More Related Content More from Gawewat Dechaapinun More from Gawewat Dechaapinun (20) 1. šš¸É4
สสารในสนามไฟฟ้ า
¤´˜·…°Š µ¦ Á¤ºÉ°°¥¼nÄœ¦ ·Áª–š¸É¤¸ œµ¤Å¢¢µ้ ผลของสนามไฟฟาทําให้แบ่งสาร้
ออกเป็น ตัวนํา และ ไดอิเล็กทริก ¨ ³ µ¦ „¹ÉŠ˜´ªœÎµÄœšœ¸Ê‹³«¹„¬µผลของสนามไฟฟาใน้
ตัวนํา การเกิดโพลาไรเซชัน ในสารไดอิเล็กทริก ขอบเขตของสนามไฟฟาระหว่าง้ รอยต่อของ
กลาง การสะสมพลังงานศักย์ไฟฟา้ ความต่างศักย์ ความจุไฟฟา้ และการแก้ปญหาทางไฟฟาั ้
สถิต โดยใช้สมการ สร้างสมการเชิงอนุพันธ์ แล้วหารากของสมการในรูปของสมการปวซองั
และสมการลาปลาซ
4.1 ตัวนํา และไดอเล็กทิ รกิ
¤´˜·…°Š µ¦ Äœ œµ¤Å¢¢µŸ¨ …°Š œµ¤Å¢¢µš¸ÉšÎµÄ®oÂnŠ µ¦ °°„ÁžÈœ้ ้ 3 ประเภท
‡º°˜´ªœÎµŒœªœÂ¨ ³ µ¦ „¹ÉŠ˜´ªœÎµÂ˜nÄœÁ°„ µ¦ œ¸Ê‹³„¨ nµª™¹ŠŸ¨ šµŠÅ¢¢µÁŒ¡ µ³˜´ªœÎµÂ¨ ³้
ฉนวน
4.1.1 ตัวนํา
µ¦ š¸ÉÁžÈœ˜´ªœÎµ nªœ¤µ„‹³ÁžÈœ¡ ª„è ®³Ž¹ÉŠž¦ ³„อบไปด้วยอิเล็กตรอนอิสระ
จํานวนมาก อิเล็กตรอน° · ¦ ³Á®¨ nµœ¸Ê‹³ µ¤µ¦ ™Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉÅž¤µได้ในระหว่างแลตทิซ (lattice)
…°ŠŸ¨ ¹„Á¤ºÉ°¤¸ œµ¤Å¢¢µ£µ¥œ°„°้ œ»£µ‡Á®¨ nµœ¸Ê‹³™¼„¦ Š…°Š œµ¤Å¢¢µšÎµÄ®o้ ประจุบวก
‹³Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉÄœš·«šµŠÁ—¸¥ª„´ œµ¤ไฟฟา ส่วนประจุลบ้ ‹³Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉÄœš·«šµŠ˜¦ Š„´œ…oµ¤
สําหรับตัวกลางเป็นè ®³ž¦ ³‹»¨ Ášnµœ´Êœš¸ÉÁ‡¨ ºÉ°œš¸É และถ้ายังคงมีสนามไฟฟากระทําอยู่้ ประจุ
ใœ˜´ªœÎµ‹³Á‡¨ ºÉ°œ š¸ÉÅž ³ ¤„´œ°¥¼nš¸ÉŸ·ª‹œ„¦ ³š´ÉŠ œµ¤š¸ÉÁ„·—…¹Êœ‹µ„ž¦ ³‹» ³ ¤œ¸Ê®´„¨ oµŠ„´บ
สนามภายนอก ทําให้เกิดภาวะสมดุล ดังรูปš¸É4.1 สรุปได้ว่า£µ¥Äœ˜´ªœÎµš¸É¤¸ œµ¤Å¢¢µ°¥¼nÄœ้
สภาวะสมดุล (electrical equilibrium) Ÿ¨ ¦ ª¤ œµ¤Å¢¢µ‹³ÁžÈœ«¼œ¥r—´Šœ´Êœ œµ¤Å¢¢µš¸ÉŸ·้ ้ ว
ของตัวนําในสภาวะสม—»¨ ‹³˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª…°Š˜´ªœÎµœ´Êœ และถ้ามีสนามไฟฟาในแนวขนานกับ้
Ÿ·ª˜´ªœÎµž¦ ³‹»‹³Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉÅž˜µ¤Ÿ·ª…°Š˜´ªœÎµœ´Êœ
œ°„‹µ„œ¸Ê¨ oª‹³Å—oªnµ ÁœºÉ°Š‹µ„ œµ¤Å¢¢µ£µ¥Äœ˜´ªœÎµÁžÈœ«¼œ¥rš»„˜ÎµÂ®œnŠ้ ภายใน
˜´ªœÎµš¸É°¥¼nในสภาวะสมดุลจะมีศักย์ไฟฟา้ เท่ากัน และ Á¤ºÉ°สนามไฟฟาภายในตัวนําเป็นศูนย์้
แล้ว ¢¨ ´„Žr…°Š œµ¤Å¢¢µš¸ÉŸnµœŸ·ªž¦ ·¤µ˜¦ Á¨ È„ÇÄœ nªœÄ—„Șµ¤‹³¤¸‡nµÁžÈœ«¼œ¥r —Šªnµ้
ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—Äœ˜´ªœÎµš¸É°¥¼nÄœ £µª³ ¤—»¨ ‹³ÅžÁ¦ ¸¥Š˜´ª„´œ°¥¼nš¸ÉŸ·ª…°Š˜´ªœÎµ
2. 70
+ +
+ +
+ +
v
b
c
a
12
4 3
¦ ¼žš¸É4.1 สนามไฟฟาภายในตัวนําเป็นศูนย์้
ตัวอยาง่ 4.1 ทรงกลมตัวนํารัศมี a ¤¸ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°Â¨ ³¤¸Áž¨ º°„˜´ªœÎµš¦ Š„¨ ¤¤
รัศมีภายในเป็น b ภายนอกเป็น c วางซ้อนกับตัวนําทรงกลมมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ดังรูปš¸É
4.2 จงคํานวณหาค่าความเข้มของสนามไฟฟา้ ในทุกบริเวณ
¦ ¼žš¸É4.2 ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥œŸ·ªš¦ Š„¨ ¤š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Áž¨ º°„˜´ªœÎµ
วธีทําิ ‹µ„¦ ¼žÂnŠ¡ ºÊœš¸É¡ ·‹µ¦ –µ°°„ÁžÈœ4 บริเวณ
ก. ¦ ·Áª–š¸É1 ภายในรัศมีทรงกลม ( ar )
ข. ¦ ·Áª–š¸É2 ระหว่าง รัศมีทรงกลม กับ รัศมีภายในของเปลือกทรงกลม ( bra )
ค. ¦ ·Áª–š¸É3 ภายในเปลือกทรงกลม ( crb )
ง. ¦ ·Áª–š¸É4 ภายนอกเปลือกทรงกลม ( cr )
ค่าความเ…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É¦ ·Áª–˜nµŠÇ®µ‡nµÅ—o—´Šœ¸Ê้
ก. ภายในรัศมีทรงกลม ( ar )
ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—£µ¥ÄœŸ·ªš¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥¦ ´«¤¸r
q = vr
3
3
4
Á¤ºÉ°ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤° œµ¤Å¢¢µ‹³¤¸š·«˜µ¤Â้ œª¦ ´«¤¸Â¨ ³¤¸‡nµ‡Šš¸ÉœŸ·ªÁ„µ rÁŽียน
3. 71
จากกฎของเกาส์
s
sdE
=
0
q
s
sdE
= vr
3
03
4
)4( 2
rE = vr
3
03
4
E = v
r
03
Á¤ºÉ° ar 0
หรือ E
= r
r
v
ˆ
3 0
ข. ระหว่าง รัศมีทรงกลม กับ รัศมีภายในของเปลือกทรงกลม ( bra )
ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—£µ¥ÄœŸ·ªž·—ÁžÈœ
Q = va
3
3
4
และ จากกฎของเกาส์ จะได้
E
= r
r
a
v
ˆ
3 2
0
3
Á¤ºÉ° bra
ค. ภายในเปลือกทรงกลม ( crb )
ÁœºÉ°Š‹µ„‡nµE
ภายในตัวนําจะมีค่าเป็นศูนย์ และš¸ÉŸ·ª br จะมีประจุลบและมี
ž¦ ³‹»Ášnµ„´ž¦ ³‹»š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Ÿ·ªž·—
ถ้า sb เป็นความหนาแน่นประจุบนผิว
ž¦ ³‹»š¸ÉŸ·ªÁžÈœQ = sbb 2
4
จะได้ sb = - v
b
a
2
3
3
ง. ภายนอกเปลือกทรงกลม ( cr )
£µ¥Äœ…°ŠÁž¨ º°„˜´ªœÎµÃ——Á—¸É¥ª¤¸ž¦ ³‹»ÁžÈœ¨ š¸ÉŸ·ª—oµœœ°„š¸É cr จะมีประจุ
เป็นบวก และมีจํานวนประจุเท่ากัน
ให้ sc เป็น‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»š¸ÉŸ·ª—oµœœ°„
sc = v
c
a
2
3
3
ความเข้มสนามไฟฟา เป็น้
E
= r
r
a
v
ˆ
3 2
0
3
Á¤ºÉ° cr
ตอบ
4. 72
4.1.2 ไดอิเล็กทริก
ไดอิเล็กทริก(dielectric) หรือฉนวน(insulator) ÁžÈœ µ¦ š¸ÉŤnมีประจุอิสระในโครงสร้าง
ของผลึก° ·Á¨ È„˜¦ °œ‹³™¼„¥¹—Á®œ¸É¥ª°¥¼n°¥nµŠÂ…Ȋ¦ Š„´บโครงสร้างของโมเลกุล
Á¤ºÉ°¤¸ œµ¤ไฟฟ้าภายนอกกระทํากับสารไดอิเล็กทริก อิเล็กตรอนÁ®¨ nµœ¸Ê„È‹³Å¤nÁ‡¨ ºÉ°œ
š¸Éจึงทําให้ไม่มีกระแสไหล สารไดอิเล็กทริกจะมีสภาพนําไฟฟา ได้้ น้อยกว่าตัวนําประมาณ 20
เท่า
แต่Á¤ºÉ°Ä®o œµ¤Å¢¢µ้ กับสารไดอิเล็กทริก จะมีแรงไฟฟา้ กระทํากับประจุของสาร ไดอิ
Á¨ È„š¦ ·„œ´Êœโดยประจุบวกจะได้รับแรงในทิศทางเดียวกับสนาม ส่วนประจุลบในทิศตรงข้าม
—´Šœ´Êนคู่ประจุบวกและลบของแต่ละโมเลกุล ‹³¥oµ¥š¸É‹µ„˜ÎµÂหน่งสมดุลเดิมไปตามทิศทางของ
สนามไฟฟา แต่ประจุยังคงยึดกันอยู่ในโมเลกุล้ ¨ ´„¬–³œ¸Êเรียกว่า ตัวกลางไดอิเล็กทริกถูก
โพลาไรซ์ (polarized) µ¦ š¸É™¼„á ¨ µÅรซ์ ‹³¤¸Å—á ¨ ‹Îµœªœ¤µ„Á„·—…¹ÊœÄœ µ¦ ดังรูปš¸É
4.3 ก. แสดงไดอิเล็กทริกÁ¤ºÉ°°¥¼nÄœ £µ¡ ž„˜·Â¨ ³ ¦ ¼žš¸É4.3 ข. แสดงไดอิเล็กท¦ ·„š¸É™¼„
โพลาไรซ์
ก. ข.
