Dokumen ini membahas tentang operasi perkalian dan pembagian angka 11. Terdapat pola unik pada hasil pembagian bilangan dengan 11 di mana angkanya akan berulang. Dokumen ini juga menjelaskan cara mudah melakukan perkalian 11 dengan menuliskan angka secara terpisah lalu dijumlahkan. Selain itu, diberikan cara untuk mengetahui bilangan yang habis dibagi 11 dengan menghitung jumlah angka genap dikurangi ganjil at

1. PERKALIAN ANGKA 11
(Essai Dibuat untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan)
Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M. Pd.
Oleh :
Riska Mareta Damayanti (142151015)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
TASIKMALAYA
2015

2. Angka 11
11 (sebelas) adalah sebuah
angka, sistem bilangan, dan
merupakan bilangan asli antara 10
dan 12.
Suatu angka jika dibagi dengan
11, ternyata mempunyai pola yang
unik yang tidak ditemui jika dibagi
dengan angka lain. Hasil pembagian
bilangannya seperti:
a. 1 : 11 = 0.09090909
b. 2 : 11 = 0.18181818
c. 256 : 11 = 23.272727
d. 333 : 11 = 30.272727
e. 150 : 11 = 13.636363
f. 240 : 11 = 21.818181
Hasil dari pembagiannya akan
mengulang angka yang didepannya.
Hal ini bisa terjadi karena, pada
perhitungan bersusun akan
mengulang angka yang sama yaitu:
11 √256= 23.272727
22 -
36
33 -
30
22 -
80
77 -
30
Dengan menggunakan cara
pembagian bersusun, sisa pembagian
yang akan dibagi dengan 11 akan
berulang, seperti contoh diatas yang
berulang yaitu 30 dan 80 maka
hasilnya pun akan berulang.
Kelebihan dan kekurangan:
Kelebihan dari keunikan suatu
angka jika dibagi dengan 11, apabila
kita membutuhkan angka dibelakang
komanya beberapa digit kita akan
dengan mudahnya tahu, karena
angkanya akan berulang.
Kekurangnnya, jika suatu angkanya
habis dibagi 11 maka tidak akan
membentuk pola ini karena hasilnya
tidak akan ada sisanya. Jadi tidak
semua bilangan yang dibagi angka 11
akan membentuk pola berulang ini.
Cara mudah perkalian 11
Dalam perkalian 11 terdapat
cara yang lebih mudah dan cepat
yaitu, angka yang diperkalikan
dengan angka 11 dituliskan dengan
memberi ruang kosong antara angka
yang satu dengan angka yang lainnya.
Kemudian jumlahkan angka yang
berdampingan, lalu hasilnya
disisipkan diantara angka tersebut.

3. Lalu ambil angka pertama, angka
yang disisipkan dan angka
terakhirnya.
Contoh:
a. 53 x 11 =
Tuliskan 53 secara terpisah 5
3
(5+3)= 8
Lalu jumlahkan 5+3 = 8
Angka 8 disisipkan antara
angka 5 dan 3, sehingga
menjadi 583
Maka, 53 x 8 = 583
b. 376 x 11
Tuliskan 376 secara terpisah
3 7 6
(3+7)=10 (7+6)=13
Karena hasil penjumlahannya
dua digit maka ambil satu
digit angka dibelakannya,
angka yang didepannya
ditambahkan dengan
penjumlahan yang
selanjutnya.
1
3 7 6
(3+7+1)= 11 3
Selanjutnya,
1
3 7 6
(1+3)=4 1 3
Maka hasil dari 376 x 11 =
4136
c. 5321 x 11 =
Tuliskan angka 5231 secara
terpisah 5 3 2 1
Lalu jumlahkan 2 + 1 = 3
Angka 3 sisipkan antara 2 dan
1 maka: 5 3 2 1
(2+1) = 3
Lalu jumlahkan seterusnya,
maka: 5 3 2 1
(5+3) = 8
(2+1) = 3
(3+2)=5
Lalu ambil angka pertama
yaitu 5, angka yang disisipkan
yaitu 853, dan angka terakhir
yaitu 1
Maka hasilnya, 5321 x 11 =
58531
Kenapa bisa seperti itu?
Karena pada perkalian yang
bersusun kebawah, angkanya
dijumlahkan.

