SA

1. ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA
ENTREGA: DESDE EL 15/05/2015 HASTAEL 19/05/2015 A LAS 23:50 pm. VALOR: 5 PUNTOS
1.) Efectuar las operaciones indicadas:
( ) 3
1
472
32.) iia −
Sol:
Como
݅ଶ
= −1 ; ݅ସ଻
= ሺ݅ସሻଵଵ
݅ଶ
݅ = ሺ1ሻሺ−1ሻ݅ = −݅
Tenemos que
൫2ଓଶ − √3ଓସ଻൯
ଵ
ଷൗതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
= ൫−2 + √3ଓ൯
ଵ
ଷൗതതതതതതതതതതതതതതതതതത
Pasamos esto a polares
|ܼ| = √4 + 3 = √7 ; ߠ = tanିଵ
ቆ
−√3
2
ቇ = −40.89º = 319.11º
ܼ = ൫2ଓଶ − √3ଓସ଻൯
ଵ
ଷൗതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
= ൫√7∠319.11º൯
ଵ
ଷൗതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
ߠଵ =
319.11 + 360 ∗ 0
3
= 106.37º
ߠଶ =
319.11 + 360 ∗ 1
3
= 226.37º
ߠଷ =
319.11 + 360 ∗ 2
3
= 346.37º
Por tanto tenemos tres Z
ܼଵ = √7
ల
∠106.37തതതതതതതതതതതതതതത = ൫√7
ల
cos 106.37 + √7
ల
sın 106.37 ଓ൯തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = √7
ల
cos 106.37 − √7
ల
sin 106.37 ݅
ܼଶ = √7
ల
∠226.37തതതതതതതതതതതതതതത = ൫√7
ల
cos 226.37 + √7
ల
sın 226.37 ଓ൯തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = √7
ల
cos 226.37 − √7
ల
sin 226.37 ݅
ܼଷ = √7
ల
∠346.37തതതതതതതതതതതതതതത = ൫√7
ల
cos 346.37 + √7
ల
sın 346.37 ଓ൯തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = √7
ల
cos 346.37 − √7
ల
sin 346.37 ݅

2. ( )( ) ( )392163726
43Re5232.) iiiiiib +−+
Sol:
݅ଶ଺
= ሺ݅ସሻ଺
݅ଶ
= 1ሺ−1ሻ = −1 ; ݅଻
= ݅ସ
݅ଶ
݅ = 1ሺ−1ሻ݅ = −݅
݅ଷ
= ݅ଶ
݅ = −݅ ; ݅଺
= ݅ସ
݅ଶ
= 1ሺ−1ሻ = −1 ; ݅ଶଵ
= ሺ݅ସሻହ
݅ = ݅ ; ݅ଷଽ
= −݅
De modo que
Z= ( )( ) ( )392163726
43Re5232 iiiiii +−+ =หሺ−2 − 3ଓሻሺ5 − 2ଓሻതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതหܴ݁ሺ3݅ − 4݅ሻ = ห−10 + 4ଓ − 15ଓ + 6ଓଶതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതหܴ݁ሺ−݅ሻ
ܼ = |−16 − 11݅തതതതതതതതതതതത|ሺ0ሻ = 0
2
4
8
31
3
2
3
1
2
3
Im.) ii
ii
i
c ++














+
−
Sol:
݅ଷଵ
= ሺ݅ସሻ଻
݅ଶ
݅ = 1ሺ−1ሻ݅ = −݅ ; ଼݅
= 1 ; ݅ସ
= 1
‫݉ܫ‬ ቊ൬
3 + ଓ
1 + 2ଓ
൰
തതതതതതതതതതത
ቋ + ฬ
1
3
+
2
3
݅ฬ
ଶ
= ‫݉ܫ‬ ቊቆ
ሺ3 + ଓሻሺ1 − 2ଓሻ
√1ଶ + 2ଶ
ቇ
തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
ቋ + ቌඨ൬
1
3
൰
ଶ
+ ൬
2
3
൰
ଶ
ቍ
ଶ
‫݉ܫ‬ ቊቆ
3 − 5ଓ − 2ଓଶ
√5
ቇ
തതതതതതതതതതതതതതതതതതത
ቋ + ൬
1
3
൰
ଶ
+ ൬
2
3
൰
ଶ
= ‫݉ܫ‬ ቊ൬
3 − 5ଓ + 2
√5
൰
തതതതതതതതതതതതതതതത
ቋ +
1
9
+
4
9
‫݉ܫ‬ ቊ൬
5 − 5ଓ
√5
൰
തതതതതതതതതതത
ቋ +
5
9
= ‫݉ܫ‬ ቀ√5 − √5ଓ
തതതതതതതതതതതത
ቁ +
5
9
= ‫݉ܫ‬൫√5 + √5݅൯ +
5
9
= √5 +
5
9