¦ ¼žš¸É4.3 —Š µ¦ Å—° ·Á¨ „˜¦ ·„Á¤ºÉ°„. อยู่ในสภาพปกติ ข. ถูกโพลาไรซ์
š¸É¤µ(Guru and Hiziroglu. 1998: 84)
Äœ˜°œœ¸Ê‹³¡ ·‹µ¦ –µ«´„¥rÅ¢¢µ้ …°ŠÅ—° ·Á¨ È„š¦ ·„š¸É™¼„á ¨ µÅ¦ ŽrŽ¹ÉŠ‹³ÁžÈœ‡nµš¸ÉÁ„·—‹µ„
ประจุโพลาไรซ์š¸É‹»—£µ¥œ°„ µ¦ Å—° ·Á¨ È„š¦ ·„
ให้จุด P เป็นจุดŽ¹ÉŠเป็นตําแหน่งš¸É°¥¼nด้านนอกของตัวกลางไดอิเล็กทริกš¸Éถูกโพลาไรซ์
แสดงดังรูปš¸É4.4 ปริมาตรส่วนย่อย ๆ v ของตัวกลางไดอิเล็กทริก และถ้าตัวกลางถูก
โพลาไรซ์ จะšœ¨ ´„¬–³…°Šž¦ ·¤µ˜¦ œ¸Ê—oª¥ž¦ ·¤µ–ไดโพลโมเมนต์ (electric dipole moment)
เขียนแทนด้วย p
และ ไดโพลโมเมนต์ต่อหน่วยปริมาตร เรียกว่า โพลาไรเซชันเวกเตอร์
(polarization vector) แทนด้วย P
¤¸®œnª¥ÁžÈœž¦ ³‹»˜n°®œnª¥¡ ºÊœš¸Éหรือมีหน่วยเป็น คูลอมบ์
ต่อลูกบาศก์เมตร ( 2
/ mC )
5. 73
O
r
r
rrR
s v
vd
P
¦ ¼žš¸É4.4 «´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P จากสารไดอิเล็กทริ„š¸É™¼„โพลาไรซ์
โพลาไรเซชันเวกเตอร์
v
p
P
v
0
lim (4.1)
š¸Éž¦ ·¤µ˜¦ vd จะแสดงค่า pd
ได้เป็น
pd
= vdP
(4.2)
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P ÁœºÉ°Š‹µ„ŗá ¨ äÁ¤œ˜rpd
เป็น
vd
R
rP
dV
2
04
ˆ
(4.3)
Á¤ºÉ° rRrrrrrR ˆˆ
ÁžÈœÁª‡Á˜°¦ r¸Ê˜ÎµÂ®œnŠ…°Švd กับจุด P
มีขนาดเป็น 222
)()()( zzyyxxrr
Á¤ºÉ° r
RR
ˆ
11
2
สมการ (4.3) เขียนใหม่ได้ vd
RP
dV
04
)/1(
(4.4)
โดยใช้คุณสมบัติของเวคเตอร์
)/1( RP
= RPRP /)()/(
สมการ (4.3) เขียนได้เป็น
vd
R
P
R
P
dV
)(
4
1
0
(4.5)
6. 74
อินทิเกรตตลอดปริมาตร v ของไดอิเล็กทริกš¸É™¼„โพลาไรซ์ ‹³Å—o«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P เป็น
V =
vv
vd
R
P
vd
R
P
)(
4
1
0
(4.6)
Á¤ºÉ°Âšœ° ·œš·„¦ ´¨ Á·Šž¦ ·¤µ˜¦ …°Š )(
R
P
ด้วยอินทิ„¦ ´¨ Á·Š¡ ºÊœŸ·ว โดยใช้ทฤษฏี
ไดเวอร์เจนช์ และ nˆ เป็นเวกÁ˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Äœš·«šµŠ¡ »nŠ°°„˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª…°Š¡ ºÊœŸ·ª¥n°¥
ds จะได้ ค่าศักย์ไฟฟา จากสมการ้ (4.6) จะแสดงค่าศักย์ไฟฟา้ ได้เป็น
S v
vd
R
P
sd
R
nP
V
00 4
1
4
1
(4.7)
จากสมการ (4.7) จะได้ว่า«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P Ž¹ÉŠ°¥¼n£µ¥œ° „ เกิดจากผลรวมทาง
พีชคณิตของไดอิเล็กทริกš¸Éถูกโพลาไรซ์ ในเทอมของโพลาไรซ์เชิงผิว และ โพลาไรซ์เชิง
ปริมาตร
ปริมาณ nP ˆ
และ P
ในรูปอินทิกรัลของสมการ (4.7) เป็นฟงก์ชันสเกลาร์ั
š¸ÉÁ„·—‹µ„á ¨ µÅ¦ ÁŽ´œ(P
) …°Šž¦ ³‹»˜n°®œnª¥¡ ºÊœš¸É¨ ³žระจุต่อหน่วยปริมาตร ตามลําดับ
‹³Âšœž¦ ·¤µ–š´ÊŠ °Šœ¸Ê—oª¥‡nµ‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»
‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»Á·ŠŸ·ªš¸É™¼„¥¹—Á®œ¸É¥ª เป็น
nps PnP
ˆ (4.8)
และ ‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»Á·ŠŸ·ªš¸É™¼„¥¹—Á®œ¸É¥ª
Pvp
(4.9)
Á¤ºÉ° sp และ vP r เป็น ความหนาแน่นประจุโพลาไรเซชัน (polarization charge density)
«´„¥rÅ¢¢µš¸ÉÁ„·—‹µ„ µ¦ Å—° ·้ เล็กทริก หาได้จากสมการ
V =
S V
vpsp
vd
R
sd
R
00 4
1
4
1
(4.10)
ถ้าสารไดอิเล็กทริก มีความหนาแน่นประจุอิสระรวมอยู่ด้วยกับความหนาแน่นประจุ
โพลาไรเซชัน Á¤ºÉ°¤¸ œµ¤Å¢¢µÄœ้ ไดอิเล็กทริก พิจารณาความหนาแน่นประจุอิสระรวมด้วย
จะเป็น
E
=
00
Pvvpv
(4.11)
หรือ )( 0 PE
= v (4.12)
จากสมการ(4.12) ปริมาณด้านขวามือ จะเป็นความหนาแน่นประจุอิสระ และด้านซ้าย
‹³ÁžÈœÁ„¦ Á—¸¥œ˜r…°Šž¦ ·¤µ–Áª„Á˜°¦ r‡nµ®œ¹ÉŠ
ให้ PED
0 (4.13)
7. 75
œ·¥µ¤ž¦ ·¤µ–Áª‡Á˜°¦ rÄ®¤nœ¸Êªnµ„µ¦ „¦ ³‹´—šµŠÅ¢¢µ้ (electric displacement) เขียน
สัญลักษณ์แทนด้วย D
จากสมการ (4.12) และ (4.13) จะได้
D
= v (4.14)
ปริมาณ D
จะแทนความหนาแน่นประจุอิสระในตัวกลางใด ๆ
จากš¸É„¨ nµª¤µÂ¨ oª¡ ªnµปริมาณไดโพลโมเมนต์ในตัวกลางไดอิเล็กทริก‹³…¹Êœ° ¥¼n„´
สนามไฟฟาภายนอก้ จึงเรียกสารÁ®¨ nµœ¸Êªnµมีสมบัติเป็นเชิงเส้น(linear) ถ้าไดโพลโมเมนต์ของ
สารไดอิเล็กทริกมีทิศตามทิศของสนามไฟฟาภายนอก เรียกว่าเป็นสารไอโซโทปิก้ (isotropic)
¨ ³ ™oµ µ¦ ¤¸ÁœºÊ° Á—¸¥ª „´นตลอดจะเรียกว่าเป็นโฮโมจีเนียส (homogeneous) —´Šœ´Êœ µ¦
