Анжеліка Шевлюк, вчитель математики Івано-Франківської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 21 Івано-Франківської міської ради

1. Розв’язування систем рівнянь другого степеня
Анжеліка Шевлюк,
вчитель математики
Івано-Франківської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 21
Івано-Франківської міської ради
Цільова група:
• учні 9 класу (24 особи).
Тривалість:
• 45 хв.
Мета:
• повторити, закріпити та поглибити знання з розв’язування систем рівнянь другого
степеня різними способами;
• напрацювати навички визначати спосіб розв’язання та його реалізувати;
• розвивати аналітичне та креативне мислення, математичну мову;
• виховати культуру колективної взаємодії, формувати якості, необхідні для ефективної
роботи в групі.
Операційні цілі (завдання):
Після закінчення уроку учень
знає
• усі способи розв’язування систем рівнянь другого степеня;
розуміє
• слабкі та сильні сторони, можливості та ризики кожного способу;
вміє
• визначати системи, які можна розв’язати тільки одним способом, декількома або
усіма;
• обирати оптимальний спосіб розв’язування системи рівнянь;
може
• аналізувати проблемну ситуацію;
• прогнозувати, оцінювати та нівелювати ризики;
• визначати оптимальні шляхи вирішення проблеми;
• спілкуватися, висловлювати свою думку та захищати її.
Методи і техніки:
• СВОТ(SWOT)-аналіз;
• вправа «математичне лото».
Обладнання:
• аркуші А4;
• клейка стрічка;
• ручки, олівці.
Допоміжні матеріали:
Додаток 1. Вправа «Математичне лото».
Додаток 2. Опис техніки «СВОТ(SWOT)-аналіз».
Додаток 3. Матриця SWOT-аналізу.
Додаток 4. Умови завдань для груп.
Додаток 5. Опорні конспекти розв’язку систем різними способами.
Додаток 6. Діагностична картка «Оцінювання роботи в малій групі».

2. Хід уроку:
1. Вступна частина.
1.1. Повідомте учням тему та мету уроку – повторити, закріпити, та поглибити знання про
способи розв’язування систем рівнянь другого степеня. Повторіть з учнями, що таке
система рівнянь, розв'язок системи рівнянь.
1.2. Проведіть актуалізацію опорних знань. Для цього запитайте в учнів, які способи
розв’язування систем рівнянь другого степеня вони знають (спосіб підстановки, графічний
спосіб, спосіб заміни змінних, спосіб додавання), як виконуються. Використайте вправу
«Математичне лото» (Додаток 1) для повторення і одночасно для поділу на групи.
2. Основна частина.
2.1. Запропонуйте учням зробити SWOT-аналіз кожного зі способів розв’язування систем
рівнянь другого степеня. Поясніть, що SWOT є однією з форм проведення аналізу та
вирішення поставленої проблеми; дає навички доброго спілкування – слухання,
аргументації і презентації власної позиції та позиції групи. Темою буде аналіз переваг та
недоліків кожного зі способів.
2.2. Об’єднайте учнів у чотири групи (згідно витягнутої картки зі способом розв’язування
системи) і скажіть, щоб кожна група зайняла місце за окремим столом. Кожна група буде
проводити SWOT-аналіз окремого методу розв’язання.. Роздайте додатки 2, 3, 4, 5.
Поясніть на прикладі іншої теми як саме проводиться цей вид аналізу (Додаток 2).
Уточніть завдання для учнів: проаналізувати та обговорити особливості
використовуваного способу, заповнити СВОТ - таблицю та розв’язати запропоновану
систему рівнянь визначеним способом. Зверніть увагу, що у двох груп система рівнь є
однакова і по закінченні вправи, вони зможуть порівняти розвязки)
Виділіть на вправу 20 хв та дайте сигнал розпочинати роботу. Пам’ятайте, що Ви повинні
бути тільки пасивним спостерігачем: прислухайтеся до дискусій в групах, намагайтеся
запам’ятати висунуті аргументи. Втручайтеся тільки у випадку суперечки або конфлікту.
2.2. Після завершення вправи запросіть представників з кожної групи закріпити на дошці
таблиці СВОТ і презентувати переваги та недоліки щодо даного способу розв’язування
системи рівнянь другого степеня. Запропонуйте учням записати їх у зошит. Запропонуйте
усьому класу обговорити та порівняти аргументи. Розберіть помилки. Перевірте,
правильність розв’язування даних систем.
2.3. Запропонуйте учням визначити, який зі способів, на їхню думку, є найбільш
ефективним, найлегшим чи найзручнішим. Запропонуйте зрозв’язати задану систему
рівнянь усіма можливими способами:
у-х2
=3,
х+у=5.
(Примітка: систему можна розв’язати трьома способами. Відповідь:(-2;7), (1;4))
2.4. Обговоріть з учнями чи відчули вони при розв’язуванні переваги та недоліки кожного
із використаних способів, з якими труднощами зустрілися, звірте результати. Дайте власну
оцінку кожному способу розв’язання.
3. Підсумкова частина.
3.1. Підведіть підсумок уроку, запитайте учнів, що виявилося для них найскладнішим , а
що було приємним. Виясніть чи сприяла така форма дискусії тому, що учні глибше
усвідомили вивчений матеріал. Заохочуйте їх поділилися своїми думками.
3.2. Запропонуйте учням оцінити роботу у групі (Додаток6).
3.3. Надомашнє завдання дайте приклади із підручника.
3.4. Подякуйте учням за урок, називаючи конкретно їхні якості, які вони проявили на уроці
(наприклад: за активність, за уміння аналізувати, за креативність тощо).

