簡単にきれいな分散関係の図を描く方法を紹介。 電子にもフォノンにも使える。 Fortran 90のmaxloc()を使えば十数行で実装できる。 ABINIT http://www.ABINIT.org/ Quantum Espresso http://www.quantum-espresso.org/ という２つの第一原理計算フリーソフトウエアに採用されている。 イオン結晶の場合、Γ点にLO-TO splitting を手で入れてやる必要がある。 GNUPLOTを使えばΓ点で不連続なイオン結晶のフォノンの分散関係もきれいに描ける。 西松の書いた関連するフリーソフトウェア: loto: http://loto.sourceforge.net/loto/ feram: http://loto.sourceforge.net/feram/

1. 西松毅
1

2. 2

3. ! 厳密には各固有状態の既約表現を求めて、群論（適合関
係）を使ってバンドの枝 (branch) をつなげてゆくべき
cf. [Yépez, Calles and Castro: A simple algorithm for the
group theoretical classification of quantum states, Applied
Mathematics and Computation 133, 119-130 (2002)]
! しかし、プログラミングが面倒
! 電子・フォノンを問わず、簡単（十数行のコード）で美麗な
分散関係の図が描ける裏技のインプリメント
! 電子のバンドをつなげる論文: [Oleg V. Yazyev, Konstantin
N. Kudin, and Gustavo E. Scuseria: Efficient algorithm
for band connectivity resolution, Phys. Rev. B 65,
205117 (2002)]
3

4. ! 電子系の場合
! 自己無撞着 (self-consistent) に計算した電子密度をもとに
各q点で非自己無撞着に固有値・固有状態を計算する
! フォノン系の場合
• 第一ブリルアンゾーンの中のq点メッシュ（例: 4x4x4）の inter-
atomic force constant (IFC) 行列、各イオンの有効電荷Z*、光
学誘電率ε∞求めると簡単に補間できる方法がある [X. Gonze and
C. Lee: Dynamical matrices, Born effective charges,
dielectric permittivity tensors and interatomic force
constants, Phys. Rev. B 55, 10355 (1997)]→次ページ
4

5. Inter-atomic interaction
α, β = x, y, z
5

6. 6

7. X. Gonze and C. Lee,
Phys. Rev. B 55,
10355 (1997).
ABINIT

8. 8
I, J
3x3 submatrices in 3Nx3N matrix
dyadic product

9. 9

10. 10

11. ! Fortran 90のmaxloc(ary,mask)をマスクとともに用いる
|<i,qnew| j,qlast>|
11

12. 12

13. q
13

14. q
14

15. ! 岩塩構造 (fcc)
! 格子定数 a = 4.026 Å
! 計算値 a = 4.076 Å
15

16. q
16

17. q
17

18. 誘電体薄膜の縦波振動．分極の薄膜に垂直な成分Pzは薄膜に±Pzの表面電荷を生じさせ
る．表面電荷は薄膜内にEd=-4πPzの反分極場を作る．反分極場によりPzには復元力が働く
ので「振動」する.
18

19. 19

20. Only LO has this element
20

21. 21

22. ! space group:
P42/mnm (No.136)
! tetragonal
a = b = 4.59373 Å
c = 2.95812 Å Ti
O
22

23. discontinuous at the Γ point

24. ! GNUPLOT用のデータファイルで
１行空行を入れると、空行の前後
のデータは線で結ばれない
24

25. ! 簡単にきれいな分散関係の図を描く方法を紹介した
! 電子にもフォノンにも使える
! Fortran 90のmaxloc()を使えば十数行で実装できる
! ２つの第一原理計算フリーソフトウエアで採用されている
◦ ABINIT http://www.ABINIT.org/
◦ Quantum Espresso http://www.quantum-espresso.org/
! フォノンの分散関係の例をいくつか紹介した
! イオン結晶の場合、Γ点にLO-TO splitting を手で入れて
やる必要がある
! GNUPLOTを使えばΓ点で不連続なイオン結晶のフォノン
の分散関係もきれいに描ける
25