Este archivo contiene problemas resueltos del curso de ecuaciones diferenciales, cada problema esta resuelto paso a paso para su mejor comprensión del lector

1. 1 RESOLVER:
SOLUCION: Dado que tiene la forma: ( )
n
n
d y
f x
dx
= lo solucionamos mediante
integrales sucesivas.
3
3
2
2
2
2
2
1
2
1
1 2
1 2
1
( )
2
2
x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
d y
xe
dx
u x du dx
d y
xe dx
dv e dx v e
dx
d y
x e e dx
dx
d y
xe e c
dx
dy
xe dx e dx c dx
dx
dy
xe e e c x c
dx
dy
xe e c x c
dx
y xe dx e dx c
−
−
− −
− −
− −
− −
− − −
− −
− −
=
= → =


= → 
= =
→ =
−


= − +
=
− − +
=
− − +
   
=− − − − − + +
   
= + + +
= + +
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ 2
2
1 2 3
2
1 2 3
2( )
2
3
2
x x x
x x
xdx c dx
x
y xe e xe c c x c
x
y xe xe c c x c
− − −
− −
+
=
− − + − + + +
∴ =
− − + + +
∫ ∫
3
3
x
d y
xe
dx
−
=

2. 2 RESOLVER:
SOLUCION: Dado que tiene la forma: ( )
n
n
d y
f x
dx
= lo solucionamos mediante
integrales sucesivas.
( )
2
2
2
2
2
3
2
1
3
2
1
4 3
1
4 3
1 2
2
2
2
3
3
1 1 1
. .
3 4 3
12 3
d y
x x
dx
dy
x x dx
dx
dy
x dx xdx
dx
dy x
x c
dx
x
y dx x dx c dx
y x x c x
x x
y c x c
= +
= +
= +
= + +
= + +
= + +
∴ = + + +
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
2
2
2
d y
x x
dx
= +

3. 3 RESOLVER:
SOLUCION: Dado que tiene la forma: ( )
n
n
d y
f x
dx
= lo solucionamos mediante
integrales sucesivas.
3
3
2
2
2 2
1
2
2
1
3
1 2
3
1 2
4 2
1
2 3
2
4
1
2 3
cos( )
cos( )
( )
2
( )
2
cos( )
6
cos( )
6
1 1
. . ( ) .
6 4 2
( )
24 2
d y
x x
dx
d y
xdx x dx
dx
d y x
sen x c
dx
dy x
dx sen x dx c dx
dx
dy x
x c x c
dx
x
y dx x dx c xdx c dx
c
y x sen x x c x c
c x
x
y sen x c x c
= +
= +
=+ +
= + +
= − + +
= − + +
= − + + +
∴ = − + + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
''' cos( )
y x x
= +

4. 4 RESOLVER:
SOLUCION:
3
3
2
2
2
2
2
1
2
. ( )
. ( )
( ) cos( )
cos( ) cos( )
cos
d y
x sen x
dx
u x du dx
d y
x sen x dx
dv sen x dx v x
dx
d y
x x x dx
dx
d y
x x senx c
dx
=
= → =


= → 
= =
→ =
−


=
− +
=
− + +
∫
∫ ∫
∫
Por condicion: y’’(0)=1
1 1
2
2
2
(0)cos(0) (0) 1 1
cos 1
cos
cos
2cos
sen c c
d y
x x senx
dx
u x du dx
dy
x xdx senxdx dx
dv xdx v senx
dx
dy
xsenx x x c
dx
− + + = → =
=
− + +
= → =


=
− + + → 
= =
→ =


=
− − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Por condicion: y’(0)=2
2 2
2
3
(0) (0) 2cos(0) 0 2 4
2cos 4
2 cos 4
cos 3 4
2
sen c c
dy
xsenx x x
dx
y xsenxdx xdx xdx dx
x
y x x senx x c
− − + + = → =
=
− − + +
=
− − + +
= − + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Por condicion: y(0)=2
2
3 3
2
0
(0)cos(0) 3 (0) 4(0) 0 0
2
cos 3 4
2
sen c c
x
y x x senx x
− + + + = → =
∴
= − + +
3
3
. ( ); (0) 0; '(0) 2; ''(0) 1
d y
x sen x y y y
dx
= = = =

