Reti lineari RLC in regime periodico con numeri complessi v.2

Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2018
Sommario
Introduzione: Numeri complessi. Calcoli elementari.
Formule di conversione: forma cartesiana ⇄ forma polare.
Rappresentazione dei numeri complessi sul piano di Argand-Gauss.
Uso dei numeri complessi per rappresentare tensioni, correnti e impedenze in regime sinusoidale.
Trasformata di Steinmetz e Fasori. Diagramma dei fasori di un circuito.  
Impedenza, Resistenza e Reattanza. Ammettenza, Conduttanza e Suscettanza.
Potenza Apparente, Attiva e Reattiva, Fattore Di Potenza.
Circuiti R-L-C serie e parallelo, Risonanza.
Problemi pratici: a) risolvere un circuito, b) rifasamento di un carico induttivo.
1
Pro manuscripto - Dispensa didattica - UDA
ad uso degli studenti di Istituti Tecnici Industriali e
Professionali ad indirizzo elettronico ed elettrotecnico
STAMPA SOLO
SE NECESSARIO
Reti elettriche lineari stazionarie
in regime periodico
Analisi nel dominio dei fasori mediante numeri
complessi

Elettrotecnica & Elettronica - Tecnologie Elettriche Elettroniche e Applicazioni - Ing. Pasquale Alba 2018
Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi
Si definisce numero complesso:
c= a + j·b
dove a e b sono numeri reali. Esempio: 4 + j 5
dove:
a è la parte reale Re(c) del numero complesso
j·b è la parte immaginaria Im(c) del numero complesso
b è pure un numero reale ed è chiamato coefficiente della parte immaginaria
j è l’unità immaginaria ed è definita come j = √-1
Ne discende che:
j2 = j · j = -1 e 1/j = -j
Dato un numero complesso c=a+jb, si definisce
complesso coniugato di c il numero c*=a-jb in cui
la parte immaginaria è l’opposta di quella di c.
2

Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi
c=a+jb è chiamata rappresentazione in forma cartesiana o algebrica del numero
complesso c perché le due parti reale a e immaginaria jb possono essere
rappresentate come le due coordinate di un punto c su un piano contenente tutti i
numeri complessi.
La parte reale a si rappresenta sull’asse orizzontale (ascissa) e la parte immaginaria
jb sull’asse verticale (ordinata). Tale piano si chiama piano complesso di Argand-
Gauss.
PROPRIETA’: Moltiplicare un numero complesso per j fa ruotare la sua posizione
di +90° in senso orario su tale piano. Moltiplicare due volte fa ruotare di 180°.
3
Piano di Argand-Gauss
Re
c
Im
a
b

Numeri complessi in forma polare
I numeri complessi possono essere rappresentati anche in un’altra
forma chiamata polare o trascendente o esponenziale:
4
mejΦ 
Notazioni simboliche sempliﬁcate: m∠φ oppure m∡φ
Anche il sistema di coordinate polari individua ogni punto del piano
complesso mediante due numeri che sono:
• modulo m: rappresenta la distanza dall’origine del sistema di
riferimento (detto anche polo)
• argomento o anomalia φ: rappresenta l’angolo che il segmento tra
il punto e l’origine forma rispetto ad una direzione di riferimento. Per
riferimento si sceglie la direzione positiva dell’asse reale (ascissa).

Rappresentazione graﬁca cartesiana e polare
5
cartesiana o algebrica polare o trascendente
a+jb m·e jφ
Im
Re
b
a
m
𝛗

Somme e differenze di numeri complessi
6
Somma e differenza di numeri complessi espressi in forma
cartesiana:
somma: (a + j·b) + (c + j·d) = a+c + j·(b+d)
differenza: (a + j·b) - (c + j·d) = a-c + j·(b-d)
Se i numeri sono in forma polare:
m1 ejΦ1 + m2 ejΦ2
le somme e differenze non si possono ottenere in forma
semplice direttamente tra numeri in forma polare: è
necessario prima metterli in forma cartesiana

Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi in
forma cartesiana
7
Se i numeri complessi espressi in forma cartesiana:
prodotto: (a+j·b)·(c+j·d)=ac+jad+jbc-bd
divisione: (a + j·b) / (c + j·d)=…
in questo caso è necessario razionalizzare il
denominatore (c+jd) moltiplicando e dividendo per il suo
complesso coniugato (c-jd):
(a+jb) (c-jd)
(c+jd) (c-jd)
(a+jb) (c-jd)
c2 +d2
=
ac+jad+jbc-bd
c2 +d2
=
ac-bd+j(ad+bc)
c2 +d2
=
ac-bd
c2 +d2
=
ad+bc
c2 +d2
+ j

Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi
8
Se i numeri sono in forma polare è immediato eseguire prodotti e divisioni:
m1 ejΦ1 · m2 ejΦ2= m1·m2·e
j(Φ1 +Φ2)
i moduli si moltiplicano o dividono
mentre le fasi si sommano o sottraggono  
(in particolare la fase al denominatore si sottrae a
quella del numeratore).
m1ejΦ1
m2 e j Φ2
m1 e j(Φ1-Φ2)
m2
=

Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi
9
In notazione simbolica sempliﬁcata:
Da ricordare:
nelle moltiplicazioni i moduli si moltiplicano, le fasi si
sommano
nelle divisioni i moduli si dividono, le fasi si sottraggono 
(in particolare la fase al denominatore si sottrae a quella
del numeratore).
=
(m1∡ Φ1)· (m2 ∡ Φ2) = (m1·m2)∡ (Φ1 + Φ2)
m1 ∡ Φ1
m2 ∡ Φ2
(m1 / m2)∡(Φ1 - Φ2)

Formula di Eulero - Conversioni da forma polare a cartesiana
10
m ejφ m (cos φ + j sen φ)
polare cartesiana
essa discende dalla formula di Eulero che è la relazione
fondamentale tra la forma polare e la forma cartesiana e
lega anche le funzioni trigonometriche alla funzione
esponenziale complessa:
ejφ = cos φ + j sen φ

Conversioni da forma cartesiana a polare
11
polarecartesiana
Dimostrazione:
per il teorema di Pitagora il modulo è
per la deﬁnizione di tangente la fase è
Im
Re
b
a
𝜑
2
a2
+ b2
⋅ e
j arctan(
b
a )a + jb
m =
2
a2
+ b2
φ = arctan
b
a
a + jb = m ⋅ ejφ
b
a
m

12
Per calcolare con una calcolatrice scientiﬁca
solitamente bisogna digitare: b ÷ a = e poi usare la funzione arc
tan (che può essere indicata in uno dei seguenti modi: tg-1.
tan-1 oppure è richiamabile premendo il tasto inversione INV o
seconda funzione 2nd o SHIFT o simili e premendo il tasto tg o
tan).
• Se sul display compare DEG o DEGREE la calcolatrice è impostata in
gradi e il risultato 𝜑 sarà espresso in “gradi sessagesimali” (dove
l’angolo giro è 360°).
• Se compare RAD il risultato sarà un angolo espresso in radianti
(rapporto tra arco e raggio, dove l’angolo giro è 2π).
• Se compare GRAD sarà in gradi centesimali (angolo giro=400°, angolo
retto=100°) raramente usati.
arctan
(
b
a)

13
NOTA BENE:
1) i segni di b e di a devono essere rispettati altrimenti si otterrà un
angolo errato;
2) la funzione fa perdere una informazione poiché il
rapporto b/a ha un segno positivo se a e b sono concordi anche se
sono entrambi negativi e dà un valore negativo se sono discordi (a
negativo e b positivo o viceversa). Quindi l’uso dell’arc tg sulla
calcolatrice non può distinguere se il punto (a,b) si trova nel
semipiano destro o sinistro cioè se si trova nel I o III quadrante
oppure nel II o nel IV quadrante. La calcolatrice si limita a dare
l’angolo sempre nel I o nel IV quadrante. Pertanto per ricostruire
correttamente l’angolo bisogna recuperare l’informazione perduta in
questo modo: se a<0 (cioè il punto è nel semipiano sinistro, II o III
quadrante) al risultato di arctan bisogna aggiungere 180°
arctan
(
b
a )

