La rappresentazione della relatività: il piano di minkowki e l'ambiente storico

1. La rappresentazione
della relatività

2. Hermann Minkowski
Il matematico lituano Hermann Minkowski è il fautore di quello
che è il piano sulla quale si può rappresentare geometricamente
la relatività ristretta. Minkowski fu professore al politecnico di
Zurigo nello stesso periodo in cui Albert Einstein vi era studente.
Fu qui, probabilmente, che entrò a contatto con la relatività
ristretta. Nel piano di Minkowski si riassumono le formule di
Lorentz e le teorie relativistiche di Einstein; questo
esclusivamente se si parla di sistemi di riferimento inerziali.

3. La storia di
Minkowski
Minkowski nasce in Lituania da una famiglia
ebrea ma vive prevalentemente in Germania. Il
suo genio si mostro in giovane età quando a
diciotto anni fu premiato dall'Accademia delle
scienze di Parigi per un suo lavoro sulle forme
quadratiche aritmetiche. Uno degli aspetti più
importanti delle sue scoperte sono le
rappresentazioni di varie entità fisiche o
matematiche; prima tra tutte la dimostrazione
geometrica della relatività ristretta e delle
formule di Lorentz. La sua idea, come quella dei
suoi contemporanei, era la stessa teorizzata da

4. La vita
accademica
Minkowski insegna nel politecnico di
Zurigo dal 1902 al 1909, anno in cui
morì all'età di 44 anni. In questo
periodo ha avuto un gran impatto sulla
fisica del tempo infatti tra i suoi
studenti era presente Albert Einstein
che avvicinò Minkowski alla teoria
della relatività.

5. Il contesto storico
Ci troviamo tra la fine dell'ottocento e l'inizio del 900; questo è un
momento di grande progresso culturale e sociale. Infatti negli anni 50
di quel secolo si tennero le prime esposizioni universali che misero in
contatto tutte le comunità culturali sociali del mondo. Questo non solo
creò un grande miglioramento nei rapporti socio-economici dei vari
paesi ma fece iniziare un momento estremamente favorevole nel
progresso che si basa principalmente sulla fiducia nel progresso.
Sono qui che si hanno molte invenzioni e scoperte in ambito
scientifico e nascita di correnti artistiche e filosofiche. Per quanto
riguarda l'ambito scientifico si ricordano le scoperte dei raggi x nel
1895, dell'elettrone e dei tubi catodici nel 97 e anche le ricerche di
Marie Curie sulle radiazioni nel 1903. Dal punto di vista artistico si

6. Struttura matematica
Il piano ha come coordinate lo spazio in x e il tempo come y; ma
per mettere anche come ordinata una lunghezza viene messa ct.
Sul piano sono presenti varie curve:
• Due iperboli, dette iperboli di calibrazione, che non sono altro
che la formula dell'IST(invariate spazio temporale)
• Due rette che delimitano il nuovo sistema di riferimento e che
hanno un inclinazione rispetto agli assi iniziali dipendente dalla
velocità relativa tra i sistemi di riferimento. Quella più vicina
all'asse delle x è detta x' mentre l'altra è detta ct'.

7. Le iperboli di
calibrazione
La relatività ristretta ci ha insegnato che lo
spazio e il tempo non sono assoluti ma
dipendono dal punto di osservazione
dell'evento. Di conseguenza un unita di
spazio di uno dei sistemi di riferimento non
corrisponde con l'unità di spazio dell'altro
sistema. Di conseguenza abbiamo bisogno
di un valore costante che ci permette di
connettere i due sistemi. La relatività
presenta due invariabili importanti: quella
che lega l'energia con la quantità di moto e
quella che lega lo spazio e il tempo. Nel
piano di Minkowski usiamo la seconda che
viene chiamata IST, ovvero invariante spazio

8. L'inclinazione delle rette
Le rette, come abbiamo detto, sono inclinate in base alla velocità
relativa tra i due sistemi. In particolare prendiamo in considerazione il
valore β che è uguale al rapporto tra la velocità relativa tra i sistemi di
riferimento e la velocità della luce; questo valore non è altro che la
tangente dell'angolo tra la retta delle x e quella di x' e tra quella di ct e
quella di ct'. Dalla definizione di β possiamo capire che se i due
sistemi si muovono con velocità relativa tendente a 0 le rette che
definiscono il nuovo sistema tendono a quelle vecchie e di
conseguenza non si vedono le dilatazioni e contrazioni
spaziotemporali dettate dalla relatività ristretta. Questo è il motivo per
cui ci si pose il problema solo nella seconda parte 1800 perché gli

9. Come calcolare le lunghezze
Il paino di Minkowski unisce due piani cartesiani che
rappresentano due sistemi di riferimento; tuttavia questi sistemi
non sono propriamente uguale e di conseguenza vediamo un
sistema in maniera normale e uno distorto con gli assi inclinati.
Questo crea una difficolta nel calcolare le lunghezze nel nuovo
sistema dato che misurando il segmento con le misure degli
assi normali troviamo la lunghezza nel vecchio sistema. Ora
entrano in campo le iperboli di calibrazione che. Come visto
precedentemente, ci indicano la nuova unità del sistema di
riferimento con gli assi inclinati. Di conseguenza per calcolare

10. La posizione di un
punto
Per calcolare le nuove coordinate di un
punto suddividiamo l'incarico in due parti:
l'individuazione dei segmenti sugli assi che
identificano le coordinate e nella seconda
parte il calcolo delle loro lunghezze tramite la
nuova unità del sistema di riferimento.
Per la prima parte dobbiamo capire come
trovare le proiezioni del punto scelto sui
nuovi assi cartesiani; per fare ciò dobbiamo
tracciare una retta parallela ad un asse e
passante per il punto e la proiezione di
quest'ultimo sarà l'intersezione della retta
parallela con l'altro asse: prendiamo in

11. Precisazione
Dal punto di vista matematico noi
parliamo di punti in un sistema ma nel
piano di Minkowski ciò che
rappresentano i punti non sono altro che
degli eventi presi in considerazione che
avvengono in un determinato spazio e in
un determinato tempo. Un segmento non
è un semplice segmento ma è il punto di
collegamento tra due eventi o lo
spostamento di un evento. Se in un
segmento x è costante allora avremo due

12. Pratica
Per capire meglio il funzionamento del piano ecco una sua
riproduzione creata da me stesso dove presento tre importanti
usi del piano di Minkowski:
• Le coordinate di un punto nei due sistemi di riferimento
• La dilatazione temporale
• La contrazione spaziale
Creato da Francesco Fellone