昔の新人研修用資料

1. アルゴリズムとデータ構
造
５．「ツリー（木）」
2011 年 4 月 19 日（火）
服部 健太

2. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 2
概要
 データ構造としてのツリーの基礎的な事柄を
説明する
 木を応用したアルゴリズムは別途説明する．

3. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 3
Tree （木）構造
 以下に示すようなデータ構造
 循環構造を含まないことに注意
 一般的には右下図の根付き木の
ことを木と呼ぶことが多い
root （根）
edge （辺）
node （節点）
rooted tree （根付き木）free tree （自由木）

4. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 4
Tree に関する用語
 親（ parent ）
 辺の上側（根に近い方）のノード
 子（ child ）
 辺の下側のノード
 祖先（ ancestor ）
 あるノードからみた親，親の親，親の親の親，・・・など
 子孫（ descendant ）
 あるノードからみた子，子の子，・・・など
 葉（ leaf ）
 子を持たないノード
 内部ノード（ internal node ）
 子を持つノード
 深さ（ depth ）
 根からあるノードに至るまでに通る辺の数
 高さ（ height ）
 根からもっとも遠いノードの深さ

5. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 5
確認問題
 右の木について
 ノード d の親は？
 ノード d の子は？
 ノード e の祖先は？
 ノード b の子孫は？
 葉を全て列挙せよ
 ノード f の深さは？
 高さは？
a
b c d
g he f
root （根）
li j k

6. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 6
実世界における木構造の例
 会社の組織構造
 生物の分類
 問題：他にも木構造の例を挙げよ
社長
重役 重役
部長 部長 部長 部長 部長
課長 課長 課長
・・・
生物
植物界 動物界
無脊椎動物 脊椎動物・・・

7. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 7
木のバリエーション
 順序木（ ordered tree ）
 １つの頂点が複数の子を持つとき，これらの子の
順序に意味があるような木
 例：人間の親族関係では，長男と次男の順序に意味があ
るから，順序木とみなせる
 ２分木（ binary tree ）
 各節点の子の数がたかだか２であるような順序木
 もっともよく使われる木

8. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 8
２分木の表現方法
 ２分木 T
 根となるノードへのポインタ
を保持する root フィールド
を持つ
 空の木は T.root = None とな
る
 2 分木のノードは，要素を保
持するフィード elem に加え
て，左の子と右の子のそれぞ
れのノードを示す left と right
の２つのフィールドを持つ
 子がいない場合， None とな
る
 親ノードへのポインタを含め
る場合もある
T.root
left elem
right

9. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 9
一般の木の表現方法
 各ノードは，子のリストの先頭を指すポインタと自
分が属するリストの次の要素を指すポインタを保持
するフィールドを持つ．
T.root
child sibling

10. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 10
木の走査（ traversal ）
 行きがけ順走査（ pre-order traversal ）
 親の節点を調べてから子供を順に調べていく
 間順走査（ in-order traversal ）
 最初の子を調べてから，親を調べ，その後で残り
の子を順に調べる
 もっぱら２分木に対して使われる
 帰りがけ順走査（ post-order traversal ）
 子供を全部調べてから親を調べる

11. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 11
練習問題
 右の二分木について
各要素（ elem ）の文字を
 行きがけ順に表示
 間順に表示
 帰りがけ順に表示
した場合，それぞれどのよ
うな結果になるか？
T.root
left elem
a
right
b c
d e f
g h

12. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 12
２分木の走査
 行きがけ順走査
 再帰呼び出しを使う
def preorder(n):
if n != None:
# do_somthing(n.elem)
preorder(n.left)
preorder(n.right)
 最初の呼び出しには木の根をパラメータとして渡す
>>> preorder(T.root)

13. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 13
練習問題
 スライド「一般の木の表現方法」で示した木
に対する行きがけ順走査を書け

14. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 14
解答例
 補足資料（ lecture5.py ）参照

15. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 15
２分木の走査（２）
 間順走査
def inorder(n):
if n != None:
inorder (n.left)
# do_something(n.elem)
inorder(n.right)
 帰りがけ順走査
def postorder (n):
if n != None:
postorder(n.left)
postorder(n.right)
# do_something (n.elem)

16. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 16
その他の手続き
 ノードの深さを求める
 # parent フィールド付きのノードの場合
def depth(n):
d = 0
while n.parent != None:
d = d + 1
n = n.parent
return d
 木の高さを求める
def tree_height(n):
if n == None: return -1
return 1 + max(tree_height(n.left),
tree_height(n.right))

17. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 17
練習問題
 parent フィールドなしの木ノード作成を以下のよう
に定義する
def tnode(x, l, r):
return record({‘elem’: x, ‘left’: l,
‘right’: r})
 ２分木は以下のように生成できる
root = tnode(1,tnode(2,tnode(3,None,None),
tnode(4,None,None)),
tnode(5,None,
tnode(6,None, None)))
 上記によって生成される２分木を図示せよ
 ノードの値を print するように preorder, inorder,
postorder をそれぞれ定義し，実際に確認せよ

18. 2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 5 18
解答例
 補足資料（ lecture5.py ）参照