5. 3
2
3
2
2
2
2
1
2
1 1
2
2
5
(
1 1
cos ( ); (0) ; '(0) ; ''(0) 0
6 8
1
cos ( ) (cos2 1)
2
1 2
)
2 2
(0) 0
0 0
4 2
1 1
2
'
4 2
1 co
)
s2
_ : '(0 0
:
.
4 2 4
P
d y
x y y y
dx
d y
x dx x dx
dx
d y sen x
x c
dx
sen
c c
dy
sen xdx xdx
dx
dy x x
c
dx
RESOLVER
Por condi
U
ci
SOL CI N
ó y
O
n
= = = =
= = +
= + +
= + + →
=
+
−
= + +
−
=
∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
2
3
3
3
3 3
3
1 cos(0) (0) 1
8 8 4 4
1 1 1
cos2
8 4 4
2
16 12 4
1 (0) (0) 0 1
16 16 12 4 16
2 1
16 12 4 16
1
_ : '(0)
8
1
_ : (0)
16
or condició
c c
y xdx x
y
dx dx
sen x x x
y c
sen
c c
se
n y
Por condició
y
n x x x
n
−
= + + →
=
−
= + +
−
= + + +
−
= + + + →
=
−
∴
= + +
=
=
+
∫ ∫ ∫

6. 3
3 5
2
2 5 5 5
2
2 4 5
2
3 4
1
2
3 1
6
; (1) '(1) ''(1) 0
( 2)
2 2
( 2) ( 2) ( 2)
1 3 2 4
. .
3 ( 2) 4 ( 2)
1 1
.( 2) .( 2)
3
0
2
1
0 .(
3
_ : ''(1)
:
1 2)
RESOLVER
Por co
d y x
y y y
dx x
d y x x
dx dx dx
dx x x x
d
i
y
dx dx
dx x x
d y
x x c
dx
U
nd ci
SOL CI N
ón y
O
− −
−
= = = =
+
+
= −
+ + +
− − −
+
+ +
−
= + + + +
−
+
=
+
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 1 4
3 4
4
2 3
2
4
2 3
2 2
4 3
2 3
4
1
:
.(1 2)
2 2.3
1 1 1
. ( 2) . ( 2)
3 2 2.3
1 1
.( 2) .( 2)
6 6 2.3
1 1 1 1
0 .(1 2) .(1 2)
6 6 2.3 2.3
1 1
. ( 2) . ( 2)
6 6 .
_ '(1) 0
2 3
Por
c c
dy
x dx x dx dx
dx
dy x
x x c
dx
c c
x
y x dx x dx dx
ó
condici n y
−
− −
− −
− −
− −
+ + → =
−
= + + + +
= + − + + +
−
= + − + + + → =
= + − + + −
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 3
2
1 2
3
2 4 3
2
1 2
3 3
2 4 3 4
2
2 2 4 3 4
1
2.3
1 1
.( 2) .( 2)
6 12 2 .3 2.3
1 1 1 1 5
0 .(1 2) .(1 2)
6 12 2 .3 2.3 3
2 3 5
12.
1
( 2) 2 .
_ 0
.3 2 3 3
: ( )
dx
x x
y x x c
c c
x x x
co
y
Por ndi y
x
ción
− −
− −
−
= + + + + − +
−
= + + + + − + → =
+
=
∴ =
− + − +
+
∫

7. 2 3
2
( )
2
1 2
2 ' 2
1 1
'
2 2
1 1 2 2
1
7
'' 3 ' 2 ( )
: 3 2 0 2;1
. .
et min _ _ _ :
2.
_ _ _ : .
_
_
_
:
x
r
x x
g
x x
x x
p
y y y x x e
p r r r
y c e c e
D er amos la solución particular
y e y e
y e y e
La solución particular y
Soluci
es y u u y
u
Sistema de ec
RESO V
ó
c
L
i
ER
ua nes
n
o
− + = +
− + = → =
= +
= → =
= → =
= +
' 2 '
2
' 2 ' 2 3
1 2
2
3
2
2 3
' 2 2 2
1 1
3
2
2 2 3 2
' 2 2 2 2
2 2
3
2
. . 0
.2. . ( )
2.
0
( )
( ) ( ) ( 1)
0
2. ( ) .
( ) ( )
2
:
(
x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x x x
x
x
x x x
x x
x
x
p
e u e
u e u e x x e
e e
w e
e e
e
x x e e
u x x e u x x e dx e x x
e
e
e x x e e x
u x x e u x x e dx
e
Entonces
y e x
 + =


+ = +


= = −
+
= = + → = + = − +
−
+
= =
− + → =
− + =
−
−
=
∫
∫
2
2
3 2
2
1 2
.
1). .
2
_ _ :
( 2 2)
. .
2
x
x x
g p
x
x x
e x
x e e
La solución es y y y
e x x
y c e c e
− + −
= +
− +
∴ = + +