Conversioni di angoli da radianti a gradi
14
La misura degli angoli in gradi è legata ad un retaggio storico
antichissimo: è una convenzione arbitrariamente stabilita dai Sumeri che
dividevano l’angolo giro prima in 6 parti e poi ciascuna di esse in 60 parti
per un totale di 360 parti dette gradi (“Degree”). Per questi motivi si
chiamano gradi sessagesimali. Da questo popolo nasce la suddivisione
dell’ora in 60 minuti primi e del minuto primo in 60 minuti secondi.
Se si conviene invece di dividere l’angolo retto in 100 parti, l’angolo giro
sarà costituito da 400 gradi detti gradienti quadrantali (“Gradients”).
Nelle scienze pure (matematica) e applicate (ﬁsica, ingegneria) si usa un
criterio universale slegato da qualsiasi convenzione: il rapporto tra l’arco
di una circonferenza e il suo raggio. Tale valore si dice espresso in
radianti. L’angolo giro espresso in radianti è pari al rapporto tra
circonferenza e raggio e quindi ha il valore universale invariabile 2π.
Conversione da gradi a radianti: radianti = gradi / 360 * 2π
Conversione da radianti a gradi: gradi = radianti / (2π) * 360°

Esercitazione: Rappresentare e Convertire numeri complessi
15
I seguenti numeri complessi possono rappresentare grandezze elettriche
ad es. tensioni, correnti, impedenze.
Rappresentarli sul piano di Gauss e convertirli da forma cartesiana a
polare o viceversa: (sono indicate tutte le possibili simbologie accettate)
4+j3
-8+j5
8 - j7
-3 - j4
10 <45°
5 ∡ -45°
12 e j30°
100 e -j30°
20 e-π/3
5<36,87° (m=5 𝜑=36,87°=0,6435 rad)
9,43<148° (m=9,43 𝜑=148°=2,583 rad)
10,63<-41,186°
5<233,13°
7,07+j7,07
3,535-j3,535
10,39+j6
86,6-j50
10-j17,32
Risultati:

Riepilogo conversioni forma cartesiana⇄forma polare
16
da polare a cartesiana da cartesiana a polare
m·(cos φ +jsen φ) √(a2+b2) e
j arctg (b/a)
m=√(a2+b2)
φ= arctg (b/a) (+180° se a <0)
a= m·cos φ
b= m·sen φ
Im
Re
b
a
m
𝜑

Rappresentazione di una grandezza sinusoidale come
funzione del tempo. Frequenza pulsazione e fase.
17
Una grandezza alternata sinusoidale può essere espressa in
questo modo: v(t) = Amax·cos (𝝎t+𝝓)
• l’argomento del coseno (𝝎t+𝝓) è espresso in radianti,
• Amax è l’ampiezza di picco (cioè il valore massimo),
• 𝝎 è la pulsazione deﬁnita come 𝝎=2πƒ,
• t è il tempo
• 𝝓 è la fase di partenza cioè la fase al tempo t=0.
•
Tutte le grandezze periodiche possono essere espresse
come somma di grandezze sinusoidali.

Rappresentare una grandezza sinusoidale con un vettore, chiamato fasore, che ne
riassume tutte le caratteristiche di ampiezza e fase e conserva tutte le operazioni
18
Le funzioni sinusoidali possono essere rappresentate da numeri complessi: infatti la
formula di Eulero permette di esprimere una grandezza sinusoidale come parte reale di
un esponenziale complesso:
A·ej ( 𝝎t+ 𝝓)= A·(cos (𝝎t+𝝓) + j·sen (𝝎t+𝝓)) ⇒ v(t) = A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·ej( 𝝎t+ 𝝓)}
= Re { A·ej 𝝓
·ej 𝝎t}
Si deﬁnisce fasore la parte A·ej 𝝓
che conserva le informazioni solo su ampiezza e fase
ed è epurata dalla dipendenza dal tempo t (come se fosse un’istantanea scattata al
tempo t=0).
L’operazione che esprime v(t) come fasore Aej 𝝓
è nota come: Trasformata di Steinmetz
Se invece si prende tutto A·ej 𝝓
·ej 𝝎 t inclusa la parte che dipende dal tempo, si ha quello
che si chiama un vettore rotante
Un fasore può essere rappresentato con un numero complesso e quindi con un punto
sul piano complesso di Argand- Gauss, e può essere rappresentato come un vettore
ﬁsso di lunghezza A e angolo 𝝓 cheparte dall’origine e arriva proprio nel punto A·ej 𝝓
del
piano complesso.

