Metody resheniya neravenstv_s_odnoj_peremennoj_zad

1. Prezentacii.com

2. 1. Алгебраические методы решения
Если исходить из определения неравенства, в котором
в обеих частях записаны выражения с переменной, то
при решении неравенств используют преобразования
(возведение в четную или нечетную степень,
логарифмирование, потенцирование), позволяющие
привести неравенство к более простому виду. В
процессе преобразований множество решений
исходного неравенства либо не меняется, либо
расширяется (можно получить посторонние решения),
либо сужается (можно потерять решения). Поэтому
важно знать, какие преобразования неравенства
являются равносильными и при каких условиях.

3. 1.1. Сведение неравенства к
равносильной системе или совокупности
систем
Как правило, преобразования используют для того,
чтобы в неравенстве освободиться от знаков корней, от
знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма.
Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых
стандартных неравенств определенного вида. При этом
отметим, что на практике некоторые цепочки
преобразований делают короче, пропуская некоторые
очевидные преобразования. Например, вместо
длинной цепочки преобразований
     ,,22 Nnxgxf nn

4.      
 
 
   
 
 
   
 
   
   
 






























.0
,
,,
,0
,
0
,0
0
,0
,
22
2
2
2
2
xg
xgxf
Nnxgxf
решениясхемукраткуюиспользуя
xg
xgxf
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
nn
n
n
n
n
В общем случае, если решение неравенства не
укладывается в стандартную схему, ход решения
разбивают на несколько логически возможных случаев.

5. Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство
2
2
2
2
15
196
4
15
196
*
3




























x
xx
x
xx
x
x
Решение. Так как x2 - 6x + 9 = (x-3)2 , то область
допустимых значений переменной x определяется
условиями:

















.4
,5
,0
15
,05
,0
x
x
x
x
x
x
Исходное неравенство при полученных ограничениях
для переменной x равносильно неравенству

6.  
возможночтоxxx
случая
дварассмотримто
x
xx
какТак
x
x
x
xx
,130196.1
,0
15
196
104
3
*
15
196
2
2
2
2
2





























при x = 2 или x = 4 . Значит, с учетом полученных
ранее ограничений, x = 2 – решение, так как в этом
случае левая часть неравенства (1) равна нулю.
 
унеравенстворавносильн
онеравенствТогдаxx 1.0196.2 2


7.    .0
31
0
342
04
3





x
xx
x
xx
x
x
На числовой прямой Ox дано графическое
представление решения последнего неравенства.
3
_ + _ +
x10
Замечание. При решении неравенства
использован метод интервалов.
С учетом полученных ранее ограничений записываем
ответ.
   .0
31


x
xx
.54,43,2,10:  xxxxОтвет

8. Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство
    32122
2
 xxx
Решение. Выполняя равносильные преобразования
данного неравенства, получим:
     
 
        
 
2
2
,1
132
,01
1320321
032103232121
032321212
032124432122
2
2
222
2
22
















x
x
x
xx
x
xxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxxxx

9. Неравенства, содержащие
иррациональные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения
иррациональных неравенств, в которых используют
возведение в натуральную степень обеих частей
неравенства.
   
   
 
 
   
   
 
 
   
   
 
 
 3
;0
0
,
2
;0
,
1
;0
,
2
2
22
22





















xg
xf
xgxf
xgxf
xg
xgxf
xgxf
xg
xgxf
xgxf
n
n
nn
nn

10.    
   
 
 
 
   
   
 
 
 
   
   
 
 
 
 5
;0
,0
,0
4
;0
0
,
3
;0
0
,
2
2
2
2
2
2



































xg
xf
xg
xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
xgxf
n
n
n
n
n
n

11.    
   