ไดอิเล็กทริกš¸É„¨ nµª™¹ŠÄœš¸Éœ¸Ê‹³®¤µ¥™¹Š µ¦ ¤¸ ¤´˜·˜µ¤š¸É„¨ nµª¤µ
ปริมาณโพลาไรเซชันเวกเตอร์ P
ในเทอมของสนามไฟฟา้ E
จะเขียนได้เป็น
P
= E
0 (4.15)
Á¤ºÉ° ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸ÉÁÁ¦ ¸¥„ªnµ £µ¡ °n°œÅ®ªšµŠÅ¢¢µ้ (electric susceptibility)
จากสมการ (4.13) และ สมการ (4.15)
D
= E
)1(0 (4.16)
ปริมาณ )1( เรียกว่า สภาพยอมสัมพัทธ์ (relative permittivity) ®¦ º° ‡nµ‡Šš¸É
ไดอิเล็กทริก (dielectric constant) เขียนแทนด้วย r
ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟา้ แสดงในเทอมของสภาพยอมสัมพัทธ์ จะได้สมการเป็น
D
= Er
)1(0 = E
(4.17)
Á¤ºÉ° r 0 เป็นสภาพของตัวกลาง (permittivity of the medium)
สมการ (4.17 ) จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง D
กับ E
ในเทอมของสภาพยอมของ
ตัวกลาง สําหรับÄœ˜´ª„¨ µŠš¸ÉÁžÈœสุญญากาศ จะได้ ED
0 ÁœºÉ°Š‹µ„ 1r
—´Šœ´Êœ 宦 ´˜´ª„¨ µŠÄ—Çš¸ÉªµŠ°¥¼nÄœ œµ¤Å¢¢µ้ ถิต จะเขียนสมการได้เป็น
E
= 0 (4.18)
D
= v (4.19)
D
= E
(4.20)
Á¤ºÉ°v เป็นความหนาแน่นประจุอิสระเชิงปริมาตร ในตัวกลาง
r 0 เป็นสภาพยอมของตัวกลาง
และ r ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸ÉÅ—° ·Á¨ „š¦ ·„®¦ º° £µ¡ สภาพยอมสัมพัทธ์
ไดอิเล็กทริกš¸Éอยู่ในสนามไฟฟา้ £µ¥œ°„Á¤ºÉ°Á¡ ·É¤ œµ¤Å¢¢µ‹œ™¹Š‡nµš¸É้ šÎµÄ®ož¦ ³‹»š¸É
ถูกโพลาไรซ์ หลุดออกจากโมเลกุลอย่างสมบูรณ์ จะÁ¦ ¸¥„„¦ –¸œ¸ÊªnµÁžÈœ„µ¦ ˜„˜´ª(breakdown)
ของสารไดอิเล็กทริก และจะทําให้สภาพของสารกรณีœ¸Êจะคล้ายกับตัวนํา ค่าสนามไฟฟาสูงสุด้
8. 76
š¸ÉšÎµÄ®o µ¦ ไดอิเล็กทริกทนได้สูงสุดก่อนแตกตัว เรียกว่า ค่าความแรงไดอิเล็กทริก (dielectric
strength) ‡nµ‡Šš¸Éไดอิเล็กทริก และค่าสูงสุดของไดอิเล็กทริกสําหรับบางชนิด แสดงในตาราง
4.1
˜µ¦ µŠš¸É4.1  —Š‡nµ‡Šš¸Éไดอิเล็กทริก และความแรงไดอิเล็กทริก
สารไดอิเล็กทริก ‡nµ‡Šš¸Éไดอิเล็กทริก
( dielectric constant )
ความแรงไดอิเล็กทริก
(dielectric strength)
)/( mkV
อากาศ 1.0 3
103
เบคเคอไทซ์ 4.5 3
1021
อีโบไนต์ 2.6 3
1060
อีพ๊อกซี 4 3
1035
ไพเร็กซ์ 4.5 3
1090
ยางไม้ 4 3
1014
ไมกา 6 3
1060
¦ nœÎʵ¤´œ 2.5 3
1020
พาราฟิน 2.2 3
1029
ไพลิสไตริน 2.6 3
1030
พารานอล 5 3
1020
„¦ ³ÁºÊ°ŠÁ‡¨ º° 5 3
1011
ควอทซ์ 5 3
1030
ยาง 2.5-3 3
1025
œÎʵ¤ันหม้อแปลง 2.3 3
1012
œÎʵ¦ · »š›·Í 81
4.2 พลังงานสะสมในสนามไฟฟ้ า
¡ ·‹µ¦ –µŠµœš¸É„¦ ³šÎµÄœ„µ¦ œÎµž¦ ³‹»š´ÊŠ®¨ µ¥Á…oµ¤µ°¥¼nÄœ˜ÎµÂ®œnŠÄ„¨ oÇ„´œÁžÈœ
ระบบประจุ ถ้าต้องการนําประจุ nqqq ,..., 21 เข้ามาวางใกล้ ๆ กัน ดังรูปš¸É 4.5
9. 77
a
b 2q
1q
R
¦ ¼žš¸É4.5 พลังงานศักย์ไฟฟาของระบบประจุ้
Á¦ ·É¤‹µ„œÎµž¦ ³‹» 1q จากระยะอนันต์เข้ามา แต่จากÁ¦ ·É¤˜oœ¥´ŠÅ¤n¤¸ œµ¤Å¢¢µ…°Šž¦ ³‹»้
Ä——´Šœ´Êœ 01 W
ต่อมานําประจุ 2q จากตําแหน่งอนันต์มาวางห่างจาก 1q เป็นระยะ R š¸É˜ÎµÂ®œnŠ
b งานในการนําประจุเข้ามาจะเท่ากับ
2W =
R
qq
4
21
= abVq ,2
Á¤ºÉ° abV , ÁžÈœ«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»้ ด b Ž¹ÉŠÁ„·—‹µ„ž¦ ³‹»1q °¥¼nš¸É˜ÎµÂ®œnŠa และ R เป็น
¦ ³¥³šµŠ¦ ³®ªnµŠž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š™oµ‹»—°oµŠ° ·Šš´ÊŠ °Š°¥¼nš¸É°œ´œ˜rŠµœš´ÊŠ®¤—Äœ„µ¦ œÎµž¦ ³‹»‹µ„
¦ ³¥³°œ´œ˜r¤µš¸É‹»—a และ b เป็น
W = 1W + 2W =
R
qq
4
21
(4.21)
สมการ (4.21) จะเป็นพลังงานศักย์ไฟฟา ของประจุไฟฟา้ ้ 2 ประจุ Ž¹ÉŠอยู่ห่างกันเป็น
ระยะ R Äœ˜´ª„¨ µŠÄ—Ǩ ³ÄœšµŠ„¨ ´„´œ…°Š…ªœ„µ¦ œ¸Ê™oµÁ¦ ·É¤‹µ„œÎµž¦ ³‹»2q มาวาง
š¸É‹»— b ÁœºÉ°Š‹µ„¥´ŠÅ¤n¤¸ œµ¤Å¢¢µÄ—ÇŠµœÁ¦ ·É¤˜oœ‹³ÁžÈœ«¼œ¥r้ 02 W
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ a ÁœºÉ°Š‹µ„ž¦ ³‹»2q š¸Éb จะเป็น
R
q
V ba
4
2
, (4.22)
—´Šœ´ÊœŠµœÄœ„µ¦ œÎµž¦ ³‹»1q ¤µš¸É‹»—a จะเป็น
1W = baVq ,1 =
R
qq
4
21
(4.23)
‹³Å—oªnµ¡ ¨ ´ŠŠµœš´ÊŠ °Š„¦ –¸‹³Ášnµ„´œÅ¤n…¹Êœ„´„µ¦ œÎµž¦ ³‹»Ä—¤µ„n°œ¤µ®¨ ´Š
ถ้าระบบประจุประกอบจุดประจุจํานวน 3 ประจุ 1q , 2q และ 3q Á¤ºÉ°œÎµž¦ ³‹»¤µªµŠ
š¸É˜Îµแหน่ง a , b และ c ตามลําดับ แสดงดังรูปš¸É4.6¡ ¨ ´ŠŠµœš¸ÉšÎµÄœ„µ¦ œÎµž¦ ³‹»š´ÊŠ µ¤
เข้ามา เป็น
10. 78
a
b