8. 2 2
3 2
2
1 2 3
2 2 2 3 2
' 2 3 2 3 2
8
_
''' 2 '' (2 3 2)
: 2 0 0;0; 2
. .
: 2; _ _ _ _ :
. ( ) ( . )
(3 2 ) 2. ( .
:
_
x
r
x
g
x x
p p
x x
p
y y x x e
p r r r
y c c x c e
como r es raíz de la EDH entonces
y x e Ax Bx C y e Ax Bx C x
y e Ax Bx C e Ax Bx C x
RESOLVER
Solución
α
−
−
− −
− −
+ = + −
+ = → = −
= + +
= = −
= + + →
= + +
= + + + − + +
' 2 3 3 2
' 2 3 2
'' 2 2
2 3 2
'' 2 2 3
2
)
(3 2 2 2 2 . )
( 2 (3 2 ) (2 2 ) )
( 6 2 (3 2 ) (2 2 ))
2. ( 2 (3 2 ) (2 2 ) )
( 6 (6 4 ) 2 2 4
(6 4 ) (4 4 ) 2
x
p
x
p
x
p
x
x
p
y e Ax Bx C Ax Bx C x
y e Ax x A B x B C C
y e Ax x A B B C
e Ax x A B x B C C
y e Ax x A B B C Ax
x A B x B C C
−
−
−
−
−
= + + − − −
= − + − + − +
= − + − + − −
− − + − + − +
= − + − + − + −
− − − − −
'' 2 3 2
)
(4 ( 12 4 ) (6 8 4 ) 2 4 )
x
p
y e Ax x A B x A B C B C
−
= + − + + − + + −

9. ''' 2 2
2 3 2
''' 2 2
3 2
''' 2 3 2
(12 2 ( 12 4 ) (6 8 4 ))
2. (4 ( 12 4 ) (6 8 4 ) 2 4 )
(12 ( 24 8 ) 6 8 4
8 (24 8 ) ( 12 16 8 ) 4 8 )
( 8 (36 8 ) ( 36 24 8
x
p
x
x
p
x
p
y e Ax x A B A B C
e Ax x A B x A B C B C
y e Ax x A B A B C
Ax x A B x A B C B C
y e Ax x A B x A B C
−
−
−
−
= + − + + − + −
− + − + + − + + −
= + − + + − + −
− + − + − + − − +
= − + − + − + −
( )
2 2
2 3 2
2 3 2 2 2
3 2
) 6 12 12 )
Re _ _ _ : ''' 2 '' (2 3 2)
( 8 (36 8 ) ( 36 24 8 ) 6 12 12 )
2 (4 ( 12 4 ) (6 8 4 ) 2 4 ) (2 3 2)
( 8 (36 8 ) ( 36 24
x
x
x x
A B C
emplazando en la ecuación y y x x e
e Ax x A B x A B C A B C
e Ax x A B x A B C B C x x e
Ax x A B x A B
−
−
− −
+ − +
+ = + −
− + − + − + − + − + +
+ + − + + − + + − = + −
− + − + − + −
( )
3 2 2
2 2
2 3 2
8 ) 6 12 12 )
(8 ( 24 8 ) (12 16 8 ) 4 8 ) (2 3 2)
(12 ) ( 24 8 ) 6 8 4 2 3 2
1 7
_ min _ _ : ; ; 1
6 8
:
1 7
( . . )
6 8
_ _ :
x
p
g p
C A B C
Ax x A B x A B C B C x x
x A x A B A B C x x
Igualando ter os se tiene A B C
Entonces
y e x x x
La solución es y y y
y c
−
+ − + +
+ + − + + − + + − = + −
+ − + + − + = + −
= = =
= + +
= +
∴ =
3 2
2 2
1 2 3
7
. . ( )
6 8
x x x x
c x c e e x
− −
+ + + + +

10. 2
1 2
( )
'
''
9
.
'' 9 cos( )
: 9 0 3
.cos(3 ) . (3 )
: _ _ _ : . cos( ) cos( ) 0; 1
:
_" "_ _ _ _ _ _ _
cos(
o
_
) ( )
( ) c s( )
r
g
n
x
p
p
p
y y x
p r r i
y c x c sen x
como R tiene la forma C x bx x n b
Como b no es la raíz de la EDH
y A x Bsen x
y Asen x B x
y A
Solución
RESOLVER
+ =
+ = → =
±
+
= → = =
= +
=
− +
= −
1 2
cos( ) ( )
Re _ _ _ : '' 9 cos( )
cos( ) ( ) 9 cos( ) 9 ( ) cos( )
1
8 cos( ) 8 ( ) cos( ) ; 0
8
:
1
.cos( )
8
_ _ :
cos
.cos(3 ) . (3 )
p
g p
x Bsen x
emplazando en la ecuación y y x
A x Bsen x A x Bsen x x
A x Bsen x x A B
Entonces
y x
La solución es y y y
y c x c sen x
−
+ =
− − + + =
+ = → = =
=
= +
∴
= + +
( )
8
x

