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イデアルの定義と性質
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- 3. イデアルの定義 • 環Rの特殊な部分集合Jのこと. (𝐽⊂ 𝑅) • 次の(1)，(2)を満たす時， Jは環Rのイデアルである. • (1) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐽 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐽 • (2) 𝑥 ∈ 𝐽 𝑎𝑛𝑑 𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟𝑥 ∈ 𝐽 ←属性の上書き • (1)の意味： Jでは足し算ができる • (2)の意味： Jの要素と掛け算すると，強制的に属性 がJにかわる
- 4. かっこいいイデアルの表現 •Jが環Rのイデアル ⇔ 𝑅𝐽⊂ 𝐽 •ただし、 RJ = 𝑟𝑥 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑥 ∈ 𝐽}とする • 𝑅𝐽 ⊂ 𝐽はイデアルの「属性の上書き」の性質をよ く表現している
- 5. 命題a： もしイデアルJが1 ∈𝐽 ならば 𝐽 = 𝑅 • イデアル𝐽が環Rの単位元を含むと，環𝑅になる. • 環R自身は自明なイデアルと呼ぶ • 命題aは背理法を使うときに使用される. • 命題aの使用方法 • 𝐽が自明ではないイデアルと仮定する. • いろいろ計算する ⇒ 1 ∈ 𝐽が導かれたら， 𝐽 = R • 仮定に矛盾！ ∴Jはイデアルではない！
- 6. 命題aの証明 • 証明すべきこと: Jがイデアル𝑎𝑛𝑑 1 ∈ 𝐽 ⇒ 𝐽 = 𝑅 • 𝐽はイデアルなので， 𝑥 ∈ 𝐽 𝑎𝑛𝑑 𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟𝑥 ∈ 𝐽が成り立つ • ここで，𝑥 = 1としてみる. すると・・・ • 1∈ 𝐽 𝑎𝑛𝑑 𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟 = 𝑟 ∙ 1 ∈ 𝐽 • 「属性の上書き」から𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟 ∈ 𝐽,すなわち,R ⊂ 𝐽が導ける！ • イデアルの定義からJ ⊂ 𝑅は明らか • ∴ 𝐽 = 𝑅 証明終了
- 7. 命題b： イデアルJが𝑢 ∈𝐽 (∃𝑢−1 ∈ 𝑅) ならば 𝐽 = 𝑅 • 命題bの意味： もしイデアルJが単元を含めば， 𝐽 = 𝑅 • 単元： 割り算ができる元 • 命題bの証明: 𝑥 ∈ 𝐽 𝑎𝑛𝑑 𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟𝑥 ∈ 𝐽で，𝑥 = 𝑢, 𝑟 = 𝑢−1 と する. • すると， u ∈ 𝐽 𝑎𝑛𝑑 𝑢−1 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑢 ∙ 𝑢−1 = 1 ∈ 𝐽 • よって，命題aから 𝐽 = 𝑅 • 証明終了！
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