c
2112 RR
3223 RR 3113 RR
1q
3q
2q
¦ ¼žš¸É4.6 แสดงพลังงานของระบบประจุประกอบด้วยจุดประจุ 3 ประจุ
W = 1W + 2W + 3W
= 0 + abVq ,2 + )( ,,3 bcac VVq
=
32
23
31
13
21
12
4
1
R
qq
R
qq
R
qq
(4.24)
™oµœÎµž¦ ³‹»š´ÊŠ µ¤Ã—¥Á¦ ¸¥Š¨ ε—´˜¦ Š…oµ¤„´‡¦ ´ÊŠÂ¦ „¡ ¨ ´ŠŠµœÄœ„µ¦ œÎµž¦ ³‹»Á…oµ¤µ
เป็น
W = 3W + 2W + 1W
= 0 + cbVq ,2 + )( ,,3 baca VVq
=
12
21
13
31
23
32
4
1
R
qq
R
qq
R
qq
(4.25)
รวมสมการ ( 4.24) และ สมการ (4.25) จะได้ พลังงานในการนําประจุเข้าใกล้กันเป็น
ระบบประจุ
W = ][
2
1
332211 VqVqVq =
3
12
1
i
iiVq (4.26)
ทํานองเดียวกันในการนําประจุ nqqq ,...,, 21 เข้ามาเป็นระบบประจุ พลังงาน
ศักย์ไฟฟา จะเป็น้
W =
n
i
iiVq
12
1
(4.27)
™oµž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥˜n°ÁœºÉ°Š
W = v
vVdv
2
1
(4.28)
Á¤ºÉ°v เป็นความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรภายในปริมาตร v และเป็นสมการหาค่า
พลังงานของระบบประจุในเทอมของความหนาแน่นประจุประจุเชิงปริมาตร
พิจารณาระบบพลังงานในระบบไฟฟาสถิตในเทอมของปริมาณของสนาม้
จากกฎของเกาส์ vD
จะได้
11. 79
W =
v
dvDV )(
2
1
โดยใช้เวกเตอร์เอกลักษณ์ ในสมการ
)( DV
= VDDV
)(
จะได้พลังงาน เป็น
W =
v v
dvVDdvDV )()(
2
1
ใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์Áž¨ ¸É¥œÁš°¤Â¦ „‹µ„° ·œš·„¦ ´¨ ž¦ ·¤µ˜¦ ÁžÈœ° ·œš·„¦ ´¨ ¦ °Ÿ·ªž·—
v
dvDV )(
=
s
sdDV
พลังงานสะสมในระบบไฟฟาสถิต เป็น้
W =
v
dvVD )(
2
1
=
v
dvED
2
1
(4.29)
จากสมการ (4.29 )จะได้ว่า ค่าพลังงานศักย์ไฟฟาจะหาได้จากเทอมของสนามไฟฟา้ ้
ให้นิยามความหนาแน่นพลังงาน เป็นพลังงานต่อหน่วยปริมาตร จะได้
w = ED
2
1
= 2
2
1
E = 2
2
1
D
(4.30)
สมการ (4.30) จะแสดงในเทอมของความหนาแน่นพลังงาน เป็น
W = v
wdv (4.31)
และจากสมการ (4.31) ในเทอมของความหนาแน่นพลังงาน ได้
w = Vv
2
1
(4.32)
สมการ (4.30) จะได้ว่าค่าความหนาแน่นพลังงานจะไม่เป็นศูนย์ตลอดปริภูมิ ÁœºÉ°Š‹µ„
œµ¤¤¸‡ªµ¤˜n°ÁœºÉ°Š°¥nµŠÅ¦ „Șµ¤ ¤„µ¦ (4.32) จะได้ว่าความหนาแน่นพลังงานไม่เป็นศูนย์
Á¤ºÉ°มีประจุ ¤„µ¦ š´ÊŠ °Š‹³Å¤n…´—Â¥oŠ„´œ ÁœºÉ°Š‹µ„‡ªµ¤®œµÂœnœ¡ ¨ ´ŠŠµœÁžÈœž¦ ·¤µ–
สเกลาร์ เ¤ºÉ°° ·œš·Á„¦ ˜¡ ºÊœš¸Éš´ÊŠ®¤—‹³ÁžÈœ‡nµพลังงานรวมเหมือนกัน
ตัวอยาง่ 4.2 ทรงกลมโลหะรัศมี 20 cm ¤¸‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥š¸ÉŸ·ªÁžÈœ 9
105
2
/ mC ‹Š‡Îµœª–®µ¡ ¨ ´ŠŠµœÅ¢¢µš¸É ³ ¤Äœ¦ ³้
วธีทําิ ศักย์ไฟฟ้µš¸ÉŸ·ª…°Šš¦ Š„¨ ¤‹µ„
V = s
s
R
ds
04
=
s
ds2.0105109 99
=
0
2
0
sin9 dd
= 36 V
12. 80
2
1
s
nˆ 1D
2D
+ + + + + + + + + + + + + +
2D
111 nn ED
222 nn ED
+ + + + + + + + + + + + + +
ตัว„¨ µŠš¸É2
2
˜´ª „¨ µŠš¸É1
1s
nˆ 1D
2D
s
รอยตอตัวกลาง่
¡ ¨ ´ŠŠµœš¸É ³ ¤Äœ¦ ³‹µ„ ¤„µ¦ (4.28) เป็น
W = s
sVds
2
1
= VQt
2
1
Á¤ºÉ°tQ ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—œŸ·ªš¦ Š„¨ ¤
ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°œŸ·ªš¦ Š„¨ ¤ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—‹³ÁžÈœ
tQ = sR 2
4
= 92
105)2.0(4
= 9
105.2
.C
W = 14.336105.25.0 9
= 9
103.141
.J
ตอบ
4.3 ÁŠºÉ° œÅ……° Á…˜…° Š œµ¤Å¢¢oµ
Äœ˜°œœ¸Ê‹³«¹„¬µÁŠºÉ°œÅ…Ž¹ÉŠ‡¦ °‡¨ »¤¡ §˜·„¦ ¦ ¤…°Š œµ¤Å¢¢µ¦ ³®ªnµŠ¦ °¥˜n°้ ของ
ตัวกลาง เช่น ระหว่างไดอิเล็กทริกกับตัวนํา หรือระหว่างไดอิเล็กทริกกับไดอิเล็กทริก ¤„µ¦ š¸É
ใช้อธิบายพฤติกรรมของ œµ¤Å¢¢µ¦ ³®ªnµŠ¦ °¥˜n°š´ÊŠ °Š้ เรียกว่า ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜
(boundary condition )
4.3.1 องค์ประ„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°ŠD
„µ¦ ®µ‡nµÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜ขององค์ประกอบในแœª˜´ÊŠŒµ„ของความเข้มสนามไฟฟา้ š¸É
บริเวณรอยต่อระหว่างตัวกลาง ดังรูปš¸É4.7 ก. จะใช้กฎของเกาส์ Á¦ ·É¤‹µ„ ¦ oµŠŸ·ªÁ„µ rÁŽ¸¥œ
รูปทรงกระบอกเล็ก ๆ (pillbox) ×¥¤¸‡¦ ¹ÉŠ®œ¹ÉŠ°¥¼nÄœ˜´ª„¨ µŠš¸É1 ¨ ³° ¸„‡¦ ¹ÉŠ®œ¹ÉŠ°¥¼nÄœ˜´ª„¨ µŠ
š¸É2 และ ให้ทรงกระบอกแบนเรียบขนาดเล็ก ติดผิวรอยต่อ มีความสูง h เข้าสู่ศูนย์
ก. ข.
