1. A. Một số công thức phần xác suất
I. Xác suất của biến cố:
* n(A)
m(A)
P(A)=
P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc
* A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(B).P(C) nếu B và C là độc lập
• A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) =
P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập
* n21n21 A...AA...AAA +++=
* n21n21 A...A.A...AAA =++
* P(A)+ ( )AP =1
• Công thức Bernoulli: ( ) ( ) xnxx
nn p1pCxP
−
−= , x = 0,1,2,…,n
• Công thức Xác suất đầy đủ: ∑=
=
n
1i
ii ))P(A/HP(HP(A)
• Công thức Bayes:
n1,2,..,i
/A))P(HP(H
/A))P(HP(H
P(A)
/A))P(HP(H
/A)P(H n
1i
ii
iiii
i =∀==
∑=
II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất:
1. Các tham số đặc trưng:
∑
=
n
1i i
p
i
x nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
E(X) =
∫
+∞
∞−
xf(x) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục
∑=
n
i
ii px
1
2
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
E(X2
) =
∫
+∞
∞−
)(2
xfx nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục
V(X)= ( )( )2
XEXE − = ( ) ( )( )22
XEXE −
( ) )(XVX =σ
2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng:
♦X∼A(P) ⇒
Phạm Hương Huyền-TKT
X 0 1
P 1-p p
1
2. * ( ) ( ) 1;01
1
=−==
−
xppxXP
xx
* E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; ( ) )1( ppX −=σ
♦ X∼B(n,p) ⇒
( q=1-p )
* ( ) ( ) nxppCxXP
xnxx
n ,...,1,01 =−==
−
* E(X)=np ; V(X)=npq ; ( ) npqX =σ
Nx ∈0
* Mốt của X∼B(n,p): x0 =
pnpxpnp +≤≤−+ 01
♦ X∼P(λ) ⇒
* ( )
!
1)(
x
e
ppCxXP
x
xnxx
n
λ
λ −
−
≈−== ; x=0,1,2,…
( n khá lớn, p khá nhỏ; λ=np )
* E(X)=V(X)=λ; ( ) λσ =X
* Mốt của X∼P(λ): λλ ≤≤− 01 x ; x0∈N
♦ X∼N(µ,σ2
)
( )
2
2
2σ
μx
e
2
1
f(x)
−
−
∏
=⇒ ( σ > 0 )
* E(X)=µ ; V(X)=σ2
; σ(X)=σ
*
−
Φ−
−
Φ=<<
σ
µ
σ
µ ab
bXaP 00)(
* P(X<b) 5,00 +
−
Φ≈
σ
µb
* P(X>a)
−
Φ−≈
σ
µa
05,0
* ( )
Φ=<−
σ
ε
εµ 02XP
• Giá trị tới hạn chuẩn:
* Định nghĩa: ( ) αα => UUP , U∼N(),1)
* Chú ý: 645,1;96,1; 05,0025,01 ==−=− UUUU αα
• Giá trị tới hạn Student:
* Định nghĩa:
( )
( ) αα => n
TTP , T∼T(n)
* Chú ý: αααα UTTT nnn
≈−=−
)()()(
1 ; với 30≥n
• Giá trị tới hạn Khi bình phương:
* Định nghĩa:
( )
( ) αχχ α => n
P 22
, χ2
∼χ2
(n)
• Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor:
Phạm Hương Huyền-TKT
X 0 1 … x … n
P 000 −n
n qpC 111 −n
n qpC … xnxx
n qpC −
… 0
qpC nn
n
2
3. * Định nghĩa:
( )
( ) αα => 21,nn
FFP , F ∼ F(n1,n2)
* Chú ý:
( )
( )12
21
,
1
, 1
nn
nn
F
F
α
α
−
=
III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
X
Y
1x 2x …. ix …. nx Tổng
1y P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1)
2y P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2)
… …. …. … … … …. ….
jy P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj)
…. …. …. …. …. …. ….. ….
