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A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation 輪講 第二回.pdf
- 1. A mathematical programming to Robotic Manipulation 輪講 第2回 発表者：元田智大 1 2021.07.30@マニピュレーション若手の会・勉強会
- 2. 自己紹介 名前：元田智大（Motoda Tomohiro） - 大阪大学大学院基礎工学研究科 原田研究室（Robotic Manipulation） - 博士後期課程2年 2 • 視点移動を伴う複雑環境のマニピュレーション • 学習に基づくヒトの操作特性を用いた将棋崩し（山崩し）ゲーム • 双腕ロボットによる棚のピッキング作業計画
- 3. お詫び • ワクチンの副反応の影響で発表者が常時発熱と頭痛と筋肉痛． • 時間配分：「時間が足りない」or 「逆に早すぎて」 • 場合によっては適当なタイミングでカットするかも… • 時間節約のために内容の詳細説明は省略． 3
- 4. 今日の内容 ‘’A mathematical programming to Robotic Manipulation’’ の２章. 剛体の運動の基本（≒幾何学）を学ぶ回． 4
- 5. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 5 ※できる限り，正確に日本語訳しています．
- 6. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 6 ※できる限り，正確に日本語訳しています． 各節でふつうに講義１回分の重さがある． 軽く流す （20分ぐらい） 丁寧に説明
- 7. 本章の概要 剛体の運動→ 点と点の間の距離を保つ運動（定義） • ロボットの運動・制御に関する研究の基本． • ２章では，線形代数とスクリュー理論を用いて剛体の運動を解説． 7 Keyword Twist motion (ねじれ動作) Screw（スクリュー，ねじ） Wrench （レンチ）
- 8. 歴史的な背景 8 剛体の運動に関する研究 （1800年代初頭） Michel Chasles Louis Poinsot スクリュー理論の完成 （1900年） Robert Stawell Ball Twist motionとScrewの考え方を提唱． 線形代数と行列群に基づき 現代的にスクリュー理論を構築． ※彼らの名前が付いた定理が登場するのは，２章の5.2節である．
- 9. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 9 ※できる限り，正確に日本語訳しています．
- 10. １．剛体変換 剛体変換：物体の任意の二点間の距離を保つ変換 10 : 任意の物体の位置 : 3x3の直交行列 : 並進ベクトル 例 ) マニピュレータのリンクの運動を 記述する際，「剛体変換」が必須．
- 12. 剛体変換の性質 剛体上の点の運動について • 写像 を考える． 任意の2点， とこれらを結んだ有向ベクトル が与えられた場合 • は３次元のベクトルで，向きとその移動量を持つ． • ただし別の点 によって という場合があるので， この有効ベクトル は自由ベクトル（free vector）を呼ばれることがある • 点間の剛体変換による動作はベクトル上の動作として考えるの自然． 12
- 14. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 14 ※できる限り，正確に日本語訳しています．
- 16. ① 回転行列の性質 回転行列の重要な性質 行列 の各列ベクトルを とすると， つまり， という性質が満たされる．これより， 16 → 軸同士は直交している． この性質を数学的にきっちり定義したい！ ① ②
- 18. 特殊直交群 前述の２つの性質を満たす行列の集合→特殊直交群 と言う 18 ※本書では，n=3のみしか扱わない 𝑺𝑶 𝟑 は行列による変換は関して群の公理を満たす（証明略） １．計算は閉じている ２．単位元が存在 ３．逆元が存在 ４．結合法則が成立