¦ ¼žš¸É4.7 ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜…°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š œµ¤D
และ E
ก. ÁŠºÉ°œÅ…
ขอบเขตของ D
ข. °Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„ของD
13. 81
สมมติว่ามีความหนาแน่นของประจุอิสระเชิงผิว เป็น s š¸É¦ ·Áª–¦ °¥˜n° ™oµ¡ ºÊœŸ·ªเป็น
s ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—š¸É°¥¼n£µ¥Äœš¦ Š„¦ ³°„Á¨ È„ÇÁžÈœ ss
จากกฎของเกาส์ จะได้
snD ˆ1
- snD ˆ2
= ss
หรือ )(ˆ 21 DDn
= s (4.33)
จะได้ 21 nn DD = s (4.34)
Á¤ºÉ°nˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Äœš·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´¦ °¥˜n°‹µ„˜´ª„¨ µŠš¸É2 ไป
˜´ª„¨ µŠš¸É1 และ 1nD กับ 2nD เป็นองค์ประกอบของสนาม D
ใœÂœª˜´ÊŠŒµ„š¸É¦ °¥˜n°Äœ
˜´ª„¨ µŠš¸É1 ¨ ³˜´ª„¨ µŠš¸É2 ตามลําดับ แสดงดังรูปš¸É4.7 ข. จากสมการ (4.33) จะได้ว่า
องค์ประกอบในแนว ˜´Êงฉากของความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟา้ ‹³Å¤n˜n°ÁœºÉ°Šบริเวณรอยต่อ ถ้ามี
‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»° · ¦ ³Á·ŠŸ·ªš¸É¦ °¥˜n°
จาก ED
สมการ (4.34) จะแสดงÄœÁš°¤…°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š
สนามไฟฟา้ E
ได้เป็น
)(ˆ 211 EEn
= s (4.35)
หรือ 2211 nn EE = s (4.36)
Á¤ºÉ°¦ °¥˜n°°¥¼n¦ ³®ªnµŠÅ—° ·Á¨ È„šริ„š¸É˜„˜nµŠ„´œ จะถือว่าไม่มีความหนาแน่นประจุ
อิสระ œ¡ ºÊœŸ·ªš¸É™¼„¥¹—Á®œ¸É¥ª —´Šœ´Êœ°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µ‹³¥´Š‡Š้
˜n°ÁœºÉ°Š…oµ¤¦ °¥˜n°
1nD = 2nD (4.37)
หรือ 11 nE = 22 nE (4.38)
™oµ˜´ª„¨ µŠš¸É2 เป็นตัวนํา ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า 2D
จะ¤¸‡nµÁžÈœ«¼œ¥rÁœºÉ°Š‹µ„
ไม่มีสนามไฟฟา้ ภายในตัวนํา สําหรับÄœ˜´ª„¨ µŠš¸É 1 °Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š‡ªµ¤
หนาแน่นฟลักซ์ไฟฟา้ เป็น 1D
แต่เป็นความหนาแน่นประจุอิสระเชิงผิวบนตัวนํา จะสอดคล้อง
กับสมการ (4.34) จะได้
1ˆ Dn
= 1nD = s (4.39)
11 nE = s (4.40)
°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µÄœ˜´ª„¨ µŠ้ ไดอิเล็กทริกš¸É
อยู่ด้านบนเหนือผิวของตัวนําจะมีค่าเท่ากับความหนาแน่นประจุเชิงผิวบนตัวนํา
14. 82
˜´ª „¨ µŠš¸É2
2
˜´ª „¨ µŠš¸É1
1
1E
2E
nˆ
a b
cd
tˆ
2
1
nˆ 1E
1nE
1tE
2E
2nE 2tE
รอยตอตัวกลาง่
4.3.2 องค์ประกอบในแนวสัมผัสของสนามไฟฟา้ E
จากสนามไฟฟาเป็นสนามอนุรักษ์้ 0ldE
‹³ÄoŸ¨ ¨ ´¡ ›rœ¸Ê„´ª ·™¸ž·—abcda ข้าม
รอยต่อ ดังรูปš¸É4.8 ก. วิถีปิดประกอบด้วย 2 ส่วนเท่ากัน ab และ cd Ä®o—oµœš´ÊŠ °Š¥µª
l
…œµœÂ¨ ³°¥¼n˜¦ Š„´œ…oµ¤„´¦ °¥˜n°Â¨ ³ nªœš¸É ´Êœ„ªnµbc และ da จะมีความยาว h
…–³š¸É 0h
—´Šœ´Êœ nªœ…°Š‡ªµ¤¥µªbc และ da กับอินทิกรัลตามเส้น ldE
‹³˜´—š·ÊŠ
ก. ข.
¦ ¼žš¸É4.8 ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜…°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š œµ¤D
และ E
ก. ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜ของ E
ข. °Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„ของ E
—´Šœ´Êœ
lElE
21 = 0
หรือ
lEE
)( 21 = 0
ถ้า tll ˆ
ถ้า tˆÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ÄœÂœª ´¤Ÿ´ „´Ÿ·ª¦ °¥˜n°Â —Š—´Š¦ ¼ž
š¸É4.8 ข.
จะได้ )(ˆ 21 EEt
= 0
1tE = 2tE (4.41)
Á¤ºÉ° 1tE และ 2tE เป็นองค์ประกอบในแนวสัมผัสของสนาม E
Äœ˜´ª„¨ µŠš¸É1 และ
˜´ª„¨ µŠš¸É2 ตามลําดับ แสดงดังรูปš¸É4.8 ข. จากสมการ (4.41) จะได้ว่า องค์ประกอบใน
Âœª ´¤Ÿ´ …°Š‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ‹³˜n°ÁœºÉ°Šš¸ÉŸ·ª¦ °¥˜n°้
สมการ (4.41) จะเขียนในรูปเวกเตอร์ เป็น
)(ˆ 21 EEn
= 0 (4.42)
15. 83
™oµ˜´ª„¨ µŠš¸É1 เป็นไดอิเล็กทริก¨ ³˜´ª„¨ µŠš¸É2 เป็นตัวนํา องค์ประกอบของความ
Á…o¤ œµ¤Å¢¢µÄœÂœª ´¤Ÿ´ Äœ˜´ª„¨ µŠš¸É้ 1 š¸ÉÁžÈœ˜´ªœÎµ‹³ÁžÈœ«¼œ¥rÁœºÉ°Š‹µ„Ťn¤¸ œµ¤Å¢¢µ้
Äœ˜´ªœÎµ—´Šœ´Êœ‹³Å—oªnµ œµ¤Å¢¢µ ™·˜š¸É้ อยู่ด้านบนของ˜´ªœÎµ‹³˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª˜´ªœÎµ
ตัวอยาง่ 4.3 ประจุ Q „¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°œŸ·ª…°Šš¦ Š„¨ ¤˜ัวนํารัศมี r จงคํานวณหาค่า
สนามไฟฟาบนผิวของตัวนํา้
วธีทําิ ‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»š¸ÉŸ·ªÁžÈœ
s =
r
Q
4
‹³¤¸ÁŒ¡ µ³°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š œµ¤D
ด้านบนผิวของตัวนํา
—´Šœ´Êœ rDD r ˆ
จากสมการ sDn 1
ˆ
rD = 2
4 r
Q
ถ้า เป็นสภาพยอมทางไฟฟาของตัวกลางรอบ ๆ ทรงกลม้
—´Šœ´Êœ
rE =
rD
= 2
4 r
Q
ตอบ
ตัวอยาง่ 4.4 ขอบเขตระหว่างรอยต่อของสุญญากาศ และ ตัวกลางไดอิเล็กทริก บนระนาบ