my P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym)
Tổng P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1
• ( ) ( )jiji yYxXPyxP === ,,
• ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ==
====
n
i
jij
m
j
jii yxPyYPyxPxXP
11
,;,
• ( ) ( )( ) ( )
( )j
ji
ji
yYP
yYxXP
yYxXP
=
==
===
,
/
• ( ) ( )( )( )( ) ( ) )()(,)(((,
1 1
YEXEyxPyxYEYXEXEYXCov
n
i
m
j
jijiXY −=−−== ∑∑= =
µ
• ( ) ( )YX
XY
XY
σσ
µ
ρ =
• ( ) ),(2)()( 22
YXabCovYVbXVabYaXV ++=+
III. Một số quy luật số lớn:
• Bất đẳng thức Trêbưsép:
X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε>0
( )( ) 2
)(
1
ε
ε
XV
XEXP −≥<− ( )( ) 2
)(
ε
ε
XV
XEXP ≤≥−⇔
• Định lý Trêbưsép:
X1, X2,…, Xn độc lập từng đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε>0
( ) 1
11
11
=
<− ∑∑ ==
∞→
ε
n
i
i
n
i
i
n
XE
n
X
n
PLim
• Định lý Bernoulli:
f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli với 2 tham số n, p
ε > 0 , ta có ( ) 1=<−
∞→
εpfPLim
n
B. Một số công thức trong phần Thống kê toán
Phạm Hương Huyền-TKT 3
4. I. Một số công thức trên mẫu:
( )
∑
∑∑
=
==
−=
−
=
−===
k
i
ii
k
i
ii
k
i
ii
xn
n
sMs
n
n
s
xxMsxn
n
xxn
n
x
1
22*
22
1
22
1
)(
1
;
1
;
1
;
1
µ
* Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu.
* Tổng thể : X∼ ( )2
,σµN ⇒ X ∼
n
N
2
,
σ
µ ⇒ ( ) ( ) n
XVXE
2
,
σ
µ ==
* Tổng thể X∼A(p) ⇒ f ∼
n
pq
pN , ⇒ ( ) ( )
n
pq
fVpfE == ,
( khi n đủ lớn).
II. Một số công thức về ước lượng:
1. Ước lượng giá trị tham số µ trong quy luật ( )2
,σµN
Công
thức
Trường hợp đã biết 2
σ
(ít gặp)
Trường hợp chưa biết 2
σ (thường gặp)
n≤30 n>30
KTC
đối
xứng
22
αα
σ
µ
σ
U
n
xU
n
x +<<− )1(
2
)1(
2
−−
+<<− nn
T
n
s
xT
n
s
x αα µ
22
αα µ U
n
s
xU
n
s
x +<<−
KTC
ước
lượng
maxµ
α
σ
µ U
n
x +< <µ ( )1−
+ n
T
n
s
x α <µ αU
n
s
x +
KTC
ước
lượng
minµ
α
σ
µ U
n
x −> >µ ( )1−
− n
T
n
s
x α >µ αU
n
s
x −
Công
thức
xác
định
kích thước
mẫu mới
(n*
) sao
cho: Giữ
nguyên độ
tin cậy
(1-α) và
muốn độ
dài
khoảng
tin cậy đối
xứng I ≤
I0
2
2/2
0
2
* 4
α
σ
U
I
n ≥ 2)1(
2/2
0
2
*
)(
4 −
≥ n
T
I
s
n α
2
2/2
0
2
* 4
αU
I
s
n ≥
Chú ý : 2
I
=ε
Phạm Hương Huyền-TKT 4
5. 2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p)
KTC đối xứng 22
)1()1(
αα U
n
ff
fpU
n
ff
f
−
+<<
−
−
KTC ước lượng maxp
αU
n
ff
fp
)1( −
+<
KTC ước lượng minp
αU
n
ff
fp
)1( −
−>
Công thức xác định kích
thước mẫu mới (n*
) sao cho:
Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) và
muốn độ dài khoảng tin cậy
đối xứng I ≤ I0
( ) 2
2/2
0
* 14
αU
I
ff
n
−
≥
Chú ý : 2
I
=ε
Chú ý:
Nếu P= N
M
thì có thể ước lượng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể ước
lượng N qua P là M (quan hệ N và P là ngược chiều).