Elettrotecnica & Elettronica - Tecnologie Elettriche Elettroniche e Applicazioni - Ing. Pasquale Alba 2018 19
Grandezza elettrica sinusoidale –> fasore
v(t)=A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·ej( 𝝎t+ 𝝓)} = Re { A·ej 𝝓
·ej 𝝎t}
Il numero complesso A·ej
𝝓
è il fasore che
rappresenta la grandezza sinusoidale V
avente ampiezza di picco A e fase 𝝓.  
Poiché il fasore è un vettore, esso viene
rappresentato spesso con una lettera
maiuscola in neretto e/o con un soprassegno
(lineetta o freccia):
A·ej 𝝓
V=

Perché parte Re e non parte Im?
v(t)=A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·ej( 𝝎t+ 𝝓)} = Re { A·ej 𝝓
·ej 𝝎t}
v(t)=A·sin(𝝎t+𝝓) = Im { A·ej( 𝝎t+ 𝝓)} = Im { A·ej 𝝓
·ej 𝝎t}
Si potrebbe scegliere indifferentemente di
rappresentare le grandezze sinusoidali mediante la
parte immaginaria di
A·ej(
𝝎
t+
𝝓
)
quindi mediante il seno anziché
il coseno quindi assumendo la proiezione del vettore
rotante sull’ordinata. È un modo equivalente. Infatti
seno e coseno hanno la stessa forma sfasata di T/4
ossia un quarto di periodo pari a π/2.

Nei fasori l’ampiezza o modulo è il valore di picco o
quello efficace?
La rappresentazione mediante un fasore di una grandezza
sinusoidale indica che A o I o AMax VMax o IMax sono i valori di
picco o massimi. Tuttavia, essendo i circuiti lineari, se
sostituiamo al valore di picco quello efficace, otterremo tutte le
grandezze calcolate anch’esse in valore efficace. Quindi se
trattiamo solo tensioni o correnti possiamo scegliere di
indifferentemente trattare con tutti valori di picco o tutti valori
efficaci.
Ma quando vogliamo calcolare le potenze elettriche (v.oltre), il
valore efficace è quello più adatto per i calcoli. Infatti in tale
modo la potenza media (che è la media in un periodo della
potenza istantanea) si otterrà semplicemente con le stesse
formule viste per le grandezze in continua cioè P=V·I=V2/R=I2R.

Deﬁnizione di Impedenza
Da questo momento consideriamo per le tensioni e correnti
sinusoidali solo i loro fasori cioè grandezze complesse che
contengono tutte le informazioni utili delle sinusoidi ossia
l’ampiezza e la fase
La Legge di Ohm in regime sinusoidale diventa:
Z si chiama impedenza si misura in Ω ed è una grandezza
anch’essa complessa poiché è il rapporto tra due grandezze
complesse.
(simile a R = V / I )
V = V·ej 𝝓v I = I·ej 𝝓i
Z =
I
V

Esercitazione 1
v (t)=325·sin ( 𝝎 t + 𝛗)
𝝎=2𝝅ƒ con ƒ=50Hz
𝛗=35°
i (t)=12·sin ( 𝝎 t - 15°)
Calcolare l’impedenza del circuito seguente dove:
1. Occorre prima convertire la tensione e la corrente  
in numeri complessi
2. Dato che per calcolare Z bisogna fare il rapporto, conviene
usare numeri complessi in forma polare
Z
Suggerimenti:

Impedenza e Ammettenza
Il reciproco dell’impedenza Y = 1 / Z si chiama ammettenza
si misura in S (siemens) = Ω-1
Y =
1
Z
=
I
V
Impedenza e ammettenza essendo grandezze complesse, rappresentate in
forma cartesiana hanno una parte reale e una parte immaginaria:
Z= R + j X
Y= G + j B
R parte reale si chiama Resistenza
X parte imm. si chiama Reattanza
G parte reale si chiama Conduttanza
B parte imm. si chiama Suscettanza
Nota: mentre Impedenza e Ammettenza sono una reciproca dell’altra, in generale non è vero
che Conduttanza sia reciproco della Resistenza e Suscettanza reciproco della Reattanza.