xy š¸É 0z š¸É˜´ª„¨ µŠสุญญากาศ มีความเข้มสนามไฟฟาเป็น้ E
= kji ˆ50ˆ20ˆ10
mV / „ε®œ—Ä®o‡nµ‡Šš¸Éไดอิเล็กทริก เป็น 50 จงคํานวณหาค่าสนามไฟฟาด้าน้ ไดอิเล็กทริก
วธีทําิ ให้ ˜´ª„¨ µŠš¸É1 เป็นตัวกลางไดอิเล็กทริก อยู่ด้านบนระนาบ )0( z
˜´ª„¨ µŠš¸É2 เป็นตัวกลางสุญญากาศ อยู่ด้านล่างระนาบ ( )0z
จากโจทย์ ความเข้มสนามไฟฟา้ 2E
= kji ˆ50ˆ20ˆ10
‹µ„°Š‡rž¦ ³„° œµ¤Å¢¢µÄœÂœª ´¤Ÿ´ š¸ÉŸ·ª¦ °¥˜n°‹³¤¸‡nµ˜n°ÁœºÉ°Š้
1tE = 2tE
1021 xx EE
2021 yy EE
สําหรับรอยต่อระหว่างไดอิเล็กทริกกับไดอิเล็กทริก ของ°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„
ของสนาม D
‹³¤¸‡nµ˜n°ÁœºÉ°Šš¸ÉŸ·ª¦ °¥˜n°
16. 84
—´Šœ´Êœ 2211 zz EE
Á¤ºÉ° 02 และ 01 50
—´Šœ´Êœ
1
50
50
50
2
1 z
z
E
E
สนามไฟฟาในตัวกลาง้ ไดอิเล็กทริก kjiE ˆˆ20ˆ10
mV /
ตอบ
4.4 ตัวเก็บประจุ และความจุไฟฟ้ า
4.4.1 ความจุไฟฟา้
ตัวนํา 2 ˜´ª°¥¼nÁžÈœ° · ¦ ³‹µ„˜´ªœÎµ° ºÉœÁ¤ºÉ°œÎµ˜´ªœÎµš´ÊŠ °ŠªµŠÄ„¨ oÇ„´œÁžÈœ¦ ³
เดียวกัน เรียกว่า ตัวเก็บประจุ (capacitor)—´Š¦ ¼žš¸É4.9¨ ³Á¤ºÉ°Ä®o¡ ¨ ´ŠŠµœ‹³Á„·—„µ¦ ™nµ¥Áš
ž¦ ³‹»¦ ³®ªnµŠ˜´ªœÎµš´ÊŠ °Šทําให้ตัวนํามีประจุเท่ากันแต่เป็นประจุชนิดตรงกันข้าม จะเกิดสนาม
ไฟฟาระหว่างตัวนํา้ (ตัวกลางไดอิเล็กทริก) ¨ ³Á„·—‡ªµ¤˜nµŠ«´„¥r¦ ³®ªnµŠ˜´ªœÎµÂ¨ ³Á¤ºÉ°Á¡ ·É¤
ประจุ (charging) ÅžÁ¦ ºÉ°¥‹³šÎµÄ®o˜´ªÁ„Èž¦ ³‹»¤¸‡nµ‡ªµ¤˜nµŠ«´„¥r ¼Š »—¨ ³‡nµ‡ªµ¤˜nµŠ«´„¥r
‹³…¹Êœ°¥¼n„´ž¦ ³‹»š¸É ³ ¤œ˜´ªœÎµ
¦ ¼žš¸É4.9 ˜´ªÁ„Èž¦ ³‹»ž¦ ³„°˜´ªœÎµš¸É¤¸ž¦ ³‹»…œµ—Ášnµ„´œÂ˜n¤¸š·«˜¦ Š…oµ¤
Ä®o‡ªµ¤˜nµŠ«´„¥rÅ¢¢µ¦ ³®ªnµŠÂŸnœž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š¤¸‡nµÁžÈœ้ abV และประจุบนตัวนํา
เป็น aQ ° ´˜¦ µ nªœ¦ ³®ªnµŠž¦ ³‹»œ˜´ªœÎµš´ÊŠ °Š„´‡ªµ¤˜nµŠ«´„¥r¦ ³®ªnµŠÂŸnœ‹³¤¸‡nµ‡Šš¸É
เรียกว่าค่าความจุไฟฟา้ (capacitance)
ab
a
V
Q
C (4.43)
17. 85
Á¤ºÉ° C เป็นค่าความจุไฟฟา้ (capacitance) มีหน่วยเป็น ฟารัด(F )
aQ เป็นประจุบนตัวนํา a มีหน่วยเป็นคูลอมย์ )(C
abV ÁžÈœ«´„¥r¢µš¸É้ a เทียบกับ b มีหน่วยเป็นโวลต์ )(V
นิยามความจุ 1 ¢µ¦ ´—®¤µ¥™¹Š‡ªµ¤‹»…°Š˜´ªœÎµÃ——Á—¸É¥ªš¸É¤¸«´„¥rÅ¢¢µ้ 1 โวลต์
Á¤ºÉ°Å—o¦ ´ž¦ ³‹»ไฟฟา้ 1 คูลอมย์
ในทางปฏิบัติ‡ªµ¤‹»Å¢¢µ‹³¤¸‡nµœo°¥Á¡ ºÉ°‡ªµ¤ ³—ª„‹¹Šœ·¥¤Äo®œnª¥¥n°¥¨ ŠÁnœ้
ไมโครฟารัด )101( 6
FF
หรือ พิโคฟารัด ( )101 12
FpF
4.4.2 ตัวเก็บประจุแบบแผ่นคู่ขนาน
รูปš¸É4.10 ตัวเก็บประจุแบบแผ่นคู่ขนาน
จากรูปš¸É 4.10 ตัวเก็บประจุแบบแผ่นคู่ขนาน ประกอบด้วยแผ่นตัวนําสองแผ่นวาง
ห่างกันเป็นระยะ d ¦ ³®ªnµŠÂŸnœ˜´ªœÎµ‡¼n…œµœœ¸Ê™¼„‡´Éœ—oª¥ »µ„µ«¤¸ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥˜¨ °—
แผ่นเป็น Q และ Q ตามลําดับ
ให้ s ÁžÈœ‡nµ‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»Å¢¢µš¸ÉŸ·ª…°Š˜´ªœÎµ้
V ÁžÈœ‡ªµ¤˜nµŠ«´„¥rÅ¢¢µ…°Š˜´ªœÎµš´ÊŠ °Š้
สนามไฟฟาภายในแผ่นคู่ขนาน หาจากกฎของเกาส์ จะได้ คือ้
E
= zs
ˆ
0
=
A
Q
0
(4.44)
Á¤ºÉ°Q เป็นประจุของแผ่นตัวนําด้านบนš¸É dz , A ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É…°ŠÂŸnœž¦ ³‹»
และ 0 เป็นสภาพซึมซาบได้ของตัวกลาง ¨ ³ÂŸnœ¨ nµŠªµŠ°¥¼nš¸Éตําแหน่ง 0z มีประจุเป็น Q
œµ¤Å¢¢µ¦ ³®ªnµŠÂŸnœ‡¼n…œµœ¤¸‡nµ‡Šš¸É้ ขนาดของความต่างศักย์ระหว่างแผ่น
V = -
A
B
ldE
=
d
s
dz
0
0
V =
0
ds
=
A
Qd
0
(4.45)
18. 86
ความจุของตัวเก็บประจุชนิดแผ่นคู่ขนาน
C =
abV
Q
=
d
A
(4.46)
¡ ¨ ´ŠŠµœš¸É ³ ¤Äœ¦ ³ÁžÈœ
W = v
dvE2
2
1
= 2
2
1
s
Ad
= 2
2
1
Q
A
d
W = 2
2
2
1
Q
C
= 2
2
1
abCV (4.47)
สมการ (4.47 ) ÁžÈœ ¤„µ¦ ¡ ºÊœ“µœ…°Š„µ¦ ³ ¤¡ ¨ ´ŠŠµœÄœ˜´ªÁ„Èž¦ ³‹»
ตัวอยาง่ 4.5 ตัวเก็บประจุประกอบด้วยทรงกลมโลหะซ้อนกันมีจุดศูนย์กลางร่วมกันมีรัศมี
เป็น a และ b ดังรูปš¸É4.11 ทรงกลมในมีประจุเป็น Q และš¸Éš¦ Š„¨ ¤œ°„ÁžÈœ Q
จงคํานวณหา
ก. ค่าความจุของระบบ
ข. ‡nµ‡ªµ¤‹»…°Šš¦ Š„¨ ¤Ã——Á—¸É¥ª
ค. ¤¤˜·Ã¨ „ÁžÈœš¦ Š„¨ ¤Ã——Á—¸É¥ª¤¸¦ ´«¤¸ 6
105.6 m จงคํานวณหาค่าความจุ
ไฟฟาของโลก้
ง. ™oµšÎµÄ®oš¦ Š„¨ ¤š¸ÉŽo°œ„´œœ¸ÊÂ¥„°°„‹µ„„´œÄ®o¤¸n°ŠªnµŠÁ¨ È„œo°¥‡nµ‡ªµ¤‹»…°Š
¦ ³œ¸Ê‹³ÁžÈœÁšnาไร
¦ ¼žš¸É4.11 ตัวเก็บประจุชนิดทรงกลม
วธีทําิ ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°˜¨ °—š¦ Š„¨ ¤‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ£µ¥Äœš¦ Š„¨ ¤˜´ªœÎµ้
หาได้จากกฎของเกาส์
19. 87
E
= r
r
Q
ˆ
4 2
ศักย์ไฟฟาภายทรงกลมเทียบกับศักย์ภายนอกทรงกลม เป็้ น
abV = -
a
b
dr
r
Q
2
1
4
=
ba
Q 11
4
ความจุของระบบ เป็น
C =
abV
Q
=
ab
ab
4
‡ªµ¤‹»…°Šš¦ Š„¨ ¤Ã——Á—¸É¥ªÃ—¥Ä®o b ค่าความจุ เป็น C = a4
ค่าความจุของโลก จากสมการ C = a4
แทนค่ารัศมีของโลก 6
105.6 m และ แทน ด้วย 0
C = 9
6
109
105.6
= 3
10722.0
= 6
10722
F