3. Ước lượng giá trị tham số 2
σ trong quy luật ( )2
σμ,N
Công thức Trường hợp đã biết µ
(ít gặp)
Trường hợp chưa biết µ
(thường gặp)
KTC hai phía ( )nn
snsn
2
2
1
2*
2
)(2
2/
2*
αα χ
σ
χ
−
<< ( )12
2
1
2
2
)1(2
2/
2
)1()1(
−
−
−
−
<<
−
nn
snsn
αα χ
σ
χ
KTC ước
lượng max
2
σ ( )n
ns
2
1
2*
2
αχ
σ
−
< ( )12
1
2
2 )1(
−
−
−
< n
sn
αχ
σ
KTC ước
lượng min
2
σ ( )n
ns
2
2*
2
αχ
σ > ( )12
2
2 )1(
−
−
> n
sn
αχ
σ
III. Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê
♦Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc
1. Bài toán kiểm định về tham số µ trong quy luật ( )2
,σµN :
a. Bài toán so sánh µ với giá trị thực cho trước 0µ
Trường hợp 2
σ đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
Phạm Hương Huyền-TKT 5
6. H0: 0µµ =
H1: 0µµ >
( )
>
−
== αα
σ
µ
UU
nx
UW ;0
H0: 0µµ =
H1: 0µµ <
( )
−<
−
== αα
σ
µ
UU
nx
UW ;0
H0: 0µµ =
H1: 0µµ ≠
( )
>
−
== 2/
0
; αα
σ
µ
UU
nx
UW
Trường hợp 2
σ chưa biết (thường gặp)
Cặp giả thuyết
cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
Trường hợp n ≤30 Trường hợp n>30
H0: 0µµ =
H1: 0µµ >
( ) ( )
>
−
== −10
; n
TT
s
nx
TW αα
µ ( )
>
−
== αα
µ
UU
s
nx
UW ;0
H0: 0µµ =
H1: 0µµ <
( ) ( )
−<
−
== −10
; n
TT
s
nx
TW αα
µ ( )
−<
−
== αα
µ
UU
s
nx
UW ;0
H0: 0µµ =
H1: 0µµ ≠
( ) ( )
>
−
== −1
2/
0
; n
TT
s
nx
TW αα
µ ( )
>
−
== 2/
0
; αα
µ
UU
s
nx
UW
b. Bài toán so sánh hai tham số 1µ với 2µ của 2 quy luật phân phối chuẩn
Trường hợp 2
2
2
1 , σσ đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ >
>
+
−
== αα
σσ
UU
nn
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ <
−<
+
−
== αα
σσ
UU
nn
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ ≠
>
+
−
== 2/
2
2
2
1
2
1
21
; αα
σσ
UU
nn
xx
UW
Trường hợp 2
2
2
1 , σσ chưa biết; n1 30≥ , n2 30≥ (thường gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ >
>
+
−
== αα UU
n
s
n
s
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
Phạm Hương Huyền-TKT 6
7. H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ <
−<
+
−
== αα UU
n
s
n
s
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ ≠
>
+
−
== 2/
2
2
2
1
2
1
21
; αα UU
n
s
n
s
xx
UW
Trường hợp 2
2
2
1 , σσ chưa biết
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ >
( )
>
+
−
== k
TT
n
s
n
s
xx
TW αα ;
2
2
2
1
2
1
21
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ <
( )
−<
+
−
== k
TT
n
s
n
s
xx
TW αα ;
2
2
2
1
2
1
21
H0: 21 µµ =
H1: 21 µµ ≠
( )
>
+
−
== k
TT
n
s
n
s
xx
TW 2/
2
2
2
1
2
1
21
; αα
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )2
2
21
2
1
1
2
1
2
1
2
2
21
//
/
;
111
11
nsns
ns
c
cncn
nn
k
+
=
−−+−
−−
=
2. Bài toán kiểm định về tham số 2
σ trong quy luật ( )2
,σµN :
a. Bài toán so sánh 2
σ với giá trị thực cho trước 2
0σ
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 2