Impedenza e Ammettenza
Z= R + j X Y= G + j B
Le parti reali resistenza R e conduttanza G sono sempre positive
Le parti immaginarie reattanza X e suscettanza B possono essere
positive o negative
X > 0 reattanza induttiva (corrente in ritardo rispetto a tensione)
X < 0 reattanza capacitiva (corrente in anticipo rispetto a tensione)
B > 0 suscettanza capacitiva
B < 0 suscettanza induttiva

Impedenza di resistori, condensatori e induttori
ove: 𝝎 = 2 π ƒ è la pulsazione
ƒ è la frequenza del generatore
R è la resistenza del resistore, C è la capacità del
condensatore, L è l’induttanza dell’induttore

L’induttore

L’induttore: transitorio nel dominio del tempo

Il condensatore

Il condensatore
ceramico SMD ceramico a disco

Il condensatore: nel dominio del tempo e dei fasori

La Potenza
Si può definire la potenza come una grandezza
complessa, che dipende dai fasori di V e I.
La potenza complessa si chiama Potenza Apparente e
si misura in voltampere [VA]. Essa non si indicherà con
la lettera P ma con S:
S = V · I* = P + j Q = VI·[cos(𝝓v-𝝓i) + j·sen(𝝓v-𝝓i)]
P=V·I·cos(𝝓v-𝝓i) Q=V·I·sen(𝝓v-𝝓i)]
La potenza complessa è definita come prodotto del fasore V per
il complesso coniugato I* del fasore corrente I dove V e I sono i
valori efficaci (non quelli di picco o massimi).
𝝓v è la fase del fasore V e 𝝓i è la fase del fasore I.
P parte reale della potenza complessa è detta Potenza Attiva e si misura in watt [W]
Q parte immaginaria della potenza complessa è detta Potenza Reattiva e si misura in
voltampere reattivi [VAr]

La potenza attiva P è reale e sempre positiva ed è la media in un
periodo della potenza istantanea ed è legata all’energia effettiva che
viene ceduta ad un carico (ad esempio un motore elettrico o trasformata
in calore).
Le resistenze pure assorbono solo potenza attiva. La potenza attiva di un
circuito RLC è quella assorbita dai soli resistori.
La potenza reattiva Q è una potenza bidirezionale che va
alternativamente da generatore a carico e viceversa a frequenza doppia.
Induttori e condensatori assorbono solo potenza reattiva. Concentriamo
l’attenzione sulla potenza attiva poiché è fondamentale per calcolare la
corrente di un carico monofase. Indicando con V e I i valori efﬁcaci è:
Potenza attiva
P = V·I· cos𝝓
dove 𝝓=𝝓v-𝝓i è l’angolo di sfasamento tra i fasori di V e di I

Potenza attiva= prodotto scalare
P = Re{V•I*} = V·I· cos𝝓
dove 𝝓=𝝓v-𝝓i è l’angolo di sfasamento tra i fasori di V e di I
Il prodotto scalare tra due vettori
è la parte reale del prodotto di un
vettore per il coniugato dell’altro
ed è uguale al prodotto dei
moduli per il coseno dell’angolo
tra i due.
Ha il signiﬁcato di ottenere la
proiezione di un vettore
sull’altro. L’altra parte, I·sen𝝓 si
chiama parte in quadratura.
V
I
𝛗
I· cos 𝝓
I·sin𝝓

Il complesso coniugato di un numero complesso ha la
stessa parte reale mentre la parte immaginaria ha segno
opposto. Ciò serve ad effettuare la differenza delle fasi dei
due vettori, cioè a calcolare l’angolo tra i due. Questo si
può vedere facilmente usando la forma polare: nel
complesso coniugato la fase della corrente I* è invertita di
segno pertanto viene sottratta dalla fase della tensione V.
Perché si usa il complesso
coniugato?

Andiamo a risolvere circuiti
Ora che abbiamo gli strumenti, applichiamoli alla soluzioni
di circuiti lineari stazionari in regime sinusoidale o in genere
periodico.
Qualsiasi rete elettrica lineare è formata da bipoli
elementari che possono essere resistori, induttori,
condensatori, generatori di tensione e di corrente.
Essa si risolve con gli stessi metodi usati per una rete
formata di resistenze e generatori...
(cioè legge di Kirchhoff ai nodi e alle maglie, ed eventualmente utilizzando sempliﬁcazioni
come: serie e parallelo di bipoli, sovrapposizione degli effetti, trasformazioni stella-
triangolo, di Thévénin e Norton, teorema di Millman)
utilizzando la Legge di Ohm in cui si considerano le
impedenze Z al posto delle resistenze R.