- 19. 回転行列の概要 • の変換→回転行列 19 座標A 座標B • は三次元空間から三次元空間への写像 • 座標系Bから座標系Aへの点の回転
- 20. 回転行列の性質 • は座標系B上のベクトルでも定義可 • 行列の乗算は線形なので， の時， • 乗算によって変換は結合可 20 座標A 座標B ← CからBの変換にBからAの変換を重ねると，Cか らAへの変換になる（結合法則）
- 22. 回転行列の性質 【補題2.1】 22 • 式2.6 : それぞれの回転は外積の回転である • 式2.7 : 回転軸の回転である（？） 直観的な理解 ※いずれにせよ，単純な計算で証明できる
- 23. 回転行列の性質 【命題 2.2】回転は剛体変換である． 23 • 回転行列R は剛体変換の定義を満たす． • 証明は補題2.1を用いると容易． 証明① 証明② 補題2.1より
- 24. ② 回転のためのExponential coordinate • Exponential coordinateに対応する日本語がない． （※直訳すると『指数座標』になるが…） • ロボティクス分野では固定軸に対する リンク系の回転を扱うことが多い→ 24 回転軸の向き 回転量 だけで， 回転を表現したい
- 25. Exponential coordinate • 一定の速度で回転している場合 解析学の知識を使うと，以下のように解ける 25 一般にexponential は無限級数で表現される．ここでは行列表現のべき級数である．
- 26. Exponential coordinate • 軸を示す単位ベクトル とその定数倍 で回転を表現． 26 ここで，𝜔 はベクトル積の行列表現なので，歪対称行列（交代行列）であることに注意↔ 軸を逆にすると回転方向が逆なることが示唆されている． 前述の流れを利用して… つまり… のように定義できる空間で𝜔を考える． 本書では，𝑛 = 3の場合のみを扱う（三次元空間内でしか回転を考えないため．）
- 27. Exponential coordinate この前提の下で，座標変換も定義可能で… 27 単位ベクトル𝜔 ∈ 𝑠𝑜(3)とその定数倍𝜃 ∈ 𝑅 ただ，普通に考えて解き辛い…！！ → 無限級数だし，なんか乗算も多いし… 何とか，行列群 の性質を使ってこれの式変形したい
- 30. Exponential coordinate 30 • 一般解 * https://ishitatakeshi.netlify.app/so3.html ※参考
- 32. Exponential coordinate 32 直訳）この歪対称行列の級数表現は直交系である 幾何的に言えば，歪対称行列は回転軸に対応している． 歪対称行列と直交行列の関係は，指数部の回転に対応． すべての回転行列はある歪対称行列の行列指数として表現可能． Expは から への射影であると考えられる
- 34. Exponential coordinate 34 直訳）SO(3)の変換が与えられたとき，三次元空間内の 任意の単位ベクトルωと任意の実数θが存在するとき， で表すことができる． は，Rという回転行列の軸の方向を示している． → このことから「１軸回転軸」という日本語訳もある．
- 35. Exponential coordinate 35 直訳）任意の回転Rは，固定軸ωと角度θの回転と等価である． 単位ベクトルωと任意の実数θが存在す るとき，𝑅 = 𝑒𝑥𝑝(𝜔𝜃) 歪対称行列の級数表現は直交系 以上より座標の（自由な）軸の回転について厳密に定義 軸と回転量というパラメータから行列が求まる．
- 36. Other representations • オイラー角（Euler angles） （α, β, γ）：Z軸周りの回転α→X’軸まわりの回転β→Z’’軸周りの回転γ • クォータニオン（Quaternion） 36 三次元空間内での回転をこの４次元のベクトルで表現． ※割愛
- 37. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 37 ※できる限り，正確に日本語訳しています．
- 38. ３．三次元空間内の剛体の運動 剛体の運動＝回転＋並進 • 原点の並進ベクトル • 座標の回転行列 38 この時，並進ベクトルと回転行列の積空間を と考え， これを「特殊ユークリッド空間」と呼称する． ※もちろん３次元以上の定義も可能だが割愛
