1. Trig Substitutions

2. Trig Substitutions
a2  x2 use x  a tan 

3. Trig Substitutions
a2  x2 use x  a tan 
a2  x2 use x  a sin  or x  a cos

4. Trig Substitutions
a2  x2 use x  a tan 
a2  x2 use x  a sin  or x  a cos
x2  a2 use x  a sec

5. 1
e.g. i  dx
a x
2 2

6. 1
e.g. i  dx
a x
2 2

7. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 

8. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 
a sec 2 d
 2
a sec 2 
  secd

9. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 
a sec 2 d
 2
a sec 2 
  secd
 logsec  tan    c

10. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 
a sec 2 d
 2 a2  x2
a sec 2  x
  secd

 logsec  tan    c
a

11. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 
a sec 2 d
 2 a2  x2
a sec 2  x
  secd

 logsec  tan    c
a
 a2  x2 x 
 log
  c
 a a

12. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 
a sec 2 d
 2 a2  x2
a sec 2  x
  secd

 logsec  tan    c
a
 a2  x2 x 
 log
  c
 a a
 
 log a 2  x 2  x  log a  c

13. 1
e.g. i  2 dx x  a tan 
a x 2
a sec 2 d dx  a sec 2 d
 2
a  a 2 tan 2 
a sec 2 d
 2 a2  x2
a sec 2  x
  secd

 logsec  tan    c
a
 a2  x2 x 
 log
  c
 a a
 
 log a 2  x 2  x  log a  c
 log a2  x2  x  c

14. x
ii  dx
1 x 2

15. x
ii  dx x  sin 
1 x 2
dx  cosd

16. x
ii  dx x  sin 
1 x 2
sin  cosd dx  cosd

1  sin 2 

17. x
ii  dx x  sin 
1 x 2
sin  cosd dx  cosd

1  sin 2 
sin  cosd

cos 2 
  sin d

18. x
ii  dx x  sin 
1 x 2
sin  cosd dx  cosd

1  sin 2 
sin  cosd

cos 2 
  sin d
  cos  c

19. x
ii  dx x  sin 
1 x 2
sin  cosd dx  cosd

1  sin 2 
sin  cosd
 1
cos 2  x
  sin d

  cos  c 1 x2

20. x
ii  dx x  sin 
1 x 2
sin  cosd dx  cosd

1  sin 2 
sin  cosd
 1
cos 2  x
  sin d

  cos  c 1 x2
  1 x2  c

21.  iii   x 2  3dx

22.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
dx  3 sec 2  d

23.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d

24.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
 3 sec sec 2  d

25.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
u  sec v  tan 
 3 sec sec 2  d
du  sec tan  d dv  sec 2  d

26.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
u  sec v  tan 
 3 sec sec 2  d
du  sec tan  d dv  sec 2  d
 3sec tan   3 sec tan 2  d

27.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
u  sec v  tan 
 3 sec sec 2  d
du  sec tan  d dv  sec 2  d
 3sec tan   3 sec tan 2  d
 3sec tan   3 sec3  d  3 sec

28.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
u  sec v  tan 
 3 sec sec 2  d
du  sec tan  d dv  sec 2  d
 3sec tan   3 sec tan 2  d
 3sec tan   3 sec3  d  3 sec
 3sec tan   3 sec3  d  3log  sec  tan  

29.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
u  sec v  tan 
 3 sec sec 2  d
du  sec tan  d dv  sec 2  d
 3sec tan   3 sec tan 2  d
 3sec tan   3 sec  d  3 sec
3 x2  3
x
 3sec tan   3 sec3  d  3log  sec  tan   
3

30.  iii   x 2  3dx x  3 tan 
  3 sec  
3 sec 2  d dx  3 sec 2  d
 3 sec3  d
u  sec v  tan 
 3 sec sec 2  d
du  sec tan  d dv  sec 2  d
 3sec tan   3 sec tan 2  d
 3sec tan   3 sec  d  3 sec
3 x2  3
x
 3sec tan   3 sec3  d  3log  sec  tan   
3
x 3 x2  x 3 x  2
3    x  3dx  3log 
2
 
3 3  3 3
 

31.  x2  3 x 
 2 x  3dx  x x  3  3log 
2 2
 c
 3 3
 

32.  x2  3 x 
 2 x  3dx  x x  3  3log 
2 2
 c
 3 3
 
x x2  3 3  x2  3 x 
 x 2  3dx 
2
 log 
2  3
 c
3
 

33.  x2  3 x 
 2 x  3dx  x x  3  3log 
2 2
 c
 3 3
 
x x2  3 3  x2  3 x 
 x 2  3dx 
2
 log 
2  3
 c
3
 
 x 2  3dx 
x x2  3 3
2
 log
2
 
x2  3  x  c

34.  x2  3 x 
 2 x  3dx  x x  3  3log 
2 2
 c
 3 3
 
x x2  3 3  x2  3 x 
 x 2  3dx 
2
 log 
2  3
 c
3
 
 x 2  3dx 
x x2  3 3
2
 log
2
 
x2  3  x  c
Exercise 2E; 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 13, 17, 19, 20