Circuiti di base da analizzare

PREMESSA
1.Tutti i calcoli saranno fatti usando la notazione simbolica
perché più semplice di quella esponenziale e di quella
cartesiana.
2.Per sempliﬁcare, V che è spesso il dato noto, sarà scelto
con fase 0°. In realtà ciò che che importa è la fase relativa
tra i fasori. Qualunque fasore può essere scelto come
riferimento cioè con fase 0° e tutti gli altri hanno l’angolo
riferito a questo fasore.
V = V∠0∘

Semplice circuito con resistore R
∿
I =
V
R
=
V
R
∠0∘
V = V∠0∘V
I
R
VI
φ = ∠ = 0∘
Dati di partenza:
Calcolo:

Semplice circuito con condensatore C
∿
I =
V
ZC
=
V
1
jωC
= jωCV
V = V∠0∘V
I
C
V
I
φ = ∠ = + 90∘
Dati di partenza:
Calcolo:

Semplice circuito con induttore L
∿
I =
V
ZL
=
V
jωL
= − j
V
ωL
V = V∠0∘V
I
L
V
I
φ = ∠I = − 90∘
Dati di partenza:
Calcolo:
Moltiplicare per -j equivale a
ruotare un vettore di -90°

Circuito RL in parallelo
∿ ZR//L =
RjωL
R + jωL
V = V∠0∘
V
I
R
V
I
φ
Dati di partenza:
Calcolo:
L
I =
V
ZR//L
=
V
RjωL
R + jωL
=
−jV(R + jωL)
ωRL
=
−jVR + ωVL
ωRL
=
V
R
− j
V
ωL
che si può esprimere in forma polare con modulo e fase:
φ = arctan
R
ωL
I = | I | =
(
V
R)
2
+
(
V
ωL)
2

Circuito RC parallelo
∿ ZR//C =
ZRZC
ZR + ZC
=
R
jωC
R + 1
jωC
V = V∠0∘
V
I
R
V
I
φ
Dati di partenza:
Calcolo:
C
I =
V
ZR//C
=
V(R +
1
jωC
)
R
jωC
=
V(R +
1
jωC
)jωC
R
=
V(1 + jωRC)
R
=
V
R
+ jVωC
che si può esprimere in forma polare con modulo e fase:
φ = arctan(ωRC) I = | I | =
(
V
R)
2
+ (VωC)2

Risonanza
Fintanto che i circuiti contengono un solo tipo di componente reattivo (o solo
condensatori, o solo induttori) cioè sistema del primo ordine, non si verificano
condizioni di risonanza.
La risonanza si verifica quando sono presenti sia reattanze induttive che capacitive,
(sistemi di ordine ≥2) perché l’energia viene accumulata sotto due forme diverse
(campo elettrico proporzionale alla tensione e campo magnetico proporzionale alla
corrente) e a determinate frequenze ƒ o pulsazioni 𝛚 (dette naturali) si verifica un
palleggio di energia dai condensatori agli induttori. In questo contesto si vedrà la
risonanza non nel dominio del tempo ma nel dominio della frequenza e dei fasori.
Si analizzano due tipiche configurazioni: componenti C e L in serie e in parallelo.

Risonanza parallelo
V = V∠0∘Dati di partenza:
I = VYR//L//C = V
(
1
R
+ jωC +
1
jωL)
= V
[
1
R
+ j
(
ωC −
1
ωL)]
∿V
I
R L C
Da questo punto in poi i fasori saranno rappresentati semplicemente con lettere maiuscole in grassetto senza soprassegno o freccia.
Poiché nel coefﬁciente della parte immaginaria sono due termini opposti, esistono dei valori
tali che i due termini si annullano tra loro lasciando semplicemente I=V/R cioè i componenti
reattivi C e L in parallelo si comportano come un circuito che non assorbe corrente
ossia si comportano come un circuito aperto. La condizione di risonanza è:
ωC −
1
ωL
= 0 ⇒ ω2
LC − 1 = 0 ⇒ ω =
1
LC

Risonanza serie
I =
V
ZR//L//C
=
V
R + jωL +
1
jωC
=
V
R + j(ωL −
1
ωC
)
Poiché nel coefﬁciente della parte immaginaria sono due termini opposti, esistono dei valori
tali che i due termini si annullano tra loro lasciando semplicemente I=V/R cioè i componenti
reattivi C e L in serie, alla pulsazione di risonanza si comportano come un cortocircuito.
La condizione di risonanza è:
ωC −
1
ωL
= 0 ⇒ ω2
LC − 1 = 0 ⇒ ω =
1
LC

Tecnologie Elettriche Elettroniche e Applicazioni / Installazione e Manutenzione - Ing. Pasquale Alba
Credits Riconoscimenti
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Reti lineari RLC in regime periodico con numeri complessi v.2

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