4. Contoh:
1. a b
1 1 x
a b
a b +
a (a+b) b
2. a b c
1 1 x
a b c
a b c +
a (a+b) (b+c) c
3. a b c d
1 1 x
a b c d
a b c d +
a (a+b) (b+c) (c+d) d
Untuk hasil penjumlahannya
dua digit:
1. a b c
1 1 x
a b c
a b c +
a (a+b) (b+c) c
(b+c)= rs
Untuk yang hasilnya dua digit
hasilnya kita pilih digit
terakhir dan digit pertamanya
dijumlahkan ke penjumlahan
selanjutnya. Yaitu,
a b c
1 1 x
r
a b c
a b c +
a s s c
(a+b+r)= gh
Maka hasilnya:
a b c
1 1 x
t
g a b c
a b c +
(a+g) h s c
Dalam perkalian bersusun
angkanya akan dijumlahkan dengan
angka sesudahnya. Maka apabila kita
menemukan angka yang dikalikan
dengan 11 kita bisa menggunakan
cara cepat ini.
Kelebihan dan kekurangan:
Kelebihan cara cepat ini
tentunya akan memper mudah dalam
operasi perkalian 11, kita tidak perlu
menghitungnya dengan bersusun
kebawah. Kekurangannya yaitu
apabila perhitungannya terlalu cepat
memungkinkah kesalahan dalam
melakukan langkahnya.

5. Cara mengecek apakah abcdef habis
dibagi 11 dapat menggunakan cara
sebagai berikut:
1. Jumlahkan angka pertama, ketiga,
kelima dan seterusnya yang ganjil,
kemudian jumlahkan angka kedua,
keempat, keenam dan seterusnya
yang genap. Kurangi jumlah
bilangan yang ganjil dengan
jumlah bilangan yang genap. Bila
hasilnya 0 atau 11, berarti bilangan
tersebut habis dibagi 11.
11
Abcdef = ( a + c + e ) – ( b + d +
f ) = bilangan yang habis dibagi 11
Kenapa bisa seperti itu???
Bukti: Bilangan berpangkat 10 dapat
ditulis dalam bentuk kelipatan 11.
Yaitu sebagai berikut:
100
= 0 x 11 + 1
101
= 1 x 11 – 1
102
= 9 x 11 + 1
103
= 91 x 11 – 1
104
= 909 x 11 + 1
105
= 9091 x 11 – 1
106
= 90909 x 11 + 1
….
10k
= m x 11 + 1, untuk k,m bilangan
cacah
10k+1
= n x 11 – 1, untuk k,m bilangan
cacah
Misalkan bilangan tersebut dengan
abcdef
a x 105
= a (k6 x 11 – 1) = a x k6 x 11 – a
b x 104
= b (k5 x 11 + 1) = b x k5 x 11+ b
c x 103
= c (k4 x 11 – 1) = c x k4 x 11 – c
d x 102
= d (k3 x 11 + 1) = d x k3 x 11+ d
e x 101
= e (k2 x 11 – 1) = e x k2 x 11 – e
f x 100
= f (k1 x 11 + 1) = f x k1 x 11 + f
abcdef = (a x k6 x 11 – a) + (b x k5 x
11+ b) + (c x k4 x 11 – c) + (d
x k3 x 11+ d) + (e x k2 x 11 –
e) + (f x k1 x 11 + f)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + {(- a - c - e) + (b + d
+ f)} x (-1)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + (a + c + e) – (b – d –
f)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + (a + c + e) – (b + d +
f)
Bilangan = (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2
+ ak1) 11 merupakan kelipatan 11.

