池袋物理学勉強会第2回資料

1. 池袋物理学勉強会(2)
@gm3d2
July 30, 2014
池袋バイナリ勉強会拠点

2. 準備: 多変数関数の値の変化
●
xの関数f(x)について、xがある値から微小な値
δxだけ変化したときのf(x)の変化分は、
●
では、３つの変数x、y、zによる関数f(x, y, z)
について、変数がそれぞれδx、δy、δzだけ変
化したときの変化分は…

3. …偏微分係数
●
一次元の場合の拡張
●
「関数の変化分は変数の変化分の一次式」
●
一変数の場合と同じく、有限のδに対しては高
次の項が存在するが、微少変化に対しては無視
できる

4. fがx,y,zを通して
時間に依存する場合
これから、
合成関数の微分の多変数版
x、y、zは必ずしも座標である必要はないし、
個数も3個に限らない

5. 1.2節のポイント
●
運動エネルギー T: (この形で固定）
●
ポテンシャル V: 力を決定するもの
(一次元) (多次元）
– ポテンシャルを与えることが考えている系の状況設
定に相当する
– 力はベクトル、ポテンシャルはスカラー量なのでポ
テンシャルの方が若干扱いが楽

6. 1.2節のポイント(2)
●
運動方程式
●
変形、移項して

7. 1.2節のポイント(3)
●
全エネルギー E = T + V
●
●
Eは保存する（時間に対して一定）
●
注意：運動方程式からエネルギー保存は出るが、
逆は成り立たない
(運動方程式から)

8. 1.2節のポイント(4)
●
ラグランジアン(Lagrangian) L:
●
運動方程式はLを使って書ける
Lは の関数と考える
各自確認
Lagrange形式の運動方程式

9. 1.3節のポイント
●
Lagrange形式の運動方程式
●
変数をxに限る必要はない
– 例: 極座標
●
(x, y, z)と1対1に対応する任意の座標でよい
– 一般化座標

10. 1.3節のポイント(2)
●
任意の一般化座標 qiで
が成立する。 を別の一般化座標
とするとき、
と置くと
が成り立つ。

11. 1.3節のポイント(3)
●
ある座標系 qiで
が成立していれば、Qiにおいても
が成り立つことを意味する。
– 運動方程式は、座標の選び方によらない概念

12. 1.4節のポイント
●
運動方程式をさらに違う形式で扱う
– 中間変数pの導入
– これによって運動方程式は、
と書ける。
●
2f自由度の一階微分方程式

13. 1.4節のポイント(2)
●
Lagrange形式の運動方程式
– Lagrangianから導出
●
pとxによる一階の形の運動方程式
– Hamilton形式
– Hamiltonianから導出
●
Hamiltonianとは
– 全エネルギーEをx、pで表したもの

14. 1.4節のポイント(3)
●
運動方程式は、
と書ける（各自確認）
Hamiltonの運動方程式

15. (付録）ベクトル解析の記法
●
なるべくx、y、zと個別に書かずに済ませたい
…だいぶコンパクトに書ける