11. ( )( )
4 2
4 2
4 2 2 2
1 2 3 4
( )
1
)
1
:
2 5. (2 )
: 2 1 0 1 1 0 ; 1;1; 1
. .
: _ _ _ : . . ( 5. (2 ) 0; 2
_" "_ _ _ _ _ _
0 _
_
r
x x x x
g
n
x
p
d y d y
y sen x
dx dx
p r r r r r
y c e c xe c e
E
Solució
c xe
como R tiene la forma C x sen bx se
L
n x n b
Com a
n
o b no es la raíz d
E R
e l D
y
R O
H
S VE
− −
− + =
− + = → − − = → = − −
= + + +
= → = =
=
'
''
'''
4 2
4 2
cos(2 ) (2 )
2 (2 ) 2 cos(2 )
4 cos(2 ) 4 (2 )
8 (2 ) 8 cos(2 )
16 cos(2 ) 16 (2 )
Re _ _ _ : 2 5. (2 )
16 cos(2 ) 16 (2 ) 2 4 cos
p
p
p
iv
p
A x Bsen x
y Asen x B x
y A x Bsen x
y Asen x B x
y A x Bsen x
d y d y
emplazando en la ecuación y sen x
dx dx
A x Bsen x A
+
=
− +
=
− −
−
+
− + =
+ − −
( )
1 2 3 4
(2 ) 4 (2 )
cos(2 ) (2 ) 5. (2 )
cos 2 (16 8 ) 2 (16 8 ) 5. (2 )
1
cos 2 (25 ) 2 (25 ) 5. (2 ) 0;
5
:
1
(2 )
5
_ _ :
(
. .
p
g p
x x x x
x Bsen x
A x Bsen x sen x
x A A A sen x B B B sen x
x A sen x B sen x A B
Entonces
y sen x
La solución es y y y
sen
y c e c xe c e c xe
− −
− +
+ + =
+ + + + + =
+ = → = =
=
= +
∴ = + + + +
2 )
5
x

12. 3 2
3 2
3 2 3
2
1 2 3
( )
1
_
3 3 cos(2 )
: 3 3 1 0 ( 1) 0 1;1;1
. . . .
_ _ _ _ _ :
cos( ) cos(2 ) 0; 1; 2
_1 2 _ _ _ _ _
:
1_
x
r
x x x
g
x
n ax x
d y d y dy
y e x
dx dx dx
p r r r r r
y c e c x e c x e
Dado que R tiene la forma
Cx e bx e x n a b
Como i n
O
o e
i
s raí
V
So
RE
c
S L ER
l
lu ó
de
n
z a
− + − =
− + − = → − = → =
= + +
= → = = =
±
'
'
''
''
_ :
cos2 2
2 ( 2 ) cos(2 ) 2 cos2 (2 ).
2 ( 2 ) cos2 ( 2 )
( 2 ). .2.cos2 ( 2 ). 2 .
( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) cos2
c
x x
p
x x x x
p
x x
p
x x
p
x x
x
p
ecuación entonces
y Ae x Be sen x
y Ae sen x A x e Be x Bsen x e
y e sen x A B e x A B
y A B e x A B sen x e
A B e sen x A B e x
y e
+
= − + + +
= − + + +
=− + + − + +
+ + − + +
=
'''
'''
os2 (4 3 ) 2 ( 4 3 )
(4 3 ) ( 2 2 ) (4 3 ) cos2
( 4 3 ). .2.cos2 ( 4 3 ). 2 .
2 ( 11 2 ) cos2 ( 2 11 )
x
x x
p
x x
x x
p
x B A e sen x A B
y B A e sen x B A e x
A B e x A B sen x e
y e sen x B A e x B A
− + − −
= − − + − +
+ − − + − −
= − + + − −

13. ( )
( )
( )
3 2
3 2
Re _ _ _ : 3 3 cos(2 )
2 ( 11 2 ) cos2 ( 2 11 )
3 cos2 (4 3 ) 2 ( 4 3 )
3 2 ( 2 ) cos2 ( 2 )
cos2 2 cos(2 )
2 (8 ) cos2
x
x x
x x
x x
x x x
d y d y dy
emplazando en la ecuación y e x
dx dx dx
e sen x B A e x B A
e x B A e sen x A B
e sen x A B e x A B
Ae x Be sen x e x
sen x A
− + − =
− + + − − −
− − + − − +
+ − + + + −
− + =
+
2
1 2 3
( 8 ) cos(2 )
1
_ min _ _ : 0;
4
:
1
2
4
_ _ :
1
. . . . 2
4
x
p
g p
x x x x
x B x
Igualando ter os se tiene A B
Entonces
y e sen x
La solución es y y y
y c e c x e c x e e sen x
− =
= = −
= −
= +
∴ = + + −