3. Додаток 1
Вправа «Математичне лото»
Кожний учень витягує картку, на якій записана система рівнянь та початок її розв’язку. Учень
повинен назвати спосіб, яким розв’язана дана система. Правильно вказаний учнем (або
уточнений вчителем) спосіб і визначить групу, в якій буде працювати дитина (графічний
спосіб, спосіб додавання, спосіб заміни змінних, спосіб підстановки)
х+у=6,
ху=-16;
у=6-х,
х(6-х)=-16
х+у=3,
;
10
21
=−
y
x
x
y
ty
x
t
x
y 1
, ==
х-ху=20,
х+ху=-10;
2х=10
х2
-2ху=21, х2
-2х=3
х-ху=9;
х2
-2ху=21,
-2х+2ху=-18;
х-у-ху=11,
ху(х-у)=-30;
х-у=t, ху=u
х2
+у2
=20,
ху=8.
х2
+у2
=20-коло,
у= x
8
-гіпербола
х+ху=4,
у+2ху=9;
у-2х=1
-2х-2ху=-8,
у+2ху=9;
х+у=4,
2ху=7;
х=4-у,
2у(4-у)=7
х-4у=2,
ху+2у=8;
х=2+4у,
(2+4у)у+2у=8
3(х+у)2
+2(х-2у)2
=5,
2(х-2у)-х-у=1
х+у=u, х-2у=t
у-х2
=3,
х+у=5
у= х2
+3-парабола,
у=5-х-пряма лінія
х+у=6,
ху=-16
у=6-х—пряма лінія,
у=- x
16
- гіпербола

4. Додаток 2
Опис техніки SWOT - аналіз
ТРИВАЛІСТЬ: 20 хв.
ОБЛАШТУВАННЯ:
Стільці та столи розміщені для роботи в групах та вільного обміну думками
ОБЛАДНАННЯ:
Матриця (Додаток 3), чисті аркуші А4 та ручки для нотаток
Скорочення СВОТ (анг. SWOT) – це перші літери чотирьох англійських слів:
•Strengths (сильні сторони)
•Weaknesses (слабкі сторони)
•Opportunities (можливості застосування)
•Threats (небезпеки (ризики, загрози) застосування)
Дана техніка використовується тоді, коли проблематика занять пов’язана з роздумами над
введенням певних змін, або якщо необхідно оцінити прийняте рішення. Члени групи спільно
аналізують проблемну ситуацію.
Переваги
Учасники вчаться, що перед тим як прийняттям рішення необхідно розглянути всі «за» і
«проти»; вміють подати відповідні аргументи, які підтверджують їх позицію.
Що слід взяти під увагу
•«Сильні сторони» та «шанси» повинні показати всі позитивні аспекти. «Слабкі сторони»
та «небезпека» звертають увагу на негативні аспекти ситуації.
•Важливо відшукати рівновагу між позитивними та негативними аргументами. Це допоможе
уникнути перебільшеного оптимізму або песимізму.
•Необхідно чітко формулювати всі думки.
•Аргументи впорядковують від найсильнішого до найслабшого. Після обговорення необхідно
залишити найсильніші аргументи на завершення. Це «козирна карта», яку слід підготувати і
мати під рукою, якщо намагаємося когось переконати.
Приклад
Розв’язування подвійної нерівності за допомогою основних властивостей числових
нерівностей(інший спосіб — складання системи нерівностей)
Strengths (сильні сторони) Weaknesses (слабкі сторони)
1.Множина розв’язків утворюється в кінці
розв’язання нерівності без зображення на
координатній прямій
2.Здійснюються елементарні розрахунки
1.Виконання дій не з усіма частинами
нерівності
Opportunities (можливості застосування) Threats (небезпека(ризики) застосування)
1. Застосовується для будь-якої подвійної
нерівності
1.Отримання неправильного розв’язку, якщо
не буде змінено знак нерівності на
протилежний під час множення на від’ємне
число
ПЕРЕВАГИ НЕДОЛІКИ

5. Додаток 3
Матриця SWOT-аналізу
Strengths (сильні сторони) Weaknesses (слабкі сторони)
Opportunities (можливості застосування) Threats (небезпека(ризики) застосування)
ПЕРЕВАГИ НЕДОЛІКИ

6. Додаток 4
Умови завдань для груп
Графічний спосіб Розв’язання
1група
х2
+у2
=4,
х+у=2.
Спосіб заміни
змінних
Розв’язання
2група
x
1
- y
1
= 6
1
,
x
1
+ y
1
= 6
5
.
Спосіб
підстановки
Розв’язання
3група
х2
+у2
=4,
х+у=2.
Спосіб додавання Розв’язання
4група
x
1
- y
1
= 6
1
,
x
1
+ y
1
= 6
5
.