0
2
σσ =
H1: 2
0
2
σσ >
( )
>
−
== − )1(22
2
0
2
2
;
1 nsn
W αα χχ
σ
χ
H0: 2
0
2
σσ =
H1: 2
0
2
σσ <
( )
<
−
== −
−
)1(2
1
2
2
0
2
2
;
1 nsn
W αα χχ
σ
χ
H0: 2
0
2
σσ =
H1: 2
0
2
σσ ≠
( )
<>
−
== −
−
− )1(2
2/1
2)1(2
2/
2
2
0
2
2
;
1 nn
hay
sn
W ααα χχχχ
σ
χ
b. Bài toán so sánh hai tham số 2
1σ với 2
2σ của 2 quy luật phân phối chuẩn
Phạm Hương Huyền-TKT 7
8. Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 2
2
2
1 σσ =
H1: 2
2
2
1 σσ >
>== −− )1,1(
2
2
2
1 21
; nn
FF
s
s
FW αα
H0: 2
2
2
1 σσ =
H1: 2
2
2
1 σσ <
<== −−
−
)1,1(
12
2
2
1 21
; nn
FF
s
s
FW αα
H0: 2
2
2
1 σσ =
H1: 2
2
2
1 σσ ≠
<>== −−
−
−− )1,1(
2/1
)1,1(
2/2
2
2
1 2121
; nnnn
FFhayFF
s
s
FW ααα
3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p):
a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước:
Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 0pp =
H1: 0pp >
( )
( )
>
−
−
== αα UU
pp
npf
UW ;
1 00
0
H0: 0pp =
H1: 0pp <
( )
( )
−<
−
−
== αα UU
pp
npf
UW ;
1 00
0
H0: 0pp =
H1: 0pp ≠
( )
( )
>
−
−
== 2/
00
0
;
1
αα UU
pp
npf
UW
b. Bài toán so sánh hai tham số 1p với 2p của 2 quy luật Không-Một
Trong đó:
21
2211
nn
fnfn
f
+
+
=
Phạm Hương Huyền-TKT
Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H0: 21 pp =
H1: 21 pp >
( )
>
+−
−
== αα UU
nn
ff
ff
UW ;
11
1
21
21
H0: 21 pp =
H1: 21 pp <
( )
−<
+−
−
== αα UU
nn
ff
ff
UW ;
11
1
21
21
H0: 21 pp =
H1: 21 pp ≠
( )
>
+−
−
== 2/
21
21
;
11
1
αα UU
nn
ff
ff
UW
8
9. ♦ Kiểm địnhphi tham số
• Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:
H0: X ∼ Quy luật A
H1: X ∼ Quy luật A
(Xét quy luật A là rời rạc)
* Miền bác bỏ của giả thuyết H0:
( ) ( )
>
′
′−
== −−
=
∑ 122
1
2
2
; rk
k
i i
ii
n
nn
W αα χχχ
Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X(n); xi xuất hiện ni lần ; nn
k
i
i =∑=1
; ii npn =′ ; ( )ii xXPp == ; r là số
tham số trong quy luật A cần ước lượng, tham số của quy luật A được ước lượng bằng phương pháp
ước lượng hợp lý tối đa;
• Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:
H0: X , Y là độc lập
H1: X , Y là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H0:
( )( )( )
>
−== −−
= =
∑∑ 1122
1 1
2
2
;1 kh
h
i
k
j ji
ij
mn
n
nW αα χχχ
Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (xi,yj )xuất hiện nij lần;
nmnnnnmn
k
j
j
h
i
i
h
i
k
j
iji
k
j
ijj
h
i
ij ===== ∑∑∑∑∑∑ === === 111 111
,, .
• Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn:
H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn
+> H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn
→ MBB của H0 :
>
−
+== 2(2)
α
2
4
2
3
α χJB;
24
3)(a
6
a
nJBW
( a3 là hệ số bất đối xứng, a4 là hệ số nhọn)
-------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Hương Huyền-TKT 9