14. 2
2
( )
2
1 2
( )
2
'
''
2
2
1
_
'' ' 2 14 2 2
: 2 0 ( 2)( 1) 0 2;1
. .
_ _ :
2
2
Re _ _ _ : '' ' 2 14 2 2
2 2
2
2
_
:
r
x x
g
x
p
p
p
y y y x x
p r r r r r
y c e c e
Como R es cuadratico
y Ax Bx C
y Ax B
y
E
A
emp
O
lazando en la ecuación y y y x
B
RES
ó
x
A
R
Solu
x
ci n
V
Ax
L
A
−
+ − = + −
+ − = → + − = → = −
= +
= + +
= +
=
+ − = + −
+ + − − 2
2
2 2
1 2
2 2 2 2 14
_ min _ :
2 2 2 0
2 2 1
2 2 14 6
:
6
_ _ :
. . 6
p
g p
x x
Bx C x x
Igualando ter os tenemos
A B B
A A
A B C C
Quedando
y x
La solución es y y y
y c e c e x
−
− =
− + +
− = → =
− =
− → =
+ − = → =
−
= −
= +
∴= + + −

15. 2 '
(0) (0)
2
( )
1 2
( )
2
'
''
2
2 2
1
n
'' 2; 2
: 1 0 ;
.cos .
_ _ _ :
2
2
Re
:
_ _ :
3
_ '' 2
_
2 2
_ mi
r
g
x
p
p
p
y y x y y
p r r i i
y c x c senx
Como R es cuadratico
y Ax Bx C
y Ax B
y A
emplazando en la ec
S
uación
R
oluci
y y x
A Ax Bx C x
Igualando te
ESOLVER
ó
r
n
+ = + = =
+ = → = −
= +
= + +
= +
=
+ = +
+ + + = +
2
2
1 2
'
(0) (0)
2 2
1 2 1 2 1
'
1 2 1
_ :
1
0
2 2 0
:
_ _ _ :
.cos .
_ _ : 2
.cos . 2 .(0) 0 2
. .cos 2 2 (0)
p
g p
os tenemos
A
B
A C C
Quedando
y x
La solución general es y y y
y c x c senx x
Por condiciones iniciales y y
y c x c senx x c c c
y c senx c x x c
=
=
+ = → =
=
= +
= + +
= =
= + + → = + + → =
=
− + + → =
− 2 2
2
0 2
_ _ _ :
2cos 2
c c
La solución particular es
y x senx x
+ + → =
∴
= + +

16. 4 2 2 2
( )
1 2 3 4
( )
2 2 3
' 2
''
'''
'
1
:
' ''
: 0 ( 1) 0 0;0; ;
cos
_ _ _ _ . 1
( )
2 3
2 6
6
0
R
4
:
_ _
_
e _
v
v
r
g
n
x
p
p
p
p
p
y y x
p r r r r r i i
y c c x c x c senx
Como R tiene la forma C x x n
y x A Bx Ax Bx
y Ax Bx
y A Bx
y B
y
emplazando en la ecua
O
Soluci
RES LVE
ón
R
+ =
+ = → + = → = −
= + + +
= → =
= + = +
= +
= +
=
=
3
3
1 2 3 4
: ' ''
0 2 6
_ min _ :
0
1
6
:
6
_ _ :
cos
6
v
p
g p
ción y y x
A Bx x
Igualando ter os tenemos
A
B
Quedando
x
y
La solución es y y y
x
y c c x c x c senx
+ =
+ + =
=
=
=
= +
∴ = + + + +

17. 2
( )
1 2
( )
'
''
1
.
'' 2 ' 3 9
2 4 4(1)(3)
2
2 2 2
: 2 3 0
2
1 2 ; 1 2
cos( 2 ) . ( 2 )
_ _ _ _ : . 1
0
Re _ _ _
:
5 _
r
x x
g
n
x
p
p
p
y y y x
r
p r r r
r i i
y c e x c e sen x
Como R tiene la forma C x x n
y A Bx
y B
y
emplazando en la ecu
R
Solución
ESOLVER
− −
+ + =
 − ± −
=