- 39. 特殊ユークリッド群の表現 ベクトルの変換は… 39 𝑞 : 座標A上の点 𝑞 : 座標B上の点 𝑅 : B→Aの回転 𝑝 : B→Aの原点の並進ベクトル 剛体変換の運動についての記述は次のようになる．
- 40. ① 同次座標表現 • 前述の式を表現する便利な式の導入→ の行列の導入 → 同次座標表現（同次座標変換） 40 注意 • ベクトル の和と差は定義できる． • ベクトルと点の和は点を示す． • 点同士の差はベクトルである． ただし，点同士の和に意味はない （４行目の計算が謎になるので．）
- 45. （再掲）剛体変換 剛体変換：物体の任意の二点間の距離を保つ変換 45 : 任意の物体の位置 : 3x3の直交行列 : 並進ベクトル 例 ) マニピュレータのリンクの運動を 記述する際，「剛体変換」が必須．
- 47. ② 剛体運動とねじれのためのExponential coordinates • Exponential coordinatesを特殊ユークリッド群にも適用 47
- 51. 命題2.8 指数写像 51 直訳）指数写像は への座標である． これが の要素である． なんかいろいろあって…（証明略）
- 52. Exponential coordinates • 並進運動が入った分，単なる剛体運動とは異なる → 剛体の運動を適用した後に座標に変換．と解釈 52 座標 変換後の座標 同様にして… この は剛体の相対的な運動を記述しているようなものだと解釈
- 53. 命題 2.9 への射影 53 直訳）特殊ユークリッド群の要素 があるとき， に属するξや実数 が存在する なんかいろいろあって…（証明略） いかなる剛体変換 もこのねじれ（twist）の指数表現で記述できる． 𝟔を，剛体変換 の指数座標（exponential coordinates）と呼ぶ．
- 54. 例 2.2 線に関する回転のねじれ座標 変換 54 命題 2.9などを用いて… 例が簡単な割にめちゃくちゃ解釈しづらい
- 56. ③ スクリュー: ねじれの幾何的表現 ねじれ に関連する幾何学的属性 のいくつかを調査 56 軸に沿って だけ進む剛体運動を考える ねじのピッチ 軸の表現
- 57. 定義 2.2 スクリュー 57 （直訳）スクリュー は軸 とピッチ ，そして規模 からなる．スク リューモーションは回転量 ＝ による回転と，軸lに従う移動量 の 並進運動で表される． もしピッチが∞であるとき，純粋な移動量Ｍの並進移動になる．
- 59. スクリュー座標の定義 1. ピッチ 2. 軸 3. 大きさ 59 ねじを入れる動作をイメージ
- 60. 命題 2.10 ねじれとスクリュー運動 60 （意訳）スクリューを定義すると，剛体変換を示すねじれ が存在する． なんかいろいろあって…（証明略） 数学的にしっかり定義されているので，例外なく，ねじれを表現可能．
- 61. 定理 2.11 Chasles 61 （意訳）すべての剛体運動は，ある軸を中心とした回転と，その軸に対する平行移動による の乗算により，Bの座標系上の点をAの座標系の 変換である． 指数写像によって最終的に変換することが出来る． スクリューは座標の変換と回転で考えられるということが示唆している．
- 62. 例 2.3 線の回転 • 例 2. 3 62 𝜔 = 0, 0,1 , zero-pitch 𝑞 = 0, 𝑙 , 0 𝑔 𝜃 = exp 𝜉𝜃 𝑔 (0) 定義
- 63. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 63 ※できる限り，正確に日本語訳しています．
- 64. ４．剛体の速度 • の時間 でパラメータ化された曲線 で運動が 与えられる剛体の速度の公式を導出． • 剛体の速度を適切に表現するには、ねじれを利用することが必要で あることを示す． • 回転速度と並進速度の関係については慎重に考える必要がある． 64
- 65. ① 回転速度 • B→Aの回転軌道 → 回転速度については時間微分で導出すると… 65 式変形すると…
- 66. 補題 2.12 66
- 67. 瞬間空間角速度 • 瞬間空間角速度 → 座標Aから見た瞬間角速度と同じ • 瞬間物体角速度 → 物体上の座標系Bからみた瞬間角速度と同じ 67
- 69. 例 2.4 １自由度マニピュレータの回転 • 回転 • 空間速度 • 物体速度 69