 
 
 
 
         
         
   
.,,,:
8,7
8,
7;
6
;0
,0
,0
1212
1212
2
2























анеравенств
зниковизодинзаменяет
схемахвсимволгде
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xg
xf
xg
xgxf
xgxf
nn
nn
n
n

12. Пример 3. Решите неравенство .218 xx 
Решение. Если 2 - x > 0 или 2 - x = 0 , то исходное
неравенство не выполняется, так как 018 x
Пусть 2 - x > 0 , тогда при возведении обеих частей
неравенства в квадрат получим на ее области
определения и при условии 2 - x > 0 равносильное
неравенство.
    

















.2
,18
,027
;02
,018
,218
2
x
x
xx
x
x
xx

13. x-2 7
2
-18 x
x
На рис. представлен способ графической
интерпретации получения решения последней
системы неравенств. В итоге получаем
.218 системырешениеx 

14. Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство
3.-2x-x910xx 22

Решение. Используя схему (6), получим, что данное
неравенство равносильно совокупности двух систем:
   
 











.032
,0910
2
.032
,32910
1
2
2
2
222
xx
xx
xx
xxxx
Для системы (I) имеем:
   ;;31;xпри03-2x-x2


15. Первое неравенство системы (I) приводим к виду:
              
      .0
2
175
2
175
10251
0931123191
2
22







 







 


xxxxxxxx
xxxxxxxx
5
2
175
2
9
,
2
1
2
175
0, 



 xаxчтоЗаметим
На числовой прямой Ox дано графическое
представление решения первого неравенства
системы (I).
_+ _ +
x0-1
2
175
2
175
+

16. Тогда решением системы (I) все значения
Для системы (II) имеем:
  .
2
175
;31 




 
x
   ;;19;xпри0910xx2

x0-1
2
175
2
1753
 .3;1xпри03-2x-x2

Следовательно, решением системы (II) будет
Объединяя решения (I) и (II), получаем ответ.
 3;1x 
.
2
175
;1: 




 
Ответ

17. При решении данного в примере 4 неравенства
использован формальный переход к равносильной
совокупности по схеме (6). Рассмотрим
содержательную сторону этого перехода. Если
, то обе части неравенства
неотрицательны. После возведения в квадрат обеих
частей неравенства получим на его области
определения и при условии
равносильное не равенство, то есть систему
неравенств
03-2x-x2

03-2x-x2

 
 
















.032
,32910
.032
,0910
,32910
2
222
2
2
222
xx
xxxx
xx
xx
xxxx

18. Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то
исходное неравенство выполняется на области его
определения, т.е. получаем систему неравенств
0910xx 2






.032
,0910
2
2
xx
xx

19. Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство
1
7146
7
23



x
xxx
x
  
  


































.71
,032
71
,06253
1
,01
,07
,714617
1
,714617
1
7146
7
23
2323
x
xxx
x
xxx
x
x
x
xxxxx
x
xxxxx
x
xxx
x
Решение. Выполняя равносильные переходы, получим

20. На рис. представлена графическая интерпретация
получения решения последней системы неравенств.
x0 1 3 72
.73,21:  xxОтвет

21. Пример 6. Решите неравенство
2232  xx
Решение. Обозначим . Тогда
выразим x = t 2 + 2 и приведем данное неравенство к
виду
0,2  tгдеtx
272 2
 tt
Так как t + 2 > 0, то получаем равносильное неравенство
2t 2 + 7 >t 2 + 4t + 4 или t 2 - 4t +3 > 0 при 0t
Отсюда получаем

















.3
10
0
3
1
t
t
t
t
t

22. Возвращаемся к переменной x :















11
32
92
120
31
120
x
x
x
x
x
x
.11,32:  xxОтвет

23. Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
2
2158
1
12
1
8
1
xxxx 




Решение. Область определения данного неравенства
определяется условиями:
  

















85.0
0812
,012
,08
02158
,012
,08
2
x
xx
x
x
xx
x
x
Запишем исходное неравенство в следующем виде
  
 *
128
1
12
1
8
1




 xxxx

24. Так как на области определения исходного
неравенства , то, умножив обе
части неравенства (*) на
получим неравенство, равносильное исходному:
   0128  xx
  128  xx
  
 
  
 
xx
xx
x
xx
x
xx







8112
18121
12
128
8
128
Левая и правая части последнего неравенства
неотрицательны при - 0,5 <x<8 , поэтому после
возведения их в квадрат и приведения подобных
членов получим неравенство

25.       
.84
0489
,8
,
3
8
8384
,08
,083
8382
2






















 x
xx
x
x
xx
x
x
xx
На рис. представлена графическая интерпретация
получения решения последней системы неравенств.
x4
3
8 8
9
8
С учетом условия - 0,5 < x < 8 получаем ответ.
.84:  xОтвет

26. Неравенства, содержащие
показательные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения
показательных неравенств, в которых используют
логарифмирование обеих частей неравенства.
    
    
   
 
   
 
 9
.10
,
,1
,

















x
xfxg
x
xgxf
xx
xgxf




27.     
    
   
 
   
 
 
 10
.1
,10
,
,1
,




















x
x
xfxg
x
xgxf
xx
xgxf




В частности:
   
     
   
     12.
,10
11.
,1
xgxfaa
тоачислоЕсли
xgxfaa
тоачислоЕсли
xgxf
xgxf





28.     
    
   
 
   
 
 13
.0
,
,0
,0

















x
xfxg
x
xgxf
xgxf
xx


Пример 8. Решите неравенство
 
1
2
1
1log 2
2






x
Решение. 1-й способ. Область допустимых значений
переменной x определяется условием:






.1
,1
012
x
x
x
При допустимых значениях переменной преобразуем
левую часть данного неравенства

29.  
         1
1
1122
2
1
2
2
1
1log1log1
1log
2
2
2
2
2
2






 


x
xxx
x
Получаем неравенство









 .21
,12
0
1
2
1
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
2-й способ. Так как ,1
2
1
0
2
1
1
0






 и
то, используя схему (12), получаем:
   
  


















01log
2
1
2
1
1
2
1 2
2
01log1log 2
2
2
2
x
xx

30. 






















.21
,12
1
,1
,22
012
,112
x
x
x
x
x
x
x
   2;11;2: Ответ
Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)<0
использована стандартная схема решения
логарифмических неравенств (см. раздел неравенства,
содержащие логарифмические выражения»).

31. Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x <1.
Решение. Приведем неравенство к виду
(x2 + x +1) x < (x2+x +1)0 и воспользуемся схемой (9).
 
 
 
















2
.110
,0
1
,11
,0
11
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
x
Решим систему (1) полученной совокупности:
 
.1
01
,0
01
,0
11
,0
2


















x
x
x
xx
x
xx
x
Решим систему (2) совокупности:

32.     




























.
01
,0
01
,0
01
01
,0
110
,0 2
2
решенийнет
x
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
1: xОтвет
При решении данного неравенства использован
формальный переход к равносильной совокупности по
схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону
этого перехода. Выражение (x2 + x +1)x положительно,
так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R .
Прологарифмируем обе части данного неравенства
lg(x2 + x +1)x < lg1 x lg(x2 + x +1) <0

33.  
  

































11
,0
,11
,0
01lg
,0
,01lg
,0
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x

34. Неравенства, содержащие
логарифмические выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для
решения логарифмических неравенств, в которых
используют потенцирование обеих частей
неравенства.
       
   
 
   
 
 14
.10
,0
,1
,0
loglog

















x
xfxg
x
xgxf
xgxf xx



В частности:
● Если число a >1, то
         15.0loglog  xgxfxgxf aa

35. ● Если число 0 < a < 1, то
         16.0loglog  xfxgxgxf aa
       
   
 
   
 
 17
.10
,0
,1
,0
loglog

















x
xfxg
x
xgxf
xgxf xx



В частности:
● Если число a >1, то
         18.0loglog  xgxfxgxf aa
● Если число 0 < a < 1, то
         19.0loglog  xfxgxgxf aa

36. Пример 10. Решите неравенство
log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)
Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в
обеих частях неравенства, удовлетворяют условию
0 < 0,1 < 1, то, используя схему (19), получаем, что
данное неравенство равносильно системе
  
  











.021
,055
02
,32
2
2
xx
xx
xx
xxx
На рис. представлена графическая интерпретация
получения решения последней системы неравенств.
x-2 15 5

37.    5;12;5: Ответ
Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство
     1log7146log7log 23
 xxxxx xxx
Решение. Выполняя равносильные переходы,
получим, что данное неравенство равносильно
следующей системе неравенств
     





.1
,7146log17log 23
x
xxxxx xx
В соответствии со схемой (17) для решения
необходимо рассмотреть только случай, когда
основание больше единицы, поэтому полученная
система равносильна следующей

38.   
  

















.71
,032
71
,065
71
,714617 2323
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
На рис. представлена графическая интерпретация
получения решения последней системы неравенств.
_ + _ +
x30 2
1 7 x
   7;32;1: Ответ

39. Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство
 
 
 
.
7log
12log
7log
log2
3
3
2
2
1
1





x
x
x
x
x
x
Решение. В соответствии с определением
логарифма, входящие в неравенство выражения
имеют смысл при выполнении условий:
       




























;11;00;66;7
12
,6
,7
,01
,0
012
,17
,07
,12
,0
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

40. Так как при допустимых значениях переменной x по
свойствам логарифма справедливы равенства:
 
 
 
 ,12log
7log
12log
log
7log
log2
7
3
3
7
2
2
1
1








x
x
x
иx
x
x
xx
x
x
то исходное неравенство приводится к виду
   .12loglog12loglog2 7
2
777   xxxx xxxx
Последнее неравенство равносильно совокупности
двух систем на множестве         ;11;00;66;7
  
  

















































034
,6
034
,67
012
,6
012
,67
12
,17
12
,170
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x

41. 




.43
,67
x
x
С учетом области определения данного неравенства
        ;11;00;66;7
получаем ответ.
       4;11;00;36;7: Ответ

42. Неравенства, содержащие
выражения с модулями
Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
.
114
3
9
1



 x
x
x
Решение. Данное неравенство равносильно
совокупности двух систем:
  
 
  























































0
1149
4
,9
,0
1149
3816
,9
114
3
9
1
,9
114
3
9
1
,9
2
2
xx
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x

43.   
  
 
  




































.4
,75.2
,268
0
1149
4
,9
,0
1149
268268
,9
2
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
x
268,4,75.2:  xxxОтвет

44. Приведем некоторые стандартные схемы для
решения неравенств с модулями, которые опираются
на определение модуля, его геометрический смысл и
свойства.
   
   
   
 
   
   
   
 
   
   
   
 
   
   
   
 23
,
22
,
21
,
20
,
























xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf

45.                    
                   25.0
24;0
22
22


xgxfxgxfxgxfxgxf
xgxfxgxfxgxfxgxf
Пример 14. Решите неравенство
.324324 257257
 xxxxxxxx
 




.324324
.324324
257257
257257
xxxxxxxx
xxxxxxxx
Решение. Используя схему (20) получаем, что данное
неравенство равносильно системе неравенств
или после приведения подобных членов
 
.10
0
,13
04
,032
25
2












x
x
x
xx
xx

46. Пример 15. Решите неравенство
    0112log12log 39  xx
Решение. Данное неравенство равносильно следующему
   12log112log 93  xx
Используя схему (23), получаем, что это неравенство,
а значит и исходное, равносильно совокупности
неравенств
   
    
   
   
 
  






















.
9
1
120
912
212log
,
3
2
12log
112log5.012log
,12log5.0112log
12log112log
,12log112log
3
3
3
33
33
93
93
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
.
2
19
,
9
4
2
1
:
3

 xxОтвет

47. Пример 16. Решите неравенство
.12122  xx xx
Решение. Используя схему (22), получаем, что данное
неравенство равносильно совокупности неравенств






.12122
.12122
xx
xx
xx
xx
Используя схемы (20) и (22), получаем, что эта
совокупность равносильна следующей.


























































0
,1
,0
,1
0
,22
,22
,1
2222
,2222
,222
,222
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
xx

48.       ;11;00;:Ответ
Для решения неравенств вида:
       ,.......21 xgxfxfxf n 
где символ / заменяет один из знаков неравенств:
применяют метод промежутков.
Для этого находят ОДЗ неравенства, определяют
точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят
корни совокупности уравнений
,,,, 
 
 
 








,0
.............
,0
,0
2
1
xf
xf
xf
n

49. На каждом из промежутков, на которые найденные
точки разбивают ОДЗ, функции, стоящие под знаком
модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное
неравенство на каждом промежутке заменяется на
неравенство, не содержащее знаков абсолютной
величины и равносильное исходному.
Пример 17. Решите неравенство xxx  321
Решение. Решением совокупности





02-x
0,1-x
являются числа 1 и 2.
Эти числа разбивают числовую прямую на три
промежутка       ;22;1,1; и

50. Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков
выражений под знаком модуля решим данное
неравенство на каждом из этих промежутков
+_X-1
X-2 1 2 X
+
+
_ _
Если x<1, то исходное неравенство равносильно
неравенству - x +1- x + 2 > 3 + x , x < 0 . Получаем, что x
< 0 есть решение исходного неравенства на
рассматриваемом промежутке.
Если , то исходное неравенство
равносильно неравенству x -1- x + 2 > 3+ x , x <-2 .
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
,21  x

51. Если , то исходное неравенство равносильно
неравенству
x -1+ x - 2 > 3+ x , x > 6 .
Получаем, что x > 6 есть решение исходного
уравнения на рассматриваемом
промежутке.
Объединяя полученные решения, запишем ответ.
2x
.6,0:  xxОтвет

52. Расщепление неравенств
Если левая часть неравенства представляет собой
произведение двух выражений, а правая часть равна
нулю, то схема решения неравенства опирается на
правило знаков при умножении (делении)
положительных или отрицательных чисел.
   
 
 
 
 
 26
.0
,0
,0
,0
0*

















xg
xf
xg
xf
xgxf

53.    
 
 
 
 
 27
.0
,0
,0
,0
0

















xg
xf
xg
xf
xgxf
 
 
 
 
 
 
 28
.0
,0
,0
,0
0

















xg
xf
xg
xf
xg
xf
 
 
 
 
 
 
 29
.0
,0
,0
,0
0

















xg
xf
xg
xf
xg
xf

54. Пример 18. Решите неравенство
.
15
196
4
15
1963 22




























x
xx
x
xx
x
x
Решение. Приведем данное неравенство к
следующему виду:
.0
15
196
4
3 2


















x
xx
x
x
В соответствии со схемой полученное неравенство
равносильно совокупности систем (I) и (II):
 
 
 
 
 
 




















4;0
15
13
3,04
3
2;0
15
13
1,04
3
x
x
x
x
II
x
x
x
x
I

55. Решим каждое неравенство системы (I).
Для неравенства (1) имеем:
  








.3
,10
0
31
04
3
x
x
x
xx
x
x
Для неравенства (2) имеем:









































15
,13
,15
,13
015
,013
,015
,013
0
15
13
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

56. 


























 2
54
,42
,4
,2
,4
x
x
x
x
x
x
Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения
системы (I).
Найдем решение системы (II). Для неравенства (3),
используя решение (1), имеем:

57. Значит все значения – решения системы (II).
Объединяя решения систем (I) и (II), получаем
ответ.
  








31
,0
0
31
04
3
x
x
x
xx
x
x
Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая
ограничения











4
,5
,15
,05
x
x
x
x
имеем:
   5;44;20
15
13



x
x
x
 3;2x
   .3;21;0: Ответ

58. Используемая литература:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы
решения неравенств с одной переменной.
Prezentacii.com