 − ±

+ + = → =


 =− + − −



+
= → =
= +
=
=
1 2
: '' 2 ' 3 9
0 2 3 3 9
_ min _ :
2 3 0 2
3 9 3
:
3 2
_ _ :
. cos( 2 ) . ( 2 ) 3 2
p
g p
x x
ación y y y x
B A Bx x
Igualando ter os tenemos
B A A
B B
Quedando
y x
La solución es y y y
y c e x c e sen x x
− −
+ + =
+ + + =
+ =→ =
−
= → =
= −
= +
∴ + + −

18. 4 3 2
4 3 2
( )
2 2
2 2 2 2
1 2 3 4
( )
( 8 42 104 169)( )
: 8 42 104 169 0
( 4 13) 0 2 2 ;2 2 ;2 2 ;2 2
. cos3 cos3 . 3 3
1
:
_ _ _ _ _ lg _
6 _
x
r
x x x x
g
x
D D D D y senx e
p r r r r
r r r i
t
S
i i i
y c e x c xe x c e sen x c xe sen x
Como R es una suma a ebrai
olució
O
n
L
ca
RES VER
− + − + = +
− + − + =
− + =→ =
+ + − −
= + + +

'
''
'''
'
:
0; 1
1; 0
cos
cos
cos
cos
cos
v
n
ax n x
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
enemos
Cx senbx senx n b
Ce x e a n
y A x Bsenx Ce
y Asenx B x Ce
y A x Bsenx Ce
y Asenx B x Ce
y A x Bsenx Ce
= → = =
= → = =
= + +
=
− + +
=
− − +
= − +
= + +

19. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
4 3 2
Re _ _ _ :
( 8 42 104 169)( )
cos 8 cos
42 cos 104 cos
169 cos
cos 128 96 96 128 100
x
x x
x x
x x
x
emplazando en la ecuación
D D D D y senx e
A x Bsenx Ce Asenx B x Ce
A x Bsenx Ce Asenx B x Ce
A x Bsenx Ce senx e
x A B senx A B e C senx e
− + − + = +
+ + − − + +
+ − − + − − + + +
+ + + = +
− + + + = +
2
1 2 3 4
_ min _ :
128 96 0 3 1
;
96 128 1 800 200
1
100 1
100
:
3cos
800 200 100
_ _ :
3cos
{cos3 ( ) 3 ( )}
800 200 100
x
x
p
g p
x
x
Igualando ter os tenemos
A B
A B
A B
C C
Quedando
x senx e
y
La solución es y y y
x senx e
y e x c c x sen x c c x
− =

= =

+ =

= → =
= + +
= +
∴ + + + + + + +

20. 4 2 3
4 2 4
( )
2 3
1 2 3 4 5 6
3
( )
4 5 6 7
' 6 5 4 3
'' 5 4
( 1)( )
: ( 1) ( 1)( 1) 0
0;0;0;0;1; 1
_ _ _ _ :
1
3
7 6 5 4
3
:
42
7
0
_
r
x x
g
n
x
p
p
p
D D y x
p r r r r r
r
y c c x c x c x c e c e
Como R tiene la form
RESOLVER
n
a Cx x
y Ax Bx Cx Dx
y Dx C
u
x B
Sol ci
x Ax
y Dx x
ó
C
n
−
− =
− = − + =
= −
= + + + + +
= → =
= + + +
= + + +
= + +

( )
3 2
''' 4 3 2
' 3 2
2
'
4 2 3
3 2 3
3 2
20 12
210 120 60 24
840 360 120 24
2520 720 120
5040 720
Re _ _ _ : ( 1)( )
5040 720 840 360 120 24
840 36
v
v
v
p
p
p
p
Bx Ax
y Dx Cx Bx Ax
y Dx Cx Bx A
y Dx Cx B
y Dx C
emplazando en la ecuación D D y x
Dx C Dx Cx Bx A x
Dx x
+
= + + +
= + + +
= + +
= +
− =
+ − + + + =
− + −
( ) ( ) 3
0 5040 120 720 24
C x D B C A x
+ − + − =

21. 5 7
5 7
2 3
1 2 3 4 5 6
_ min _ :
1
840 1
840
360 0 0
720 24 0 0
1
5040 120 0
20
:
20 840
_ _ :
20 840
p
g p
x x
Igualando ter os tenemos
D D
C C
C A A
D B B
Quedando
x x
y
La solución es y y y
x x
y c c x c x c x c e c e−
− =
→ =
−
− = → =
− = → =
− =→ =
−
=
− −
= +
∴ = + + + + + − −