™oµž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š°¥¼nÄ„¨ o„´œ¤µ„Ç abd และ ad —´Šœ´Êœ 2
aab
ค่าความจุของระบบ จะได้เป็น
C =
ab
a
2
4
=
d
A
Á¤ºÉ° 2
4 aA ÁžÈœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ª…°Šš¦ Š„¨ ¤£µ¥Äœ
ตอบ
จากความจุของตัวเก็บประจุชนิดแŸnœÂ¨ ³š¦ Š„¨ ¤Äœ˜´ª°¥nµŠš¸É4.5 จะได้ว่าค่าความจุ
ระหว่างตัวนํา 2 ˜´ª‹³…¹Êœ°¥¼n„´ขนาดและรูปร่างของตัวนํา ¦ ³¥³®nµŠ¦ ³®ªnµŠ˜´ªœÎµš´ÊŠ °Š
และ ค่าสภาพยอมทางไฟฟาของตัวกลาง้
จากสมการ C =
ab
a
2
4
=
d
A
จะนําไปใช้หาค่าความจุของระบบประจุŽ¹ÉŠ
ประกอบด้วย ตัวนํา 2 ตัว
4.5 สมการของปัวซองและ สมการของลาปลาซ
Äœ˜°œš¸ÉŸnµœ¤µการหาค่าสนามไฟฟา หรือศักย์ไฟฟาในตัวกลาง้ ้ ทําได้ตรงไปตรงมา
Á¤ºÉ°š¦ µ¢Š„r´œ„µ¦ „¦ ³‹µ¥…°Šž¦ ³‹» ˜n°¥nµŠÅ¦ „Șµ¤µŠ‡¦ ´ÊŠž®µšµŠÅ¢¢µ ™·˜œ´ÊœÅ¤nั ้ั
20. 88
ง่ายÁ®¤º°œš¸É„¨ nµª¤µÁnœ„¦ –¸Å¤nš¦ µ‡nµ¢Š„r´œ„µ¦ „¦ ³‹µ¥…°Šž¦ ³‹»Å¢¢µ„¦ –¸œ¸Ê‹³˜o°Šั ้
หาค่าสนามไฟฟาก่อนแล้วจึงคํานวณหาค่าฟงก์ชันการกระจายของประจุ้ ั
ª ·›¸„µ¦ „ož®µ¨ ´„¬–³œ¸Êั ‹³Á¦ ·É¤‹µ„„µ¦ ¦ oµŠ ¤„µ¦ °œ»¡ ´œ›r¡ ºÊœ“µœ…¹Êœ¤µ„n°œÂ¨ ³
รากของสมการจะเป็นฟงก์ชันศักย์ไฟฟาั ้
สมการของปวซองั
จากกฎของเกาส์ในตัวกลางเชิงเส้น
D
= v
จาก ED
)( E
= v (4.48)
Á¤ºÉ°v เป็นความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร
และ E
= V
(4.49)
แทนค่า E ในสมการ (4.49) จะได้
)( V
= v (4.50)
โดยใช้เวกเตอร์เอกลักษณ์ สมการ (4.50) จะได้
)( V
+
V = v
หรือ V2
+
V = v (4.51)
สมการ (4.51) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง ในเทอมของฟงก์ชันของศักย์ไฟฟาั ้
และ ‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»Å¢¢µÁ·Šž¦ ·¤µ˜¦ ¤„µ¦ œ¸Ê‹³้ หาค่าได้ ถ้า ไม่เป็นฟงก์ชันของั
ตําแหน่ง ¨ ³‹³®µ¦ µ„…°Š ¤„µ¦ Å—o™oµš¦ µÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜Â¨ ³ฟงก์ชันของั v และ
จากสมการ (4.51) ™oµÁžÈœ˜´ª„¨ µŠÁœºÊอเดียว ค่า จะเป็นค่า‡Šš¸É—´Šœ´Êœ
= 0
สมการจะเป็น
V2
=
v
(4.52)
Á¤ºÉ° 2
เป็น ตัวดําเนินการลาปลาซ (Laplacian operator)
สมการ (4.52) เรียกว่า สมการของปวซองั (Poission’s equation) จะได้ว่า ศักย์ไฟฟา้ š¸É
บริเวณÄ—‹³…¹Êœ„´ž¦ ³‹»š¸É„¦ ³‹µ¥Äœ¦ ·Áª–œ´Êœ
ถ้าความหนาแน่นของประจุเชิงปริมาตรเป็นศูนย์ สมการปวซองั จะลดรูป เป็น
V2
= 0 (4.53)
สมการ (4.53) เรียกว่าสมการของลาปลาซ (Laplace’s equation)
—´Šœ´ÊœÄœ¦ ·Áª–š¸É¤¸ž¦ ³‹»° · ¦ ³จะหาค่าสนามไฟฟาได้ โดย้ Á¦ ·É¤‹µ„®µ‡nµ¢Š„r´œั V š¸É
เหมาะสมจาก ¤„µ¦ ¨ µž¨ µŽŽ¹ÉŠ…¹Êœ°¥¼n„´ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜และค่าของฟงก์ชันของศักย์ไฟฟั ้า
ในประจุอิสระ จะหาค่าของความเข้มสนามไฟฟา้ E
ได้จากสมการ VE
และÄœ µ¦ š¸É
21. 89
ÁžÈœÁ·ŠÁ oœÁžÈœÁœºÊ°Á—¸¥ªÂ¨ ³¦ ·Áª–š¸É¤¸ž¦ ³‹»° · ¦ ³ค่าของ 0 E
œ°„‹µ„œ¸ÊšÎµÄ®o®µ‡nµ
° ºÉœๆ š¸ÉÁ„¸É¥ª…o°ŠÅ—oÁnœ‡ªµ¤‹»‹µ„ž¦ ³‹»° · ¦ ³œŸ·ª…°Š˜´ªœÎµÂ¨ ³‡nµ¡ ¨ ´ŠŠµœš¸É ³ ¤Äœ
ระบบ
ตัวอยาง่ 4.6 ตัวเก็บประจุแบบแผ่นโลหะตัวนํา 2 แผ่น ดังรูปš¸É4.12 ¤¸¡ ºÊœš¸Éแผ่นเป็น A
วางห่างกันเป็นระยะ d š¸ÉŸnœœ¤¸ศักย์ไฟฟา้ เป็น 0V และแผ่นล่างมีศักย์ไฟฟา้ เป็นศูนย์
จงคํานวณหา
ก. การกระจายศักย์ไฟฟา้
ข. ความเข้มสนามไฟฟา้
ค. ž¦ ³‹»š¸É„¦ ³‹µ¥œÂŸnœš´ÊŠ °Š
ง. ‡ªµ¤‹»…°ŠÂŸnœ˜´ªÁ„Èž¦ ³‹»œ¸Ê
¦ ¼žš¸É4.12 ประจุบนแผ่นขนานของตัวเก็บประจุ
วธีทําิ Ÿnœ˜´ªœÎµš´ÊŠ °ŠªµŠ°¥¼nÄœ¦ ³œµxy š¸É 0z และ dz
ค่าของศักย์ไฟฟา้ V เป็นฟงก์ชันของกับแกนั z
ประจุอิสระระหว่างแผ่น หาได้จากสมการของ ลาปลาซ
2
2
z
V
= 0
¦ µ„…°Š ¤„µ¦ š´ÉªÅž‹³Å—o V = az + b
Á¤ºÉ°a และ b ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸É
‹µ„ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜š¸É 0z , 0V —´Šœ´Êœ 0b
dz , 0VV —´Šœ´Êœ
d
V
a 0
ศักย์ไฟฟาแผ่นประจุ เป็น้
V = 0V
d
z
ความเข้มสนามไฟฟา้
22. 90
จาก E
= - V
=
z
V
k
ˆ
= )(ˆ
0V
d
z
z
k
= k
d
V ˆ0
ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟา เป็น้
D
= E
= k
d
V ˆ0
°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š œµ¤D
จะเท่ากับความหนาแน่นประจุเชิงผิว บน
ตัวนํา
ความหนาแน่นประจุเชิงผิว บนแผ่นล่าง
zs 0 =
d
V0
zs d =
d
V0
ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—œŸ·ªœÁžÈœ
Q =
d
AV0
—´Šœ´Êœ‡nµ‡ªµ¤‹»…°ŠÂŸnœ…œµœ…°Š˜´ªÁ„Èž¦ ³‹»œ·—Ÿnœ
C =
0V
Q
=
d
A
ตอบ
˜´ª ° ¥µŠš¸É่ 4.7 สายโคแอกเซียนเคเบิล (coaxial cable) ตัวนําภายในรัศมี a ของ มี
ศักย์ไฟฟา้ 0V …–³š¸É˜´ªœÎµ—oµœœ°„¦ ´«¤¸b มีศักย์ไฟฟาเป็นศูนย์ จงคํานวณหา้
ก. ศักย์ไฟฟากระจายระหว่างตัวนํา้
ข. ความหนาแน่นประจุบนผิวตัวนําด้านใน
ค. ความหนาแน่นประจุต่อหน่วยความยาว
23. 91
¦ ¼žš¸É4.13 สายโคแอกเซียนเคเบิล
