+1-Xn Xn+1-Xn Xn+1-Xn
0 32.0 144.0 -23.6 12.5 -7.4 4.4
500 176.0 120.4 -11.1 5.1 -3.0 1.7
1000 296.4 109.3 -6.0 2.1 -1.3 1.6
1500 405.7 103.3 -3.9 0.8 0.3 -0.8
2000 509.0 99.4 -3.1 1.1 -0.5 -0.5
2500 608.4 96.3 -2.0 0.6 -1.0 1.7
3000 704.7 94.3 -1.4 -0.4 0.7 -0.9
3500 799.0 92.9 -1.8 0.3 -0.2 0.0
4000 891.9 91.1 -1.5 0.1 -0.2
4500 983.0 89.6 -1.4 -0.1
5000 1072.6 88.2 -1.5
5500 1160.8 86.7
6000 1247.5
Se identifica cada uno de los valores pedidos en la tabla y se coloca con el inferior mas próximo
tomando todos los ∆fn de la tabla por cada valor
x ∆f0 ∆f1 ∆f2 ∆f3 ∆f4 ∆f5
0 32.0 144.0 -23.6 12.5 -7.4 4.4
500 176.0 120.4 -11.1 5.1 -3.0 1.7
1000 296.4 109.3 -6.0 2.1 -1.3 1.6
1500 405.7 103.3 -3.9 0.8 0.3 -0.8
2000 509.0 99.4 -3.1 1.1 -0.5 -0.5
2500 608.4 96.3 -2.0 0.6 -1.0 1.7
3000 704.7 94.3 -1.4 -0.4 0.7 -0.9
3500 799.0 92.9 -1.8 0.3 -0.2 0.0
4000 891.9 91.1 -1.5 0.1 -0.2
4500 983.0 89.6 -1.4 -0.1
5000 1072.6 88.2 -1.5
5500 1160.8 86.7
6000 1247.5
Regresiva
Progresiva
Es decir se reliza en método por cada valor usando la formula :

14. En este caso se utilizará Excel para cada valor
𝑃𝑛(𝑥) 𝑃1(𝑥) 𝑃2(𝑥) 𝑃3(𝑥) 𝑃4(𝑥) 𝑃5(𝑥)
S 0.6 -0.4 -1.4 -2.4 -3.4
Error 86.40000 2.83200 0.70000 0.24864 0.10053
𝑃𝑛(300) 118.40000 121.23200 121.93200 122.18064
𝑃𝑛(𝑥) 𝑃1(𝑥) 𝑃2(𝑥) 𝑃3(𝑥) 𝑃4(𝑥) 𝑃5(𝑥)
S 0.4 -0.6 -1.6 -2.6 -3.6
Error 41.32000 0.46800 0.05120 -0.01248 -0.02396
𝑃𝑛(1700) 447.02000 447.48800 447.53920 447.52672
𝑃𝑛(𝑥) 𝑃1(𝑥) 𝑃2(𝑥) 𝑃3(𝑥) 𝑃4(𝑥) 𝑃5(𝑥)
S 0.6 -0.4 -1.4 -2.4 -3.4
Error 56.58000 0.16800 -0.02240 -0.02352 -0.02056
𝑃𝑛(330) 761.28000 761.44800 761.42560 761.40208
𝑃𝑛(𝑥) 𝑃1(𝑥) 𝑃2(𝑥) 𝑃3(𝑥) 𝑃4(𝑥) 𝑃5(𝑥)
S -0.4 0.6 1.6 2.6 3.6
Error -35.28000 0.16800 -0.00640 0.00832 0.02696
𝑃𝑛(5300) 1,125.52000 1,125.68800 1,125.68160 1,125.68992
𝑃𝑛(𝑥) 𝑃1(𝑥) 𝑃2(𝑥) 𝑃3(𝑥) 𝑃4(𝑥) 𝑃5(𝑥)
s -0.2 0.8 1.8 2.8 3.8
Error -17.34000 0.12000 0.00480 0.00672 0.00000
𝑃𝑛(5900) 1,230.16000 1,230.28000 1,230.28480 1,230.29152

15. Método de Hermite
j t(s) d(p) v(p/s)
0 0 0 75
1 3 225 77
2 5 383 80
3 8 623 74
4 13 993 72
Obtener un polinomio de grado 2n-1 y calcular la distancia en para t=10 por los
metodos de hermite y diferencias divididas
Diferencias divididas
j d(p) v(p/s)
0 0 75 0.00000 0.22222 -0.03111 -0.00644 0.00226 -0.00091 0.00013 -0.00002
0 0 75 0.66667 0.06667 -0.06333 0.01167 -0.00504 0.00078 -0.00013
3 225 77 1.00000 -0.25000 0.03000 -0.02867 0.00515 -0.00094
3 225 79 0.50000 -0.10000 -0.11333 0.02279 -0.00423
5 383 80 0.00000 -0.66667 0.11458 -0.01948
5 383 80 -2.00000 0.25000 -0.04125
8 623 74 0.00000 -0.08000
8 623 74 -0.40000
13 993 72
13 993
𝑃𝑛(𝑥) 𝑃1(𝑥) 𝑃2(𝑥) 𝑃3(𝑥) 𝑃4(𝑥) 𝑃5(𝑥) 𝑃6(𝑥) 𝑃7(𝑥) 𝑃8(𝑥) 𝑃9(𝑥)
X-X0
10 10 7 7 5 5 2 2 -3
Error
750 0 155.5556 -152.444 -157.889 277.3264 -223.733 63.95813 29.72874
𝑃𝑛(10)
750 750 905.5556 753.1111 595.2222 872.5486 648.816 712.7741 742.5028
Siendo el valor de la función evaluada en t=10 742.5028