22. 18_RESOLVER
(𝑥𝑥2
− 3)𝑦𝑦′′ + 2𝑥𝑥𝑥𝑥′ = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛:
𝑦𝑦 = � 𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
𝑦𝑦′
= � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=1
𝑦𝑦′′
= � 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=2
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛:
(𝑥𝑥2
− 3) � 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=2
+ 2𝑥𝑥 � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=1
= 0
� 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=2
��
�
�
�
���
�
�
�
��
𝑘𝑘=𝑛𝑛
− 3 � 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=2
�������������
𝑘𝑘=𝑛𝑛−2→𝑛𝑛=𝑘𝑘+2
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛=2→𝑘𝑘=0
+ 2 � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
��
���
��
𝑘𝑘=𝑛𝑛
= 0
� 𝑘𝑘(𝑘𝑘 − 1)𝑐𝑐𝑘𝑘. 𝑥𝑥𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=2
− 3 �(𝑘𝑘 + 2)(𝑘𝑘 + 1)𝑐𝑐𝑘𝑘+2. 𝑥𝑥𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=0
+ 2 � 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑘𝑘. 𝑥𝑥𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=1
= 0
� 𝑘𝑘(𝑘𝑘 − 1)𝑐𝑐𝑘𝑘. 𝑥𝑥𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=2
− 6𝐶𝐶2 − 18𝐶𝐶3𝑥𝑥 − 3 �(𝑘𝑘 + 2)(𝑘𝑘 + 1)𝑐𝑐𝑘𝑘+2. 𝑥𝑥𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=2
+ 2𝐶𝐶1𝑥𝑥 + 2 � 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑘𝑘. 𝑥𝑥𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=2
= 0
−6𝐶𝐶2 − 18𝐶𝐶3𝑥𝑥 + 2𝐶𝐶1𝑥𝑥 + �[𝑘𝑘(𝑘𝑘 − 1)𝑐𝑐𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=2
− 3(𝑘𝑘 + 2)(𝑘𝑘 + 1)𝑐𝑐𝑘𝑘+2 + 2𝑘𝑘𝑐𝑐𝑘𝑘]𝑥𝑥𝑘𝑘 = 0
−6𝐶𝐶2 − 18𝐶𝐶3𝑥𝑥 + 2𝐶𝐶1𝑥𝑥 �
−6𝐶𝐶2 = 0 → 𝐶𝐶2 = 0
−18𝐶𝐶3𝑥𝑥 + 2𝐶𝐶1𝑥𝑥 = 0 → 𝐶𝐶1 = 9𝐶𝐶3
𝑘𝑘(𝑘𝑘 − 1)𝑐𝑐𝑘𝑘 − 3(𝑘𝑘 + 2)(𝑘𝑘 + 1)𝑐𝑐𝑘𝑘+2 + 2𝑘𝑘𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0
𝑐𝑐𝑘𝑘+2 =
𝑘𝑘(𝑘𝑘 − 1) + 2𝑘𝑘
3(𝑘𝑘 + 2)(𝑘𝑘 + 1)
. 𝑐𝑐𝑘𝑘 ; 𝑘𝑘 = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 … … …
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞: 𝑐𝑐2 = 𝑐𝑐4 = 𝑐𝑐6 = 𝑐𝑐8 = ⋯ = 0

23. 𝑐𝑐5 =
𝑐𝑐1
45
; 𝑐𝑐7 =
𝑐𝑐1
243
; 𝑐𝑐9 =
𝑐𝑐1
729
; … … …
∴ 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 +
𝑐𝑐1
9
𝑥𝑥 +
𝑐𝑐1
45
𝑥𝑥3 +
𝑐𝑐1
243
𝑥𝑥5 +
𝑐𝑐1
729
𝑥𝑥7 + ⋯
19_RESOLVER

24. 𝑦𝑦′′ + 𝑥𝑥𝑦𝑦′ − 2𝑦𝑦 = 0 𝑦𝑦(0) = 1; 𝑦𝑦′(0) = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛: 𝑦𝑦 = � 𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
𝑦𝑦 = 𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐3𝑥𝑥3 + ⋯
𝑦𝑦(0) = 1 → 𝑐𝑐0 = 1
𝑦𝑦′ = � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=1
; 𝑦𝑦′′ = � 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=2
𝑦𝑦′ = 𝑐𝑐1 + 2𝑐𝑐2𝑥𝑥 + 3𝑐𝑐3𝑥𝑥2 + 4𝑐𝑐4𝑥𝑥3 + ⋯
𝑦𝑦′(0) = 0 → 𝑐𝑐1 = 0
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛:
� 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=2
+ � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
− 2 � 𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 0
�(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 1)𝑐𝑐𝑛𝑛+2. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
+ � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
− 2 � 𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 0
2𝑐𝑐2 + �(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 1)𝑐𝑐𝑛𝑛+2. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
+ � 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
− 2 − 2 � 𝑐𝑐𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
= 0
2𝑐𝑐2 − 2 + �[(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 1)𝑐𝑐𝑛𝑛+2 + 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛 − 2𝑐𝑐𝑛𝑛]𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
= 0
2𝑐𝑐2 − 2 → 𝑐𝑐2 = 0
𝑐𝑐𝑛𝑛+2 =
2 − 𝑛𝑛
(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 1)
𝑐𝑐𝑛𝑛 ; 𝑛𝑛 = 1; 2; 3; 4; 5; … … …
𝑛𝑛 = 0; �𝑐𝑐2 =
2
2
𝑐𝑐0 → 𝑐𝑐2 = 1