- 71. 剛体の速度 剛体変換 71
- 74. ねじれの座標系の変換 • 写像 74 ねじれ について， が与えられた際， ある座標系から別の座標系への写像 ←逆行列はこれ
- 75. 補題2. 13 75 （意訳） で別の座標系にねじれ座標（６次元のパラメータ）を 変換してもある剛体変換 でねじれをそのねじれを表現できる．
- 76. 例2.5 1自由度系のマニピュレータ • 同次座標 • 速度について 76
- 77. ③ スクリュー運動の速度 • 前の例では，剛体の運動の空間速度を により計算． 77 ねじれで表した 剛体変換（∈ 𝑆𝐸(3)） 時間微分 代入
- 78. ③ スクリュー運動の速度 • ねじれ運動の物体速度も同様にして導出可能 78 𝑔 (0)が単位行列だったら…（回転がない場合．） 空間速度と物体速度は同じになる．
- 83. 例 2.6 リンク機構の速度 • 結果例 83
- 85. 目次 1. 剛体変換 Rigid Body Transformations 2. 三次元空間内の回転運動 Rotational Motion in 3. 三次元空間内の剛体の運動 Rigid Motion in 4. 剛体の速度 Velocity of a Rigid Body 5. レンジと相互スクリュー Wrenches and Reciprocal Screws 85 ※できる限り，正確に日本語訳しています．
- 89. ２つのレンチ • 異なる座標系でのレンチ ➞ 仕事量は等価である 89 座標系C 座標系B 𝑉 は任意なので 無視しても無問題 ２つのレンチの変換
- 91. 例2.7 多指による把持 • 例のような２つのレンチの場合 → 固定された系に対しては和で 表現される 91
- 92. ② レンチのためのスクリュー座標系 • 空間のある軸に沿って力を加え，同時に同じ軸に沿ってトルク を加えることで，レンチを発生させることができる． 92 シャールの定理（Chasles's theorem） ポインソの定理（Poinsot’s theorem） ポアンソ？
- 93. レンチの概念の定義 定義 93
- 94. 定理2.17 ポインソの定理 94 （直訳）剛体上に適用されるいかなるレンチの集合は， 同じ軸上のトルクに沿って力を加えたものを同等である． つまり，レンチを定義すれば，𝜔, 𝑞, ℎ, 𝑀, 𝐹 = (𝑓, 𝜏)というパラメータで以下 の等式(2.68)を解くことができる…ということの定理．
- 95. ③ Reciprocal Screw • Reciprocal = 相互，逆数，反転 →逆スクリュー？ • ねじれとレンチの内積→ • 瞬間的な力が0であるときには， スクリューが互いに打ち消しあう？よう なReciprocal なスクリューの関係 95
- 96. 定義2.3 Reciprocal screws 96 （機械翻訳）2本のネジS1とS2は、S1に関するねじれVとS2に沿ったねじれFが 逆に作用する場合，「reciprocalである」という．
- 97. 二つのスクリューの例 • 二つのレンチの角度 • 二つのレンチの積（Reciprocal product）を以下のように定義 97
- 98. 命題 2.18 98 証明ダイジェスト：𝑆 に沿うような𝑆 と𝐹を定義して…
- 99. 追加 99
- 101. 命題2.19 Reciprocal screw systemの次元 101 (訳) rをスクリューの次元であるとして，nを一致するreciprocalなシステムの次元であるとき， r+n=6が成り立つ • スクリュー ＝ 運動を引き起こすレンチの集合． • 逆スクリュー ＝ 運動を発生させないようにあうるねじれの集合． ちょっとよくわからないですが，詳細は次章にて紹介されるよう．
- 102. 今日のまとめ • 剛体変換について • Exponentialによる剛体変換 • ねじれ • 剛体運動の速度 • レンチの表現について • スクリュー表現に関係するレンチ • レンチFとねじれVのreciprocalである点に関する説明． • すべてのスクリューと逆システムの次元数の総和は6 • おすすめの勉強用サイト（MITのオンライン講義）→https://manipulation.csail.mit.edu/index.html 102
- 103. 103