16. Spline cubico
h = 𝑥𝑖+1 - 𝑥𝑖
f[1] =
f(𝑥 𝑖+1) − f(𝑥 𝑖)
ℎ
0.12 0.76 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 s1 =
-
44.69231
0.26 2.08 0.78 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 s2 9.84615
0.00 0.78 2.84 0.64 0.00 0.00 0.00 0.00 s3 -7.65385
0.00 0.00 0.64 2.76 0.74 0.00 0.00 0.00 s4 -0.77027
0.00 0.00 0.00 0.74 4.56 1.54 0.00 0.00 s5 -5.98947
0.00 0.00 0.00 0.00 1.54 7.68 2.30 0.00 s6 10.76409
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.30 8.76 2.08 s7 -6.71589
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.08 6.72 s8 10.77404
x f(x)
0.62 2.14
0.74 2.96
1.00 2.80
1.78 3.60
2.42 3.44
3.16 3.16
4.70 1.04
7.00 2.00
9.08 0.54
10.36 1.94
i x f(x) h f[1]
0 0.62 2.14 0.12 6.83333
1 0.74 2.96 0.26 -0.61538
2 1.00 2.80 0.78 1.02564
3 1.78 3.60 0.64 -0.25000
4 2.42 3.44 0.74 -0.37838
5 3.16 3.16 1.54 -1.37662
6 4.70 1.04 2.30 0.41739
7 7.00 2.00 2.08 -0.70192
8 9.08 0.54 1.28 1.09375
9 10.36 1.94

17. 𝑎𝑖 =
𝑆 𝑖−1+𝑆 𝑖
6ℎ𝑖
𝑏𝑖 =
𝑆 𝑖
2
𝑐𝑖 =≜ 𝑓𝑖 − (
𝑆 𝑖−1+𝑆 𝑖
6ℎ𝑖
) ℎ𝑖
Completamos la primera tabla
i x f(x) H f[1] s a b c
0 0.62 2.14 0.12 6.83333 0.00000 -89.05767 0.00000 8.11576
1 0.74 2.96 0.26 -0.61538 -64.12152 51.06422 -32.06076 4.26847
2 1.00 2.80 0.78 1.02564 15.53866 -4.90982 7.76933 -2.04730
3 1.78 3.60 0.64 -0.25000 -7.43931 2.48811 -3.71965 1.11145
4 2.42 3.44 0.74 -0.37838 2.11505 -1.03841 1.05752 -0.59232
5 3.16 3.16 1.54 -1.37662 -2.49547 0.53886 -1.24774 -0.73307
6 4.70 1.04 2.30 0.41739 2.48361 -0.32071 1.24180 -0.74221
7 7.00 2.00 2.08 -0.70192 -1.94217 0.33226 -0.97108 -0.11955
8 9.08 0.54 1.28 1.09375 2.20443 -0.28703 1.10221 0.15319
9 10.36 1.94 0.00000
Mètodo de minimos cuadrados