25. 𝑛𝑛 = 1; �𝑐𝑐3 =
1
6
𝑐𝑐1 → 𝑐𝑐3 = 0
𝑛𝑛 = 2; {𝑐𝑐4 =0
𝑛𝑛 = 3; �𝑐𝑐5 =
−1
20
𝑐𝑐3 → 𝑐𝑐5 = 0
𝑛𝑛 = 4; �𝑐𝑐6 =
−2
30
𝑐𝑐4 → 𝑐𝑐6 = 0
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:
𝑐𝑐3 = 𝑐𝑐4 = 𝑐𝑐5 = 𝑐𝑐6 = 𝑐𝑐7 = 𝑐𝑐8 = 𝑐𝑐9 = ⋯ = 0
∴ 𝑦𝑦 = 1 + 𝑥𝑥2
20_RESOLVER
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛:

26. 𝑑𝑑2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2
+ 𝑥𝑥 = 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥(0) = 0 ; 𝑥𝑥′(0) = 0
SOLUCIÓN:
𝑑𝑑2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2
+ 𝑥𝑥 = 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐿𝐿 �
𝑑𝑑2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2
� = 𝑠𝑠2
𝐿𝐿{𝑥𝑥} − 𝑠𝑠𝑠𝑠(0) − 𝑥𝑥′(0) = 𝑠𝑠2
𝐿𝐿{𝑥𝑥}
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅:
𝐿𝐿 �
𝑑𝑑2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2
� + 𝐿𝐿{𝑥𝑥} = 4𝐿𝐿{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐}
𝑠𝑠2
𝐿𝐿{𝑥𝑥} + 𝐿𝐿{𝑥𝑥} = 4 ∗
𝑠𝑠
𝑠𝑠2 + 1
𝐿𝐿{𝑥𝑥}(𝑠𝑠2
+ 1) =
4𝑠𝑠
𝑠𝑠2 + 1
𝐿𝐿{𝑥𝑥} =
4𝑠𝑠
(𝑠𝑠2 + 1)2
𝑥𝑥 = 𝐿𝐿−1 �
4𝑠𝑠
(𝑠𝑠2 + 1)2
� = 𝐿𝐿−1 �
4𝑠𝑠
𝑠𝑠2 + 1
∗
1
𝑠𝑠2 + 1
�
𝐿𝐿−1 �
4𝑠𝑠
𝑠𝑠2 + 1
� = 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; 𝐿𝐿−1 �
1
𝑠𝑠2 + 1
� = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥 = � 4 cos(𝑢𝑢) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡 − 𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
0
𝑥𝑥 = 4 � cos(𝑢𝑢) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) ∗ cos(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
0
− 4 � cos(𝑢𝑢) ∗ cos(𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
0
𝑥𝑥 = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) � (cos(𝑢𝑢))2
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
0
− 2cos(𝑡𝑡) � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
0
𝑥𝑥 = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) �
𝑡𝑡
2
+
1
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑡𝑡)� − 2cos(𝑡𝑡) �−
1
2
cos(𝑡𝑡) +
1
2
�
𝑥𝑥 = 2𝑡𝑡 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑡𝑡) + cos(𝑡𝑡) ∗ cos(2𝑡𝑡) − cos(𝑡𝑡)
𝑥𝑥 = 2𝑡𝑡 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) ∗ (2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) cos(𝑡𝑡)) + cos(𝑡𝑡) ∗ (1 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2
𝑡𝑡) − cos(𝑡𝑡)
𝑥𝑥 = 2𝑡𝑡 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 2(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡))2
∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) + cos(𝑡𝑡) − 2 cos(𝑡𝑡) ∗ (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2
𝑡𝑡) − cos(𝑡𝑡)
∴ 𝑥𝑥 = 2𝑡𝑡 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡)