Решение слау

1. Выполнил: Бухтияров В.И.
гр. СС16-13

2. Определение СЛАУ
Методы решения СЛАУ
Метод Крамера
Решение систем уравнений с двумя переменными
Определитель матрицы третьего порядка
Решение систем уравнений с тремя переменными
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса
Содержание

3. Системой m линейных уравнений с n
неизвестными называется система вида
где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые
известные числа, а x1,…,xn – неизвестные.

4. метод Крамера
метод обратной матрицы
метод Гаусса

5. При решении систем линейных уравнений по методу Крамера выполняется
следующий алгоритм:
- систему записывают в матричном виде;
Метод Крамера
1 3
7 9
1 1
2 2
a b
a b

- вычисляют главный определитель системы:
1 9   7 3  9 21  12
1 2 2 1ba b a 

6. nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211

Здесь – определитель, получающийся из
определителя заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.
i

- если главный определитель системы не равен нулю,
то находят значения всех неизвестных по формулам:

7. 






































nnnnn
n
n
n b
b
b
AAA
AAA
AAA
x
x
x
...
...
............
...
...
1
...
2
1
21
22212
12111
2
1


 nn bAbAbA
x 1221111
1
...
nn
nnnn
n
n
bAbAbA
aab
aab
aab
 1221111
2
2222
1121
...
...
............
...
...

8. • Если и по крайне мере один из
определителей , то система не
имеет решения.
• Если и , система либо не
имеет решения, либо имеет бесконечно
много решений.
0
0i
0 0i

9. Решение систем уравнений с
двумя переменными
5 3 7
2 3 7
x y
x y
 

 
7 15
2 4
x y
x y
  

  
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
 

 
Пример 1.

10. 1
2
1
2
1
2
x y
x y
ca
a c
b
b
 

 
 
2
1
2
1a b
a b
x 
2
1
2
1c b
c b
y 
2
1
2
1a c
a c
x
x



y
y



Решение систем уравнений с
двумя переменными

11. 5 7
7
3
2 3
x y
x y

 



 
5 3
32

 5 3 2 3 21 0     
x 
7 3
37

 7 3 7 3 42    
y 
5 7
2 7
5 7 2 7 21    
x
x



42
2
21
 
y
y

 

21
1
21


12. 1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
 1a  2 2
3 3
b c
b c  1b 
2 2
3 3
a c
a c  1c 
2 2
3 3
a b
a b
6 3 0
4 1 3
2 3 2
 
 
6
1 3
3 2

 3
4 3
2 2

  0
4 3
2 2



6   2 9   8 63  0 
6   7 3 2  42 6  48

13. 1
2
1
2
3 3
1
3 3
1
2 2
x y z d
x y z d
b
x y z d
a
a b
a
c
c
cb
  

  
   
x
x



y
y



z
z



1
2
3
1
2
33
1
2
b
b
c
ca
a cb
a
 
1
2
1
33
22
3
1
x
b
b
d
d
cd
c
b
c
 
1
2
1
33
22
3
1
y
d
d
a
a
ca
c
d
c
 
1
2
1
33
22
3
1
z
b
b
a
a
da
d
b
d
 

14. 3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
x
x



y
y



z
z



3 2 4
2 4 5
4 3 2

   

3
4 5
3 2

 2
2 5
4 2

 4 
2 4
4 3


3  2 8 15   4 20 4    6 16  
 3 7    2 24  4 22   
21  48 88  19

15. 3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
x
x



y
y



z
z



19 
11 4 5
2
2
8 4
1 3
x  


8
4 5
3 2



11 5
2
1 2


 
11 4
1
4
3
  

 8 8 15     2 22 5      4 33 4    
 8 7   2 27   4 37   
56  54 148  38

16. 3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
2x 
y
y



z
z



19 
8 2 4
11 4 5 38
1 3 2
x

   

38
2
19
x
x

  


17. 3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
2x  3y  z
z



19 
3 8 4
2 11 5 57
4 1 2
y

    57
3
19
y
y

  


18. 3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
2x  3y  1z 
19 
2 4 11
3
4
2 8
3 1
z  

3
4 11
3 1

 4
3
2 11
1
 
2 4
4
8
3
 

19
19
1
19
z
z

  


19. Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.
A  0Adet 
Если определитель матрицы
равен нулю, то обратная
матрица не существует
 T
A  
A
Присоединенная матрица
получается путем замены каждого
элемента матрицы Ат на его
алгебраическое дополнение
 
 A
A
A
det
11

20. 










022
142
130
A 
022
142
130
Adet 
022
012
130

Из второй
строки вычтем
первую строку
2)1(
22
12 4

Разложим определитель
по элементам 3 столбца












011
243
220
AT












A
-2 2 -1
2 -2 2
-4 6 -6

2)1(
01
24
A 2
11 
2)1(
01
23
A 3
12 
1)1(
11
43
A 4
13  2)1(
01
22
A 3
21 
2)1(
01
20
A 4
22 
2)1(
11
20
A 5
23 
4)1(
24
22
A 4
31  6)1(
23
20
A 5
32 
6)1(
43
20
A 6
33 














664
222
122
2
1
A 1














332
111
5.011

21. Метод обратной матрицы рассмотрим на примере решения
квадратной системы 3 порядка.
Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:








3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Основная матрица
системы











3
2
1
b
b
b
B











3
2
1
x
x
x
X
Матрица - столбец
неизвестных
Матрица - столбец
свободных членов

22. Тогда систему можно записать так:













333232131
323222121
313212111
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa






















3
2
1
333231
232221
131211
x
x
x
aaa
aaa
aaa
 XA
 BXA 
Найдем решение системы в матричном виде.
Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно,
существует обратная матрица А-1.
Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:
BAXAA 11
 
 BAXE 1
 
 BAX 1
 
Метод обратной матрицы применим для решения квадратных
систем с невырожденной основной матрицей.

23. Пример








3x2x2
2xx4x2
1xx3
21
321
32
Решить систему методом обратной матрицы.











3
2
1
B











022
142
130
A














332
111
5.011
A 1











3
2
1
B
-0,5
2
-5














5
2
5.0
X











3
2
1
x
x
x
X
BAX 1
 

24. Метод Гаусса является более универсальным и
пригоден для систем с любым числом уравнений. Он
заключается в последовательном исключении
неизвестных из уравнений системы.
Алгоритм состоит из двух этапов.
На первом этапе осуществляется так
называемый прямой ход, когда путём элементарных
преобразований над строками систему приводят к
ступенчатой или треугольной форме.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный
ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все
получившиеся базисные переменные через небазисные и
построить фундаментальную систему решений.

25. Рассмотрим систему m линейных
уравнений с n неизвестными:









....
........................
,...
,...
2211
22222121
11212111
тnтnтт
nn
nn
bхахаха
bхахаха
bхахаха

26. Назовем матрицей системы матрицу, составленную из
коэффициентов при неизвестных. Матрицу,
полученную из А добавлением столбца свободных
членов, называют расширенной матрицей:















mmптт
п
п
bааа
bааа
bааа
А
...
...............
...
...
21
222221
111211

27. Для того чтобы система линейных уравнений
была совместной, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы системы был равен рангу
ее расширенной матрицы, т.е.
Если ранг матрицы совместной системы равен
числу неизвестных, то система имеет
единственное решение, если же ранг меньше
числа неизвестных, то система имеет
множество решений.
)()( ArAr 
Теорема Кронекера–Капелли

28. Для того чтобы решить систему уравнений
методом Гаусса
выписывают расширенную матрицу этой системы
и над строками этой матрицы производят
элементарные преобразования, приводя ее к виду,
когда ниже главной диагонали, содержащей
элементы
будут располагаться нули.
,,,, 2211 mmaaa 

29. Разрешается:
1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению
порядка уравнений;
2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует
умножению соответствующих уравнений на эти числа;
3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на
отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному
уравнению системы другого, умноженного на число.
С помощью этих преобразований каждый раз
получается расширенная матрица новой
системы, равносильной исходной, т. е. такой
системы, решение которой совпадает с
решением исходной системы

30. • Установить совместность и решить систему











.343
,3232
,125
,251132
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем
местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент
равнялся единице (так удобнее производить
преобразования матрицы).

31. Прямой ход




















































3
5
0
1
4311
2710
1110
2511
3
3
2
1
4311
2312
51132
2511
3
3
1
2
4311
2312
2511
51132
A

32. 





















































5
4
0
1
1600
2200
1110
2511
4
5
0
1
2200
1600
1110
2511
4
5
0
1
2200
2710
1110
2511

































1
2
0
1
1000
1100
1110
2511
7
4
0
1
7000
2200
1110
2511

33. Обратный ход
Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы
совпали с числом неизвестных. Согласно теореме
Кронекера-Капелли система уравнений совместна и
решение ее единственно.
Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу
которой мы получили в результате преобразований:











.1
,2
,0
,125
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx

34. Имеем Далее, подставляя его в
третье уравнение, найдем
Подставляя и во второе
уравнение, получим и, наконец,
подставляя в первое уравнение
найденные неизвестные, получим
Таким образом, имеем решение системы
.14 x
.121. 333  xxx
13 x 14 x
2 0x 
1 2x  
.1,1,0,2 4321  xxxx