3. 2.) Demostrar que: zzz cos3cos43cos 3
−=
Sol:
Sea cos ‫ݖ‬ =
௘೥೔ା௘ష೥೔
ଶ
tenemos que
cos 3ܼ =
݁ଷ௭௜
+ ݁ିଷ௭௜
2
=
൫݁௭௜
൯
ଷ
+ ൫݁ି௭௜
൯
ଷ
2
=
ቂ൫݁௭௜
൯
ଷ
+ 3൫݁௭௜
൯
ଶ
൫݁ି௭௜
൯ + 3݁௭௜
൫݁ି௭௜
൯
ଶ
+ ൫݁ି௭௜
൯
ଷ
ቃ − 3൫݁௭௜
൯
ଶ
൫݁ି௭௜
൯ − 3݁௭௜
൫݁ି௭௜
൯
ଶ
2
=
4 ቂ൫݁௭௜
+ ݁ି௭௜
൯
ଷ
− 3൫݁௭௜
൯
ଶ
൫݁ି௭௜
൯ − 3݁௭௜
൫݁ି௭௜
൯
ଶ
ቃ
ሺ4ሻ2
=
4 ቂ൫݁௭௜
+ ݁ି௭௜
൯
ଷ
− 3݁௭௜
− 3݁ି௭௜
ቃ
8
=
4 ቂ൫݁௭௜
+ ݁ି௭௜
൯
ଷ
− 3൫݁௭௜
+ ݁ି௭௜
൯ቃ
8
=
4൫݁௭௜
+ ݁ି௭௜
൯
ଷ
2ଷ
−
12
4
ቆ
݁௭௜
+ ݁ି௭௜
2
ቇ =
4 ቆ
݁௭௜
+ ݁ି௭௜
2
ቇ
ଷ
− 3 ቆ
݁௭௜
+ ݁ି௭௜
2
ቇ = 4 cosଷ
‫ݖ‬ − 3 cos ‫ݖ‬
3.) Expresar la función ( ) ( ) ( )( )34
Re2 zZiZf = en la forma:
( ) ( ) ( )yxiVyxUzfw ,, +==
Sol:
Sea ܼ = ‫ݔ‬ + ܻ݅ ⇒ ܼ̅ = ‫ݔ‬ − ‫݅ݕ‬
݂ሺ௭ሻ = ݂ሺ௫,௬ሻ = 2݅ሺ‫ݔ‬ − ‫݅ݕ‬ሻସ
൫ܴ݁ሺ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ሻ൯
ଷ
= 2݅ሺ‫ݔ‬ସ
− 4‫ݔ‬ଷ
‫݅ݕ‬ + 6‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
݅ଶ
− 4‫ݕݔ‬ଷ
݅ଷ
+ ‫ݕ‬ସ
݅ସሻሺ‫ݔ‬ሻଷ
= 2‫ݔ‬ଷ
݅ሺ‫ݔ‬ସ
− 4‫ݔ‬ଷ
‫݅ݕ‬ − 6‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݕݔ‬ଷ
݅ + ‫ݕ‬ସሻ
= 2‫ݔ‬଻
݅ + 8‫ݔ‬଺
‫ݕ‬ − 12‫ݔ‬ହ
‫ݕ‬ଶ
݅ − 8‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ଷ
+ 2‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ସ
݅
= 8‫ݔ‬଺
‫ݕ‬ − 8‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ଷ
+ 2‫ݔ‬଻
݅ − 12‫ݔ‬ହ
‫ݕ‬ଶ
݅ + 2‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ସ
݅
= 8‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶሻ + 2‫ݔ‬ଷሺ‫ݔ‬ସ
− 6‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସሻ݅
De este modo se obtienen ܷሺ௫,௬ሻ y ܸሺ௫,௬ሻ
ܷሺ௫,௬ሻ = 8‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶሻ
ܸሺ௫,௬ሻ = 2‫ݔ‬ଷሺ‫ݔ‬ସ
− 6‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସሻ

5. 4.) Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la armónica
conjugada:
a) f (z) = y/(x2
+y2
)
b) f(z) = x/ (x2
-y2
)