ตัวนําสองตัวมีรัศมีเป็น a และ b —´Š¦ ¼žš¸É4.13 ศักย์ไฟฟา้ V จะเป็นฟงก์ชันั
ของ อย่างเดียว
สมการของลาปลาซ จะเป็น
d
dV
d
d1
= 0
จะได้รากสมการ เป็น
V = dc ln
Á¤ºÉ°c และ d เป็นตัวคงค่าของการอินทิเกรต
ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜š¸É b , 0V , d = bcln
—´Šœ´Êœ V = )/ln( bc
š¸É a , 0VV —´Šœ´Êœ )/ln(/0 baVc
«´„¥rÅ¢¢µš¸É„¦ ³‹µ¥£µ¥Ä้ น ba เป็น
V =
)/ln(
)/ln(
0
ba
b
V
ข. ความหนาแน่นประจุบนผิวตัวนําด้านใน
ความเข้มสนามไฟฟา เป็น้
E
= V
=
ˆ
V
=
ˆ
)/ln(
0
ab
V
ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟา เป็น้
D
= E
=
ˆ
)/ln(
0
ab
V
24. 92
°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°ŠD
š¸É a
ความหนาแน่นประจุเชิงผิว บนผิวตัวนําข้างใน เป็น
s =
)/ln(
0
aba
V
ค. ความหนาแน่นประจุต่อหน่วยความยาว
ประจุต่อหน่วยความยาว บนตัวนําภายใน เป็น
Q =
)/ln(
2 0
ab
V
ความจุต่อหน่วยความยาว เป็น
C =
)/ln(
2
ab
ตอบ
4.6 บทสรุป
Á¤ºÉ°˜´ªœÎµ°¥¼nÄœ œµ¤Å¢¢µ£µ¥œ°„ž¦ ³‹»Äœ˜´ªœÎµ‹³¤µ°¥¼nš¸ÉŸ·ª…°Š˜´ªœÎµÂ¨ ³ ¦ oµŠ้
สนามต้านสนามภายนอกทําให้สนามไฟฟาภายในเป็นศูนย์้
µ¦ Å—° ·Á¨ È„š¦ ·„Á¤ºÉ°¤¸ œµ¤Å¢¢µ£µ¥œ°„„¦ ³šÎµ‹³Á„·—á ¨ µÅ¦ ÁŽ´œ้
«´„¥rÅ¢¢µ…°ŠÃ¡ ¨ µÅ¦ ÁŽ´œš¸É้ ˜ÎµÂ®œnŠ£µ¥œ°„ µ¦ š¸É™¼„á ¨ µÅ¦ ซ์ เป็น
V =
S V
vpsp
vd
R
sd
R
00 4
1
4
1
โพลาไรซ์เซชันเวกเตอร์สัมพันธ์กับสนามไฟฟาตามสมการ้ P
= E
0
พลังงานสะสมในระบบไฟฟาสถิต เป็นงานในการนําประจุเข้ามารวมกันเป็นร้ ะบบ
ระบบประจุ W =
n
i
iiVq
12
1
ÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜…°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µÄœÅ—° ·้
เล็กทริกด้านบนเหนือผิวตัวนําจะเท่ากับความหนาแน่นประจุเชิงผิวบนตัวนํา และองค์ประกอบ
Ĝœª ´¤Ÿ´ …°Š‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ‹³˜n°ÁœºÉ้ °Šš¸ÉŸ·ª¦ °¥˜n°
ตัวนํา 2 ตัวมีประจุชนิดตรงกันข้ามมาอยู่ด้วยกันเป็นระบบเดียวกัน เรียกว่าตัวเก็บ
ž¦ ³‹»¤¸‡nµ‡ªµ¤‹»ÁžÈœ‡nµž¦ ³‹»š¸É ³ ¤˜n°«´„¥rÅ¢¢µ¦ ³®ªnµŠ˜´ªœÎµš´ÊŠ °Š้
ab
a
V
Q
C
สมการปวซองั V2
=
v
และ สมการของลาปลาซ V2
= 0 จะใช้หาค่า
สนามไฟฟาได้การแก้สมการอนุพันธ์หาผลเฉลย้ ×¥ÄoÁŠºÉ°œÅ……°Á…˜š¸ÉÁ®¤µ³ ¤
25. 93
4.7 คําถามท้ายบท
1. ตัวนําทรงกลมรัศมี a ¤¸ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—Q ªµŠ°¥¼nÄœ œµ¤Å¢¢µŽ¹ÉŠÁ—·¤ÁžÈ้ นสนามเอกรูป
มีขนาดเป็น 0E ‹Š®µ«´„¥rš¸É‹»—£µ¥œ°„š¦ Š„¨ ¤
2. ในระบบพิกัดฉาก ความต่างศักย์เป็นฟงก์ชันของั x š¸Éx = -2.0 cm V = 25 V และ
E
= )ˆ(105.1 3
i mV / ตลอดบริเวณ จงหา V š¸Éx = 3 cm (100 )V
3. จงหาฟัŠ„r´œ…°Š¡ ¨ ´ŠŠµœ«´„¥r¨ ³‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ…°Š¦ ·Áª–¦ ³®ªnµŠš¦ Š„¦ ³°„š¸É้
Žo°œ„´œÁ¤ºÉ°V = 0 š¸Ér = 1 mm และ V = 150 V š¸Ér 20 mm
(V = 9.345ln50 r V )(E
= )ˆ(
50
r
r
mV / )
4. จงใช้สมการของปวซอง หาค่าศักย์ไฟฟา บริเวณระหว่างทรงกระบอกกลวงมีความหนั ้ าแน่น
ประจุเป็น
( BrA
r
V ln
4
2
)
5. สนามไฟฟา้ E
= re ar
ˆ5 /
ในระบบพิกัดทรงกระบอก จงหาพลังงานสะสมใน
ž¦ ·¤µ˜¦ Ž¹ÉŠ ar 2 และ az 50 ( 310
109.7 a
)
6. ตัวเก็บประจุแบบแผ่นขนานกว้าง 0.5 m ยาว 1 m วางอยู่ห่างกัน 2 cm ความต่างศักย์
¦ ³®ªnµŠÂŸnœž¦ ³‹»š´ÊŠ °ŠÁšnµ„´10 V จงหาพลังงานสะสม¦ ³®ªnµŠÂŸnœž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š
7. šnŠÅ—° ·Á¨ È„š¦ ·„¤¸Ÿ·ª—oµœ®œ¹ÉŠÁžÈœ¦ ³œµ¤¸…œµ—…¥µ¥Á…oµ ¼n°œ´œ˜r2 šnŠªµŠÄ®o—oµœš¸É
ÁžÈœ¦ ³œµ°¥¼nÂœ„´œÁ®¨ º°n°ŠªnµŠÂ‡Ç¦ ³®ªnµŠÅ—° ·Á¨ È„š¦ ·„š´ÊŠ °Š¤¸‡nµÃ¡ ¨ µÅ¦ ÁŽ´œ
P
‡Šš¸Éš´Éªš»„˜ÎµÂ®œnŠÄœÅ—° ·Á¨ È„š¦ ·„¨ ³¤¸š·«šµŠÄœÂœªšÎµ¤»¤ กับองค์ประกอบใน
Âœª˜´ÊŠŒµ„…°ŠŸ·ª¦ ³œµ…°Šn°ŠªnµŠ‹Š®µ‡nµ œµ¤Å¢¢µ£µ¥Äœn°ŠªnµŠ้
8. ˜´ª„¨ µŠÅ—° ·Á¨ È„š¦ ·„¤¸‡nµ‡Šš¸ÉÅ—° ·Á¨ È„š¦ ·„ÁžÈœ1K และ 2K š¸ÉŸ·ª¦ °¥˜n°š´ÊŠ °ŠÁžÈœ¦ ³œµ
Ťn¤¸ž¦ ³‹»° · ¦ ³š¸ÉŸ·ª¦ °¥˜n°œ´Êœ‹Š®µ‡ªµ¤ ´¤¡ ´œ›r¦ ³®ªnµŠ¤»¤1 และ 2 เป็นมุมของ
ปริมาณกระจัดไฟฟากระทํากับองค์ประกอบ้ ในแนวตังฉากกับผิวรอยต่อ โดย 1 อยู่ใน
˜´ª„¨ µŠš¸É1 และ 2 °¥¼nÄœ˜´ª„¨ µŠš¸É2 ( 2121 /tan/tan kk )
9. ° ·Á¨ È„˜¦ °œª ·ÉŠ—oª¥‡ªµ¤Á¦ Ȫ 17
100.3
J ª ·ÉŠÁ…oµ¤µÄœ¦ ·Áª–š¸É¤¸ œµ¤Å¢¢µÁ°„¦ ¼ž้
1000E mV / œµ¤¤¸š·«šµŠ…œµœ„´Âœª„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œš¸É…°Š° ·Á¨ È„˜¦ °œ° ·Á¨ È„˜¦ °œ
‹³Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉŞŗoÅ„¨ ÁšnµÅ¦ ‹¹Š‹³®¥»—œ·ÉŠ
10. ทรงกลมตัวนํา 2 ˜´ªœÎµ°¥¼nÄœ »µ„µ«˜´ªœÎµš¸É1 รัศมี R ˜n°¨ Š—·œ˜´ªœÎµš¸É2 มีขนาด
เล็กมากจนถือว่าเป็นจุด มีประจุ q ¨ ³ªµŠ®nµŠš¦ Š„¨ ¤š¸É˜n°¨ Š—·œÁžÈœ¦ ³¥³d จงหา
ž¦ ³ ‹»š¸É™¼„Á®œ¸É¥ª œÎµ…¹œš¸Éš¦ Š„¨ ¤š¸É˜°¨ Š—·œÊ ่