7. Додаток 1
Вправа «Математичне лото»
Кожний учень витягує картку, на якій записана система рівнянь та початок її розв’язку. Учень
повинен назвати спосіб, яким розв’язана дана система. Правильно вказаний учнем (або
уточнений вчителем) спосіб і визначить групу, в якій буде працювати дитина (графічний
спосіб, спосіб додавання, спосіб заміни змінних, спосіб підстановки)
х+у=6,
ху=-16;
у=6-х,
х(6-х)=-16
х+у=3,
;
10
21
=−
y
x
x
y
ty
x
t
x
y 1
, ==
х-ху=20,
х+ху=-10;
2х=10
х2
-2ху=21, х2
-2х=3
х-ху=9;
х2
-2ху=21,
-2х+2ху=-18;
х-у-ху=11,
ху(х-у)=-30;
х-у=t, ху=u
х2
+у2
=20,
ху=8.
х2
+у2
=20-коло,
у= x
8
-гіпербола
х+ху=4,
у+2ху=9;
у-2х=1
-2х-2ху=-8,
у+2ху=9;
х+у=4,
2ху=7;
х=4-у,
2у(4-у)=7
х-4у=2,
ху+2у=8;
х=2+4у,
(2+4у)у+2у=8
3(х+у)2
+2(х-2у)2
=5,
2(х-2у)-х-у=1
х+у=u, х-2у=t
у-х2
=3,
х+у=5
у= х2
+3-парабола,
у=5-х-пряма лінія
х+у=6,
ху=-16
у=6-х—пряма лінія,
у=- x
16
- гіпербола

8. Розв'язування систем рівнянь другого степеня способом додавання
Розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання
виконують за таким порядком:
1. Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом почленного множення обох рівнянь на
множники, підібрані відповідним чином;
2. Додаючи (або віднімаючи) почленно рівняння системи, виключаємо одну зі змінних;
3. Розв’язуємо одержане рівняння з однією змінною;
4. Значення другої змінної можна знайти таким же способом (або підстановкою знайденого
значення змінної в будь-яке із заданих рівнянь системи);
5. Записуємо відповідь.
Зауваження. Спосіб додавання, як правило, використовують, якщо коефіцієнти при одній
зі змінних у рівнянні системи – протилежні числа.
Приклад:
{х2
+у2
= 10
xу=3 | 2 }Помножимо друге рівняння на 2 і додамо до першого.
1. х2
+ 2ху + у2
= 16; (х + у)2
= 16;
[
х+у= 4,
x+у=− 4.
2.
[
{х+у= 4,
ху=3; }
{х+у=− 4,
xу=3; }⇒
[
{ х=4− у,
( 4− у) у=3;}
{ х=− 4− у,
(− 4− у) у=3;}
Розв'яжемо окремо дві системи, у яких одне з рівнянь є лінійним.
[
{у2
− 4 у+3= 0,
х= 4− у; }
{у2
+4 у+3= 0,
х=− 4− у; }
у1= 1; у2= 3;
х1= 3; х2= 1;
у3= − 1; у4= − 3;
х3= − 3; х4= − 1.
Відповідь: (3; 1); (1; 3); (-3; -1); (-1; -3).
Розв'язування систем рівнянь другого степеня графічним способом
Щоб розв’язати систему рівнянь графічним
способом, треба:
1. Виконати рівносильні перетворення системи так,
щоб було зручно побудувати графіки рівнянь
системи;
2. Побудувати графіки;
3. Знайти координати точок (точки) перетину
побудованих ліній. Ці координати і є розв’язками
(розв’язком) системи рівнянь.
Зауваження. Графічний спосіб розв’язування
систем рівнянь не є універсальним, оскільки не
завжди розв’язком системи є пара цілих чисел. Іноді
важко точно встановити координати точки перетину
побудованих графіків функцій, можливо лише
вказати наближенні значення.
Приклад. у=х2
-4,
х-у=2.
у=х2
-4 - графіком функції є парабола у=х2
, опущена на 4 одиниці по вісі ОУ.
х-у=2, у=х-2-графіком функції є пряма лінія у=х, опущена на 2 одиниці по вісі ОУ
А1(-1;-3) та А2(2;0) — точки перетину графіків функцій і є розв’язком системи.
Відповідь: (2;0), (-1;-3)

9. Додаток 6
Діагностична картка «Оцінювання роботи в малій групі»
Прізвище, ім'я ___________________________
Дата _________________
Оцініть себе по кожному з визначених напрямів від 0 до 2 балів.
1. Ви брали активну участь у роботі групи ______________
2. Ви вносили вдалі пропозиції, які врахувала група _______________
3. Ви надавали підтримку іншим членам групи, заохочували їх до роботи _____________
4. Ви висунули цілком нову ідею, що сподобалась іншим _________________
5. Ви вдало узагальнювали думки інших і просували роботу групи вперед ____________
6. Ви доповідали класу про результати групової роботи _________________