18. -25.40
-3185.81
B= -59249.00
-957908.77
-15090481.75
𝑝4
(𝑥) 𝑝3
(𝑥) 𝑝2
(𝑥) 𝑝1
(𝑥)
Constante -9.19 -3.82 35.34 34.1
Lineal 27.73 21.79 -4.13 -3.7
cuadratico -4.65 -3.30 0.02
Cubico 0.22 0.11
Cuarta 0.00
𝑝1
(𝑥)=34.06-3.72x
𝑝2(𝑥) =35.34-4.13x+0.02𝑥2
𝑝3
(𝑥)=-3.82+21.79x-3.3𝑥2
+0.11𝑥3
𝑝4
(𝑥)=-9.19+27.73x-4.65𝑥2
+0.22𝑥3
-0.00261𝑥4
x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 y*x1 y*x2 y*x3 y*x4
0.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.21 1 1 2 2 2 2 9 10 11 12
2.56 4 7 10 17 27 43 40 64 102 163
5.76 14 33 80 191 459 1101 60 145 348 836
6.25 16 39 98 244 610 1526 87 218 545 1363
16.81 69 283 1159 4750 19475 79849 175 718 2943 12066
27.04 141 731 3802 19771 102807 534597 154 803 4176 21715
37.21 227 1385 8446 51520 314274 1917073 260 1585 9669 58983
43.56 287 1897 12523 82654 545516 3600406 238 1573 10379 68499
50.41 358 2541 18042 128100 909512 6457535 168 1195 8482 60226
67.24 551 4521 37074 304007 2492855 20441409 107 874 7168 58776
82.81 754 6857 62403 567869 5167610 47025253 116 1052 9570 87090
88.36 831 7807 73390 689870 6484776 60956894 -29 -274 -2575 -24203
123.21 1368 15181 168506 1870415 20761602 230453777 -144 -1602 -17779 -197349
129.96 1482 16890 192541 2194973 25022688 285258642 -327 -3730 -42520 -484732
148.84 1816 22153 270271 3297304 40227108 490770721 -482 -5879 -71726 -875057
174.24 2300 30360 400746 5289853 69826057 921703952 -642 -8468 -111778 -1475475
198.81 2803 39525 557308 7858048 110798476 1562258518 -567 -7992 -112689 -1588922
243.36 3796 59224 923896 14412774 224839281 3507492789 -805 -12557 -195895 -3055963
259.21 4173 67190 1081756 17416274 280402016 4514472463 -491 -7906 -127285 -2049290
309.76 5452 95951 1688742 29721862 523104763 9206643835 -609 -10718 -188631 -3319914
320.41 5735 102663 1837660 32894113 588804631 10539602889 -294 -5255 -94060 -1683666
198.81 2803 39525 557308 7858048 110798476 1562258518 -189 -2664 -37563 -529641
400.00 8000 160000 3200000 64000000 1280000000 25600000000 -22 -440 -8800 -176000
2935.84 42981 674765 11095764 188662658 3290623023 58561931792 -3186 -59249 -957909 -15090482
A= 24.0 226.8 2935.8 42980.6 674765.2
226.8 2935.8 42980.6 674765.2 11095764.5
2935.8 42980.6 674765.2 11095764.5 188662658.5
42980.6 674765.2 11095764.5 188662658.5 3290623022.9
674765.2 11095764.5 188662658.5 3290623022.9 58561931791.7

19. Diferencias centradas y progresivas
f(x) = cos(𝑥 − 3)
1
√1 + 𝑥2
Estimar la derivada para x= 1.5 con h = 0.1,0.05,0.02 empleando las formulas de segundo grado progresivas y
centradas
Diferencias prograsivas Diferencias centradas
x f df d2f x f(x) f'(x)
1.5 0.03924 0.28669 -0.37152 0.5 -0.71656
2.5 0.32593 -0.08484 1.5 0.03924 0.52125
3.5 0.24109 2.5 0.32593
0.47245
x f df d2f x f(x) f'(x)
1.5 0.03924 0.20239 -0.11810 1 -0.29426
2 0.24163 0.08430 1.5 0.03924 0.53589
2.5 0.32593 2 0.24163
0.52288
X f df d2f x f(x) f'(x)
1.5 0.03924 0.11721 -0.03202 1.25 -0.11135
1.75 0.15644 0.08519 1.5 0.03924 0.53559
2 0.24163 1.75 0.15644
0.53286
x f(x) f'(x)
0.5 -0.71656
0.6 -0.63231 0.85365
0.7 -0.54583 0.86384
0.8 -0.45954 0.85293
0.9 -0.37525 0.82641
1 -0.29426 0.78891
1.1 -0.21747 0.74405
1.2 -0.14545 0.69455
1.3 -0.07856 0.64240
1.4 -0.01697 0.58898
1.5 0.03924 0.53527
1.6 0.09008 0.48195
1.7 0.13563 0.42947
1.8 0.17598 0.37817
1.9 0.21126 0.32827
2 0.24163 0.27995
2.1 0.26725 0.23334
2.2 0.28830 0.18856
2.3 0.30496

20. ∫ 𝜋 (1 + (
𝑥
2
)
2
)
2
0
dx
h= 0.08
n X f(x)
0 0 3.141593
1 0.08 3.151654
Volumen por formula del trapecio
2 0.16 3.181934
3 0.24 3.232722 I = 11.7353141016
4 0.32 3.304501
5 0.4 3.397947
Volumen por formula del Sipmson 1/3
6 0.48 3.513927
7 0.56 3.653504 I = 11.97994213
8 0.64 3.817933
9 0.72 4.00866
Volumen por formula del Simpson 3 / 8
10 0.8 4.227327
11 0.88 4.475767 I = 11.58141543
12 0.96 4.756007
13 1.04 5.070267
14 1.12 5.420959
15 1.2 5.81069
16 1.28 6.242257
17 1.36 6.718653
18 1.44 7.243063
19 1.52 7.818864
20 1.6 8.449628
21 1.68 9.139117
22 1.76 9.89129
23 1.84 10.7103
24 1.92 11.60048
25 2 12.56637