6. Supaya abcdef habis dibagi 11 maka
(a + c + e) – (b + d + f) = bilangan
yang habis dibagi 11.
Contoh:
a. 287474 habis dibagi 11
Jumlahkan angka pertama,
ketiga, kelima: 2+7+7= 16
Jumlahkan angka kedua,
keempat, keenam: 8+4+4= 16
Kurangi jumlah bilangan
pertama dengan bilangan
kedua: 16 – 16 = 0
Hasilnya 0 maka 287474 habis
dibagi 11
2. Cara yang kedua yaitu dengan
mengganti tanda dari digit satuan
lalu hasilnya dibagi dengan 11.
11
Abcdef = f – e + d – c + b – a
= bilangan habis dibagi 11.
Kenapa bisa begitu??
Karena sesuai pembuktian pada no 1,
kita juga dapat memperoleh cara
lainnya. Yaitu:
abcdef = (a x k6 x 11 – a) + (b x k5 x
11+ b) + (c x k4 x 11 – c) + (d
x k3 x 11+ d) + (e x k2 x 11 –
e) + (f x k1 x 11 + f)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + (- a + b – c + d – e
+f)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + (f – e + d – c + b – a)
Contoh:
a. 1234 habis dibagi 11?
Menjumlahkan dengan tanda
berselang seling dari digit
satuan, tanda dimulai dari
positif. Maka,
+4 – 3 + 2 – 1 = 2
Karena 2 tidak habis dibagi
11, maka 1234 juga tidak
habis dbagi 11.
3. Cara yang ketiga yaitu angka
pertama bertanda negative
dikurangi angka dari posisi ganjil
ditambah dengan penjumlahan
dari angka yang diposisi genap.
11
Abcdef = (- a – c – e ) + ( b + d
+ f) = bilangan yang habis dibagi
11
Kenapa seperti itu??
Karena sesuai pembuktian pada no
1, kita juga dapat memperoleh cara
lainnya. Yaitu:

7. abcdef = (a x k6 x 11 – a) + (b x k5 x
11+ b) + (c x k4 x 11 – c) + (d
x k3 x 11+ d) + (e x k2 x 11 –
e) + (f x k1 x 11 + f)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + (- a + b – c + d – e
+f)
= (ak6 + ak5 + ak4 + ak3 + ak2 +
ak1) 11 + (-a – c – e) + (b + d
+ f)
Contoh:
a. 5071 habis dibagi 11?
angka pertama bertanda
negative dikurangi angka dari
posisi ganjil ditambah dengan
penjumlahan dari angka yang
diposisi genap.
5071 = ( -5 – 7) + (0 + 1)
= (-12) + (1)
= -11
-11 merupakan bilangan yang
habis dibagis 11, jadi 5071
habis dibagi 11.
Kelebihan dan kekurangan:
Kelebihan dari cara-cara ini
yaitu akan mempermudah
mengetahui suatu bilangan yang habis
dibagi 11. Kekurangannya yaitu bisa
terjadi kesalahan dalam tanda dan
posisi suatu angka dalam penerapan
rumus-rumus ini.
Kesimpulan
11 (sebelas) adalah sebuah angka,
sistem bilangan, dan merupakan
bilangan asli antara 10 dan 12. Dalam
pembagian angka 11 terdapat pola
yang unik, yaitu angka hasilnya akan
mengulang. Dalam operasi perkalian
angka 11 ternyata memiliki cara lain
yang akan memper mudah
perhitungan. Dalam menghitung
suatu bilangan agar habis dibagi 11
ternyata memiiki berbagai cara yang
sudah dijelaskan di artikel ini.
Semoga essay ini dapat menambah
pengetahuan dan wawasan tentang
operasi suatu angka. Dapat
menimbulkan rasa keingintahuan
tentang suatu pengetahuan.

8. DAFTAR PUSTAKA
Izzunnafis. (2015). Syarat-syarat
Suatu bilangan habis dibagi
Dengan angka 2-13.
[Online].Tersedia:
http://izzunnafis.blogspot.
com/2015/04/syarat-syarat-
suatu-bilangan-habis_13.
html?m=1.[ 3 juni 2015 ]
Wikipedia. (2013). Angka 11.
[ Online ].Teredia:
http://id.m.wikipedi.org/
wiki/11_(angka).
[ 2 Juni 2015 ]